第3節向量復習題型匯總：1.向量的線性運算2.數量積3.向量取值范圍4.四心綜合題型總結1.向量的線性運算例1.（2023·全國·高一專題練習）“趙爽弦圖”是我國古代數學的瑰寶，它是由四個全等的直角三角形和一個正方形構成.現仿照趙爽弦圖，用四個三角形和一個小平行四邊形構成如下圖形，其中，，，，分別是，，，的中點，若，則等于（

）A． B． C．1 D．2【變式11】.（2022春·陜西西安·高一西安建筑科技大學附屬中學?？茧A段練習）相傳，太極八卦圖是古代圣人伏羲氏首創，如圖2是八卦模型圖，其平面圖形記為圖3中的正八邊形，則給出下列結論：①；②；③．其中正確的結論為（

）A．①② B．②③ C．② D．③【變式12】.（2023·江蘇·高一專題練習）衡量鉆石價值的4C標準之一是切工．理想切工是一種高雅且杰出的切工，它使鉆石幾乎反射了所有進入鉆石的光線．現有一理想切工的鉆石，其橫截面如圖所示，其中為等腰直角三角形，四邊形BCDE為等腰梯形，且，，，則（

）A． B．C． D．例2.（2023春·新疆烏魯木齊·高一烏魯木齊市第70中?？茧A段練習）如圖，在△ABC中，，，＝3，＝2，則＝（）A． B．C． D．【變式21】．（2023春·河南南陽·高一統考期末）如圖，在中，點，分別在邊和邊上，，分別為和的三等分點，點靠近點，點靠近點，交于點，設，，則（

）

A． B．C． D．【變式22】．（2024春·浙江·高一景寧中學校聯考階段練習）如圖所示，中，點是線段的中點，是線段上的動點，則，則的最小值（

）

A．1 B．3 C．5 D．82.數量積例3.（2023春·浙江紹興·高一統考期末）已知向量，滿足，，，則在上的投影向量的模長為（

）A． B． C． D．【變式31】.（2023春·河北衡水·高一?？计谥校┮阎蛄浚瑵M足，且，則在方向上的投影為A．1 B．1 C． D．【變式32】.（2023春·山東德州·高一德州市第一中學?？茧A段練習）已知非零向量，滿足=2，則向量的模是（）A．4 B． C．2 D．例4.（2024·高一課時練習）已知向量，且與的夾角為鈍角，則實數的取值范圍是（

）A．； B．； C．； D．．【變式41】.（2023春·全國·高一專題練習）已知平面向量，，與的夾角為鈍角，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【變式42】.(多選)（2024·高一課時練習）已知向量，，則正確的是（

）A．若，則 B．若，則C．若與的夾角為銳角，則 D．若向量是與同向的單位向量，則3.向量取值范圍例5.（2024·高一課時練習）已知向量.（1）若，求的值；（2）若，求實數的值；（3）若與的夾角是銳角，求實數的取值范圍．【變式51】.（2023春·全國·高一專題練習）已知向量，.(1)若，求；(2)若和的夾角為銳角，求的取值范圍.【變式52】.（2023·全國·高三專題練習）已知向量，，若向量與向量的夾角為鈍角，則實數t的取值范圍為_________．例6.（2024秋·高二?？紗卧獪y試）如圖，分別是矩形的邊和的中點，與交于點．（1）若，求：的值；（2）設，試用表示；（3）若，是線段上的一動點，求的最大值．

【變式61】．如圖，在四邊形中，，，，且，.

(1)求實數的值；(2)若，是線段上的動點，且，求的最小值.【變式62】．在平面直角坐標系中，已知，，，為軸上兩個動點，且，則的最小值為________.例7.如圖，在菱形ABCD中，，.(1)若，，求；(2)若菱形的邊長為6，求的取值范圍.【變式71】．已知正方形的邊長為，為該正方形內切圓的直徑，在的四邊上運動，則的最大值為（

）A． B． C． D．【變式72】．梯形中，，，，，點在線段上運動.(1)當點是線段的中點時，求；(2)求的最大值.4.四心綜合例8.（2023春·全國·高一專題練習）已知，是其內心，內角所對的邊分別，則（

）A． B．C． D．【變式81】．在△中，，，，O為△的內心，若，則（

）A． B． C． D．【變式82】．O是平面上一定點，A、B、C是平面上不共線的三個點，動點P滿足，，則P的軌跡一定通過的（

）A．外心 B．內心 C．重心 D．垂心例9.（2023春·天津靜?！じ咭混o海一中校考階段練習）設O是所在平面內一定點,P是平面內一動點,若,則點O是的A．內心 B．外心 C．重心 D．垂心【變式91】.在中，為的外心，則__________.若，則的值為__________.【變式92】在中，，，，為的外心，若，，，則______.例10.已知A、B、C是平面上不共線的三點，O是△ABC的重心，點P滿足，則與面積比為（

）A．5:6 B．1:4 C．2:3 D．1:2【變式101】（多選）已知點是所在平面內任一點，為的中點，，，且，則（

）A．是的外心 B．是的重心C． D．【變式102】.（2023·全國·高一專題練習）設為所在平面內一點，滿足，則的面積與的面積的比值為（

） B． C． D．鞏固練習1.（2023春·河南南陽·高一統考期中）在平行四邊形中，點為的中點，點在上，三點共線，若，則_______________.2.（2023春·廣東東莞·高一?？茧A段練習）如圖，在中，，若，則__________．3.（2023·全國·高一專題練習）已知向量，，.若，則_____.4.（2024·河南·校聯考一模）設，，，若，則______.5.（2024春·江蘇南京·高一南京市中華中學?？计谥校┢叫兴倪呅沃?，，E是的中點，F是的中點，則向量的模長是______．6.（2023春·江蘇淮安·高一?？茧A段練習）若向量，已知與的夾角為鈍角，則k的取值范圍是________．7.（2024春·重慶沙坪壩·高一重慶南開中學校考階段練習）已知點是所在平面內的一定點，是平面內一動點，若，則點的軌跡一定經過的（

）A．重心 B．垂心 C．內心 D．外心8.（2024春·湖南懷化·高一懷化市第三中學?？计谥校┮阎瑸槿切嗡谄矫嫔系囊稽c，且點滿足：，則點為三角形的A．外心 B．垂心 C．重心 D．內心9.（2023春·江蘇南京·高一南京師大附中?？计谥校┰谥苯亲鴺讼抵校蛄?，，，，其中，，.(1)若，，三點共線，求實數的值；(2)若四邊形為菱形，求的值.10.（2023春·江蘇揚州·高一揚州中學校考階段練習）設兩個向量滿足，(1)求方向的單位向量；(2)若向量與向量的夾角為鈍角，求實數t的取值范圍．11.（2024春·廣東東莞·高一校考階段練習）如圖，在四邊形中，E是的中點，設，(1)用，表示(2)若，與交于點O，求12.（2024秋·安徽黃山·高一統考期末）為三角形內部一點，??均為大于1的正實數，且滿足，若??分別表示??的面積，則為（

）A． B． C． D．13.