2024-2025學(xué)年福建省廈門市高一上學(xué)期第一次月考數(shù)學(xué)學(xué)情檢測試題注意事項：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫在答題卡上．2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑，如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號，回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上．寫在本試卷上無效．3．考試結(jié)束后，考生只須將答題卡交回．一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.已知集合，，則（）A B. C. D.2.命題“，”的否定是（）A.， B.，C.， D.，3.給出下列等式，其中因式分解錯誤的是（）A. B.C. D.4.是的（）A.必要不充分條件 B.充分不必要條件 C.充要條件 D.既不充分也不必要條件5.若，是關(guān)于x的方程的解，且滿足，則的取值范圍是（）A. B.C.或 D.6.已知存在使成立，則實數(shù)的取值范圍是（）A B. C. D.7.已知，，且，則的最小值為（）A9 B. C.13 D.148.對于非空正數(shù)集，其所有元素的幾何平均數(shù)記為，即，若非空正數(shù)集B滿足下列兩個條件：（1）；（2）．則稱B為A的一個“穩(wěn)定子集”．根據(jù)以上信息，集合的“穩(wěn)定子集”有（）A.5個 B.6個 C.7個 D.8個二、多項選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分，在每小題給出的四個選項中，有多個選項符合題目要求，全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．9.設(shè)全集為U，C是非空集合，在下列選項中，是的充要條件的有（）A. B. C. D.10.設(shè)a為實數(shù)，則下列集合可能是不等式ax?13x+2A. B.或x>?2}C. D.11.已知實數(shù)，，滿足且，則（）A. B.C. D.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.已知，是方程的兩個不等實根，則__________.13.已知命題：“，，使得”是假命題，則實數(shù)m的取值范圍是__________.14.已知集合，，記非空集合S中元素的個數(shù)為，已知，記實數(shù)的所有可能取值構(gòu)成集合是T，則__________.四、解答題：本題共5小題，共77分，解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15.已知集合，集合.（1）當(dāng)時，求；（2）若，求實數(shù)m的取值范圍.16.已知正實數(shù)，滿足（1）求的最小值，并指出此時，的值；（2）若，求所有滿足條件的，的值.17.某公司計劃在辦公大廳建一面長為米的玻璃幕墻.先等距安裝根立柱，然后在相鄰的立柱之間安裝一塊與立柱等高的同種規(guī)格的玻璃.一根立柱的造價為6400元，一塊長為米的玻璃造價為元.假設(shè)所有立柱的粗細(xì)都忽略不計，且不考慮其他因素，記總造價為元（總造價=立柱造價+玻璃造價）.（1）求關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式；（2）當(dāng)時，怎樣設(shè)計能使總造價最低？18.回答下列問題：（1）已知不等式的解集是，求，的值；（2）對于二次函數(shù)，當(dāng)時，的最小值是，最大值是，求，的值.19.已知A是非空數(shù)集，如果對任意，都有，，則稱A是封閉集．（1）判斷集合，，否為封閉集，并說明理由；（2）判斷命題“若非空集合，是封閉集，則也是封閉集”的真假，并說明理由；（3）若非空集合A是封閉集合，且，求證：不是封閉集．2024-2025學(xué)年福建省廈門市高一上學(xué)期第一次月考數(shù)學(xué)學(xué)情檢測試題注意事項：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫在答題卡上．2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑，如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號，回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上．寫在本試卷上無效．3．考試結(jié)束后，考生只須將答題卡交回．一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.已知集合，，則（）A. B. C. D.【正確答案】B【分析】利用常用數(shù)集的定義化簡集合，再利用集合的并集運算即可得解.【詳解】因為，又，所以.故選：B.2.命題“，”的否定是（）A.， B.，C.， D.，【正確答案】A【分析】利用量詞命題否定的規(guī)則“改量詞，否結(jié)論”即可得解.【詳解】因為量詞命題否定的規(guī)則為“改量詞，否結(jié)論”，所以“，”的否定是，.故選：A.3.給出下列等式，其中因式分解錯誤的是（）A. B.C. D.【正確答案】C【分析】利用平方差公式，立方和差公式進(jìn)行因式分解即可得解.【詳解】對于A，，故A正確；對于B，，故B正確；對于C，，故C錯誤；對于D，，故D正確.故選：C.4.是的（）A.必要不充分條件 B.充分不必要條件 C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【正確答案】A【分析】利用充分必要條件的判定方法即可得解.【詳解】當(dāng)時，取，此時，即充分性不成立；當(dāng)時，，則必有，即必要性成立；所以是的必要不充分條件.故選：A.5.若，是關(guān)于x的方程的解，且滿足，則的取值范圍是（）A. B.C.或 D.【正確答案】D【分析】根據(jù)題意將問題轉(zhuǎn)化為利用二次函數(shù)零點分布，得到關(guān)于的不等式組，解之即可得解.【詳解】因為，是關(guān)于x的方程的解，且滿足，所以在上有兩個零點，所以Δ=a2?4a>0?2<?所以的取值范圍是.故選：D.6.已知存在使成立，則實數(shù)的取值范圍是（）A. B. C. D.【正確答案】B【分析】由，將問題轉(zhuǎn)化為存在，使得，求出的最值得解.【詳解】由，得，又，故存在，使得，令，，則，，.故選：B.7.已知，，且，則的最小值為（）A.9 B. C.13 D.14【正確答案】C【分析】利用換元法，結(jié)合基本不等式“1”的妙用即可得解.【詳解】因為，，所以，，又，令，則，，，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即，即時，等號成立，所以的最小值為.故選：C.8.對于非空正數(shù)集，其所有元素的幾何平均數(shù)記為，即，若非空正數(shù)集B滿足下列兩個條件：（1）；（2）．則稱B為A的一個“穩(wěn)定子集”．根據(jù)以上信息，集合的“穩(wěn)定子集”有（）A.5個 B.6個 C.7個 D.8個【正確答案】B【分析】根據(jù)題意可得，且集合B至少有2個元素，分類討論集合B的元素個數(shù)，結(jié)合題意分析求解即可.【詳解】因為，則，又因為，由題意可知：集合B至少有2個元素，若集合B有2個元素，則集合B可以為，共2個；若集合B有3個元素，則集合B可以為，共2個；若集合B有4個元素，則集合B可以為，共1個；若集合B有5個元素，則集合B可以為，共1個；綜上所述：集合的“穩(wěn)定子集”有個.故選：B.二、多項選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分，在每小題給出的四個選項中，有多個選項符合題目要求，全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．9.設(shè)全集為U，C是非空集合，在下列選項中，是的充要條件的有（）A. B. C. D.【正確答案】BC【分析】利用韋恩圖解決集合運算判斷ABC，舉反例排除D，從而得解.【詳解】因為全集為U，C是非空集合，對于A，由韋恩圖可知，當(dāng)時，，故A錯誤；對于B，由韋恩圖可知，等價于，故B正確；對于C，由韋恩圖可知，等價于，故C正確；對于D，當(dāng)時，取，此時，滿足條件，但不成立，故D錯誤.故選：BC.10.設(shè)a為實數(shù)，則下列集合可能是不等式的解集的是（）A B.或C. D.【正確答案】ACD【分析】根據(jù)題意，將分式不等式等價為，再對參數(shù)進(jìn)行分類討論，結(jié)合一元二次不等式的解法即可得解.【詳解】因為，所以ax?13x+2顯然必有ax?12>0，則不等式等價于當(dāng)時，不等式可化為，又，解得或；當(dāng)時，不等式可化為，解得，此時A選項滿足題意；當(dāng)時，不等式可化為，若，即，解得，此時C選項滿足題意；若，即，此時不等式無解；若，即，解得，此時D選項滿足題意；綜上可知，B選項不滿足題意.故選：ACD.11.已知實數(shù)，，滿足且，則（）A. B.C. D.【正確答案】ACD【分析】AC選項，作差法比較大小；B選項，舉出反例；D選項，變形后，作差法比較大小.【詳解】因為且，所以，A選項，，故，A正確；B選項，不妨設(shè)，此時滿足且，但，B錯誤；C選項，因為且，所以，，所以，C正確；D選項，，因為，所以，故，D正確.故選：ACD三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.已知，是方程的兩個不等實根，則__________.【正確答案】【分析】利用韋達(dá)定理即可得解.【詳解】因為，是方程的兩個根，所以，，則.故答案為.13.已知命題：“，，使得”是假命題，則實數(shù)m的取值范圍是__________.【正確答案】【分析】先分析得命題是真命題的等價條件，從而求得的取值范圍，進(jìn)而求得命題為假命題時的取值范圍，由此得解.【詳解】若命題：“，，使得”是真命題，則它等價于，因為，，則，所以當(dāng)命題為假命題時，.故答案.14.已知集合，，記非空集合S中元素的個數(shù)為，已知，記實數(shù)的所有可能取值構(gòu)成集合是T，則__________.【正確答案】【分析】先分析得，進(jìn)而得到或，再分類討論的取值情況，結(jié)合二次方程的判別式得到關(guān)于的方程或不等式，從而得解.【詳解】對于，有，所以集合中有兩個元素，即，因為，所以或，對于，易知必是方程中的一解，當(dāng)時，，所以有唯一解，且無解，則，解得；當(dāng)時，若有唯一解，由上述分析可知無解，不滿足題意；若有兩解，則有唯一解，即，解得或；綜上，實數(shù)的所有可能取值為，則.故答案為.四、解答題：本題共5小題，共77分，解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15.已知集合，集合.（1）當(dāng)時，求；（2）若，求實數(shù)m的取值范圍.【正確答案】（1）（2）【分析】（1）由條件與解絕對值不等式化簡集合，再利用集合的交集運算即可得解；（2）根據(jù)題意分類討論與兩種情況，利用混合運算的結(jié)果得到關(guān)于的不等式（組），解之即可得解.【小問1詳解】當(dāng)時，，又，所以.【小問2詳解】因為，，當(dāng)時，，則，滿足題意，此時，解得；當(dāng)時，或，且，又，所以，解得.綜上，或，即的取值范圍為.16.已知正實數(shù)，滿足（1）求最小值，并指出此時，的值；（2）若，求所有滿足條件的，的值.【正確答案】（1）的最小值為25，此時；（2）或或【分析】（1）利用基本不等式，結(jié)合整體換元法即可得解；（2）利用常數(shù)分離法，結(jié)合的條件得到是的正因數(shù)，進(jìn)而求得的值，從而得解.【小問1詳解】因為為正實數(shù)，所以，令，則，，故上述不等式可化為，解得或（舍去），則，當(dāng)且僅當(dāng)，即時，等號成立，所以的最小值為25，此時；【小問2詳解】由得，顯然，則，因為，所以是的正因數(shù)，則的可能取值為，即的可能取值為，對應(yīng)的的可能取值為，即，綜上，或或.17.某公司計劃在辦公大廳建一面長為米的玻璃幕墻.先等距安裝根立柱，然后在相鄰的立柱之間安裝一塊與立柱等高的同種規(guī)格的玻璃.一根立柱的造價為6400元，一塊長為米的玻璃造價為元.假設(shè)所有立柱的粗細(xì)都忽略不計，且不考慮其他因素，記總造價為元（總造價=立柱造價+玻璃造價）.（1）求關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式；（2）當(dāng)時，怎樣設(shè)計能使總造價最低？【正確答案】（1）且；（2）安裝8根立柱時，總造價最小.【分析】（1）分析題意，建立函數(shù)關(guān)系模型，即可得出函數(shù)關(guān)系式；（2）由（1）將函數(shù)解析式變形，根據(jù)基本不等式，即可求出最值.【詳解】解：（1）依題意可知，所以，（2）∵，且，∴.∴，當(dāng)且僅當(dāng)，即時，等號成立，又∵，∴當(dāng)時，.所以，安裝8根立柱時，總造價最小.本題主要考查函數(shù)、基本不等式等知識：考查運算求解能力、數(shù)學(xué)應(yīng)用意識；考查函數(shù)與方程、化歸轉(zhuǎn)化等數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題.18.回答下列問題：（1）已知不等式的解集是，求，的值；（2）對于二次函數(shù)，當(dāng)時，的最小值是，最大值是，求，的值.【正確答案】（1），（2）【分析】（1）構(gòu)造函數(shù)并作出其圖象，得，從而分類討論和兩種情況，得到是方程的兩根，利用韋達(dá)定理即可得解；（2）分類討論在上的單調(diào)情況，結(jié)合條件得到關(guān)于的方程組，或分析得，進(jìn)而得到，從而得解.【小問1詳解】令，作出函數(shù)的圖象，如圖，因為，的解集是，若，則不等式的解集是兩段區(qū)域，不合題意，若，由可知此時恒成立，又因為不等式的解集為，所以是方程，即的兩根，則，解得或（舍去），綜上，，.【小問2詳解】令，因為當(dāng)時，的最小值是，最大值是，若在上單調(diào)遞減，則有，兩式相減，得，由于，整理得，則，解得，則，不符合題意；若在上單調(diào)遞增，則，且，又，解得，與矛盾，舍去；若在上不單調(diào)，則由（1）中圖象可知，又，從而有，所以滿足，即，解得或（舍去）；綜上，.關(guān)鍵點點睛：本題第1小問解決的關(guān)鍵在于，將問題分析轉(zhuǎn)化得是方程的兩根，從而得解.19.已知A是非空數(shù)集，如果對任意，都有，，則稱A是封閉集．（1）判斷集合，，否為封閉集，并說明理由；（2）判斷命題“若非空集合，是封閉集，則也是封閉集”的真假，并說明理由；（3）若非空集合A是封閉集合，且，求證：不是封閉集．【正確答案】（1）不是封閉集，是封閉集，理由見詳解；（2）假命題，理由見詳解；（3）證明見詳解【分析】