專題11三角形中的重要模型-特殊三角形中的分類討論模型模型1、等腰三角形中的分類討論模型【知識儲備】凡是涉及等腰三角形邊、角、周長、面積等問題，優先考慮分類討論，再利用等腰三角形的性質與三角形三邊關系解題即可。1）無圖需分類討論①已知邊長度無法確定是底邊還是腰時要分類討論；②已知角度數無法確定是頂角還是底角時要分類討論；③遇高線需分高在△內和△外兩類討論；④中線把等腰△周長分成兩部分需分類討論。2）“兩定一動”等腰三角形存在性問題：即：如圖：已知，兩點是定點，找一點構成等腰方法：兩圓一線具體圖解：①當時，以點為圓心，長為半徑作⊙，點在⊙上（，除外）②當時，以點為圓心，長為半徑作⊙，點在⊙上（，除外）③當時，作的中垂線，點在該中垂線上（除外）例1．（2023春·四川成都·八年級校考期中）已知等腰三角形的兩邊長分別是，，若，滿足，那么它的周長是（）A．11 B．13 C．11或13 D．11或15【答案】C【分析】由已知等式，結合非負數的性質求、的值，再根據、分別作為等腰三角形的腰，分類求解．【詳解】解：，，，，，解得：，，當作腰時，三邊為3，3，5，符合三邊關系定理，周長為：，當作腰時，三邊為3，5，5，符合三邊關系定理，周長為：，故選：C．【點睛】本題考查了等腰三角形的性質，三角形的三邊關系，非負數的性質，關鍵是根據非負數的性質求、的值，再根據或作為腰，分類求解．例2．（2023春·黑龍江佳木斯·八年級校考期中）一個等腰三角形的周長為18cm，且一邊長是4cm，則它的腰長為（

）A．4cm B．7cm C．4cm或7cm D．全不對【答案】B【分析】根據等腰三角形的定義，兩腰相等，結合三角形的三邊關系，進行求解即可．【詳解】解：當cm為腰長時，則底邊長為cm，∵，不符合題意；∴cm為底邊長，∴等腰三角形的腰長為：；故選B．【點睛】本題考查等腰三角形的定義，三角形的三邊關系．解題的關鍵是掌握等腰三角形的兩腰相等，注意討論時要根據三角形的三邊關系，判斷能否構成三角形．例3．（2023春·四川達州·八年級校考階段練習）等腰三角形的一個角是，則它頂角的度數是（）A． B．或 C．或 D．【答案】B【分析】根據三角形的內角和為，進行分類討論即可【詳解】解：①當底角為時，頂角，②當頂角為時，頂角度數，綜上：頂角度數為或；故選：B．【點睛】本題考查了三角形的內角和為，等腰三角形兩底角相等，解題的關鍵是書熟練掌握相關內容．例3．（2023·四川廣安·八年級校考期中）等腰三角形的一個外角為，則它的底角為（）A． B． C．或 D．以上都不是【答案】D【分析】等腰三角形的一個外角等于，則等腰三角形的一個內角為，但已知沒有明確此角是頂角還是底角，所以應分兩種情況進行分類討論．【詳解】∵等腰三角形的一個外角等于，∴等腰三角形的一個內角為，①當為頂角時，其他兩角都為、，②當為底角時，其他兩角為、，所以等腰三角形的底角可以是，也可以是．故選：D．【點睛】本題考查了等腰三角形的性質和三角形的內角和定理；在解決與等腰三角形有關的問題，由于等腰所具有的特殊性質，很多題目在已知不明確的情況下，要進行分類討論，才能正確解題，因此，解決和等腰三角形有關的邊角問題時，要仔細認真，避免出錯．例4．（2023·四川綿陽·八年級校考階段練習）等腰三角形一腰上的高與另一腰的夾角為，則等腰三角形的頂角度數為．【答案】或【分析】要注意分類討論，等腰三角形可能是銳角三角形也可能是鈍角三角形，然后根據三角形的內角和以及三角形的外角的性質即可求解．【詳解】解：若三角形為銳角三角形時，如圖，，，為高，即，此時，∴，若三角形為鈍角三角形時，如圖，，，為高，即，此時，綜上，等腰三角形的頂角的度數為或．故答案為：或．【點睛】本題主要考查了等腰三角形的性質，三角形外角的性質，三角形內角和定理，解題的關鍵是根據題意畫出圖形，并注意分類討論．例5．（2023·山東濱州·八年級校考期末）我們稱網格線的交點為格點．如圖，在6行列的長方形網格中有兩個格點A、B，連接，在網格中再找一個格點C，使得是等腰直角三角形，則滿足條件的格點C的個數是（

）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】C【分析】根據題意，結合圖形，分兩種情況討論：①為等腰直角底邊；②為等腰直角其中的一條腰．【詳解】如圖：分情況討論：①為等腰直角底邊時，符合條件的格點C點有2個；②為等腰直角其中的一條腰時，符合條件的格點C點有3個．故共有5個點，故選：C．【點睛】本題考查了等腰三角形的性質和判定；解答本題關鍵是根據題意，畫出符合實際條件的圖形，數形結合的思想是數學解題中很重要的解題思想．例6．（2023·北京·八年級期中）Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=2，以AC為一邊．在△ABC外部作等腰直角三角形ACD，則線段BD的長為____．【答案】或或．【分析】根據題意分類討論，①，②，③，分別作出圖形，再結合已知條件勾股定理求解即可．【詳解】解：①如圖，當時，是等腰直角三角形，,，；②如圖，當時，過點作，交的延長線于點，，，是等腰直角三角形，，，又，是等腰直角三角形，，在中，，，在中，，在中，；③如圖，當時，，是等腰直角三角形，，在中，，在中，．綜上所述，的長為：或或．故答案為：或或．【點睛】本題考查了勾股定理，等腰三角形的性質，分類討論是解題的關鍵．例7．（2023·福建南平·八年級校考期中）已知△ABC中，如果過頂點B的一條直線把這個三角形分割成兩個三角形，其中一個為等腰三角形，另一個為直角三角形，則稱這條直線為△ABC的關于點B的二分割線．如圖1，Rt△ABC中，顯然直線BD是△ABC的關于點B的二分割線．在圖2的△ABC中，∠ABC＝110°，若直線BD是△ABC的關于點B的二分割線，則∠CDB的度數是．【答案】40°或90°或140°【分析】分三種情況討論，由等腰三角形的性質和直角三角形的性質可求解．【詳解】解：①如圖，當∠DBC=90°，AD=BD時，直線BD是△ABC的關于點B的二分割線，∵∠ABC=110°，∠DBC=90°，∴∠ABD=20°，∵AD=BD，∴∠A=∠ABD=20°，∴∠CDB=∠A+∠ABD=40°；②如圖，當∠BDC=90°，AD=BD時，直線BD是△ABC的關于點B的二分割線，或當∠BDC=90°，CD=BD時，直線BD是△ABC的關于點B的二分割線，；③如圖，當∠ABD=90°，CD=BD時，直線BD是△ABC的關于點B的二分割線，∵∠ABC=110°，∠ABD=90°，∴∠DBC=20°，∵CD=BD，∴∠C=∠DBC=20°，∴∠BDC=140°．綜上所述：當∠BDC的度數是40°或90°或140°時，直線BD是△ABC的關于點B的二分割線．【點睛】本題是三角形綜合題，考查了等腰三角形的性質，直角三角形的性質，理解二分割線是本題關鍵．例8．（2023·四川成都·八年級校考期中）如圖，A、B兩點的坐標分別為，，點P是x軸上一點，且為等腰三角形，則點P的坐標為．【答案】或或或【分析】根據等腰三角形的判定，分①AB=BP；②AB=AP；③AP=BP三種情況求解即可．【詳解】∵為等腰三角形，①當時，如圖①，∵，∴，∵，∴或；②當時，如圖②作于C點，則，∵，∴，∵，∴，∴．③當時，如圖③，作，∴，∴．綜上所述：點P的坐標為或或或，故答案為：或或或．【點睛】本題考查了等腰三角形的判定與性質、勾股定理、坐標與圖形，熟練掌握等腰三角形的判定與性質，靈活運用分類討論的思想解決問題是解答的關鍵．例9．（2023·江蘇蘇州·八年級校考期中）如圖，中，，，，若點從點出發，以每秒的速度沿折線運動，設運動時間為秒（）．

(1)若點在上，且滿足，求此時的值；(2)若點恰好在的角平分線上，求此時的值：(3)在運動過程中，當為何值時，為等腰三角形．【答案】(1)(2)或(3)或或或3【分析】（1）設，則，利用勾股定理求出，在中，依據，列方程求解即可得到的值．（2）如圖所示，當點P在上時，過作于，設，則，在中，依據，列方程求解即可得到的值．當點與點重合時，點也在的角平分線上，此時，．（3）分四種情況：當在上且時，當在上且時，當在上且時，當在上且時，分別依據等腰三角形的性質即可得到的值．【詳解】（1）解：如圖，設，則，

，，，，在中，由勾股定理得，，解得，，；（2）解：如圖所示，當點P在上時，過作于，

平分，，，，在與中，，，，設，則，在中，由勾股定理得，，解得，，，當點與點重合時，點也在的角平分線上，此時，．綜上所述，點恰好在的角平分線上，的值為或．（3）解：分四種情況：①如圖，當在上且時，∴，

∵，，，，是的中點，即，．②如圖，當在上且時，∴．③如圖，當在上且時，過作于，∵，∴，在中，由勾股定理得，，．④如圖，當在上且時，則，．綜上所述，當的值為或或或3時，為等腰三角形．【點睛】本題屬于三角形綜合題，考查了角平分線的性質，等腰三角形的性質以及勾股定理的綜合運用．畫出圖形，利用分類討論的思想是解第（3）題的關鍵．例10．（2022春·四川成都·八年級校考期中）如圖，在平面直角坐標系內，點O為坐標原點，經過的直線交x軸正半軸于點B，交y軸于點，直線交x軸負半軸于點D，若的面積為

(1)求直線的表達式和點D的坐標；(2)橫坐標為m的點P在線段上（不與點重合），過點P作x軸的平行線交于點E，設的長為，求y與m之間的函數關系式并直接寫出相應的m取值范圍；(3)在（2）的條件下，在x軸上是否存在點F，使為等腰直角三角形？若存在求出點F的坐標；若不存在，請說明理由．【答案】(1)(2)(3)存在，點F的坐標為或或【分析】（1）據直線交軸正半軸于點，交軸于點，，設直線解析式為，把的坐標代入求得的值，從而求得的坐標，再根據三角形的面積建立方程求出的值，求出的值，從而求出點的坐標；（2）直接根據待定系數法求出的解析式，先根據的坐標求出直線的解析式，將點的橫坐標代入直線的解析式，求出的縱坐標，將的縱坐標代入直線的解析式就可以求出的橫坐標，根據線段的和差關系就可以求出結論；（3）要使為等腰直角三角形，分三種情況分別以點為直角頂點，據等腰直角三角形的性質求出（2）中的值，就可以求出點的坐標．【詳解】（1）解：，∴設直線的解析式為，∵直線經過，，，∴直線的解析式為，，，的面積為，，，，，直線的解析式為（2）解：設直線的解析式為，，∴，解得．∴直線的解析式為；∵點P在上，且橫坐標為m，，軸，∴E的縱坐標為，代入得，，解得，，的長；即，；（3）解：在x軸上存在點F，使為等腰直角三角形，①當時，如圖①，有，，，，解得，此時；②當時，如圖②，有，的長等于點E的縱坐標，，，解得：，∴點E的橫坐標為，∴；③當時，如圖③，有，．，．作，點R為垂足，，，．同理，．∵點R與點E的縱坐標相同，，∴，解得：，，∴點F的橫坐標為，．綜上，在x軸上存在點F使為等腰直角三角形，點F的坐標為或或．

【點睛】本題考查了等腰直角三角形的性質，三角形的面積公式的運用，待定系數法求一次函數的解析式模型2、直角三角形中的分類討論模型【知識儲備】凡是涉及直角三角形問題，優先考慮直角頂點（或斜邊）分類討論，再利用直角三角形的性質或勾股定理解題即可。1）無圖需分類討論：①已知邊長度無法確定是直角邊還是斜邊時要分類討論；②已知無法確定是哪個角是直角時要分類討論（常見與折疊、旋轉中出現的直角三角形）。2）“兩定一動”直角三角形存在性問題：（常見于與坐標系綜合出題，后續會專題進行講解）即：如圖：已知，兩點是定點，找一點構成方法：兩線一圓具體圖解：①當時，過點作的垂線，點在該垂線上（除外）②當時，過點作的垂線，點在該垂線上（除外）。③當時，以為直徑作圓，點在該圓上（，除外）。例1．（2023春·河南安陽·八年級校考期末）若三角形的兩邊長為4和5，要使其成為直角三角形，則第三邊的長為．【答案】3或/或3【分析】根據勾股定理逆定理：如果三角形兩條邊的平方和等于第三邊的平方，那么這個三角形就是直角三角形，再分5為斜邊或第三邊為斜邊兩種情況考慮，即可求出第三邊．【詳解】解：當較大的數5為斜邊時，第三邊，當第三邊為斜邊時，第三邊，故答案為：3或．【點睛】本題考查了勾股定理的逆定理，即如果三角形兩條邊的平方和等于第三邊的平方，那么這個三角形就是直角三角形，熟練掌握勾股定理的逆定理及分情況考慮是解題關鍵．例2．（2023春·河南鄭州·八年級校考期中）如圖，是的角平分線，是的高，，，點F為邊上一點，當為直角三角形時，則的度數為．【答案】或【分析】分情況討論：①當時，②當時，根據角平分線和三角形高線的定義分別求解即可．【詳解】解：如圖所示，當時，∵是的角平分線，，∴，∴中，；如圖，當時，同理可得，∵，∴，∴，綜上所述：的度數為或．故答案為：或．【點睛】本題考查角平分線和高線的定義，三角形外角的性質，三角形內角和定理，掌握分類討論的思想是解題的關鍵．例3．（2022秋·河南新鄉·八年級校考期末）如圖，在4×4的正方形網格中有兩個格點A，B，連接AB，在網格中再找一個格點C，使得△ABC是等腰直角三角形，則滿足條件的格點C的個數是（

）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】C【分析】根據題意，結合圖形，分兩種情況討論：①AB為等腰直角△ABC底邊；②AB為等腰直角△ABC其中的一條腰．【詳解】解：如圖：分情況討論：①AB為等腰直角△ABC底邊時，符合條件的C點有0個；②AB為等腰直角△ABC其中的一條腰時，符合條件的C點有3個．∵，，∴，，，∴，，都是等腰直角三角形，故共有3個點，故選C．【點睛】本題考查了等腰直角三角形的判定；解答本題關鍵是根據題意，畫出符合實際條件的圖形，數形結合的思想是數學解題中很重要的解題思想．例4．（2022·江西九江·八年級期末）已知在平面直角坐標系中A（﹣2，0）、B（2，0）、C（0，2）．點P在x軸上運動，當點P與點A、B、C三點中任意兩點構成直角三角形時，點P的坐標為________．【答案】（0，0），（，0），（﹣2，0）【分析】因為點P、A、B在x軸上，所以P、A、B三點不能構成三角形．再分Rt△PAC和Tt△PBC兩種情況進行分析即可．【詳解】解：∵點P、A、B在x軸上，∴P、A、B三點不能構成三角形．設點P的坐標為（m，0）．當△PAC為直角三角形時，①∠APC＝90°，易知點P在原點處坐標為（0，0）；②∠ACP＝90°時，如圖，∵∠ACP＝90°∴AC2＋PC2＝AP2，，解得，m＝，∴點P的坐標為（，0）；當△PBC為直角三角形時，①∠BPC＝90°，易知點P在原點處坐標為（0，0）；②∠BCP＝90°時，∵∠BCP＝90°，CO⊥PB，∴PO＝BO＝2，∴點P的坐標為（﹣2，0）．綜上所述點P的坐標為（0，0），（，0），（﹣2，0）．【點睛】本題考查了勾股定理及其逆定理，涉及到了數形結合和分類討論思想．解題的關鍵是不重復不遺漏的進行分類．例5．（2022秋·遼寧丹東·八年級校考期中）在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝4，以AC為一邊，在△ABC外作等腰直角△ACD，則線段BD的長為．【答案】或或【分析】根據題意分類討論，①，②，③，分別作出圖形，再結合已知條件勾股定理求解即可．【詳解】①如圖，當時，是等腰直角三角形，,②如圖，當時，過點作，交的延長線于點，，是等腰直角三角形，，又是等腰直角三角形在中，在中，在中，③如圖，當時，是等腰直角三角形，，在中，在中，綜上所述，的長為：或或【點睛】本題考查了勾股定理，等腰三角形的性質，分類討論是解題的關鍵．例6.（2023春·山東東營·八年級校考階段練習）如圖，長方形中，，，點為射線上的一個動點，若與關于直線對稱，若為直角三角形，則的長為．【答案】2或18【分析】分點在線段上，點在線段的延長線上兩種情況討論，由題意可得，，，，根據勾股定理和全等三角形的性質，可求的長．【詳解】解：若點在線段上，若與△關于直線對稱，，，，△為直角三角形，，，，，，點，點，點共線，在中，．，，若點在線段的延長線上，且點在上，若與△關于直線對稱，，，在△中，，，，，且，，△，，，故答案為：2或18．【點睛】本題考查了矩形的性質，軸對稱的性質，勾股定理，全等三角形的判定和性質，熟練運用這些性質解決問題是本題的關鍵例7.（2023秋·浙江紹興·八年級統考期末）如圖，在中，，，點D是邊上的點，將沿折疊得到，線段與邊交于點F．若為直角，則的長是．【答案】/【分析】過點A作于點G，根據等腰三角形的性質可得，從而得到，進而得到，再由折疊的性質可得，從而得到，進而得到，即可求解．【詳解】解：如圖，過點A作于點G，∵，，∴，∴，∴，∵將沿折疊得到，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∴．故答案為：【點睛】本題主要考查了等腰三角形的判定和性質，圖形的折疊問題，直角三角形的性質，勾股定理等知識，熟練掌握等腰三角形的判定和性質，直角三角形的性質，勾股定理是解題的關鍵．例8．（2023秋·河南商丘·八年級校考期中）如圖，中，cm，現有兩點M、N分別從點A、點B同時出發，沿三角形的邊運動，已知點M的速度為，點N的速度為．當點N第一次到達B點時，M、N同時停止運動．

(1)點M、N運動幾秒后，M、N兩點重合？(2)點M、N運動幾秒后，可得到等邊三角形？(3)當點M、N在邊上運動時，能否得到以為底邊的等腰三角形？如存在，請求出此時M、N運動的時間．(4)點M、N運動______________________后，可得到直角三角形．【答案】(1)6(2)2(3)存在，此時M、N運動的時間為8秒(4)或或或9秒【分析】（1）首先設點M、N運動x秒后，M、N兩點重合，表示出M、N的運動路程，N的運動路程比M的運動路程多6cm，列出方程求解即可；（2）根據題意設點M、N運動t秒后，可得到等邊三角形，然后表示出，的長，由于，所以只要，就是等邊三角形；（3）首先假設是等腰三角形，可證出，可得，設出運動時間，表示出、、的長，列出方程，可解出未知數的值；（4）分點N在、、上運動的三種情況，再分別就是和，列方程求解可得．【詳解】（1）解：設點M、N運動x秒后，M、N兩點重合，則，解得：，即當點M、N運動6秒后，M、N兩點重合；（2）解：設點M、N運動t秒后，可得到等邊三角形，如圖1，，，，，∵，當時，是等邊三角形，∴，解得，∴點M、N運動2秒后，可得到等邊三角形；（3）解：當點M、N在邊上運動時，可以得到以為底邊的等腰三角形，由（1）知6秒時M、N兩點重合，恰好在C處，如圖2，假設是等腰三角形，∴，∴，∴，∵，∴是等邊三角形，∴，在和中，∵，，，∴（AAS），∴，∴，解得，符合題意，所以假設成立，當點M、N運動8秒時，可以得到以為底邊的等腰三角形；（4）解：當點N在上運動時，如圖3，，，，，若，∵，，∴，∵，∴，即，解得；如圖4，若，由得，解得；當點N在上運動時，點M也在上，此時A、M、N不能構成三角形；當點N在上運動時，如圖5，當點N位于中點處時，由是等邊三角形知，即是直角三角形，則，解得；如圖6，當點M位于中點處時，由是等邊直角三角形知，即是直角三角形，則；綜上，當，，，9時，可得到直角三角形．【點睛】本題考查了等邊三角形的性質及判定和直角三角形的定義與性質，關鍵是根據題意設出未知數，理清線段之間的數量關系．例9．（2023秋·河南漯河·八年級校考期末）如圖，等邊三角形中，D、E分別是、邊上的點，，與相交于點P，，Q是射線上的動點．

(1)圖中共有__________組全等，請選擇其中的一組全等予以證明．(2)若為直角三角形，求的值．【答案】(1)2，證明見解析(2)2或8【分析】（1）利用等邊三角形的性質，以及證明即可；（2）分為直角，兩種情況，結合30度角的直角三角形的性質，進行求解即可．【詳解】（1）解：圖中有2組全等，；證明：∵等邊三角形，∴，∵，∴，在和中，，∴；在和中，，∴；（2）解：∵，∴，∴，∵Q是射線上的動點，當為直角三角形時：①當時，如圖，則：，∴；

②當時，如圖，則：，∴．綜上：．【點睛】本題考查等邊三角形的性質，全等三角形的判定和性質，含30度角的直角三角形．熟練掌握等邊三角形的性質，證明三角形全等，是解題的關鍵．例10．（2023·四川成都·八年級校考期末）如圖1，在平面直角坐標系中，點A的坐標為（-4，4），點B的坐標為（0，2）．（1）求直線AB的解析式；（2）以點A為直角頂點作∠CAD=90°，射線AC交x軸的負半軸于點C，射線AD交y軸的負半軸于點D．當∠CAD繞著點A旋轉時，OC-OD的值是否發生變化？若不變，求出它的值；若變化，求出它的變化范圍；（3）如圖2，點M（-4，0）和N（2，0）是x軸上的兩個點，點P是直線AB上一點．當△PMN是直角三角形時，請求出滿足條件的所有點P的坐標．【答案】（1）直線AB的解析式為：y=-x+2；（2）（2）不變．理由見解析；（3）點P的坐標為（-4，4）或（2，1）或（-，+2）或（，-+2）．【分析】（1）設直線AB解析式為y=kx+b，把A與B坐標代入列出方程組，求出方程組的解得到k與b的值，即可確定出直線AB解析式；（2）當∠CAD繞著點A旋轉時，OC-OD的值不變，理由為：過A作AE垂直于x軸，AF垂直于y軸，利用同角的余角相等得到一對角相等，求出A的坐標得到AE=AF，再由已知直角相等，利用ASA得到三角形AEC與三角形AFD全等，利用全等三角形對應邊相等得到EC=FD，進而求出OC-OD的值即可；（3）分三種情況考慮：①當M為直角頂點時；②N為直角頂點時；③P為直角頂點時；分別求出P坐標即可．【詳解】（1）設直線AB的解析式為：y=kx+b（k≠0），∵點A（-4，4），點B（0，2）在直線AB上，∴，解得：．∴直線AB的解析式為：y=-x+2；（2）不變．理由如下：過點A分別作x軸，y軸的垂線，垂足分別為E，F（如答圖1），可得∠AEC=∠AFD=90°，又∵∠BOC=90°，∴∠EAF=90°，即∠DAE+∠DAF=90°，∵∠CAD=90°，即∠DAE+∠CAE=90°，∴∠CAE=∠DAF，∵A（-4，4），∴OE=AF=AE=OF=4，在△AEC和△AFD中，，∴△AEC≌△AFD（ASA），∴EC=FD，∴OC-OD=（OE+EC）-（FD-OF）=OE+OF=8，則OC-OD的值不發生變化，值為8；（3）①當M為直角頂點時，點P的橫坐標為-4，∵點P在直線AB上，將x=-4代入y=-x+2得，y=4，∴點P的坐標為P（-4，4）；②當N為直角頂點時，點P的橫坐標為2，∵點P在直線AB上，將x=2代入y=-x+2得，y=1，∴點P的坐標為P（2，1）；③當P為直角頂點時，∵點P在直線AB上，可設點P的坐標為（x，-x+2），則MP2=（x+4）2+（-x+2）2，NP2=（x-2）2+（-x+2）2，在Rt△PMN中，MP2+NP2=MN2，MN=6，∴（x+4）2+（-x+2）2+（x-2）2+（-x+2）2=62，解得：x1=-，x2=，∴P（-，+2）或（，-+2），綜上所述，滿足條件的所有點P的坐標為（-4，4）或（2，1）或（-，+2）或（，-+2）．【點睛】此題屬于一次函數綜合題，涉及的知識有：待定系數法求一次函數解析式，坐標與圖形性質，全等三角形的判定與性質，勾股定理，利用了分類討論的思想，熟練掌握性質及定理是解本題的關鍵．課后專項訓練1．（2023·福建龍巖·八年級校考期中）在平面直角坐標系xOy中，點，，若點C在x軸上，且為等腰三角形，則滿足條件的點C的個數為（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】D【分析】分為、，三種情況畫圖判斷即可．【詳解】解：如圖所示：當時，符合條件的點有2個；當時，符合條件的點有1個；當，即當點C在的垂直平分線上時，符合條件的點有一個．符合條件的點C有4個．故選：D．【點睛】本題考查了等腰三角形的定義，線段垂直平分線的性質，熟練掌握線段垂直平分線的性質是解題的關鍵．2．（2022·山東青島·統考二模）在平面直角坐標系中，為坐標原點，點的坐標為，若為軸上一點，且使得為等腰三角形，則滿足條件的點有（

）A．2個 B．3個 C．4個 D．5個【答案】A【分析】分別以O、A為圓心，以OA長為半徑作圓，與x軸交點即為所求點M，再作線段OA的垂直平分線，與坐標軸的交點也是所求的點M，作出圖形，利用數形結合求解即可．【詳解】解：如圖，滿足條件的點M的個數為2．故選A．【點睛】本題考查了坐標與圖形的性質及等腰三角形的判定；對于底和腰不等的等腰三角形，若條件中沒有明確哪邊是底哪邊是腰時，應在符合三角形三邊關系的前提下分類討論．3．（2022·安徽淮北·九年級階段練習）如圖，在中，，，．若點P為直線BC上一點，且為等腰三角形，則符合條件的點P有（

）．A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】D【分析】根據勾股定理求出AB，分為三種情況：①AB＝AP，②AB＝BP，③AP＝BP，得出即可．【詳解】解：在△ABC中，∠B=90°，BC＝8，AC＝6，由勾股定理的：，如圖，以點A為圓心，以10為半徑畫圓，交直線BC于兩點，即點B和點P1；以點B為圓心，以10為半徑畫圓，交直線BC于兩點，即點P2和P3；作線段AB的垂直平分線交直線BC與一點，即點P4；即共4個點，故選：D【點睛】本題考查了等腰三角形的判定和勾股定理的應用，關鍵要用分類討論的思想．4．（2022·四川廣元·八年級期末）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠CAB=36°，以C為原點，C所在直線為y軸，BC所在直線為x軸建立平面直角坐標系，在坐標軸上取一點M使△MAB為等腰三角形，符合條件的M點有（

）A．6個B．7個C．8個D．9個【答案】C【分析】根據等腰三角形的判定，“在同一三角形中，有兩條邊相等的三角形是等腰三角形（簡稱：在同一三角形中，等邊對等角）”分三種情況解答即可．【詳解】解：如圖，①以A為圓心，AB為半徑畫圓，交直線AC有二點M1，M2，交BC有一點M3，（此時AB＝AM）；②以B為圓心，BA為半徑畫圓，交直線BC有二點M5，M4，交AC有一點M6（此時BM＝BA）．③AB的垂直平分線交AC一點M7（MA＝MB），交直線BC于點M8；∴符合條件的點有8個．故選：C．【點睛】本題考查了等腰三角形的判定；構造等腰三角形時本著截取相同的線段就能作出等腰三角形來，思考要全面，做到不重不漏．5．（2023·四川涼山·八年級校考期中）等腰三角形一腰上的高與另一腰的夾角是，則底角是．【答案】或【分析】等腰三角形的高相對于三角形有三種位置關系：三角形的內部、三角形的邊上、三角形的外部，根據條件可知第二種高在三角形的邊上這種情況不成立，因而應分兩種情況進行討論即可得解．【詳解】解：①當高在三角形內部時，如圖：∵，∴，∵，∴，∴；②當高在三角形外部時，如圖：∵，∴，∵，∴，∴．∴綜上所述，底角是或．故答案是：或．【點睛】本題主要考查了與三角形的高有關的計算、直角三角形兩銳角互余、三角形外角的性質三角形的分類以及等腰三角形的性質，熟記三角形的高相對于三角形的三種位置關系是解題的關鍵．6．（2023春·四川達州·八年級校考階段練習）我們規定：等腰三角形的頂角與一個底角度數的比值叫作等腰三角形的“特征值”，記作k．若，則該等腰三角形的頂角為度．【答案】90【分析】根據等腰三角形的性質和三角形的內角和即可得到結論．【詳解】解：∵，∴設頂角，則底角，∴，∴，∴該等腰三角形的頂角為，故答案為：90．【點睛】本題考查了等腰三角形的性質，掌握等腰三角形的兩底角相等是解題的關鍵．7．（2022·河南平頂山·八年級期末）如圖，中，，，的平分線與線段交于點，且有，點是線段上的動點（與A、不重合），連接，當是等腰三角形時，則的長為___________．【答案】4或【分析】現根據已知條件得出，再根據BC=6，分別求出AB、AC、BD、AD、CD的長，然后分類討論即可．【詳解】解：∵ABC中BD平分ABC，∴CBD=ABD，∵BD=AD，∴ABD=BAD，∴CBD=ABD=BAD，∵ACB=90°，∴CBD+ABD+BAD=90°，∴CBD=ABD=BAD=30°,∵BC=6，∴AB=2BC=12，AC=，∵，且BC=6，∴BD=2CD，∵BD2=CD2+BC2，即(2CD)2=CD2+62，∴CD=，BD==AD；（1）當BE=BD=時，如圖：（2）當BE=DE，如圖：∵BE=DE，∴EDB=ABD=30°，∴AED=EDB+ABD=60°，∴ADE=180°-AED-A=180°-60°-30°=90°，∴ADE為直角三角形，又∵且AD=，∴DE=4，∴BE=4；（3）當BD=DE，時，點E與A重合，不符合題意；綜上所述，BE為4或．故答案為：4或．【點睛】本題考查了等腰三角形的性質，直角三角形的性質和判定，勾股定理的應用，30°直角三角形的性質的應用，按三種不同的情況進行討論是解題的關鍵．8．（2023·上虞市初二月考）在如圖所示的三角形中，∠A＝30°，點P和點Q分別是邊AC和BC上的兩個動點，分別連接BP和PQ，把△ABC分割成三個三角形△ABP，△BPQ，△PQC，若分割成的這三個三角形都是等腰三角形，則∠C有可能的值有________個．【答案】7【分析】①當AB=AP，BQ=PQ，CP=CQ時；②當AB=AP，BP=BQ，PQ=QC時；③當APB，PB=BQ，PQ=CQ時；④AP=PB，PB=PQ，PQ=QC時；根據等腰三角形的性質和三角形的內角和即可得到結論．【解析】解：如圖所示，共有9種情況，∠C的度數有7個，分別為80°，40°，35°，20°，25°，100°，50°．①當AB=AP，BQ=PQ，CP=CQ時；②當AB=AP，BP=BQ，PQ=QC時，③當AP=AB，PQ=CQ，PB=PQ時．④當AP=AB，PQ=PC，BQ=PQ時，⑤當AP=BP，CP=CQ，QB=PQ時，⑥當AP=PB，PB=BQ，PQ=CQ時；⑦AP=PB，PB=PQ，PQ=QC時．⑧AP=PB，QB=PQ，PQ=CC時．⑨BP=AB，PQ=BQ，PQ=PC時．【點睛】本題考查了等腰三角形的性質，熟練掌握等腰三角形的性質是解題的關鍵．9．（2022·河南·鄭州八年級階段練習）如圖，已知等腰△ABC中，ABAC5，BC8，E是BC上的一個動點，將△ABE沿著AE折疊到△ADE處，再將邊AC折疊到與AD重合，折痕為AF，當△DEF是等腰三角形時，BE的長是___________．【答案】或或．【分析】分三種情況討論：DE=DF，DE=EF，EF=DF．利用等腰三角形的性質和全等三角形解題．【詳解】解：由折疊可知，BE=DE，DF=CF，AD=AB=AC=5，當DE=DF時，如圖1，此時DE=DF=BE=CF，∵AB=AC，∴∠B=∠C，在△ABE和△ACF中，∴△ABE≌△ACF，∴AE=AF，∴AD垂直平分EF，∴EH=FH，，∴，∴，設，則，則在直角△DHE中，，解得，當DE=EF時，如圖2，作AH⊥BC于H，連接BD，延長AE交BD于N，可知BE=DE=EF，∵AH⊥BC，AB=AC，BC=8∴BH=CH=4，∴，設，則，∴，即∵AB=AD，∠BAN=∠DAN，∴AN⊥BD，BN=DN，∴，∴在△AHE和△BNE中，∴△AHE≌△BNE，∴AE=BE，設，則，在直角△AEH中，，解得，當DF=EF時，如圖3，過A作AH⊥BC于H，延長AF交DC于M，同理∴故答案為：或或．【點睛】本題考查折疊問題，全等三角形的判定和性質，等腰三角形的性質，注意分類討論是解題的關鍵．10．（2022·河南南陽·二模）如圖，在的紙片中，，，．點在邊上，以為折痕將折疊得到，與邊交于點．若為直角三角形，則的長是_______．【答案】7或【分析】由勾股定理可以求出BC的長，由折疊可知對應邊相等，對應角相等，當△DEB′為直角三角形時，可以分為兩種情況進行考慮，分別利用勾股定理可求出BD的長．【詳解】解：在中，，（1）當時，如圖1，過點作，交的延長線于點，由折疊得：，，設，則，，在中，由勾股定理得：，即：，解得：（舍去），，因此，．（2）當時，如圖2，此時點與點重合，由折疊得：，則，設，則，，在△中，由勾股定理得：，解得：，因此．故答案為：7或．【點睛】本題考查了軸對稱的性質、直角三角形的性質、勾股定理等知識，分類討論思想的應用注意分類的原則是不遺漏、不重復．11．（2022·江西萍鄉·二模）如圖，在△ABC中，AB＝BC＝2，AO＝BO，P是射線CO上的一個動點，∠AOC＝60°，則當△PAB為直角三角形時，AP的長為____．【答案】或或1【分析】利用分類討論，當∠ABP=90°時，如圖2，由對頂角的性質可得∠AOC=∠BOP=60°，易得∠BPO=30°，易得BP的長，利用勾股定理可得AP的長；當∠APB=90°時，分兩種情況討論，情況一：如圖1，利用直角三角形斜邊的中線等于斜邊的一半得出PO=BO，易得△BOP為等邊三角形，利用勾股定理可得AP的長；情況二：如圖3，利用直角三角形斜邊的中線等于斜邊的一半可得結論．【詳解】當∠ABP=90°時（如圖2），∵∠AOC=∠BOP=60°，∴∠BPO=30°，∴OP=2OB=2，∴BP=，在直角三角形ABP中，AP=；當∠APB=90°時，分兩種情況，情況一，（如圖1），∵AO=BO，∴PO=BO，∵∠AOC=60°，∴∠BOP=60°，∴△BOP為等邊三角形，∴BP=OB=1，∵AB=BC=2，∴AP=；情況二，如圖3，∵AO=BO，∠APB=90°，∴PO=AO，∵∠AOC=60°，∴△AOP為等邊三角形，∴AP=AO=1，故答案為：或或1．．【點睛】本題主要考查了勾股定理，等邊三角形的判定及性質，含30°直角三角形的性質和直角三角形斜邊的中線，分類討論，數形結合是解答此題的關鍵．12．（2023春·江西鷹潭·八年級校考階段練習）如圖，在中，已知，，．，在直線上．現將在直線上進行平移，當為直角三角形時，的長為．【答案】或或【分析】先進行分類討論，通過平移的性質可知，，最后通過所對直角邊是斜邊的一半和等邊三角形答性質即可求解．【詳解】∵，，，∴，，如圖，當在的左側，且時，

∵為直角三角形，∴，∴，∴，∴；如圖，當在線段上，且時，即為直角三角形，∴，∴；如圖，當在線段上，且時，

即為直角三角形，∴，∵，∴，∴為等邊三角形，∴，故答案為：或或．【點睛】此題考查平移和特殊三角形的性質，解題關鍵是熟練掌握平移的性質和等邊三角形的性質和判定．13．（2022秋·四川成都·八年級校考期中）如圖，四邊形是一張長方形紙片，將其放在平面直角坐標系中，使得點與坐標原點重合，點、分別在軸、軸的正半軸上，點的坐標為，的坐標為，現將紙片沿過點的直線折疊，使頂點落在線段上的點處，折痕與軸的交點記為．(1)求點的坐標和的大小；(2)在軸正半軸上是否存在點，滿足，若存在，求出點坐標，若不存在請說明理由；(3)點在直線上，且為等腰三角形，請直接寫出點的坐標．【答案】(1)，；(2)；(3)，，，．【分析】（1）先求解，，可得，，從而可得，如圖，取的中點,連接,而，再證明為等邊三角形，可得答案；（2）先證明，,可得,求解，可得為，過作交x軸于Q，設，可得.，從而可得答案；（3）由為，設，而,可得,再分三種情況討論即可.【詳解】（1）解：∵點的坐標為，的坐標為，∴，，∴，，∴，如圖，取的中點,連接,而，∴，∴為等邊三角形，∴.（2）解：∵折疊，，∴，，∴，,∴,∴，設為，∴，解得：，∴為，過作交x軸于Q，設，代入，∴，解得：，得.令，則∴（3）解：∵為，設，而，∴，當時，，解得：，∴，當時，∴，解得：，（舍去），∴，當時，∴，解得：，∴或，綜上：，，，．【點睛】本題考查的是坐標與圖形，直角三角形斜邊上的中線的性質，軸對稱的性質，利用待定系數法求解一次函數的解析式，一次函數的性質，含的直角三角形的性質，二次根式的混合運算，勾股定理的應用，利用因式分解的方法解一元二次方程，本題的綜合程度高，難度較大，對學生的計算能力要求高.14．（2023秋·浙江杭州·八年級校聯考期末）如圖，在平面直角坐標系中，O是坐標原點，長方形的頂點A、B分別在x軸與y軸上，已知，，點D為y軸上一點，其坐標為，點P從點A出發以每秒1個單位的速度沿線段的方向運動，當點P與點B重合時停止運動．(1)當點P與點C重合時，求直線的函數解析式；(2)設運動時間為t秒．當點P在運動過程中，①求的面積S關于t的函數解析式；②是否存在等腰三角形？若存在，請求出點P的坐標；若不存在，請說明理由．【答案】(1)(2)①；②存在等腰三角形，點P的坐標為或或．【分析】（1）求出，用待定系數法可得直線的函數解析式為；（2）①當，即在上時，；當，即在上時，；②，，知在上時，不可能是等腰三角形，當在上時，，，，分三種情況：若時，，當時，，當時，，分別解方程可得答案．【詳解】（1）解：，，四邊形是長方形，，當點與點重合時，設直線的函數解析式為，把，代入得：，解得，直線的函數解析式為；（2）解：①當，即在上時，如圖：；當，即在上時，如圖：，；②存在等腰三角形，理由如下：如圖：，，，在上時，不可能是等腰三角形，當在上時，，，，若時，，解得（舍去）或，；當時，，解得或（舍去），；當時，，解得，；綜上所述，點的坐標為或或．【點睛】本題考查一次函數的應用，涉及待定系數法，三角形面積，等腰三角形等知識，解題的關鍵是分類討論思想的應用．15．（2022春·四川成都·八年級校考階段練習）如圖，平面直角坐標系中，直線交軸于點，交軸于點，點是線段上一動點（不與點重合），過點作于點．(1)當點是中點時，求的面積；(2)連接，若平分，求此時點的坐標；(3)平分，在軸上有一動點，橫坐標為，過點作直線軸，與線段有交點，求的取值范圍；(4)平分，為軸上動點，為等腰三角形，求坐標．【答案】(1)(2)(3)(4)點的坐標為或或或【分析】（1）連接，先求出點，點，可得，，由勾股定理可求的長，由面積法可求的長，由勾股定理可求的長，即可求解；（2）由“”可證≌，可得，，由勾股定理可求的值，即可求點坐標；（3）由得，若平分，P（，0），由面積法可的長，由勾股定理可求的長，即可得的取值范圍；（4）分、、三種情況，利用勾股定理列出方程，分別求解即可．【詳解】（1）解：如圖，連接，直線交軸于點，交軸于點，點，點，，，，點是中點，，，，，；（2）如圖，連接，平分，，又，，≌，，，，，，，；（3）過點作軸于點．由得，＝，，－＝，∴,＝，＝，的取值范圍；（4）設點，過點作軸于點，則，同理可得：，，當時，即，解得或舍去；當時，同理可得；當時，同理可得或，故點的坐標為或或或．【點睛】本題是一次函數綜合題，考查了待定系數法求解析式，全等三角形的判定和性質，等腰三角形的性質，勾股定理等知識，利用分類討論思想解決問題是本題的關鍵．16．（2023春·吉林長春·八年級校考階段練習）如圖，在的正方形網格中，每個小正方形的邊長為1個單位長度，存在線段，端點A，B均落在格點上，構建如圖所示平面直角坐標系．(1)直接寫出點A，B的坐標：A（______，______），

B（______，______）；(2)請在網格中找到點C，連接，，使為等腰直角三角形，此時點C的坐標為______；(3)如圖所示，網格中（包括網格的邊界）存在點P，點P的橫縱坐標均為整數，連接，，得到銳角，且為等腰三角形，則滿足條件的點P有_____個．【答案】(1)0；1；1；(2)或或(3)4【分析】（1）根據圖中A、B點的位置，寫出點A、B的坐標即可；（2）根據題意畫出圖形，寫出點C的坐標即可；（3）畫出圖形找出符合條件的點P，得出答案即可．【詳解】（1）解：點A，B的坐標分別為：，；故答案為：0；1；1；．（2）解：當點B為直角頂點時，點C的坐標為；當點A為直角頂點時，點C的坐標為或；故答案為：或或．（3）解：如圖所示：滿足條件的點P有4個．故答案為：4．【點睛】本題主要考查了在網格中畫等腰三角形，坐標與圖形，解題的關鍵是熟練掌握等腰三角形的定義，數形結合．17．（2023秋·浙江金華·八年級校聯考階段練習）在平面直角坐標系中，點A的坐標為(-1，0)，點B是直線上的動點，連接AB，設點B的橫坐標為．(1)如圖1，當時，以AB為直角邊在AB下方作等腰直角三角形ABC，使，求點C的坐標．(2)如圖2，把線段AB繞點A順時針旋轉得到線段AD，當點B在直線上運動時，點D也隨之運動，連接OD，求AOD的面積（用含的代數式表示）．(3)在圖3中以AB為直角邊作等腰直角三角形ABE，當點E落在直線上時，求的值．【答案】(1)(2)(3)的值為或或?3或8或9【分析】（1）如圖1，過作一條平行與軸的直線，作于，于，證明，有，，進而可表示的坐標；（2）如圖2，過作一條平行與軸的直線，作于，于，連接，可證，進而可得點坐標，表示出面積即可；（3）①當時，，如圖①，根據三角形全等可得，點坐標，將坐標代入中，計算求解即可；當時，，如圖②，當時，，如圖③，求解方法同①．【詳解】（1）解：∵∴如圖1，過作一條平行與軸的直線，作于，于，∴∴，∵,,∴在和中∵∴∴，∴．（2）解：如圖2，過作一條平行與軸的直線，作于，于，連接，∴，∴，同（1）可知∴，∴∴當時，；當時，；∴．（3）解：①當時，，如圖①，由（2）可知，將點、分別代入得和解得和；②當時，，如圖②，由（2）可知，將點、分別代入得和解得和；③當時，，如圖③，由（2）可知，將點、分別代入得和解得和綜上所述，的值為或或或或．【點睛】本題考查了一次函數與幾何綜合，旋轉的性質，等腰直角三角形的性質，三角形全等的判定與性質．解題的關鍵在于分情況求解．18．（2023秋·四川成都·八年級校考期末）如圖，在平面直角坐標系內，點O為坐標原點，經過A(-2，6)的直線交x軸正半軸于點B，交y軸于點C，OB=OC，直線AD交x軸負半軸于點D，若△ABD的面積為27．（1）求直線AD的解析式；（2）橫坐標為m的點P在AB上（不與點A，B重合），過點P作x軸的平行線交AD于點E，設PE的長為y（y≠0），求y與m之間的函數關系式并直接寫出相應的m的取值范圍；（3）在（2）的條件下，在x軸上是否存在點F，使△PEF為等腰直角三角形？若存在求出點F的坐標，若不存在，請說明理由．【答案】（1）y=2x+10；（2）y=m+3（-2＜m＜4）；（3）存在，點F的坐標為(，0)或(-，0)或(-，0)【分析】（1）根據直線AB交x軸正半軸于點B，交y軸于點C，OB=OC，設出解析式為y=-x+n，把A的坐標代入求得n的值，從而求得B的坐標，再根據三角形的面積建立方程求出BD的值，求出OD的值，從而求出D點的坐標，直接根據待定系數法求出AD的解析式；（2）先根據B、A的坐標求出直線AB的解析式，將P點的橫坐標代入直線AB的解析式，求出P的總坐標，將P點的總坐標代入直線AD的解析式就可以求出E的橫坐標，根據線段的和差關系就可以求出結論；（3）要使△PEF為等腰直角三角形，分三種情況分別以點P、E、F為直角頂點，根據等腰直角三角形的性質求出（2）中m的值，就可以求出F點的坐標．【詳解】（1）∵OB=OC，∴設直線AB的解析式為y=-x+n，∵直線AB經過A（-2，6），∴2+n=6，∴n=4，∴直線AB的解析式為y=-x+4，∴B（4，0），∴OB=4，∵△ABD的面積為27，A（-2，6），∴S△ABD=×BD×6=27，∴BD=9，∴OD=5，∴D（-5，0），設直線AD的解析式為y=ax+b，∴，解得．∴直線AD的解析式為y=2x+10；（2）∵點P在AB上，且橫坐標為m，∴P（m，-m+4），∵PE∥x軸，∴E的縱坐標為-m+4，代入y=2x+10得，-m+4=2x+10，解得x=，∴E（，-m+4），∴PE的長y=m-=m+3；即y=m+3，（-2＜m＜4），（3）在x軸上存在點F，使△PEF為等腰直角三角形，①當∠FPE=90°時，如圖①，有PF=PE，PF=-m+4PE=m+3，∴-m+4=m+3，解得m=，此時F（，0）；②當∠PEF=90°時，如圖②，