2.1基本環節的數學模型描述線性系統的輸入-輸出微分方程的建立例1質量—彈簧—阻尼系統

MF(t)kDx(t)M

i1(t)C

i2(t)

i(t)ui(t)u0(t)

R1

R2例2無源電路網絡

輸入為ui(t)，輸出為u0(t)利用電工學的有關知識有：(1)整理后有：

聯立上面四式得:2.1基本環節的數學模型輸入：電壓ei；輸出：電機轉角

0(1)(3)對電機：按照電磁感應定律，反電勢為：(2)電機力矩與電樞電流ia和勵磁電流if成正比，而if為常數，則：例3．電樞控制式直流電動機（P19-20圖2-5）分析：該系統可分為兩部分，一是ei

T，二是T

0J—系統變位后的轉動后的轉動慣量；f—系統黏性阻尼；T—電機轉矩。其它參數如圖所示。2.1基本環節的數學模型將（3）代入（4）后有：

若La較小，忽略其影響可降為二階微分方程La、Ra都較小，忽略其影響，則變為一階微分方程:這與我們平時所使用的直流電機的調速特性完全一致，即轉速與電壓成正比（4）

（5）對轉動部分:將（2）和（5）代入（1）有:整理得：2.1基本環節的數學模型線性、定常系統微分方程的一般形式：通過以上的例子，同學們對所講的建立微分方程的步驟已有所理解，特別是第三個例子：在劃分環節、簡化方面均有所體現，對于復雜的系統，微分方程的階次還會更高。2.1基本環節的數學模型泰勒級數：

yyxx0

xx單變量：多變量：例如二元函數2.2數學模型的線性化增量方程：描述小偏差時的動態方程。對一元函數，若（x-x0）較小時，則：

對多元函數，利用偏導數可得其增量方程，以二元函數為例：以增量表示為：小偏差理論：研究系統在正常工作狀態附近的“行為”理論。非線性系統定義：在一個自動控制系統中包含一個或一個以上具有非線性特性的元、部件，則該系統稱為非線性系統。

2.2數學模型的線性化采用此方法的前提是非線性因素對系統的動態特性影響很小。例如應變測量中，輸出U0與輸入

R1/R

的關系為：二、用增量方程實現線性化當

很小時，

sin

例如：線性化方法:一、忽略非線性因素2.2數學模型的線性化4)線性化只適用于沒有間斷點、折斷點的單值函數。1)線性化是針對某一額定工作點的；2)為使線性化有足夠的精度，變量偏離工作點的偏差應近可能小；3)線性化后的方程是用增量方程表述的，同時初始條件為零。注意點：2.2數學模型的線性化小結

建立實際系統微分方程的一般步驟：

1．簡化系統

1)忽略次要因素或數值上較小的因素，如大流量管路中的泄漏、導線電阻、滾動摩擦等。

2)分布參量集中化：如線路的導線電阻、機械系統的連續桿件質量等。

3)非線性系統的簡化(泰勒級數法)。

4)時變參量定常化：如粘性阻尼隨溫度變化，摩擦系數、導線電阻隨溫度變化、在溫度變化不大時均可考慮為常數。

2．將簡化后的系統化成若干環節分別考慮，其聯系是各環節的輸入輸出。

3．利用基礎知識寫出各環節的微分方程。

4．消去中間變量得到系統微分方程。2.2數學模型的線性化

拉氏變換定義

,則定義X(s)為x(t)的拉氏變換1.當t<0時，x(t)=0；當t>0時，x(t)在每個有限區間上是分段連續的。如果有一函數x(t),滿足下列條件：式中：s為復變數，x(t)為原函數，X(s)為象函數2.

2.3拉氏變換及反變換

例

則x(t)的拉氏變換為：2.3拉氏變換及反變換令：

簡單函數的拉氏變換

1.單位階躍函數：x(t)=1，X(s)=1/s2.指數函數：x(t)=eat，X(s)=1/(s-a)3.正弦函數：x(t)=sin(

t)，X(s)=

/(s2+

2)x(t)=cos(

t)，X(s)=s/(s2+

2)4.冪函數：x(t)=tn，X(s)=n！/sn+12.3拉氏變換及反變換

拉氏變換性質1．疊加原理：2.3拉氏變換及反變換2.3拉氏變換及反變換2．微分定理：2.3拉氏變換及反變換3．積分定理：2.3拉氏變換及反變換5．延時定理：

6．初值、終值定理：4．衰減定理：2.3拉氏變換及反變換7．tf(t)的象函數：利用拉氏變換表（見附錄A）求，注意有理分式分解（P31~35）

拉氏反變換例1：求

解：的拉氏反變換2.3拉氏變換及反變換例2：求

解：的拉氏反變換2.3拉氏變換及反變換兩邊同乘令有或步驟：1.對微分方程進行拉氏變換2.分解因式，然后進行拉氏反變換。用拉氏變換解常系數線性微分方程例：解方程

解：1.對微分方程進行拉氏變換其中：上式中代入2.拉氏反變換2.3拉氏變換及反變換

傳遞函數：（零初始狀態下的拉普拉斯變換）

1．定義：在初始條件為零時，輸出量與輸入量的拉氏變換之比。用G(s)表示；若輸入輸出為：

2.一般形式：對于一般的線性定常系統，在初始條件為零時，其系統微分方程、拉氏變換和傳遞函數如下所示：

則：2.4傳遞函數及典型環節的傳遞函數

傳遞函數的性質：

1．傳遞函數反映了系統的輸入、輸出和系統三者之間的關系，因此它是系統在復數域內的的一種數學模型。2．傳遞函數的分母為特征方程式。3．傳遞函數是復變數s的有理多項式。4．物理性質不同的系統或元件，可以用相同的傳遞函數描述——相似原理:有相同的數學模型，有相同的運動形態5．輸入、輸出選定后，傳遞函數不隨輸入輸出的大小而變化。2.4傳遞函數及典型環節的傳遞函數i1由電工學的知識得：1．比例環節：輸入輸出成比例。R1i2（k為常數）

例l運算放大器如圖所示:R2

ui(t)

u0(t)

Av(t)

Q(t)

例2液壓缸如圖所示:

還有許多其它方面的比例環節，如齒輪傳動(n2/n1=Z1/Z2)、帶和鏈傳動等。以上例題說明了不同的物理系統具有相同的數學模型。

流量Q為輸入，活塞速度v為輸出，油缸面積為A。由液壓傳動的連續方程知：K

0+特點：輸出按一定比例復現輸入。2.4傳遞函數及典型環節的傳遞函數i由電工學的知識得：2．慣性環節：輸入輸出函數關系為一階微分方程。R例lR---C電路如圖所示:

ui(t)

u0(t)

C

（T為常數）

進行拉氏變換。消去中間變量I(s)得：若RC很小，則G(s)＝12.4傳遞函數及典型環節的傳遞函數例2一轉動系統如圖所示:J為轉動慣量、f為阻尼系數、M為輸入轉動力矩、

為輸出角速度。

M

fJ

特點：1)具有儲能元件(電容或轉子)；

2)輸出經延時后才復現輸入（慣性效應）若x(t)=1，y(t)=1-e-t/T若J/f很小，G(s)＝l/f。以上例題再一次說明了不同物理系統具有相同的傳遞函數，在一定的條件下高階系統可以轉換為低階系統。由動力學知識可得:2.4傳遞函數及典型環節的傳遞函數3．微分環節：輸出變量正比于輸入變量的微分。1）理想微分環節：G(s)＝ks（k為常數）

rQx

（k=1/r）

特點：理想微分環節不能單獨存在，需與其它環節同時存在。？例l齒輪—齒條傳動如圖所示:

例2液壓缸如圖所示:x輸入為齒條位移x(t)，輸出為齒輪角速度

(t)

輸入為活塞位移x，活塞面積為A，輸出為流量Q。由液壓傳動可得:2.4傳遞函數及典型環節的傳遞函數2）近似微分環節：

（T為常數）

i例l無源微分網絡如圖所示:

ui(t)

u0(t)

C進行拉氏變換。消去中間變量I(s)得：Rf例2阻尼油缸如圖所示:x(t)—缸體位移；y(t)—活塞的位移；f—阻尼器的阻尼系數。

xky以活塞作為隔離體，可得：則：2.4傳遞函數及典型環節的傳遞函數4．積分環節：輸出變量正比于輸入變量的積分。（k為常數）

rx例l齒輪—齒條傳動如圖所示:

例2運算放大器如圖所示:輸入為齒條角速度

(t)

，輸出為齒輪位移x(t)i1A—虛地點Ri2C

ui(t)

u0(t)

A+由電工學的知識得：K02.4傳遞函數及典型環節的傳遞函數例彈簧——阻尼——質量系統如圖所示:kM(t)

(t)fJ由動力學知識可得:5．二階振蕩環節：輸入輸出為二階微分方程。輸入為轉矩kM(t)，輸出為角位移

(t)

，考慮軸的扭振剛度k

令，便可化為標準式。特點：1)0

＜l時，輸出具有振蕩性；

2)＞l時，可化為兩個慣性環節串聯。2.4傳遞函數及典型環節的傳遞函數6．滯后環節：輸出和輸入差一個時間常數

。

特點：滯后環節的輸出要滯后一段時間才能復現輸入；或說輸出是輸入的延遲如：傳送帶、間隙等當τ很小時2.4傳遞函數及典型環節的傳遞函數

方框圖單元

箭頭表示信號以及指示信號流動方向信號名寫在箭頭旁邊（或上方）方框表示系統或環節其傳遞函數寫在框內運算方法：X2(s)=G(s)*X1(s)G(s)

X1(s)X2(s)X(s)G(s)

2.5系統方框圖及其簡化X1(s)——輸入；X2(s)——輸出.

方框圖變換（運算）

串聯G(s)=G1(s)*G2(s)X3(s)=G2(s)*X2(s)=G2(s)*G1(s)*X1(s)G1(s)

X1(s)X2(s)G2(s)

X3(s)G1(s)*

G2(s)

X1(s)X3(s)1）兩環節串聯2）n個環節串聯G1(s)

X1(s)X2(s)G2(s)

X3(s)Xn-1(s)Gn(s)

Xn(s)G1(s)*G2(s)

**

Gn-1(s)*Gn(s)

X1(s)X3(s)P40(法4)2.5系統方框圖及其簡化.G(s)=G1(s)+G2(s)

并聯反饋整理得:請注意這里的符號！

G1(s)

X1(s)G2(s)

X2(s)1）兩環節并聯2）n個環節串聯G1(s)Xi(s)X0(s)H(s)

P41

(法則6)P40(法5)

幾個概念

1)前向通路（道）：輸入到輸出。通路上傳遞函數G1(s)2)反饋通路（道)：輸出到反饋信號。傳遞函數為H(s)3)反饋回路：前向通道和反饋通道組成。G1(s)H(s)

2.5系統方框圖及其簡化例：求如圖所示系統的傳遞函數

R(s)Y(s)+-G1(s)G2(s)G3(s)G4(s)H(s)++2.5系統方框圖及其簡化解：1.利用串聯法則R(s)Y(s)+-G1(s)G2(s)G3(s)G4(s)H(s)++R(s)Y(s)+-G1(s)H(s)2.5系統方框圖及其簡化2.利用并聯法則3.利用串聯法則G2(s)G3(s)+G4(s)R(s)Y(s)+-H(s)G1(s)[G2(s)G3(s)+G4(s)]2.5系統方框圖及其簡化4.利用反饋法則R(s)Y(s)G1(s)[G2(s)G3(s)+G4(s)]

1+G1(s)[G2(s)G3(s)+G4(s)]H(s)5.系統的傳遞函數

方框圖簡化2.結合律1)簡化前后各前向通道的傳遞函數乘積不變；2)簡化前后各反饋回路的傳遞函數的乘積不變。

相加點的變位P42表2-11．交換律

簡化原則AA-BA-B+CBC+-++AA+CA-B+CBC+++-AA-B+CBC++-AA-BA-B+CBC+++-2.5系統方框圖及其簡化引出點的移動

相加點的移動GA前移后移AGAGGAAGAGGGAAGAGAAGA1/GAAGAG-BB+-前移后移GAAG-BB+-G1/GAAGAG-BGB+-GAAG-BGB+-GBGP45表2-1(法則6、7)P45表2-1(法則8、9)2.5系統方框圖及其簡化A-BG

方框圖簡化舉例分析：由于G5、G6回路出現交叉，使得問題復雜。法1是將G5的分支點（A點）后移（B點）

，在支路上串入l/G4即可，如圖所示。+-G1(s)G2(s)G3(s)G4(s)G7(s)G6(s)G5(s)Xi(s)X0(s)例：求如圖所示系統的傳遞函數。(P42例2-19)+-+-2.5系統方框圖及其簡化ABCDA+-G1(s)G2(s)G3(s)G4(s)G7(s)G6(s)G5(s)Xi(s)X0(s)+-+-1/G4(s)利用反饋計算方法先消去G6回路，然后在消去G5回路，最后消去G7回路，得到與書中一樣的結淪。2.5系統方框圖及其簡化BCD法2是將G6支路的相加點（C點）前移（D點）

，在該支路上串入l/G2，然后利用相加點的交換律可簡化為圖示的方框圖。A+-G1(s)G2(s)G3(s)G4(s)G7(s)G6(s)G5(s)Xi(s)X0(s)+-+-1/G2(s)利用反饋計算方法先消去G5回路，然后在消去G6回路，最后消去G7回路，得到與書中一樣的結淪。2.5系統方框圖及其簡化BCD

一、信號流圖的基本概念1．節點：用來表示變量或信號的點，如輸入節點、輸出節點、混合節點（引出點及相加點）。2．支路：定向線段，箭頭表明信號流向，標明有傳遞函數。3．前向通道

：輸入到輸出通過任何節點不多于一次的通路。4．回路：起點與終點重合且與任何節點相交不多于一次的通路。傳遞函數傳遞函數傳遞函數傳遞函數傳遞函數2.6系統信號流圖及梅遜公式傳遞函數傳遞函數傳遞函數每一個回路中所有傳遞函數乘積之和（含符號）每兩個互不接觸回路中所有傳遞函數乘積之和（含符號）二、梅遜公式的應用梅遜公式從上面的計算式中可以看出：、Pk計算簡單，關鍵是k，若只有一條前向通路，k＝1式中：P—系統傳遞函數；Pk—第k條前向通道的傳遞函數之積；

k—去掉與第k條前向通路相接觸的回路的傳遞函數之積所余下的

。

—信號流圖的特征式；每三個互不接觸回路中所有傳遞函數乘積之和（含符號）2.6系統信號流圖及梅遜公式沒有不接觸回路時的梅遜公式（特殊用法）系統總傳遞函數=∑前向通道傳遞函數之積1-∑回路傳遞函數之積+-G1(s)G2(s)G3(s)G4(s)G7(s)G6(s)G5(s)Xi(s)X0(s)+-+-P46例2-19前向通道(一條)：

3個回路具有的公共傳遞函數：

2.6系統信號流圖及梅遜公式回路3個(互有接觸)：

二、梅遜公式的應用示例例1：利用梅遜公式求如圖所示系統的傳遞函數

1/Cs1/R1/Cs1/R1/Cs1/R

①③②⑤④①③②⑤④-1-1-1-1-111/R1/Cs11/R1/Cs11/R1/Cs1R(s)Y(s)R(s)Y(s)系統的信號流圖為：

2.6系統信號流圖及梅遜公式兩個互不接觸回路（6個）：①②、①③、③④、①⑤、②③、④⑤

三個互不接觸回路（1個）：

①②③，則每對傳遞函數之積為：則

所以：則系統傳遞函數為：解：前向通道（1條）：

反饋回路（5個）：每個均為

則2.6系統信號流圖及梅遜公式例2：利用梅遜公式求如圖所示系統的傳遞函數

-H111G11G21R(s)Y(s)+-G1(s)G2(s)G3(s)G4(s)H3(s)H2(s)+-+-H1(s)++G3G4R(s)Y(s)-H3-H21系統的信號流圖為：

2.6系統信號流圖及梅遜公式①③②①③②

該系統有二個前向通路，其傳遞函數分別為：

P1=G1G2G3；P2=G1G45個反饋回路均與兩條前向通道接觸，故：

則：有5個反饋回路，其傳遞函數分別為：L1=?G1G2H1；L2=?G2G3H2；

L3=?G1G2G3H3；L4=?G1G4H3；

L5=?G4H25個反饋回路都相互接觸，即沒有互不接觸的反饋回路，則：由梅遜公式求得系統的傳遞函數為：2.6系統信號流圖及梅遜公式例3：利用梅遜公式求如圖所示系統的傳遞函數(P48例2-21）

-H1G1G2G3G4-H2系統的信號流圖為：

2.6系統信號流圖及梅遜公式Xi(s)X0(s)G5G7G6+G1G2G3G4H2+-+-H1++G6G7G5Xi(s)X0(s)

解∶該系統有三個前向通路，其傳遞函數分別為：

P1=G1G2G3G4G5；

；P2=G1G4G5G6；

P3=G1G2G7則：有4個反饋回路，其傳遞函數分別為：L1=?G4H1；L2=?G2G7H2；

L3=?G4G5G6H2；L4=?G2G3G4G5H2；有1個互不接觸的反饋回路，即：由梅遜公式求得系統的傳遞函數為：2.6系統信號流圖及梅遜公式例4：求如圖所示系統的傳遞函數

-H111G11G21Y0+-G1(s)G2(s)G3(s)G4(s)H2(s)+-+-H1(s)+-

G3G4-1-H21系統的信號流圖為：

-法1：利用梅遜公式，求圖所示系統的傳遞函數Xi(s)X0(s)Xi(s)X0(s)2.6系統信號流圖及梅遜公式

該系統有二個前向通路，其傳遞函數分別為：

P1=G1G2G4；P2=?

G1G3則：有4個反饋回路，其傳遞函數分別為：L1=?G2H1；L2=?G4H2

；

L3=?G1G2G4；L4=G1G3；有一對互不接觸的反饋回路，由梅遜公式求得系統的傳遞函數為：2.6系統信號流圖及梅遜公式法2：代數法解上述方程組，得整理得：2.6系統信號流圖及梅遜公式第二步、消去反饋回路①，另相加點（比較點）③前移法3：方框圖化簡法第一步：相加點（比較點）②前移

Y0+-G1(s)G2(s)G3(s)G4(s)H2(s)-+-H1(s)+-Xi(s)X0(s)①③④1/G2(s)+-G1G3(1+G2H1)/G2G4G2G4/(1+G2

H1)+--Xi(s)X0(s)③④1/G2

H2②②2.6系統信號流圖及梅遜公式第三步、消去并聯回路③和反饋回路②+-G1G2G4-(1+G2H1)/G2G4G2G4/(1+G2

H1+G2G4)Xi(s)X0(s)④第四步、利用串聯和單位反饋回路法得出系統傳遞函數2.6系統信號流圖及梅遜公式

常用數學模型質量—彈簧—阻尼系統

X(s)—位移象函數，F(s)—外力象函數，m—質量，K—彈性剛度，D—粘性阻尼系數2.7受控機械對象數學模型

參數選擇1.高諧振頻率1.機械傳動的各分系統的諧振頻率應遠高于機電系統的設計截止頻率；（滿足機電系統的高動態特性）2.各機械傳動分系統諧振頻率最好錯開；（防共振）3.機械傳動系統諧振頻率不能與控制裝置的脈沖頻率接近；（防噪聲及磨損）4.諧振角頻率計算：2.7受控機械對象數學模型2.高剛度剛度和系統的穩定性有關，在閉環系統中，低剛度不利于穩定性（反轉誤差、振蕩），高剛度好。

b.并聯時：2)同一軸的總剛度：a.串聯時：1)分系統的剛度f——諧振頻率Hz；k——總剛度；ki——各分部件剛度3)不同一軸的等效剛度（從低速軸折算到高速軸）：剛度的計算：2.7受控機械對象數學模型3.適當阻尼阻尼比ξ是二階振蕩環節一個重要參數，從受力(阻尼比增加，摩擦力增加）的角度看，阻尼比小些好；但從調整時間快慢（使機械振動和顫震現象能很快衰減）分析，阻尼比又不能太小。機械傳動分系統的阻尼比計算：機械傳動阻尼比的合理選擇范圍：2.7受控機械對象數學模型4.低轉動慣量從控制的快速性考慮，在驅動力矩一定時，轉動慣量越小，加速性能越好。例一轉動系統如圖所示:J為轉動慣量、f為阻尼系數、M為輸入轉動力矩、

為輸出角速度。

M

fJ如：則：由第三章可知，T越小，調整時間越短，快速性越好。T

，則J

2.7受控機械對象數學模型繪制方塊圖的步驟1．列出系統各環節的微分方程；2．設初始條件為零，求各環節的拉氏變換；3．分別畫出各環節的方塊圖;4．將相同的中間變量連接起來組成系統方塊圖。2.8繪制實際物理系統方框圖

作各環節方塊圖的目的1．簡化了微分方程的運算；2．消去中間變量方便3．容易連接起來組成系統方塊圖。2.8繪制實際物理系統方框圖示例l．具有彈性—阻尼的扭振軸系（P47例2-22）

2．無源濾波網絡（P50例2-23）

3．汽車抗震系統（P49Fig2-34）

M1k1Dx0(t)M2k2x2(t)xi(t)1）列出系統各環節的微分方程；2.8繪制實際物理系統方框圖2．設初始條件為零，求各環節的拉氏變換；3．分別畫出各環節的方塊圖FS+-k2+Xi(s)1/M2s2-k1+Ds+-FtX0(s)1/M1s2FtFSX2(s)X2(s)X2(s)X0(s)Ft2.8繪制實際物理系統方框圖FS+-k21/M2s2k1+Ds++--Xi(s)