專題24.13圓章末十大題型總結(jié)（培優(yōu)篇）

【人教版】

＞題型梳理

【題型1巧用圓的半徑相等】....................................................................1

【題型2由點(diǎn)與圓的位置關(guān)系求求范圍】..........................................................5

【題型3弧、弦、角、之間的關(guān)系】............................................................11

【題型4垂徑定理】...........................................................................16

【題型5圓周角定理】.........................................................................22

【題型6圓內(nèi)接四邊形】.......................................................................28

【題型7直線與圓的位置關(guān)系】................................................................34

【題型8切線長定理的運(yùn)用】...................................................................39

【題型9弧長的計(jì)算】........................................................................化

【題型10扇形面積的計(jì)算】.....................................................................49

〉舉一反三

【題型1巧用圓的半徑相等】

【方法點(diǎn)撥】解決此類問題的關(guān)鍵是連接半徑，抓住圓的半徑相等是關(guān)鍵.

【例1】（2023秋?廣東汕頭?九年級統(tǒng)考期末）如圖，AB是。。的弦，OD為。。半徑.OCJLAB,垂足為C,

ODWAB,OD=2OC,則2。08為（）度

A.60B.65C.70D.75

【答案】D

【分析】連接08,則08=。。，由。C14B,則NOBC=30。，再由0DIL48,即可求出答案.

【詳解】解：如圖：連接08,則08=0D,

V0C=：。。，

2

OC=-OB

2f

???OCLAB,

乙OBC=30°,

???OD\\AB,

???乙BOD=Z.OBC=30°,

???乙OBD=乙ODB=75°,

故選D.

【點(diǎn)睛】本題考查了圓，平行線的性質(zhì)，等腰三角形的有關(guān)知識；正確作出輔助線、利用圓的半徑相等是解

題的關(guān)鍵.

【變式1-1](2023秋?河北唐山?九年級統(tǒng)考期中)如圖，半圓。的直徑48=10,將半圓。繞點(diǎn)B順時(shí)針

旋轉(zhuǎn)45。得到半圓。'，與48交于點(diǎn)P,那么力P=()

A.2.5B.5C.10-5V2D.10V2-5

【答案】C

【分析】先根據(jù)題意判斷出AORB是等腰直角三角形，由勾股定理求出PB的長，進(jìn)而可得出4P的長.

【詳解】解：如下圖，連接O'P,

O'

B

由題意得：WBA'=45°,

???O'P=O'B,

:?乙O'PB=乙OBA，=45°,

.?.△O'PB是等腰直角三角形，

：.PB=y[2BO'=5vL

AP=AB-BP=10-5或,

故選：C.

【點(diǎn)睛】本題考查了圓的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，勾股定理，解題的關(guān)鍵是根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)

求出△O'PB是等腰直角三角形.

【變式1-2]（2023秋?河北唐山?九年級唐L市第十二中學(xué)校考期末）如圖，0。的直徑48與弦CO的延長線

交于點(diǎn)E,若DE=OB,/.AOC=84°,則4E等于（）

A.42°B.28°C.21°D.20°

【答案】B

【分析】連接。D,易得OD=BE,利用三角形外角的性質(zhì)得到iODC=2NE,LAOC=WDC+Z-E,進(jìn)行求

解即可；

【詳解】解：連接0D,則：OD=OB=OC,

：.Z.BAO=Z.DAO'.

在△48。和△/。。，中，

(AO=AO'

NB40=Z.DAO1，

(AB=AD

???△4B0三△ADO'(SAS),

：.DO'=BO=2,

，。0'+。'。>OD,

當(dāng)0、0'、。三點(diǎn)共線時(shí)，取“=”,

此時(shí)，0D的最大值為2&+2.

故答案為：2V2+2.

【點(diǎn)睛】本題考查了圓的基本性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，利用旋轉(zhuǎn)作輔助線

構(gòu)造出全等三角形是解題的關(guān)鍵，也是本題的難點(diǎn).

【題型2由點(diǎn)與圓的位置關(guān)系求求范圍】

【方法點(diǎn)撥】解決此類問題關(guān)鍵要記住若半徑為r,點(diǎn)到圓心的距離為d,則有：當(dāng)d>r時(shí)，點(diǎn)在圓外；

當(dāng)d=i?時(shí)，點(diǎn)在圓上，當(dāng)dVr時(shí)，點(diǎn)在圓內(nèi).

【例2】(2011秋?江蘇泰州?九年級統(tǒng)考期中)直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)4(1,0),0A的半徑是5,若點(diǎn)。(一2,a)

在04外，則a的范圍是()

A.a>4B.a>4或aV-4C.a<-4D.-4<a<4

【答案】B

【分析】根據(jù)兩點(diǎn)間的距離公式與點(diǎn)。在04外得到關(guān)于a的不等式，解不等式即可求得結(jié)論.

【詳解】解：兩點(diǎn)間的距離公式為d=)公2—/)2+一%下;

由題意得D4>5,則=7(-2-l)2+(a-0)2>5,

即收心>5,

a2>16,

a>4或a<-4.

故選艮

【點(diǎn)睛】本題主要考查了兩點(diǎn)間的距離公式，點(diǎn)與圓的位置關(guān)系，掌握點(diǎn)與圓的位置與半徑的關(guān)系是解題的

關(guān)鍵.

【變式2-1］（2023春?河北石家莊?九年級校考開學(xué)考試）在數(shù)軸上，點(diǎn)4所表示的實(shí)數(shù)為3,點(diǎn)8所表示的實(shí)

數(shù)為a,0A的半徑為2,下列說法錯(cuò)誤的是（）

A.當(dāng)QV5時(shí)，點(diǎn)8在。力內(nèi)B.當(dāng)1VQV5時(shí)，點(diǎn)B在04為

C.當(dāng)QVI時(shí)，點(diǎn)8在。4外D.當(dāng)a>5時(shí)，點(diǎn)B在。A外

【答案】A

【分析】先找出與點(diǎn)4的距離為2的點(diǎn)1和5,再根據(jù)點(diǎn)與圓的位置關(guān)系的判定方法即可解.

【詳解】解：由于圓心4在數(shù)軸上的坐標(biāo)為3,圓的半徑為2,

???當(dāng)d=r?時(shí)，04與數(shù)軸交于兩點(diǎn)：1、5,故當(dāng)Q=l、5時(shí)點(diǎn)B在。A上；

當(dāng)dvr即當(dāng)lvav5時(shí)，點(diǎn)B在。A內(nèi)；

當(dāng)d>r即當(dāng)a<l或Q>5時(shí)，點(diǎn)B在。A外.

由以上結(jié)論可知選項(xiàng)B、C、D不符合題意，選項(xiàng)A符合題意.

故選：A.

【點(diǎn)睛】題考查了對點(diǎn)與圓的位置關(guān)系的判斷.關(guān)鍵要記住若半徑為r,點(diǎn)到偃心的距離為d,則有：當(dāng)d>r

時(shí)，點(diǎn)在圓外；當(dāng)d=r時(shí)，點(diǎn)在圓上，當(dāng)dvr時(shí)，點(diǎn)在圓內(nèi).

【變式2-2］（2023秋?北京海淀?九年級北京交通大學(xué)附屬中學(xué)校考期末）對于平面直角坐標(biāo)系xOy中的圖形

”和點(diǎn)P給出如下定義：。為圖形M上任意一點(diǎn)，若P,。兩點(diǎn)間距離的最大值和最小值都存在，且最大

值是最小值的2倍，則稱點(diǎn)尸為圖形M的“二分點(diǎn)”.

3?

2■

1■

-4-3-2O-1~2~3~4x

-1-

-2?

已知點(diǎn)N(3,0),A(1,0),B(0,V5),C(V3,-1).

⑴①在點(diǎn)4,B,C中，線段ON的“二分點(diǎn)”是；

②點(diǎn)。（a,0）,若點(diǎn)。為線段。。的“二分點(diǎn)”，求a的取值范圍；

（2）以點(diǎn)O為圓心，，為半徑畫圓，若線段AN上存在。。的“二分點(diǎn)”，直接寫出的取值范圍.

【答案】（1）①3、C；②或任把2百：

（2/仁1或3<r<9.

【分析】（1）①計(jì)算每個(gè)點(diǎn)到。N的最大和最小值，可推斷出結(jié)果;

②分為當(dāng)最小值是1,和最大值是2兩種情形；

（2）當(dāng)4N上的點(diǎn)在圓外和外內(nèi)兩種情形；

【詳解】（1）解：①如圖1,

圖1

???點(diǎn)A到ON的最大距離是2,到ON的最小距離是0,

???點(diǎn)4不是ON的二分點(diǎn)，

?：OB=?BN=2?

：.BN=2OB,

???8點(diǎn)是ON的二分點(diǎn)，

VC￡）=I,OC=2,

，點(diǎn)C是ON的二分點(diǎn)，

故答案是：B、C；

②如圖2,

Dzr

圖2

當(dāng)002是最小值時(shí)，最大值是0D=4,

A(a-V3)2+1=42,

，a】=VT5+V5(舍去)，。2=8-4^，

當(dāng)最小值是1時(shí)，a>V3,

最大值是2時(shí)，

VOC=2,

a<2\[3,

/.V3<4Z<2V3,

綜上所述：tz=V3-^HgV3<o<2V3：

(2)解：如圖3,

>>

x

”圖3

當(dāng)點(diǎn)4在。0外時(shí)，設(shè)點(diǎn)M在AN上，M(x,0),(l<x<3),

假設(shè)M是。。的二分點(diǎn)，

*.x+r=2(x-r),

，x=3r,

Al<3r<3,

?,奈$；

如圖%

九

/.、

/\

!A\N

AA，IBAIAJ1A

\O：X

、、,??

、、一.一/，

圖4

點(diǎn)M在。。內(nèi)，

...x+尸2（r-x）,

???€?

?,?辱3,

A3</<9,

綜上所述：9心1或3<r<9.

【點(diǎn)睛】本題考查了點(diǎn)到線段（上的點(diǎn)）的距離，及點(diǎn)到圓最值問題，解決問題的關(guān)鍵是分為點(diǎn)在圓外和圓

內(nèi)兩種情形討論.

【變式2?3】（2023秋?廣東江門?九年級校考期末）如圖，正方形48co中，=5cm,以8為圓心，1cm為

半徑畫圓，點(diǎn)P是。8上一個(gè)動點(diǎn)，連接4P,并將AP繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。至AP：連接BP',在點(diǎn)P移動

的過程中，8P長度的取值范圍是cm.

【答案】（5近-l）cm<BPf<（5V2+1）

【分析】通過畫圖發(fā)現(xiàn)，點(diǎn)P'的運(yùn)動路線為以。為圓心，以1cm為半徑的圓，可知：當(dāng)口在對角線8。上時(shí),

BP，最小；當(dāng)P在對角線BD的延長線上時(shí)，BP'最大.先證明三△P20,則PD=P8=1,再利用勾

股定理求對角線B。的長，則得出BP'的長度的取值范圍.

【詳解】解：如圖，當(dāng)P'在對角線BD上時(shí)，BP，最小；當(dāng)P，在對角線BD的延長線上時(shí)，BP'最大.

連接BP,

①當(dāng)P'在對角線BD上時(shí)，

由旋轉(zhuǎn)得：AP=AP,,Z-PAP'=90°,

，4PAB+4B4P'=90。，

???四逅形4BCD為正方形，

：.AB=AD,Z,BAD=90°,

+乙ZX4P'=90。，

：.LPAB=404P',

A△PAB三APSO,

：.P'D=PB=1cm,

在Rt中，

'：AB=AD=5cm,

由勾股定理得：BDyJs2+52=5V2cm,

???BP'=BD-P'D=(5V2-l)cm,

即BP，長度的最小值為(5口-l)cm.

②當(dāng)P'在對角線8。的延長線上時(shí)，

同理可得BD=5Vlem,

???BP'=BD+P'D=(5V2+l)cm,

即BP，長度的最大值為(5或+l)cm.

二BP，長度的取值范圍是(5近-l)cm<BPf<(5V2+l)cm.

故答案為：(5V2-l)cm<BP1<(5V2+1).

【點(diǎn)睛】本題考查了正方形的性質(zhì)、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、點(diǎn)與圓的位置關(guān)系和最值問題，尋找點(diǎn)P'的運(yùn)動軌跡是本

題的關(guān)鍵.

【題型3弧、弦、角、之間的關(guān)系】

【方法點(diǎn)撥】在同圓或等圓中，如果兩個(gè)圓心角、兩條弧、兩條弦中有一組量相等，那么它們所對應(yīng)的其余

各組量都分別相等，其中圓心角的度數(shù)與它所對的弧的度數(shù)相等.

【例3】（2023秋?河北廊坊?九年級校考期中）如圖，^C=CD=ETE,已知AB是。。的直徑，Z.COD=35°,

那么乙4OE的度數(shù)是（）

受ED

A.40°B.70°C.75°D.105°

【答案】C

【分析】由阮1=⑶=5E1，乙COD=35。，可求得/BOC=4￡*。0=乙COD=35。，繼而可求得乙40￡的度數(shù).

【詳解】解：?.?席=6=ETE/COD=35°,

???LB0C=乙EOD=乙COD=35°,

???乙A0E=180°-Z.EOD-乙COD-乙BOC=75°.

故選：C

【點(diǎn)睛】此題考查了弧與圓心角的關(guān)系，掌握數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用是解題的關(guān)鍵.

【變式3-1］（2023秋?黑龍江大慶?九年級校考期中）如圖，在。O中，AB、DE為。O的直徑，C是。O上

一點(diǎn)，且?guī)浂?

（1）BE與CE有什么數(shù)量關(guān)系？為什么？

（2）若NBOE=60。，則四邊形OACE是什么特殊的四邊形？請說明理由.

w

【答案】（1）BE=CE,證明見解析；（2）四邊形OACE是菱形，證明見解析；

【分析】（1）根據(jù)對頂角相等得到/AOD二NBOE,再根據(jù)圓心角、弧、弦的關(guān)系得腦=卵,

加上此=笆，所以廢=可，于是有BE=CE；

（2）連結(jié)OC可得ACOE和△AOC是等邊三角形，可得四邊形OACE的四條邊都相等，再根

據(jù)菱形的判定即可求解.

【詳解】（1）VAB.DE是。O的直徑，

/.ZAOD=ZBOE,

???”=席，

9：AD=CE,

??3E—,

ABE=CE.

（2）連結(jié)OC,

VZBOE=60°,BE=CE,

ZCOE=60%

VOC=OE,

???/XCOE是等邊二角形，

???Z-AOC=180°-60°-60°=60°,OA=OC,

AAAOC是等.邊三角形，

AOE=CE-=OA=AC=OC,

二四逅形OACE是菱形.

小

D

【點(diǎn)睛】考查了圓心角、弧、弦的關(guān)系：在同圓和等圓中，相等的圓心角所對的弧相等，所對的弦也相等.在

同圓或等圓中，如果兩個(gè)圓心角、兩條弧、兩條弦中有一組量相等，那么它們所對應(yīng)的其余各組量都分別

相等.

【變式3-2］（2023秋?安徽安慶?九年級統(tǒng)考期末）如圖，。。的兩條弦4B、CD互相垂直，垂足為￡且48=CD.

（1）求證：BE=CE,

（2）若4E=1,CF=3,求。0的半徑.

【答案】（1）見解析

⑵的

【分析】（1）作0M14B于點(diǎn)M,作ON1CD于點(diǎn)N,證明四邊形OMEN為矩形，可得AB=CD,OMLAB,

ONLCD,可得OM=ON,證明四邊形。MEN是正方形，可得OM=ME=EN.證明=CN,從而可得

結(jié)論；

（2）連接。4,求解48=AE+BE=4,可得力M=：力8=2,可得。M=ME=1,再由勾股定理可得答案.

【詳解】（1）證明：作0M_LA8于點(diǎn)M,作ON上CD于點(diǎn)N,

又??N81CD,

工四邊形OMEN為矩形，

9：AB=CD,OMLAB,ON1CD,

：.OM=ON,

???四邊形OMEN是正方形，

：.OM=ME=EN.

*：OMLAB,ON1CD,

：.BM=^AB,CN=^CD,

又??N8=CO,

：?BM=CN,

+=CN+NE即BE=CE.

(2)連接。4,

D

由(1)可知BE=CE=3,

：.AB=AE-^BE=1+3=4,

*：0M1AB,

：.AM=-AB=2,

2

：.EM=AM-BE=1,

：.0M=ME=1.

在Rt/MMO中，OA=\/OM2+AM2=V5,

???。。的半徑為VI

【點(diǎn)睛】本題考查的是勾股定理的應(yīng)用，矩形，正方形的判定與性質(zhì)，垂徑定理的應(yīng)用，弦，弧，弦心距之

間的關(guān)系，熟記圓的基本性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵.

【變式3-3](2023秋?浙江杭州?九年級期末)己知。。的直徑43=4,弦AC與弦BD交于點(diǎn)E.且。。JLAC,

垂足為點(diǎn)F.

(1)如圖1,如果=求弦4c的長；

(2)如圖2,如果E為弦8。的中點(diǎn),求

【答案】(1)AC=2V3；(2)y

【分析】(1)連接。C,由垂徑定理、等弦得到等弧，根據(jù)同圓中弧與圓心角的關(guān)系可求出/,通過解直角三

角形求出，利用垂徑定理求出；

(2)連接3C,根據(jù)A8為直徑，得至I」乙4尸0=NC=90。，再得到乙。=2E8C,證明△OEF三△BEC(ASA),

求得是A/BC的中位線，設(shè)。尸=3則根據(jù)BC=O凡求出的值，由勾股定理求出的值，再求出的值，即可

求解.

【詳解】如圖，連接OC，

???OD1AC,

AD=CD,^AFO=90c

又?.?AC=80,

???AC=麗即而+Cb=CD+BCr

:.AD=§i,

???AD=CD=BC，

:.Z.A0D=乙DOC=Z.BOC=60°

vAB=4,

AAO=BO=2,

J4F=V5

則4c=2AF=2>/3：

如圖2,連接BC,

?.48為直徑,

OD1AC,Z.AFO=ZC=90°,

OD//BC,

:.zD=AEBC

???DE=BE、乙DEF=Z.BEC,

???△DEFSABEC(ASA)

：.BC=DF、EC=EF,

又AO=OB,

???。尸是△ABC的中位線，

設(shè)0尸=t,

則BC=DF=2t,vDF=DO-OF=2-t,

A2—t=2t

解得:t=p

則D尸=BC==TAB2一BC2=卜W&

112「

：.EF=-FC=-AC=-y/2,

2廠4V2

???EF\DF=-V2:-=—

【點(diǎn)睛】本題考查了垂徑定理，弧，弦，圓心角定理，以及勾股定理，還考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，

中位線定理，熟悉并靈活運(yùn)用以上性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵.

【題型4垂徑定理】

【方法點(diǎn)撥】垂徑定理：垂直于弦的直徑平分弦，并且平分弦所對的兩條弧。

推論：平分弦(不是直徑)的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的兩條弧；弦的垂直平分線過圓心，且平分弦對

的兩條弧.

【例4】(2023秋?江蘇南京?九年級校聯(lián)考期末)在同心圓中，大圓的弦AB交小圓于C,。兩點(diǎn).

(1)如圖①，若大圓、小圓的半徑分別為13和7,AB=24,則CO的長為

(2)如圖②，大圓的另一條弦E〃交小圓于G,”兩點(diǎn)，若=求證CD=GH.

t答案】(1)4C

(2)見解析

【分析】(1)連接040C,過。點(diǎn)作0HJ.AB,則H為48,CD的中點(diǎn)，得出=根據(jù)

勾股定理即可求出CD的長；

(2)過0作0M1AB作ON1EF,垂足分別為M、N,得出DM=1CD,HN=：GH,AM=EN=|EF,

t2222

連接04、OE.00、OH,通過證明RtZk0AM三RtZkOEN和RtAOOM三RtA0〃N,即可得證CD=GH.

【詳解】(1)連接040C,過。點(diǎn)作0HJ.A8,則“為43,CO的中點(diǎn)，

TAB=24,

：.AH=-AB=-%24=12,CH—CD,

222

*：0H1AB,

222222

：.0H=OA-AHfOH=0C-CHf

：,OA2-AH2=OC2-CH2,

：.132-122=72-CH2,

：.CH=2V6,

：.CD=2CH=4yf6,

故答案為：4\后

(2)過。作OM1AB,作ON1E/，垂足分別為M、N,

：

.DM=-2CD,HN2=-GH,A2M=-AB2,EN=-EF,

又?.?48=EF,

：.AM=EN,

連接04、OE、00、OH,

在Rt^OAM和RtAOEN中，

(OA=OE

14M=EN'

RtAOAM=RtOEN,

：.OM=ON,

在RtAODM和Rt△OHN中，

(OD=OH

SM=ON'

/.RtAODM=RtAOHN,

；?DM=HN,

：.CD=GH.

【點(diǎn)睛】本題主要考查垂徑定理，勾股定理，全等三角形的判定和性質(zhì)，熟練掌握相關(guān)知識點(diǎn)是解此類題的

關(guān)鍵.

【變式4-1](2023秋?河北張家口?九年級張家口東方中學(xué)校考期末)如圖，0。的半徑為6cm,48是弦，

。。，48于點(diǎn)。，將劣弧AB沿弦力"折疊，交0C于點(diǎn)。，若。是0C的中點(diǎn)，則的長為.

【答案】4\/5cm

【分析】連接8。，延長0C交弧4B于E,可讓CE=CO=。。，從而可求0C=goE=4,由BC=/。5-3,

即可求解.

【詳解】解：如圖，連接B。，延長0C交弧4B于邑

???。是0C的中點(diǎn)，

:.CD-OD,

CE-CD=ODt

2

OC=-3OE=4,

vOC1AB,

-.AB=2BC,

在RtAOCB中

BC=>/OB2-OC2

=V62-42=2V5>

AB=4Vsem.

故答窠：4>/5cm.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了折疊的性質(zhì)，垂徑定理，勾股定理，掌握相關(guān)的性質(zhì)，構(gòu)建出由弦、弦心距、半徑

組成的直角三角形是解題的關(guān)鍵.

【變式4-2］（2023秋?江蘇鎮(zhèn)江?九年級統(tǒng)考期中）如圖，O。的直徑48與弦CO交于點(diǎn)E,（DEB=30°,AE=

2,EB=6,求CD的長.

【答案】2V15

【分析】如圖，過O作OF_LCO,交C。于點(diǎn)尸，連接。。；由垂徑定理可?得C尸=。尸，再根據(jù)題意求得網(wǎng)的

直徑48=8,則半徑04=4,進(jìn)而求得0E=2；然后根據(jù)直角三角形的性質(zhì)可得OF=00￡=1,再根據(jù)勾

股定理可求得。?=底，最后結(jié)合CD=2。尸即可解答.

【詳解】解：如圖，過。作OF_LCD,交CO于點(diǎn)凡連接OQ,

???尸為CO的中點(diǎn),

:,CF=DF,CD=2DF

*：AE=2tEB=6,

：.AB=AE+EB=2+6=8,

OA=4,

：.OE=OA-AE=4-2=2t

在RtZiOE/中，WEB=30°,

???。/=：0E=1,

2

在RtZiOD/中，0F=1,0D=4,

根據(jù)勾股定理得：DF=VOD2-OF2=V42-l2=\fl5,則CD=2DF=2V15.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了垂徑定理、三角形的性質(zhì)、勾股定理等知識點(diǎn)，掌握垂徑定理是解答本題的關(guān)鍵.

【變式4-3](2023秋?湖北宜昌?九年級統(tǒng)考期末)如圖，在平行四邊行A8CO中，A8=5,8C=8,5c邊上

的高4”=3,點(diǎn)P是邊上的動點(diǎn)，以CP為半徑的。C與邊A。交于點(diǎn)E,〃(點(diǎn)E在點(diǎn)尸的左側(cè)).

(1)當(dāng)。C經(jīng)過點(diǎn)A時(shí);求CP的長；

(2)連接AP,當(dāng)AP〃CE時(shí)，求。。的半徑及弦石戶的長.

【答案】⑴CP=5；(2)。。的半徑為高EF=\.

【分析】(1)連接AC由勾股定理求出B4=4,得出C”=4,由勾股定理求出CA,當(dāng)。C經(jīng)過點(diǎn)A時(shí),

CP=C4=5；

(2)先證明四邊形APCE是平行四邊形，得出CP=CE,證出四邊形APCE是菱形，得出%=CP,設(shè)以=

CP=.x,貝lJPH=4-x,由勾股定理得出方程，解方程求出半徑：作CA/_LE/于則CM=AH=3,由垂

徑定理得出例凡由勾股定理求出ME,即可得出"的長.

【詳解】解：(1)連接AC,如圖1所示：???4”_18。，

JNA/7B=N4HC=90。，

：.BH=4AB2-AH2=V52-32=4,

:?CH=BC-BH=4,

：.CA=>/AH2+CH2=5,

(2)???四邊形ABCD是平行四邊形，

：.AD//BC,當(dāng)AP〃CE時(shí)，四邊形4PCE是平行四邊形，

*：CP=CE,

，四逅形APCE是菱形，

：.PA=CP,

設(shè)用=CP=x,則PH=47,

在RtAAPH中，

由勾股定理得：AH2+PH2=RA\

即32+(4-X)2=3

解得：彳=個(gè)，

0

即。C的半徑為V，

O

作CM_L七產(chǎn)于M,如圖2所示：貝UCM=AH=3,ME=MF=^EF,

在RtACEM中，由勾股定理得：ME=>/CE2-CM2=J(^)2-32=

：.EF=2ME=-.

4

圖2

【點(diǎn)睛】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)、勾股定理、垂徑定理、平行四邊形的判定方法、菱形的判定與性質(zhì)

等知識；本題綜合性強(qiáng)，有一定難度.

【題型5圓周角定理】

【方法點(diǎn)撥】圓周角定理：一條弧所對的圓周角等于它所對的圓心角的一半。

推論1：同弧或等弧所對的圓周角相等。

推論2：半圓（或直徑）所對的圓周角是直角，90。的圓周角所對的弦是直徑。

【例5】（2023秋?廣東廣州?九年級統(tǒng)考期末）如圖，在△ABC中，乙4cB=90。，點(diǎn)P是Rt△48C外接圓上的

一點(diǎn)，且KACP=45°

圖1圖2圖3

（1）如圖1,求證：AP=BP；

（2）如圖2,連接BP,AP.點(diǎn)M為弧AP上一點(diǎn)，過P作P。于。點(diǎn)，求證：BD=MO+AM；

（3）如圖3,點(diǎn)Q是弧AP上一動點(diǎn)（不與A,P重合），連PQ,AQ,BQ.求蜂”的值.

【答案】（1）見解析

（2）見解析

⑶/

【分析】（1）連接力P,BP,根據(jù)已知得出乙PC8=NPG4=45。，得出肝=即，即可得證；

（2）過點(diǎn)M作MNJ.BM垂足為M,過點(diǎn)P作PN1MN于點(diǎn)N,證明△BPD三△4PN,進(jìn)而即可得證；

（3）過點(diǎn)P作PO16Q于點(diǎn)D,過點(diǎn)Q作QE13Q垂足為Q,過點(diǎn)P作PE1AQ于點(diǎn)Q,連接PQ,由（2）可得

四邊形DPEQ是正方形，2BDPZAAEP,繼而即可求解.

【詳解】（1）解：如圖1,連接4P,BP,

El

??ZCB=90。，Z-ACP=45°,

：./-PCB=Z-PCA=45°,

，肝=脈，

：.AP=BP；

(2)證明：如圖2,過點(diǎn)M作MN_LBM垂足為M,過點(diǎn)P作PN上MN于點(diǎn)N,

圖2

，四邊形PDMN是矩形，

??冰=夕3

/.BMP=￡BCP=45°,

*：PDIBM,

???△PM。是等腰直角三角形，

；?DP=DM,

，四逅形PDMN是正方形，

：.PD=DM=MN=PN,乙DPN=90°

?：Z.ACB=90°,

???AB是。的直徑，

：.Z-BPA=90°,

：.z.BPD+/.DPA=AAPN+Z.DPA,

：,Z.BPD=乙4PN,

又?.?BP=AP,

"BPD三AAPN

：.BD=AN,

：.BD=AM+MN=AM+DM；

（3）如圖3所示，過點(diǎn)P作PD1BQ于點(diǎn)小過點(diǎn)Q作QE1BQ垂足為Q,過點(diǎn)P作PE14Q于點(diǎn)E,連接PQ,

貝lj4、Q、E三點(diǎn)共線，

由（2）可得四邊形DPEQ是正方形，2BDP三XAEP,

：.BD=AE,

:,BQ=BD+DQ=AQ+QE+DQ,

設(shè)正方形DPEQ的邊長為a,則PQ=V2a,

.BQ-AQQE+DQ2apz

?,^r=^r=鬲"修

【點(diǎn)睛】本題考查了弧與圓周角的關(guān)系，90度角所對的弦是直徑，正方形的性質(zhì)與判定，勾股定理，全等三

角形的性質(zhì)與判定，掌握圓周角定理是解題的關(guān)鍵.

【變式5-1］（2023春?山東濟(jì)寧?九年級統(tǒng)考期末）如圖，將#C沿弦AC折疊交宜徑4B于圓心O,則乙40C=

【答案】120

【分析】過。點(diǎn)作0014C交AC于。，交4ci于E,連接OC,BC.根據(jù)折疊可得。0=AD=CD,根

據(jù)三角形中位線定理可得OD=^BC,再根據(jù)等邊三角形的判定和性質(zhì)，以及鄰補(bǔ)角的定義即可求解.

【詳解】解：過。點(diǎn)作0D1AC交AC于D交品于E,連接OC,BC.

由折疊可得：OO=gOE=：OB,AD=CD,則。。為△4BC的中位線,

??NB是直徑，

???△ACB=90。，OD=^BC,則8C=0B,

又???OC=OB,

???△OBC是等邊三角形，

?"B0C=60°,

???N40C=180。-60°=120°.

故答案為：120.

【點(diǎn)睛】考查了翻折變換（折置問題），圓周角定理，三角形中位線定理，等邊三角形的判定和性質(zhì)，以及

鄰補(bǔ)角的定義，綜合性較強(qiáng)，構(gòu)造輔助線是是解決問題的關(guān)鍵.

【變式5-2]（2023春?浙江杭州?九年級校考期中）如圖，力。是△ABC的外角平分線，與△力BC的外接圓交

于點(diǎn)D，連接8。交4c于點(diǎn)F,且8C=C/，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（）

A.乙ADB=cCDBB.3/.ACB+Z-ACD=180°

C.3Z.BDC+2Z.ABD=180°D.3Z.BAD+Z.ABD=360°

【答案】B

【分析】先根據(jù)圓內(nèi)接四邊形對角互補(bǔ)推出=々BCD,再由角平分線的定義得到"AD="AO=

乙BCD,即可得至IJBO=CD,則N0BC=乙DCB,再由CB=C/得至I］乙CB/=（CFB,即可證明乙4cB=乙BDC,

再2。8=乙4。乩即可證明〃OB=ZRDC即可判斷A：再根據(jù)圓周角定理和等量代換把B、C、D三個(gè)選

項(xiàng)中的角度用NBOC，乙DBC,NOCB表示出來，結(jié)合三角形內(nèi)角和定理即可得到答案.

【詳解】解：???四邊形A8CD是圓內(nèi)接四邊形，

???NBAD+/BCD=180。，

,：/.BAD+Z.EAD=180°,

：.z.EAD=乙BCD,

??ND是AABC的外角平分線，

：.Z.EAD=Z.CAD=乙BCD,

^*：Z.DBC=Z.CAD,

：.Z.DBC=ZDCB,

?：CB=CF,

C.LCBF=乙CFB,

?:乙DBC+乙DCB+乙BDC=LCBF+乙CFB+乙BCF=180°,

：.^ACB=Z-BDC,

又,.Z0B=乙4CB,

：.z-ADB=ZFDC,故A不符合題意；

*：Z-ACD=/.ABD

：.3z.BDC+2^ABD=2Z.BCA+2&CD+乙BDC

=2乙DCB+乙BDC

=乙DCB+乙DBC+乙BDC

=180°,故C不符合題意；

'：Z-BAC=乙BDC,Z.ACD=Z-ABD,

：.3/-BAD+/-ABD

=3{￡BAC+/.CAD）+Z.ABD

=3乙BDC+3Z.DBC+Z-ABD

=3乙BDC+3Z.DBC+Z.ACD

=2/.BDC+3乙DBC+Z-ACD+乙4cB

=2乙BDC+3/.DBC+乙DCB

=2Z,BDC+4乙DBC

=360。，故D不符合題意：

*：￡.BDC=LACB,

：,3LACB+^ACD=2/.BDC+/-ACB+LACD

=2乙BDC+乙DCB,

根據(jù)現(xiàn)有條件無法證明/BDC=乙DBC,

???無法證明3/ACB+Z-ACD=2乙BDC+LDCB=180。，故B符合題意；

故選B

【點(diǎn)睛】本題主要考查了圓周角定理，等腰三角形的性質(zhì)與判定，角平分線的定義，三角形內(nèi)角和定理，圓

內(nèi)接囚邊形的性質(zhì)，靈活運(yùn)用所學(xué)知識是解題的關(guān)鍵.

【變式5-3］（2023春?吉林長春?九年級校考期中）如圖，而。48c的頂點(diǎn)小B、C都在。。上，點(diǎn)。為。。上

一點(diǎn)，且點(diǎn)。不在腦上，則乙4DB的大小為

【答案】30

【分析】連接08,證明四邊形04BC為菱形，則0A=4B,進(jìn)而得出三角形04B為等邊三角形，得出乙4OB=

60°,則4ADB=^Z.AOB=30°.

【詳解】解：連接OB,

???四邊形0718c為平行四邊形，OA=OC,

，四邊形0ABe為菱形，

：,OA=AB,

9：OA=OB,

???三角形04B為等邊三角形，

：.Z-A0B=60°,

：.Z.ADB=-Z.AOB=30%

2

故答窠為：30.

D.

C

B

A

【點(diǎn)睛】本題主要考查了菱形的判定和性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，圓周角與圓心角的關(guān)系，解題的關(guān)

鍵是掌握菱形四邊都相等，同弧所對的圓周角是圓心角的一半.

【題型6圓內(nèi)接四邊形】

【方法點(diǎn)撥】圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)：圓內(nèi)接四邊形的對角互補(bǔ)，且任意一個(gè)角的外角都等于其內(nèi)對角.

【例6】(2023秋?浙江溫州?九年級期末)在圓內(nèi)接四邊形48c力中，4BAD、/AOC的角平分線交于點(diǎn)E,

過E作直線MN平行于BC,與AB、CO交于M、N,則總有MN=()

A.BM+DNB.AM+CNC.BM+CND.AM+DN

【答案】D

【分析】在NM上截取NF=NQ,連接。凡AF,由A,5,C,O四點(diǎn)共圓，得出NAOC+N3=180。，由MN||5C,

得出/AMN+NAON=180。，可得到A,D,N,M四點(diǎn)共圓，可得NMM)+NM4D=180。再由4E,OE分別

平分/BAD,ZCDA,4,F,E,。四點(diǎn)共圓，由NM4尸=180°-ZDAF-/MNO=180°?/DEN-NMND

=NEDN=NADE=/AFM,可得出MA=M尸，即得出MN=MF+M=M4+M).

【詳解】解：如圖，在NM上截取NF=ND,連接。F,AF

：.NNFD=NNDF,

VA,B,C,。四點(diǎn)共圓,

，ZADC+ZB=180°,

：.NAMN=NB,

：.ZAMN+ZADN=\S00,

，A,D,N,M四點(diǎn)共圓，

NMVD+NM4O=180。，

TAE,OE分別平分NBA。，ZCDA,

???NEND+2ZDFN=ZEND+2ZDAE=180°,

/DFN=NDAE,

."，F(xiàn),E,。四點(diǎn)共圓，

:./DEN=ZDAF,ZAFM=/ADE,

,/NMND+NMA￡）=180°,

，Z1MAF+ZDAF+/MND=180°

JZMAF=180°-ZDAF-/MND

=180°-/DEN-/MND

=NEDN=ZADE

=4AFM,

:,MA=MF,

:.MN=MF+NF=MA+ND.

故選:D.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了四點(diǎn)共圓，解題的關(guān)鍵是正確作出輔助線，利用四點(diǎn)共圓求解.

【變式6-1］（2023秋?福建泉州?九年級校考期中）如圖，在四邊形48CD中，AB=AC,乙4。8=90。，過

三點(diǎn)的圓交BC邊于點(diǎn)E.

（1）求證：E是BC的中點(diǎn);

(2)若BC=2CD,求證：乙BCD=2乙ABD.

【答案】(1)見解析：(2)見解析

【分析】(1)利用圓周角定理得到N4E8=90。，利用等腰三角形三線合一即可解答;

(2)利用已知條件求得CE=CD,然后利用圓周角定理即可解答

【詳解】證明：(1)連接AE,

^-ADB=90°,

??.4B為直徑，

/-AEB=90%

:.AE1BC,

-AB=AC,

AE是△ABC的中線，

??.E是BC的中點(diǎn).

(2)連接DE.

???E是BC的中點(diǎn)，

???BC=2CE.

VBC=2CD,

???CE=CD,

???Z.CDE=Z.CED.

?.?四邊形力DEB是圓的內(nèi)接四邊形,

/.BAD+乙BED=180°.

???乙CED+乙BED=180°,

/.BAD=Z.CED.

?：Z.ABD=90°-Z.BAD,

乙BCD=180°-乙CED一乙CDE=180°-2LBAD,

乙BCD=2Z.ABD.

【點(diǎn)睛】本題考查圓周角定理、等腰三角形的性質(zhì)、圓內(nèi)接四邊性的性質(zhì)，熟練進(jìn)行等角的轉(zhuǎn)換是解題的關(guān)

鍵

【變式6-2］（2023秋?湖北武漢?九年級統(tǒng)考期中）如圖，四邊形ABC。內(nèi)接于。O,AB=ADfZBCD=120°,

E、尸分別為BC、CO上一點(diǎn)，ZE4F=30°,EF=3,DF=\.則BE的長為（）

【答案】B

【分析】延長C6至使8”=。尸=1,連接4”，貝I」可證得△A8“絲△■￡＞凡從而A"二ARNBAH=NDAF,

易證尸E,可得HE=EF=3,則可求得BE的長.

【詳解】延長C6到〃，使連接A”，如圖

/.ZABC+ZADC=180°

VZABH+ZABC=\SO°

，NABH=NADF

在△A3”和△4。尸中

A8=AD

乙ABH=Z.ADF

BH=DF

，△AB"△AO尸

：.AH=AF,ZBAH=ZDAF

???/BAZ)+NBCD=180°,NBC￡>=120°

班0=180°-ZfiCD=60°

VZE4F=30°

AZBAE+ZDAF=ZBAD-ZEAF=30°

：?NEAH:/BAE+NBAH=30°

在△?1//￡：和△A尸E中

(AH=AD

乙E4H=LEAF

(AE=AE

：.HE=EF=3

：.BE=HE-BH=3-\=2

故選：B

【點(diǎn)睛】本題考查了圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，構(gòu)造輔助線得到全等三角形的問題的

關(guān)鍵與難點(diǎn).

【變式6-3](2023秋?遼寧盤錦?九年級校考期中)如圖，四邊形4BCD內(nèi)接于0。，AC是直徑，AB=BC,

連接0D,BD,過點(diǎn)。的直線與&4的延長線相交于點(diǎn)E,且NEZM=41CD.

⑴求ZED0的度數(shù).

(2)若40=3,CD=4,求AB,3。的長.

(3)若40=a,CD=b,直接寫出夕。的長.

【答案】⑴90。

⑵AB著*苧

(3)FD=y(a+d)

【分析】(1)連接。。，易得：“DC=乙0CD,進(jìn)而得到：乙EDA=ZCD。，根據(jù)圓周角定理,得到乙40c=90°,

即44。。+/。。。=90。，從而得至IJ4400+N力。￡=90。，即乙E。。二90。；

(2)勾股定理求出AC的長，根據(jù)圓周角定理以及AB=BC,可得△ABC為等腰直角三角形，進(jìn)而求出的

長，過點(diǎn)B作B尸_L80,交DC的延長線與點(diǎn)F,易證△BAO三△3C尸(ASA),得到C尸=40=3,BD=BF,

進(jìn)而求出。尸的長，再求出BD的長即可；

(3)根據(jù)(2)可知：BD號(AD+CD),即可得解.

【詳解】(1)解：連接0D,則：0C=0D,

9：Z.EDA=乙4CD,

J.Z.EDA=乙CD0,

??NC是直徑，

：.z.ADC=90°,

：./.ADO+Z.ODC=90°,

：.Z-AD0+Z.ADE=90°,HPzEDO=90°：

(2)解：,?FC是。。的直徑，

?"ADC=/ABC=90°,

*：AD=3,CD=4,

：.AC=V32+42=5,

VAB=BC,

,?55V2

..AABn=—AC=—；

22

過點(diǎn)B作B/1BD,交DC的延長線與點(diǎn)F,

則:/.DBF=AABC=90°,

?"ABO=乙CBF=90°-乙CBD,

;四邊形48C。內(nèi)接于00,

"BCF=Z.BAD,

又,：AB=BC,

A△BAD^AfiCF(ASA),

：.CF=AD,BD=BF,

：.DF=CD+CF=CD+AD=7,

由勾股定理得：BD2+BF2=DF2,即：2BD2=DF2

：

.BD=—2DF=—2x

(3)解：由(2)可知：BD=^DF=^{AD+CD)=y(a+b).

【點(diǎn)睛】本題考查圓周角定理，圓內(nèi)接四邊形，勾股定理，等腰三角形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和

性質(zhì).熟練掌握直徑所對的圓周角是直角，通過添加輔助線，證明三角形全等，是解題的關(guān)鍵.

【題型7直線與圓的位置關(guān)系】

【方法點(diǎn)撥】直線和圓的三種位置關(guān)系：

(1)相交：直線與圓有兩個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，叫做直.線與圓相交，這時(shí)的直線叫做題的割線；

（2）相切：直線與圓有唯一公共點(diǎn)時(shí)，叫做直線與圓相切，這條直線叫做圓的切線，公共點(diǎn)叫做切點(diǎn)；

（3）直線與圓沒有公共點(diǎn)時(shí)，叫做直線與圓.相離.

【例7】（2023春?黑龍江綏化?九年級統(tǒng)考期末）如圖已知OP的半徑為3,圓心P在拋物線y=上運(yùn)

行，當(dāng)0P與y軸相切時(shí)，圓心P的坐標(biāo)為.

t答案】（3,2）或（-3,2）

【詳解】當(dāng)0P與y軸相切時(shí)可求得P點(diǎn)的橫坐標(biāo)，代入拋物線解析式可求得P點(diǎn)坐標(biāo).

【解答】解：?.?0「與y軸相切，0P的半徑為3,

???P到y(tǒng)軸的距離等于半徑3,

???點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為3或-3,

當(dāng)尤=3時(shí)，代入可得y=gx32-l=2,此時(shí)P點(diǎn)坐標(biāo)為（3,2）；

當(dāng)％=-3時(shí)，代入可得y=：X（—3）2—1=2,此時(shí)P點(diǎn)坐標(biāo)為（一3,2）；

綜上可知P點(diǎn)坐標(biāo)為（3,2）或（一3,2）,

故答案為：（3,2）或（-3,2）.

【點(diǎn)睛】本題考查了直線與圓的位置關(guān)系及二次函數(shù)的性質(zhì)，此題注意應(yīng)考慮兩種情況.熟悉直線和圓的位

置關(guān)系應(yīng)滿足的數(shù)量關(guān)系是解題的關(guān)鍵.

【變式7-1］（2023秋?湖北鄂州?九年級校聯(lián)考期末）RtAABC中，ZC=90°,AC=6,BC=8,以C為圓心

所作的圓與邊力8僅一個(gè)交點(diǎn)，則半徑r為.

【答案】廠=4.8或6〈丁48

【分析】要使圓與斜邊有1個(gè)交點(diǎn)，則應(yīng)滿足直線4B和圓相切即圓心到斜邊的距離為半徑即斜邊上的高;

或圓與直線AB相交，此時(shí)半徑要大于AC且半徑不大于BC.

【詳解】當(dāng)直線AB和圓相切時(shí)，圓心到斜邊的距離為半徑即斜邊上的高，

過點(diǎn)C作CD148于點(diǎn)。，

：.AB=V62+82=10,

.__ACXBC6X8

,,r=CD=-------=——

當(dāng)圓與直線A3相交，此時(shí)半徑要大于4c且半徑不大于8C,

6<?■<8；

故答窠為：7*=4.8或6〈7*W8.

【點(diǎn)睛】本題考查了直線與圓的位置關(guān)系，勾股定理，正確理解相切，相交的基本條件是解題的關(guān)鍵.

【變式7-2]（2023秋?江蘇泰州?九年級校聯(lián)考期中）如圖，半圓的圓心與坐標(biāo)原點(diǎn)重合，半圓的半徑為2,

直線/的解析式為若直線/與半圓只有一個(gè)交點(diǎn)，則r的取值范圍是.

【分析】若直線/與半圓只有一個(gè)交點(diǎn)，則有兩種情況：直線/和半圓相切于點(diǎn)。或從直線/過點(diǎn)A開始到直

線過點(diǎn)B結(jié)束（不包括直線/過點(diǎn)A）.當(dāng)直線/和半圓相切于點(diǎn)C時(shí)，根據(jù)直線/的解析式知直線/與之軸所形

成的銳角是45。，從而求得乙DOC=45。,即可求出點(diǎn)C的坐標(biāo)，進(jìn)一步求得t的值；當(dāng)直線/過點(diǎn)4或點(diǎn)B時(shí),

直接根據(jù)待定系數(shù)法求得珀勺值即可.

【詳解】解：根據(jù)題意可得：若直線,與半圓只有一個(gè)交點(diǎn)，則有兩種情況：直線/和半圓相切于點(diǎn)C或從直

線/過點(diǎn)4開始到直線/過點(diǎn)B結(jié)束（不包括直線/過點(diǎn)A）,

???直線/的解析式為產(chǎn)用力

???直線，與'軸所形成的銳角是45。，

過點(diǎn)。作8_Lx軸于點(diǎn)貝吐00=9。。.

當(dāng)直線/和半圓相切于點(diǎn)C時(shí)，則0C垂直于直線/,LC0D=45°,

???△C00為等腰直角三角形.

又,：0C=2,

：.OD2+CD2=OC2=4,

：.2OD2=4,

解得：00=痘(舍負(fù))，

CD=0D=V2,

即點(diǎn)C(-V1V2),

把點(diǎn)。的坐標(biāo)代入直線解析式，得《=y-X=2V2,

當(dāng)直線/過點(diǎn)A時(shí)，把點(diǎn)4(-2,0)代入直線解析式，得￡=、-工=2；

當(dāng)直線/過點(diǎn)B時(shí)，把點(diǎn)8(2,0)代入直線解析式，得￡=、一%=-2.

即當(dāng)t=2企或一2<t<2時(shí)，直線/和半圓只有一個(gè)公共點(diǎn)，

【點(diǎn)睛】此題綜合考查了直線和圓的位置關(guān)系以及用待定系數(shù)法求解直線的解析式等知識，根據(jù)題意得到直

線/與半圓只有一個(gè)交點(diǎn)的兩種不同情況是解決本題的關(guān)鍵.

【變式7-3](2023秋?江蘇南京?九年級統(tǒng)考期中)如圖，已知乙4。8=45。，“是射線08上一點(diǎn)，0"=戈.以

點(diǎn)M為圓心、「為半徑畫OM.

A

oMB

（1）當(dāng)0M與射線。4相切時(shí)，求r的值；

（2）寫出OM與射線。力的公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)及對應(yīng)的r的取值范圍.

【答案】（1>的值為I

（2）見解析

【分析】（1）作MN10A于N,根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)得到MN=曰0M=l,然后根據(jù)直線與圓的關(guān)

系得到當(dāng)r=l時(shí)，OM與射線相切；

（2）根據(jù)直線與圓的關(guān)系進(jìn)行分類討論即可.

【詳解】（1）作MN10A于N,如圖所示：

??Z08=45。，

:由=當(dāng)。M=l，

???當(dāng)OM與射線。4相切時(shí)，「的值為1；

（2）由（1）可知，根據(jù)直線與圓的關(guān)系得到：

當(dāng)r=l時(shí)，0M與射線04相切，只有一個(gè)公共點(diǎn)；

當(dāng)OVrVl時(shí)，QM與射線04相離，沒有公共點(diǎn)；

當(dāng)IVrV夜時(shí)，0M與射線04相交，有兩個(gè)公共點(diǎn)；

當(dāng)r>/時(shí)，O