走進數學思維鄭毓信，12于廣東第1頁引入：從一篇文章談開去“關于數學教育若干主要問題探討——對話特級教師王凌讀書筆記”（王凌、余慧娟，《人民教育》，第七期），第39-45頁）主要內容：對于若干“語錄”解讀。第2頁背景（按）前一段時間，我在網上神游，突然發覺許多數學教育網站、數學教師博客上都流傳首“王凌35條精彩語錄”，而且點擊率很高。如今能成為“語錄”東西該是稀罕物了。打開仔細一看，真是“精彩”！濃縮了不少數學教育思想精華。能寫如此“精彩語錄”人，不用管“語錄”從何而來，都代表了一個學養，一個品位。我決定見識見識這位隱藏著智者，就其中一些“語錄”向王老師發問。經過兩輪挑戰和對話，形成了以下文字，第3頁一個值得思索問題一篇讀書筆記為何會引發人們如此興趣？這一事件又給了我們什么樣啟示？第4頁[按]……我決定見識見識這位隱藏著智者……經過兩輪挑戰和對話，形成了以下文字，也拿來與更多讀者分享——數學教師該讀什么書，數學教育精華是什么？數學理論該怎樣用實踐來解讀——這一系列困擾每一個教師問題答案。第5頁另一段對話“這些筆記確實很精辟，不過我以為您解讀更精彩，從某種角度講，能用恰到好處實例來解讀理論人，比只會給出抽象理論人更偉大，因為這不但表明消化理論能力，也代表了思索透徹與思想成熟。您讓我們看到了濃縮理論后面豐富實踐風景，同時也引發了新思維風暴。”第6頁啟示（1）：教學研究一條可能路徑用恰到好處實例來解讀理論。第7頁啟示（2）：關于教師培訓工作培訓形式必要轉變。應該主動引導教師去讀書、讀好書。第8頁加強學習意義（1）了解發展動態，明確教學研究方向。第9頁[例1]一段評論“新課程實施以來，廣大一線教師在實踐中不停碰到新問題，如‘算法多樣化’、‘創設情境’、‘小組合作’等，伴隨課程改革深入，老師們對這些問題認識逐步趨于清楚并付諸實踐，而近兩年來，‘處理問題’教學成了教師們最為關注話題……”（《小學數學教育》編輯部，年第七期）第10頁[例2]另一篇受歡迎文章邱學華等：“年小學數學教育回顧與展望”（《小學教學》，年第三期）相關大事；熱點問題；主要著作與論文。展望。第11頁加強學習意義（2）增強判斷能力，預防對于時髦時尚盲目追隨。第12頁[例3]一段心得體會“最大讀書心得是什么？許多事情，過去有過；許多問題，前人想過，許多方法，曾經用過；許多錯誤，頻頻犯過。……知道先前事情，起碼不至于輕信，不至于盲從。”（陳四益，《文藝報》，，9，17）第13頁[例4]美國課程改革相關教訓

第一，對基本知識和技能忽略。第二，不恰當教學形式，即如對于合作學習過分強調等，但卻未能很好地發揮教師應有作用。尤其是，因為“建構主義”盛行，人們認為學生只能掌握（或了解）其本身或經過同伴間合作所得以“建構”知識，而這實際上就從根本上消取了教師在教學中所應發揮主導作用。第14頁

第三，數學并不只是一個有趣活動，僅僅使數學變得有趣起來并不能確保數學學習一定能夠取得成功，因為，數學上成功還需要艱辛工作。事實是，在實踐中我們經常能夠看到這么現象，即為了吸引學生興趣，教師或教材把注意力和大量時間放到了對應活動或情景之上，但卻沒有能集中于其中數學內容，這當然是一個本末倒置。

第15頁第四，課程組織過分強調情景學習，而忽略了知識內在聯絡。比如，在按照這種思想所編制一些中學數學教材中，傳統關于幾何、代數和三角區分被取消了，取而代之則是所謂‘整合性數學’，也即主要圍繞實際生活來組織相關數學內容學習。然而，盡管后者含有綜合性特點，并很好地表達了數學實際意義，但卻未能使學生很好地掌握對應數學知識。

第16頁第五，未能給予數學推理足夠重視。盡管《課程標準》明確地指出應該培養學生數學推理能力，不過，就實踐而言，所唯一得到強調只是試驗與猜測在數學發覺中主要作用，而邏輯與證實則完全被拋棄了。第17頁第六，廣而淺薄，這即是指，因為未能很好地域分什么是最主要和不那么主要，現行數學教育表現出了‘廣而淺’弊病。特殊地，‘大眾數學’看來忽略了不一樣學生有著不一樣需要，而一個更應注意防止弊病則是將為一切人數學變成了‘最小公分母’式教育。”（“千年之交美國數學教育”，載鄭毓信，《數學教育當代發展》，江蘇教育出版社，1999年）第18頁加強學習意義（3）從久遠角度看，能夠不停提升自己理論素養，開拓視野，增強思維深刻性。第19頁插入：一點提議不論是專業理論研究工作者，或是在職教師或未來教師，都應經常自問：什么是自己專業領域內最為主要一些著作或論文？教育領域內各個教授、包含各級教研員以及優異教師都能為一線教師認真推薦本專業幾本好書或好文章。

第20頁我推薦：一個值得關注領域——數學教育哲學

（1）數學教育哲學興起必要思索：這是否僅僅是一個時髦，還是有其一定必定性，合理性？第21頁（2）數學教育哲學主要內容數學觀數學教育觀數學學習觀與數學教學觀第22頁（3）回到主題什么是數學教育價值？尤其是，數學教育對于提升學生素養終究又能起到怎樣作用？基本立場：我們既應充分表達數學教育特殊性，同時也應高度重視教育整體性質。

第23頁可能結論（1）充分發揮數學文化價值；（2）幫助學生學會數學地思維，乃至“經過數學學會思維”。第24頁進入主題：走進數學思維！一個連續熱點；現實狀況與問題： 第一，普遍存在一個思想障礙：因為小學數學內容較為簡單，所以就不可能很好表達數學思維； 第二，在現實中我們并可經常看到“簡單移植”、“隨意拔高”等作法。第25頁當務之急應該針對小學數學實際情況、包含詳細教學內容與學生認知水平更為深入去開展工作，尤其是， 第一，清楚界定； 第二，很好處理詳細數學知識內容（包含知識與技能）教學與數學思維教學之間關系。第26頁一、從數學抽象談起父：“假如你有一個橘子，我再給你兩個，你數數看一共有幾個橘子？”子：“不知道！在學校里，我們都是用蘋果數數，從而不用橘子。（《譯林?文摘版》）第27頁數學最基本特征：抽象性“甚至對數學只有淺薄知識就能輕易地覺察到數學這些特征：第一是它抽象性，……。抽象性在簡單計算中就已經表現出來。我們利用抽象數字，卻并不打算每次都把它們同詳細對象聯絡起來。我們在學校中學是抽象乘法表——總是數字乘法表，而不是男孩數目乘上蘋果數目，或是蘋果數目乘上蘋果價錢等等。”（亞歷山大洛夫）第28頁數學與現實第一，數學抽象源于現實生活，包含詳細事物與現象，以及人們運作；第二，數學抽象又高于現實，并是一個建構活動，即包含了與現實世界在一定程度上分離。第29頁分析與思索“數學，對學生來說，就是利用自己生活經驗對數學現象一個‘解讀’。”（轉引自衡鋒，“‘錯題’演繹精彩”，《小學數學教學》，年第十期）對照：學習主要是一個“順應”過程，也即怎樣對主體已經有認知框架作出必要調整或重建。第30頁[例一]這個學生缺終究是什么？

（樓文勝，“問題到底出在哪兒？”）

任課教師要求學生求解這么一個問題：“52型拖拉機，一天耕地150畝，問12天耕地多少畝？”一位學生是這么解題：52×150×12=……第31頁接下來對話“告訴我，你為何這么列式？”“老師，我錯了。”“好，告訴我，你認為正確該怎么列式？”“除。”“怎么除？”“大除以小。”第32頁“為何是除呢？”“老師，我又錯了。”“你說，正確該是怎樣呢？”“應該把它們加起來。”第33頁啟而不發？“我們換一個題目，比如你天天吃兩個大餅，5天吃幾個大餅？”“老師，我早上不吃大餅。”“那你吃什么？”“我經常吃粽子。”“好，那你天天吃兩個粽子，5天吃幾個粽子？”第34頁“老師，我一天根本吃不了兩個粽子。”“那你能吃幾個粽子？”“吃半個就能夠了。”“好，那你天天吃半個（小數乘法沒學）粽子，5天吃幾個粽子？”“兩個半。”“怎么算出來？”“兩天一個，5天兩個半。”……第35頁結論之一學會數學思維首要涵義：學會數學抽象（模式化）。數學：模式科學。這就是指，數學所反應不只是某一特定事物或現象量性特征，而是一類事物或現象在量方面共同性質。第36頁[例二]這能否算一堂真正數學課？這是關于“問題處理”一個教學實例，教師要求一群三年級學生求解以下問題： “某女士外出旅行時帶了兩件不一樣顏色上衣和三條不一樣顏色裙子，問共有多少種不一樣搭配方法？”教師勉勵學生們用“試驗”方法去處理問題：學生拿出了筆和紙，開始在紙上實際地畫出各種可能搭配……結果表明，在大多數情況下學生都可憑借本身努力（單獨地或合作地）得出正確解答。第37頁事后思索學生經過這一教學活動終究學到了什么，尤其是，這些學生能否被認為已經掌握了對應數學知識？第38頁更多問題某人有兩套不一樣西裝和三條不一樣顏色領帶，問共有多少種不一樣搭配方法？有兩個軍官和三個士兵，現由一個軍官和一個士兵組成巡查隊，問共有多少種不一樣組成方式？某女士外出旅行時帶了三件不一樣顏色上衣和四條不一樣顏色裙子，問共有多少種不一樣搭配方法？有三個軍官和四個士兵，現由一個軍官和一個士兵組成巡查隊，問共有多少種不一樣組成方式？第39頁結論之二幫助學生學會數學抽象關鍵：應該超越問題現實情境過渡到抽象數學模式。（“去情境化”）相關敘述：數學教學必定包含“去情景化、去個人化和去時間化”。問題：怎樣才能幫助學生學會“去情境化”？第40頁[例三]“找規律”

（黃愛華、胡愛民）“師：在中國少年先鋒隊鼓號隊鼓號曲里，我們把第一個音唱做‘咚’，第二個音唱做‘噠’，第三個音唱做‘啦’，所以這個樂句就變成│咚噠啦│咚噠啦│咚噠啦│……“請想一想：第16個音符是什么？為了能讓他人看得一清二白，請你在初稿本上用一個適當方式表示出來，能夠寫一寫、畫一畫、算一算。”第41頁方法一：用圖形表示│□○△│□○△│□○△│□○△│□○△│□方法二：用數字表示 │123│123│123│123│123│1第42頁結論之三模式化主要伎倆之一：引入適當圖形或符號，從而實現與詳細情境在一定程度上分離。

第43頁二、數學中分類課改以來一個新增內容。對應思索：終究什么是數學中分類？這與普通分類又有什么不一樣（顯然，這也直接關系到了終究什么是數學課所應該含有“數學味”）？

第44頁[例四]幾何模塊分類常見組織方式。第45頁第46頁分析與思索問題：我們是否應該一樣地去必定學生所提出各種分類方法，包含按形狀、顏色和材料等進行分類？有益對照：自然數認識。

第47頁深入問題：數學中終究又為何要進行分類？第48頁[例四]“100以內加減法練習”34+42=76，37+17=54，69-15=54，59+17=76，91-15=76，83-29=54。第49頁“師：剛才全體兒童認認真真地做好了六道100以內加減計算題，而且做得很對。現在我們再來仔細觀察這六道題，假如我們把它們分成兩類，你有什么好方法？為何能夠這么分？”第50頁方法一：按照得數相同來分；方法二：按加法和減法來分；方法三：按不進位加法和不退位減法、以及進位加法和退位減法來分；第51頁方法四：把37+17、59+17分成一組，把34+42、69-15、91-15、83-29分成一組。（因為前二者中都包含了17。）方法五：把34+42=76分成一組，剩下為一組。……（因為前者所包括都是偶數。）第52頁教師總結“教學中教師有意識地引導學生從不一樣角度來分析問題——進行合理分類，讓學生經過相互交流，從中感受到分類結果在不一樣標準下多樣性，感受到不一樣標準分類有著不一樣意義和作用，就能使學生思維得到發散，使學生不一樣思想方法得到充分有效交流。”不過，我們終究為何要進行分類？第53頁結論之四分類應該含有明確目標性。 第一，歸類：數學抽象直接基礎； 第二，不一樣類別區分：由簡到繁、由特殊到普通地去開展研究。分類問題也需要優化。（用數學家眼光去對待世界、分析問題、處理問題。）

第54頁一個練習“制作正方體及長方體折紙圖樣”（展開圖）。問題：怎樣去判別一個六聯方是不是正方體展開圖？正方體又一共有多少種不一樣六聯方展開圖？（馮振業：“經過‘數學化教學’進行教材研發及教師培訓”，《小學數學》，年第五期）第55頁[例五]“三角形分類”終究什么應是這一堂課教學重點：是角度量？還是分類必要性與合理性？一個主要思想：分類活動科學性。第56頁一個相關研究：數學家與初學者（學生）比較問題不一樣分類： 按問題“表層結構”（事實性內容與表述方式）與“深層結構”（內在數學結構、解題方法）。學會數學地思維又一主要內涵：由“表層結構”逐步深入到“深層結構”。第57頁[例六]水池問題

（祝中錄）“學生在處理水池問題時，往往會認為水池一邊開進水管，一邊開出水管，不論經過多長時間都不會注滿水池。在教課時教師能夠不急于講解，而是引導學生尋找生活中類似實例。（1）追及問題。客車每小時行40千米，小汽車每小時行50千米。現在客車在小汽車前25千米地方，同時沿筆直公路行駛，多長時間小汽車能追上客車？（2）儲蓄問題。父親每個月工資420元，媽媽每個月工資300元，每個月平均支出450元，余下錢存在銀行，幾個月后能買一臺價格1350元電視機？經過這些實例學生就輕易弄明白只要進水量大于出水量，經過一段時間水池就一定能注滿水。”第58頁結論之五學會數學思維又一主要內涵：思維必要優化。第59頁三、數學中類比數學思維合剪發展：由歸類、到分類、到類比（聯想）。問題：終究什么是類比（聯想）？在小學數學中我們又應怎樣去進行類比（聯想）教學？第60頁一個常見說法“我們觀察到兩個或兩類事物在許多屬性上都相等，便推出它們在其它屬性上也相同。這就是類比法。”第61頁[例七]必要思索：一些實例一元一次方程、一元二次方程與一元三次方程比較。等腰三角形與等腰梯形比較。第62頁結論之六：什么是真正類比？類比在數學中主要作用：就是經過兩個不一樣對象比較由已經取得知識去引出新猜測。成功應用類比聯想關鍵：求同存異第63頁為了應用類比，我們不需要相關對象在全部方面都完全一樣，而只要求在這二者在某首先或在某一抽象層次上是相同，這就是“求同”，也即怎樣能在抽象分析基礎上找出兩個對象“類似之處”。“存異”則是指新猜測產生并不是簡單重復、模仿，而是一個創造性工作，尤其是，在由已知事實去引出新猜測時，我們必須注意分析二者之間所存在差異，也即必須依據對象詳細情況作出適當“調正”。第64頁結論之七相對于歸類與分類而言，類比聯想是一個更為高級思維形式。教學中關鍵：怎樣能夠針對學生認知發展水平去有針對性地去進行教學？第65頁四、問題處理與數學思維——從“植樹問題”談開去教學研究一個連續熱點：“眾所周知，‘植樹問題’是一個經典問題，長久備受眾多教授、特級老師青睞，曾經無數次被搬上‘舞臺’演繹出許多經典課例。”（酈丹）第66頁“植樹問題”與培養學生數學思維“在本課教學設計中，解題不是主要教學目標，主要任務是向學生滲透一個思想，……”（吳荔丹，“‘植樹問題’教學設計與評析”，《小學數學教師》年No.1)“設計上一個主要思索是向學生滲透一個思想，一個在數學上和研究問題方面都很主要思想……”（張錫忠，“‘植樹問題’課堂實錄”，《小學數學》年No.2）第67頁另外一些共同點任課教師通常尤其重視關于“植樹問題”三種不一樣類型區分，也即所謂“兩端都種”、“只種一端”與“兩端都不種”。就上述三個類型區分而言，設計者又往往歸結為“規律發覺”，并普遍地采取了“學生獨立探究（或分組探究）、反饋交流、教師總結”這么教學方法。第三，就相關數學思想而言，有不少教師突出地強調了所謂“化歸思想”。第68頁分析與思索（1）：“歸類”與“分類”“植樹問題”實際上包括到了兩種不一樣數學活動： （1）以“植對問題”為原型引出普遍性數學模式，然后再利用這一模式去處理各種新問題，如路燈問題、鋸樹問題、爬樓問題等。 （2）對于所提到每一個問題我們又都能夠區分出三種不一樣情況，這也就是所謂“兩端都種”、“只種一端”與“兩端都不種”。關鍵：終究何者應該被看成這一教學活動重點？什么又是這一教學活動真正難點？

第69頁分析與結論假如學生未能清楚地認識到路燈問題、鋸樹問題、爬樓問題等都與植樹問題有著相同數學結構，也即能夠被歸結為同一個數學模式，對他們來說“這終究屬于‘植樹問題’中哪個類型啊”這么問題就是完全沒有意義。從而，“模式建構”就比“三種情況區分”有著更大主要性，在教學上我們也應對此給予更大關注。

第70頁教學中相關現象“有些學生即使會處理這一問題，但這些學生尚不能把植樹問題處理方法與生活中相同現象進行知識鏈接，這就造成了能找到規律但不會熟練利用規律……”（張錫忠，“‘植樹問題’課堂實錄”）第71頁深入思索：怎樣能夠超出“植樹問題”并引出對應普遍性模式？由“植對問題”過渡到“分隔問題”；圖形與符號符號適當應用。 一些實例：葉婉紅，“‘植樹問題’教學實錄與評析”，《小學數學教育》，No.7；張錫忠,，“‘植樹問題’課堂實錄”，《小學數學》No.2第72頁分析與思索（2）：規律“機械應用”與思維靈活性問題：我們在教學中是否應該對于“兩端都種”、“只種一端”與“兩端都不種”這么三種情況區分給予尤其重視，并要求學生牢牢地記住對應計算法則（“加一”、“不加不減”、“減一”）以致在面對新類似問題時就能不假思索地直接加以應用？第73頁相關思索就“植樹問題”而言，在現實中是否真就只有“兩端都種”、“只種一端”、“兩端都不種”這么三種情況？進而，對于其它一些可能情況我們又是否也應要求學生總結出相關類型，并牢牢地去記住對應“規律”（“加二”、“減二”、“乘二”、“除二”……）？第74頁分析與結論將“三種情況”區分以及對應計算法則看成是一個“規律”、并要求學生牢靠掌握從而就能直接加以利用恐怕不很恰當；毋寧說，在此真正主要應是“一一對應”這么一個數學思想——就“植樹問題”進行分析，這也就是指，在此真正主要是在“間隔”與“樹”之間所存在一一對應關系進而，所謂“加一”、“減一”等法則又只是針對詳細情況作出適當改變——從而，在此真正需要就不是“規律應用”；而是思維靈活性，也即怎樣能夠依據基本模式并經過適當改變以適應改變了情況。第75頁總結對于“植樹問題”教學應該區分出這么兩個不一樣教學要求或教學步驟：（1）突出“分隔問題”，即是怎樣能以“植樹問題”為背景幫助學生建構對應數學模式；（2）明確引出“間隔數”與“所種樹棵數”這二者關系，突出“一一對應”思想，并以此為基礎求解各種改變了情況。對于“兩端都種”等三種情況區分不應過于強調，更不應將對應計算法則看成主要規律乃至要求學生牢切記住從而就能不假思索地加以應用。

第76頁五、數學中特殊化與普通化

兩個應該思索問題：終究什么是數學中特殊化與普通化？小學數學中是否也有特殊化與普通化？第77頁一點提醒：對于抽象定義必要超越特殊化“是從考慮一組給定對象集合過渡到考慮該集合一個較小子集，或僅僅一個對象。”普通化“是從考慮一個對象過渡到包含該對象一個集合，或者從考慮一個該小集合過渡到包含該較小集合更大集合。”第78頁（1）從概念學習角度看數學抽象就是一個普通化過程；怎樣為抽象數學概念給出詳細例子則就是特殊化過程。插入：數學教師一個基本功：適當舉例！第79頁理論指導下自覺實踐：變式理論關鍵思想之一：“標準變式”與“非標準變式”。背景：一些常見錯誤觀念。 角必定有一條水平射線； 直角必定是指向右邊角； 三角形和四邊形底邊都應處于水平位置； 三角形高必須處于垂直位置，并必定于三角形底邊相交；……第80頁分析與思索學生之所以會形成這些錯誤觀念往往就與我們在教學中所使用往往只是“標準變式”有著直接關系。從而我們在教學中不應唯一地局限于平時所經慣用到一些實例，而也應有意識地引入一些“非標準變式”。第81頁關鍵思想之二：“概念變式”與“非概念變式”就概念了解而言，“非概念變式”實際上起到了“反例”作用，這么，經過與“正例”（“概念變式”）對照，就能夠幫助學生更加好地去掌握概念本質。第82頁（2）從“問題處理”角度看相關敘述：“特殊化與普通化組成了整個解題過程基礎。”（梅森）第83頁關于特殊化由隨意特殊化，去了解問題；由系統特殊化，為普通化提供基礎；由巧妙特殊化，去對普通性結論進行檢驗。（梅森）第84頁[例八]自行道問題假設商店中鋪設了單一方向上前進自行道，問用戶由自行道往返一次（比如，由商店大門順道前往某一柜臺然后再逆道返回）所花費時間與先前完全依靠人力行走相比終究是花費了更多時間、還是節約了時間？第85頁[例九]“小數乘整數”與找規律

（張勇成）“師：有些小數和整數相乘很簡單，同學們口算就能夠處理了，請看—— 0.1×4=0.4；（師：“這么8份呢？”） 0.01×4=0.04；（師：“這么23份呢？”） 0.001×9=0.009。（“師：這么129個呢？）“師：剛才口算這些乘法，都是哪些小數與整數相乘？ “生：都是0.1，0.01，0.001與整數相乘。 “師：當0.1，0.01，0.001與一個整數相乘時，你們為何這么快就得出了結果？有什么規律嗎？第86頁“生1：乘得結果越來越小。 “生2：都和幾個零點幾相關系。 “生3：乘得結果都是小數。“師：同學們觀察得很仔細，當0.1，0.01，0.001乘一個整數時，它們計算結果是幾位小數和誰相關系呢？……“師：也就是說，因數中有幾位小數，積——“生：就有幾位小數。”（下略）

第87頁回顧由隨意特殊化，去了解問題；由系統特殊化，為普通化提供基礎；由巧妙特殊化，去對普通性結論進行檢驗。（梅森）第88頁關于普通化什么看上去像是真？為何它是真？它在怎樣范圍內看上去也是真？第89頁[例十]普通化實例在掌握了“三角形內角和為180°”以后，我們顯然就應深入去思索怎樣才能求得四邊形、五邊形、乃至n邊形后者內角和？在處理了“怎樣由長方形長和寬去求取它對角線”以后，我們就可進而去考慮“怎樣由長方體長、寬、高去求取它對角線”；乃至……“已知平行六面體從對角線一個端點出發三條棱長度以及三棱間三個夾角，求對角線長？”“已知正八面體棱，求其對角線長？”……第90頁插入數學教師又一基本功：適當提問！三個主要方面：（1）解題策略；（2）數學精神；（3）學會學習。第91頁六、數學思維學習與教學努力加強數學思維（數學方法論）學習。兩條主要線索：（1）“問題處理”與“問題提出”；（2）概念生成、分析與組織。第92頁數學思維學習關鍵不應求全，而應求用，也即應該親密聯絡自己教學實踐去進行學習，學以致用。長久努力方向：理論指導下自覺實踐。第93頁相關思想基礎知識：不應求全，而應求聯；基本技能：不應求全，而應求變；數學思維：不應求全，而應求用。第94頁一個練習“紅花映綠葉×春=葉綠映花紅，要求想出‘紅’、‘花’、‘映’、‘綠’、‘葉’分別代表什么數字？”請嘗試著以數學啟發法為指導去求解這一問題（對應解答為：21978×4=87912）。第95頁當前應該尤其注意一個問題預防簡單移植：集合與分類；函數與改變；極限與無限；……第96頁[例十一]“除非它們都能站起來！”這是發生在20世紀60年代一個真實故事：當初“新數運動”作為風靡全球改革運動正處于高潮之中，其關鍵思想就是認為應該用當代數學思想對傳統數學教育作出改造，因為集合概念在當代數學中占據了尤其主要位置，所以，下述情況出現就無足為奇了。第97頁在幼稚園上學女兒告訴數學家父親：“我們今天學了‘集合’！”父親：“老師是怎么教？”女兒：“女教師首先讓班上全部男孩子站起來，然后告訴大家這就是男孩子集合；其次，她又讓全部女孩子站起來，并說這是女孩子集合；接下來，又是白人孩子集合，黑人孩子集合，……最終，教師問全班：‘大家是否都懂了？’她得到了必定回復。”第98頁父：“那么，我們是否能夠將世界上全部匙子或土豆組成一個集合？” 遲疑了一會，女兒最終作出了這么回答：“不行！除非它們都能站起來！”第99頁結論應該更為清楚地去界定，就小學數學各個學習階段而言什么是相關數學思維？應該主動從事數學思維教學，這主要地又并非是指于專門性思維教學，而應愈加強調數學思想滲透，也即用數學思想分析指導、帶動詳細知識內容教學。第100頁[例十二]“重建”高斯少年時代高斯是怎樣很快求得1+2+3+……+99=4950？

第101頁類比與啟示為了求解S=1+2+3+……+99=？我們也可首先去計算2S：2S=1+2+3+……+99+99+98+97+……+1=100

99=9900S=4950第102頁結論之八用思維分析帶動詳細知識內容教學關鍵：方法論重建，從而實現化神奇為平凡、化難為易。意義之一：使數學教學真正“講活”、“講懂”、“講深”；意義之二：使數學思維真正成為能夠了解、能夠學到手、和能夠加以推廣應用。第103頁“講活”：教師應該經過自己教學活動向學生展現“活生生”數學研究工作，而不是死數學知識；“講懂”：教師應該幫助學生真正了解相關教學內容，而不是囫圇吞棗，死記硬背；“講深”：教師不但應幫助學生掌握詳細數學知識，而且也應幫助學生深入領會并逐步掌握內在思維方法。第104頁一些有益實踐與體會“顯”與“隱”。強調數學思想滲透，并非是指在教學中我們只需重視詳細知識內容而完全不用去顧及數學思維，從而使后者一直處于“深藏不露”局面，而是指我們不應用數學思維分析去完全取代知識內容教學，或是使二者處于完全割裂狀態。“數學思想方法該露臉時就露臉，依據需要，對數學思想方法進行提煉、歸納和概括。”（蔣巧君，“小學數學思想方法教學新探”，《小學數學教育》，No.9）第105頁所謂不應“求全”，也并非是指在“幫助學生學會數學地思維”這首先根本不用設定任何詳細目標，而可“自由行事，廉價處置”；恰恰相反，我們