第=page11頁，共=sectionpages11頁2024-2025學年湖南省邵陽市新邵縣高二（上）期末數學試卷一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的。1.設x，y∈R，空間向量a=(x,1,1),b=(2,y,?2)，且a/?/bA.?1 B.1 C.?3 D.32.直線x?3y+1=0的傾斜角為A.0° B.30° C.45° D.60°3.圓C1：(x?1)2+y2=4與圓C2：(x?2)2A.x?2y?5=0 B.2x+y?2=0 C.x?2y+3=0 D.2x+y?5=04.已知等比數列{an}的前n項和為Sn，若a3=3，SA.12或3 B.1或?12 C.12 5.若方程x27?m+y2m?1=1表示焦點在A.(?∞,1) B.(1,4) C.(4,7) D.(7,+∞)6.若{a,b,A.b+c,b,b?c 7.若直線l：mx+ny?1=0圓x2+y2+2x=0相切，則原點O到直線A.3 B.2 C.228.如圖，已知雙曲線C：x2a2?y2b2=1(a>0,b>0)的左焦點為F1，右焦點為F2，雙曲線C的右支上一點A，它關于原點O的對稱點為A.52 B.72 C.二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。9.已知等差數列{an}的前n項和為Sn，公差d≠0，SA.a1<0 B.d>0 C.a410.正方形ABCD的邊長為2，點E、F、G分別是AD、BC、EF的中點，如圖所示，將正方形沿EF折起，使得平面ABFE與平面DCFE垂直，則(

)A.∠AGG=2π3

B.異面直線AC與EF的所成角為π3

C.AC與平面ABFE的所成角的正切值為55

D.三棱錐C?AEG、C?BFG和C?ABG的體積分別為V111.拋物線的弦與過弦的端點的兩條切線所圍成的三角形常被稱為阿基米德三角形，該三角形以其深刻的背景、豐富的性質產生了無窮的魅力.設拋物線y2=2px(p>0)，弦AB過焦點F，△ABQ為其阿基米德三角形，則下列結論一定成立的是(

)A.點Q在拋物線y2=2px(p>0)的準線x=?p2上

B.存在點Q，使得OA?QB>0

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12.經過點(?2,3)，且對稱軸都在坐標軸上的等軸雙曲線的標準方程是______．13.已知正方體ABCD?A1B1C1D1的棱長為1，AC114.設等差數列{an}的各項均為整數，首項a1=3，且對任意正整數n，總存在正整數m，使得a四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。15.(本小題15分)

已知圓C的方程為x2+y2=1．

(1)求過點P(1,2)且與圓C相切的直線l的方程；

(2)直線m過點P(1,2)，且與圓C交于A，B兩點，當△AOB16.(本小題15分)

三棱臺ABC?A1B1C1的底面是正三角形，AA1⊥平面ABC，AB=4，A1B1=2，AA1=3，E是AB的中點，平面A117.(本小題15分)

已知數列{an}滿足a1=1，且an+1?an=n+1(n∈N?)．

(1)求數列{an}的通項公式；

(2)記數列{1an}的前n項和為Sn18.(本小題15分)

已知圓A：(x+2)2+y2=64，點B(2,0)，點P是圓A上任意一點.線段BP的垂直平分線l和半徑AP相交于點Q，與圓A交于M，N兩點，則當點P在圓A上運動時，

(1)求點Q的軌跡方程；

(2)證明：直線MN是點Q軌跡的切線；19.(本小題17分)

已知雙曲線E的中心為坐標原點，左焦點為(?3,0)，漸近線方程為y=±22x．

(1)求E的方程；

(2)若互相垂直的兩條直線l1，l2均過點P(pn,0)(pn>2，且n∈N?)，直線l1交E于A，B兩點，直線l2交E于C，D兩點，M，N分別為弦AB和CD的中點，直線MN交x參考答案1.C

2.B

3.B

4.A

5.C

6.D

7.B

8.D

9.ABC

10.ACD

11.ACD

12.y213.1

14.3

15.解：(1)當直線斜率不存在時，x=1顯然與x2+y2=1相切；

當直線斜率存在時，可設l：y=k(x?1)+2，由幾何關系可得d=|2?k|1+k2=r=1，

解得k=34，

故l：y=34(x?1)+2，即3x?4y+5=0，

故過點P(1,2)且與圓C相切的直線l的方程為x=1或3x?4y+5=0；

(2)設m：y=k1(x?1)+2，可設AB中點為D，

因為△AOB是等腰直角三角形，

所以OD=22r，

即圓心到直線距離16.解：(1)證明：在三棱臺ABC?A1B1C1中，

∵AC/?/A1C1，平面ABC/?/平面A1B1C1，

又平面A1B1C1∩平面A1C1E=A1C1，平面ABC∩平面A1C1E=l，

∴A1C1//l，又AC/?/A1C1，

∴AC/?/l；

(2)∵AA1⊥平面ABC，在平面ABC內作Ax⊥AC，

∴以A為原點，AC，AA1分別為y軸，z軸，建立空間右手直角坐標系，如圖，

則B(23,2,0)，E(17.解：(1)因為an+1?an=n+1，

所以a2?a1=2，

a3?a2=3，

……

an?1?an?2=n?1，

an?an?1=n，

累加可得an?a1=2+3+…+n?1+n=(n?1)(n+2)2，

解得an=(n?1)(n+2)2+a1=18.解：(1)根據題意可得|QP|=|QB|，

又圓A：(x+2)2+y2=64的圓心A(?2,0)，半徑為8，

所以|QA|+|QB|=|QA|+|QP|=|AP|=8>|AB|=4，

所以點Q在以點A，B為焦點的橢圓上，

其中橢圓的長軸長為8，焦距為|AB|=4，

所以a=4，c=2，b2=a2?c2=12，

所以Q的軌跡方程為x216+y212=1；

(2)證明：因為點P是圓A：(x+2)2+y2=64上任意一點，

所以設P(?2+8cosθ,8sinθ)，

則有lMN：(2cosθ?1)x+2sinθy+4cosθ?8=0，

將lMN代入橢圓C：x216+y212=1消去y整理得：

(cosθ?2)2x2+8(2cosθ?1)(cosθ?2)x+16(2cosθ?1)2=0，

故Δ=64(2cosθ?1)2(cosθ?2)2?4×16(cosθ?2)2(2cosθ?1)2

=64[(cosθ?2)x+4(2cosθ?1)]219.解：(1)依題意，設雙曲線方程為x2a2?y2b2=1(a,b>0)，

則漸近線方程為y=±bax，

則有ba=22c=3a2+b2=c2，解得a=2b=1c=3，

所以雙曲線E的方程為x22?y2=1；

(2)①當直線l1，l2中