第34講圓的方程【知識(shí)點(diǎn)總結(jié)】一、基本概念 平面內(nèi)到定點(diǎn)的距離等于定長(zhǎng)的點(diǎn)的集合（軌跡）叫圓.二、基本性質(zhì)、定理與公式 1.圓的四種方程 （1）圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：，圓心坐標(biāo)為(a,b)，半徑為（2）圓的一般方程：，圓心坐標(biāo)為，半徑（3）圓的直徑式方程：若，則以線段AB為直徑的圓的方程是（4）圓的參數(shù)方程：①的參數(shù)方程為（為參數(shù)）；②的參數(shù)方程為（為參數(shù)）.注對(duì)于圓的最值問(wèn)題，往往可以利用圓的參數(shù)方程將動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo)設(shè)為（為參數(shù)，(a,b)為圓心，r為半徑），以減少變量的個(gè)數(shù)，建立三角函數(shù)式，從而把代數(shù)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為三角問(wèn)題，然后利用正弦型或余弦型函數(shù)的有界性求解最值.2.點(diǎn)與圓的位置關(guān)系判斷（1）點(diǎn)與圓的位置關(guān)系：①點(diǎn)P在圓外；②點(diǎn)P在圓上；③點(diǎn)P在圓內(nèi).（2）點(diǎn)與圓的位置關(guān)系：①點(diǎn)P在圓外；②點(diǎn)P在圓上；點(diǎn)P在圓內(nèi).三、直線與圓的位置關(guān)系直線與圓的位置關(guān)系有3種，相離，相切和相交直線與圓的位置關(guān)系判斷1.幾何法（圓心到直線的距離和半徑關(guān)系）圓心到直線的距離，則：則直線與圓相交，交于兩點(diǎn)，；直線與圓相切；直線與圓相離2.代數(shù)方法（幾何問(wèn)題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問(wèn)題即交點(diǎn)個(gè)數(shù)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為方程根個(gè)數(shù)）由，消元得到一元二次方程，判別式為，則：則直線與圓相交；直線與圓相切；直線與圓相離.五、兩圓位置關(guān)系的判斷用兩圓的圓心距與兩圓半徑的和差大小關(guān)系確定，具體是：設(shè)兩圓的半徑分別是，（不妨設(shè)），且兩圓的圓心距為，則：則兩圓相交；兩圓外切；兩圓相離兩圓內(nèi)切；兩圓內(nèi)含（時(shí)兩圓為同心圓）【典型例題】例1．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)（文））已知圓C的圓心在直線上，且與直線相切于點(diǎn)，則圓C方程為（）A． B．C． D．例2．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）點(diǎn)在圓上，點(diǎn)在圓上，則（）A．的最小值為B．兩圓公切線有兩條C．兩個(gè)圓心所在的直線斜率為D．兩個(gè)圓相交弦所在直線的方程為例3．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）求圓心在直線上，且過(guò)兩圓，交點(diǎn)的圓的方程．例4．（2021·湖南·攸縣第三中學(xué)高三階段練習(xí)）已知圓的方程：.（1）求的取值范圍；（2）當(dāng)圓過(guò)A(1，1)時(shí)，求直線被圓所截得的弦的長(zhǎng).例5．（2020·江蘇·高三專題練習(xí)）的三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)是求它的外接圓的方程．例6．（2020·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知圓C：（x+2）2+y2＝5，直線l：mx﹣y+1+2m＝0，m∈R.（1）判斷直線與圓的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由；（2）若直線與圓交于兩點(diǎn)，求弦AB的中點(diǎn)M的軌跡方程.例7．（2021·全國(guó)·高三專題練習(xí)（理））已知點(diǎn)，點(diǎn)在圓上運(yùn)動(dòng).（1）求過(guò)點(diǎn)且被圓截得的弦長(zhǎng)為的直線方程；（2）求的最值.例8．（2021·遼寧·沈陽(yáng)二中高三階段練習(xí)）已知圓C1：x2＋y2＋6x－4＝0和圓C2：x2＋y2＋6y－28＝0.（1）求兩圓公共弦所在直線的方程；（2）求經(jīng)過(guò)兩圓交點(diǎn)且圓心在直線x－y－4＝0上的圓的方程.例9．（2021·全國(guó)·高三專題練習(xí)）求與圓切于點(diǎn)，且過(guò)點(diǎn)的圓的方程.例10．（2021·全國(guó)·高三專題練習(xí)（理））已知點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)滿足.（1）求點(diǎn)的軌跡的方程；（2）求經(jīng)過(guò)點(diǎn)以及曲線與交點(diǎn)的圓的方程.【技能提升訓(xùn)練】一、單選題1．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)（理））己知圓C經(jīng)過(guò)A（5，2），B（－1，4）兩點(diǎn)，圓心在x軸上，則圓C的方程是（）A．（x－2）2+y2=13 B．（x+2）2+y2=17C．（x+1）2+y2=40 D．（x－1）2+y2=202．（2021·新疆昌吉·高三階段練習(xí)（理））圓關(guān)于直線對(duì)稱的圓的方程為（）A． B．C． D．3．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)（理））若圓的半徑為，圓心在第一象限，且與直線和軸都相切，則該圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是（）A． B．C． D．4．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）過(guò)點(diǎn)，，且圓心在直線上的圓的方程是（）A． B．C． D．5．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）以點(diǎn)為圓心，且與直線相切的圓的方程為（）A． B．C． D．6．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）圓與圓的位置關(guān)系為（）A．內(nèi)含 B．外離 C．相交 D．相切7．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）若直線與圓相切，則的值為（）A． B． C． D．8．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）直線與軸，軸分別交于點(diǎn)，，以線段為直徑的圓的方程為（）A． B．C． D．9．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）與圓的公切線有（）A．1條 B．2條C．3條 D．4條10．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）圓的圓心到直線的距離為1，則A． B． C． D．211．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）若方程表示圓，則實(shí)數(shù)m的取值范圍為（）A． B． C． D．12．（2022·江蘇·高三專題練習(xí)）若點(diǎn)在圓的外部，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A． B． C． D．13．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系中，四點(diǎn)坐標(biāo)分別為，若它們都在同一個(gè)圓周上，則a的值為（）A．0 B．1 C．2 D．14．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)（文））圓心在軸上，且過(guò)點(diǎn)的圓與軸相切，則該圓的方程是（）A． B．C． D．15．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知直線，若圓上存在兩點(diǎn)，關(guān)于直線對(duì)稱，則的值為（）A． B．C． D．16．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）直線與圓的位置關(guān)系是（）A．相離 B．相交 C．相切 D．不確定17．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）若過(guò)點(diǎn)有兩條直線與圓相切，則實(shí)數(shù)的取值范圍是A． B． C． D．18．（2021·全國(guó)·高三階段練習(xí)（文））已知點(diǎn)在圓上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)在直線上運(yùn)動(dòng)，則的最小值為（）A． B． C． D．19．（2021·全國(guó)·高三專題練習(xí)（理））已知圓上的點(diǎn)到直線的距離的最大值是，最小值是，則（）A． B． C． D．20．（2022·上海·高三專題練習(xí)）為任意實(shí)數(shù)時(shí)，直線被圓截得的弦長(zhǎng)是A．8 B．4 C．2 D．與有關(guān)的值21．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知點(diǎn)A的坐標(biāo)是（-1，0），點(diǎn)M滿足|MA|=2，那么M點(diǎn)的軌跡方程是（）A．x2+y2+2x-3=0 B．x2+y2-2x-3=0 C．x2+y2+2y-3=0 D．x2+y2-2y-3=022．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)（文））已知點(diǎn)，點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)滿足（為坐標(biāo)原點(diǎn)），過(guò)點(diǎn)的直線被動(dòng)點(diǎn)的軌跡曲線截得的所有弦中最短弦所在的直線方程為（）A． B．C． D．23．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）圓到直線的距離為的點(diǎn)有（）A．個(gè) B．個(gè)C．個(gè) D．個(gè)24．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）直線：與圓：的位置關(guān)系是（）A．相交 B．相切 C．相離 D．不確定25．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）過(guò)點(diǎn)的直線l與圓相切，則直線l的方程是（）A．或 B．C．或 D．26．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知圓與直線切于點(diǎn)，則直線的方程為（）A． B．C． D．27．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）過(guò)點(diǎn)作圓的兩條切線，切點(diǎn)分別為，，則A． B． C． D．28．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知，直線，為上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作的切線，切點(diǎn)為，則的最小值為（）A．1 B． C．2 D．29．（2021·江西·高三階段練習(xí)（文））已知圓О的方程為，過(guò)圓О外一點(diǎn)作圓O的兩條切線PA，PB，切點(diǎn)分別為A，B，則直線AB的方程為（）A． B．C． D．30．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）過(guò)點(diǎn)作直線與圓相切于、兩點(diǎn)，則直線的方程為（）A． B． C． D．31．（2021·江蘇常州·一模）過(guò)圓：外一點(diǎn)作圓的切線，切點(diǎn)分別為、，則（）A．2 B． C． D．332．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知直線與圓相切，則m的值為（）A．3或 B．1或C．0或4 D．或033．（2022·河北張家口·高三期末）直線與圓交于、兩點(diǎn)，則（）A． B． C． D．34．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）若點(diǎn)為圓的弦的中點(diǎn)，則弦所在直線的方程為（）A． B． C． D．35．（2019·天津·耀華中學(xué)高三階段練習(xí)）已知圓：和直線：；若直線與圓相交于，兩點(diǎn)，的面積為2，則值為（）A．-1或3 B．1或5 C．-1或-5 D．2或636．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）圓C1：(x-2)2+(y-4)2＝9與圓C2：(x-5)2+y2＝16的公切線條數(shù)為（）A．1 B．2 C．3 D．437．（2021·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）圓心在直線x﹣y﹣4＝0上，且經(jīng)過(guò)兩圓x2+y2﹣4x﹣3＝0，x2+y2﹣4y﹣3＝0的交點(diǎn)的圓的方程為（）A．x2+y2﹣6x+2y﹣3＝0 B．x2+y2+6x+2y﹣3＝0C．x2+y2﹣6x﹣2y﹣3＝0 D．x2+y2+6x﹣2y﹣3＝038．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）若圓與圓外切，則（）A． B． C． D．39．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）圓與圓公共弦所在直線的方程為（）A． B． C． D．40．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）圓：與圓：交于、兩點(diǎn)，則（）A．6 B．5 C． D．41．（2022·上海·高三專題練習(xí)）已知圓上到直線的距離等于1的點(diǎn)恰有3個(gè)，則實(shí)數(shù)的值為A．或 B． C． D．或42．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)（理））已知圓上有且只有兩個(gè)點(diǎn)到直線的距離等于，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A． B． C． D．43．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）若圓：上有四個(gè)不同的點(diǎn)到直線：的距離為2，則的取值不可能是（）A．-15 B．13 C．15 D．044．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)（文））若圓上有且僅有兩個(gè)點(diǎn)到直線的距離等于2，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（）A． B．C． D．二、多選題45．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知圓的一般方程為，則下列說(shuō)法正確的是（）A．圓的圓心為 B．圓的半徑為5C．圓被軸截得的弦長(zhǎng)為6 D．圓被軸截得的弦長(zhǎng)為646．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知，M為圓上的動(dòng)點(diǎn)，則線段的長(zhǎng)可能為（）A．3 B．5 C．7 D．947．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）若P是圓上任一點(diǎn)，則點(diǎn)P到直線的距離可以為（）A．2 B．4 C．6 D．848．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）圓與圓有且僅有兩條公切線，實(shí)數(shù)的值可以取（）A． B． C． D．49．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知圓，圓，則下列是圓與圓的公切線的直線方程為（）A． B．C． D．三、雙空題50．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知方程為，則圓心坐標(biāo)為_(kāi)_______，圓半徑為_(kāi)_________．四、填空題51．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知圓心在第一象限的圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)，圓心在直線上，且半徑為5，則此圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為_(kāi)__________．52．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知圓C和直線相切于點(diǎn)，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)，則圓C的方程為_(kāi)__________.53．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）圓關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱的圓的方程為_(kāi)__________.54．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知三個(gè)點(diǎn)，，，則的外接圓的圓心坐標(biāo)是___________.55．（2022·上海·高三專題練習(xí)）若圓關(guān)于直線對(duì)稱，則該圓的半徑為_(kāi)_________56．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）兩圓x2＋y2－6x＋6y－48＝0與x2＋y2＋4x－8y－44＝0公切線的條數(shù)是________．57．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知直線l：kx﹣y﹣2k+2＝0與圓C：x2+y2﹣2x﹣6y+6＝0相交于A，B兩點(diǎn)，則|AB|的最小值為_(kāi)_____________．58．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知圓上一定點(diǎn)，為圓上的動(dòng)點(diǎn)，則線段中點(diǎn)的軌跡方程為_(kāi)_____________．59．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知圓，則直線和圓的位置關(guān)系為_(kāi)__________.60．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知圓O：則，過(guò)點(diǎn)作圓的切線，則切線的方程為_(kāi)__________.61．（2021·江蘇省如皋中學(xué)高三開(kāi)學(xué)考試）已知點(diǎn)Q是直線：上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)Q作圓：的切線，切點(diǎn)分別為A，B，則切點(diǎn)弦AB所在直線恒過(guò)定點(diǎn)___________.62．（2022·上海·高三專題練習(xí)）若斜率為的直線與軸交于點(diǎn)，與圓相切于點(diǎn)，則____________．63．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知直線x－y＋8＝0和圓x2＋y2＝25相交于A，B兩點(diǎn)，則|AB|＝__________.64．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）若圓被直線所截得的弦長(zhǎng)為，則實(shí)數(shù)的值是______．65．（2022·上海·高三專題練習(xí)）已知直線與圓相交于A?B兩點(diǎn)，且，則直線l的傾斜角為_(kāi)__________.66．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知過(guò)點(diǎn)且斜率為k的直線l，與圓C：交于M，N兩點(diǎn)，若弦的長(zhǎng)是2，則k的值是________．67．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知圓截直線所得弦長(zhǎng)是，則的值為_(kāi)_____．68．（2021·河北秦皇島·二模）已知