第20講三角函數公式【知識點總結】1.任意角（1）角的概念角可以看成平面內一條射線繞著端點從一個位置旋轉到另一個位置所成的圖形.（2）正角、負角、零角按逆時針方向旋轉所成的角叫正角；按順時針方向旋轉所成的角叫負角；一條射線沒有作任何旋轉而形成的角叫零角.（3）象限角當角的頂點與坐標原點重合，角的始邊與軸的非負半軸重合，那么角的終邊（除端點外）在第幾象限，就說這個角是第幾象限角.如果角的終邊落在坐標軸上，這時這個角不屬于任何象限.（4）終邊相同的角所有與角終邊相同的角，連同角在內，可構成一個集合2.弧度制（1）弧度的概念長度等于半徑長的圓弧所對的圓心角叫做1弧度的角.在半徑為的圓中，弧長為的弧所對的圓心角為，那么.正角的弧度數是一個正數，負角的弧度數是一個負數，零角的弧度數是0.（2）弧度與角度的換算（3）關于扇形的幾個公式設扇形的圓心角為（），半徑為，弧長為，則有=1\*GB3①；=2\*GB3②；=3\*GB3③.3.三角函數的概念（1）三角函數的定義已知角終邊上的任一點（非原點O），則P到原點O的距離..（2）幾個特殊角的三角函數值，，，的三角函數值如下表所示：函數不存在不存在（3）三角函數值的符號（4）誘導公式（一）終邊相同的角的同一三角函數值相等.，，，其中.4.同角三角函數間的基本關系（1）平方關系.（2）商數關系.作用：（1）已知的某一個三角函數值，求其余的兩個三角函數值；（2）化簡三角函數式；（3）證明三角函數恒等式.5.誘導公式（1）公式二，，.（2）公式三，，.（3）公式四，，.（4）公式五，.（5）公式六，.6.常用三角恒等變形公式和角公式差角公式倍角公式降次（冪）公式半角公式輔助角公式角的終邊過點，特殊地，若或，則【典型例題】例1．（2022·全國·高三專題練習）已知圓錐的側面積（單位：）為，且它的側面展開圖是一個半圓，則這個圓錐的底面半徑（單位：）是（）A． B．C． D．【答案】B【詳解】設圓錐底面半徑為，母線長為，則，解得.故選：B例2．（2022·全國·高三專題練習）已知角θ的頂點為坐標原點，始邊為x軸的非負半軸，且cosθ＝－，若點M(x，8)是角θ終邊上一點，則x等于（）A．－12 B．－10 C．－8 D．－6【答案】D【詳解】角θ的頂點為坐標原點，始邊為x軸的正半軸，且，若點M（x，8）是角θ終邊上一點，則：x＜0，利用三角函數的定義：，解得：x=-6．故選：D．例3．（2022·全國·高三專題練習）已知α，β∈，若sin＝，cos＝，則sin(α－β)的值為()A． B． C． D．【答案】A【詳解】由題意可得α＋∈，β－∈，所以cos＝－，sin(β－)＝－，所以sin(α－β)＝－sin[(α＋)－(β－)]＝－＝．故選：A．（多選題）例4．（2022·全國·高三專題練習）已知，，其中，為銳角，以下判斷正確的是（）A． B．C． D．【答案】AC【詳解】解：因為，，其中，為銳角，所以：，故A正確；因為，所以，故B錯誤；可得，故C正確；可得，所以，故D錯誤．故選：AC．（多選題）例5．（2022·江蘇·高三專題練習）下列說法正確的是（）A．B．C．D．【答案】AB【詳解】對于A，，故A正確；對于B，由兩角和的正弦公式，，故B正確.對于C，，故C錯誤.對于D，，故D錯誤.故選：AB例6．（2022·全國·高三專題練習）已知α∈（0，），β∈（﹣π，﹣），sinα＝，cosβ＝，則α+2β的值為______【答案】【詳解】因為α∈（0，），β∈（﹣π，﹣），sinα＝，cosβ＝，所以，，所以，所以，所以因為α∈（0，），β∈（﹣π，﹣），所以，所以，故答案為：例7．（2022·全國·高三專題練習）若，，則___________【答案】【詳解】，，，故答案為：．例8．（2022·全國·高三專題練習）若tanα=2，則的值為___________.【答案】【詳解】解析：法一：（切化弦的思想）：因為tanα=2，所以sinα=2cosα，cosα=sinα.又因為sin2α+cos2α=1，所以解得sin2α=.所以.法二：（弦化切的思想）.故答案為：例9．（2022·全國·高三專題練習）已知＝，則sin2x＝________．【答案】【詳解】∵sin2x＝cos＝cos2＝2cos2－1，∴sin2x＝2×－1＝－1＝．故答案為：【技能提升訓練】一、單選題1．（2022·全國·高三專題練習）將手表的分針撥快分鐘，則分針在旋轉過程中形成的角的弧度數是（）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據任意角的定義可得結果.【詳解】將手表的分針撥快分鐘，則分針在旋轉過程中形成的角的弧度數是.故選：D.2．（2022·全國·高三專題練習）與角終邊相同的角是（）A．221° B． C． D．【答案】A【分析】根據終邊相同的角相差的整數倍，逐個判斷即可.【詳解】余，故A正確，B、C、D中的角均不與角終邊相同.故選：A.【點睛】本題考查了終邊相同角的概念，考查了簡單的計算，屬于概念題，本題屬于基礎題.3．（2022·全國·高三專題練習）與角的終邊相同的角的表達式中，正確的是（）A．， B．，C．， D．，【答案】C【分析】要寫出與的終邊相同的角，只要在該角上加的整數倍即可．【詳解】首先角度制與弧度制不能混用，所以選項AB錯誤；又與的終邊相同的角可以寫成，所以正確．故選：．4．（2022·全國·高三專題練習）角的終邊屬于第一象限，那么的終邊不可能屬于的象限是（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】D【分析】由題意知，，，即可得的范圍，討論、、對應的終邊位置即可.【詳解】∵角的終邊在第一象限，∴，，則，，當時，此時的終邊落在第一象限，當時，此時的終邊落在第二象限，當時，此時的終邊落在第三象限，綜上，角的終邊不可能落在第四象限，故選：D.5．（2022·全國·高三專題練習）若角的終邊與240°角的終邊相同，則角的終邊所在象限是（）A．第二或第四象限 B．第二或第三象限C．第一或第四象限 D．第三或第四象限【答案】A【分析】寫出的表達式，計算后可確定其終邊所在象限．【詳解】由題意，所以，，當為偶數時，在第二象限，當為奇數時，在第四象限．故選：A．6．（2022·全國·高三專題練習）中國傳統扇文化有著深厚的底蘊，一般情況下，折扇可以看做是從一個圓形中前下的扇形制作而成的，當折扇所在扇形的弧長與折扇所在扇形的周長的比值為時，折扇的外觀看上去是比較美觀的，則此時折扇所在扇形的圓心角的弧度數為（）A． B． C． D．【答案】A【分析】設扇形的弧長為，半徑為，圓心角的弧度數為，由扇形的弧長與折扇所在扇形的周長的比得出，即得出所求.【詳解】設扇形的弧長為，半徑為，圓心角的弧度數為，由題意得，變形可得，因為，所以折扇所在扇形的圓心角的弧度數為．故選：A.7．（2022·全國·高三專題練習）如圖所示，扇環的兩條弧長分別是4和10，兩條直邊與的長都是3，則此扇環的面積為（）A．84 B．63 C．42 D．21【答案】D【分析】設扇環的圓心角為，小圓弧的半徑為，依題意可得且，解得、，進而可得結果.【詳解】設扇環的圓心角為，小圓弧的半徑為，由題可得且，解得，，從而扇環面積.故選：D．8．（2022·全國·高三專題練習）劉徽（約公元225年年），魏晉時期偉大的數學家，中國古代數學理論的奠基人之一.他在割圓術中提出的“割之彌細，所失彌少，割之又割，以至于不可割，則與圓周合體而無所失矣”，這可視為中國古代極限觀念的重要闡釋.割圓術的核心思想是將一個圓的內接正邊形等分成個等腰三角形，當變得很大時，這些等腰三角形的面積之和近似等于圓的面積.運用割圓術的思想，得到的近似值為（）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用割圓術的思想，將單位圓分成360個扇形，則扇形的圓心角均為，由題設扇形面積為，即有，可得的近似值.【詳解】將一個單位圓分成360個扇形，則每個扇形的圓心角度數均為，∵這360個扇形對應的等腰三角形的面積之和近似于單位圓的面積，∴，∴.故選：B.9．（2022·全國·高三專題練習）在平面直角坐標系中，角以x軸的非負半軸為始邊，且點在角的終邊上，則（）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據點P的坐標求出，結合任意角的余弦值的定義即可得出結果.【詳解】因為，所以由角的余弦值的定義可得，故選：A.10．（2022·全國·高三專題練習）已知點是角終邊上一點，則等于（）A． B． C． D．【答案】A【分析】由三角函數的定義可得，，再利用兩角差的余弦公式即可求解.【詳解】由題意可得，，=+=××，故選：A．11．（2022·浙江·高三專題練習）已知角終邊經過點，且，則（）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用任意角的三角函數定義列方程求解，進而可得的值.【詳解】因為角終邊經過點，且，所以，所以，所以點的坐標為，所以.故選:A12．（2022·上海·高三專題練習）已知點在第三象限，則角在（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】D【分析】結合第三象限點的特征得到，進而根據三角函數值的符號判斷角所在的象限即可.【詳解】解：∵點在第三象限，∴，∴在第四象限.故選：D.13．（2022·全國·高三專題練習）已知，若，則的值為().A． B． C． D．【答案】A【分析】利用平方關系和商數關系求解.【詳解】由，，解得，又，所以，所以.故選：A.14．（2022·全國·高三專題練習（理））已知，則（）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據同角三角函數的基本關系中的平方關系求解出的值，然后根據二倍角的余弦公式求解出結果.【詳解】將移項得，代入，得，即，解得，所以.故選：A.15．（2021·黑龍江·哈爾濱三中高三階段練習（文））已知，則的值為（）A． B． C． D．【答案】C【分析】結合平方關系，化為齊次式，然后弦化切轉化為的代數式，代入求值．【詳解】由題意．故選：C．16．（2020·西藏·山南市第三高級中學高三階段練習（理））已知，則的值為（）A． B． C． D．【答案】C【分析】將兩邊同時平方，再結合同角三角函數的關系及二倍角公式求解即可.【詳解】因為，兩邊同時平方得，所以，所以，故選：C.17．（2020·山東·高三專題練習）若，，則（）．A． B． C． D．【答案】A【分析】已知等式平方后應用二倍角公式得，同時判斷出，可再利用平方關系求得，從而可得，代入即得結論．【詳解】∵，①∴，即，∴．∵，且，∴，，∴．變形得，∴．故選：A．【點睛】本題考查二倍角公式、同角間的三角函數關系，解題中應用平方關系時要注意確定函數值的符號，確定解的情況．18．（2020·湖南·衡陽市八中高三階段練習（理））若，則（）A． B． C． D．【答案】C【分析】已知等式兩邊平方，利用同角三角函數關系化簡即可.【詳解】∵，則平方可得，∴，故選：C．【點睛】本題主要考查了同角三角函數的基本關系，屬于簡單題.19．（2021·山西·呂梁學院附屬高級中學高三期中（文））若，則（）A． B． C． D．【答案】B【分析】結合已知條件，利用sinα+cosα與2sinαcosα的關系即可求值.【詳解】.故選：B.20．（2021·河南·高三階段練習（理））已知，則（）A． B． C． D．【答案】B【分析】將已知等式平方可得，通過切化弦的思想將所求式子化簡即可得結果.【詳解】由，兩邊平方得，則，則.故選：B.21．（2021·黑龍江·哈爾濱三中高三期中（文））設，，則的值為（）A． B． C． D．【答案】C【分析】依題意可知，得到，再利用正余弦和差積三者的關系可求得的值，將所求關系式切化弦，代入所求關系式計算即可．【詳解】由，平方得到，，，，，而，；令，則，，，故選：．22．（2021·新疆昌吉·模擬預測（理））已知，則（）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用同角三角函數的基本關系求得的值，再利用二倍角的余弦公式和同角三角函數的商數關系可求得結果.【詳解】由題設得，，即，解得或（舍），故．故選：D.23．（2022·江蘇·高三專題練習）已知，則（）A． B．C． D．【答案】A【分析】由題設得，代入目標式化簡求值即可.【詳解】∵，即，∴，故選：A．24．（2022·浙江·高三專題練習）已知，則（）A． B．C． D．【答案】C【分析】把化為關于的二次齊次式，再轉化成用表示出即可得解.【詳解】因，則.故選：C25．（2021·云南師大附中高三階段練習（文））已知，則（）A．3 B． C． D．【答案】B【分析】根據已知條件求得，再用誘導公式和同角三角函數關系將目標式轉化為關于的式子，代值計算即可.【詳解】因為，故可得：.原式.故選：B.26．（2022·全國·高三專題練習）若，則（）A． B．C． D．【答案】D【分析】設，則，代入所求，可得，利用二倍角的余弦公式求解即可．【詳解】設，則，且，而，又，故．故選：．27．（2022·全國·高三專題練習）化簡：的值為（）A． B． C． D．【答案】B【分析】運用同角三角函數間的基本關系和三角函數的誘導公式化簡可得答案.【詳解】解：原式＝＝＝＝－1．故選：B.28．（2022·全國·高三專題練習）已知為銳角，，，則的值為（）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用配角法及兩角和余弦公式，即可得到結果.【詳解】∵為銳角，，∴，，∴，又，∴，故選：B29．（2022·浙江·高三專題練習）若，且，則（）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據同角的基本關系以及角的范圍求出和，然后利用兩角和的余弦公式即可求出結果.【詳解】因為，所以，又，所以，所以,故選：A.30．（2022·全國·高三專題練習）已知tan＝2，則tanα＝（）A． B．－ C． D．－【答案】A【分析】利用和角正切公式得＝2，即可求tanα.【詳解】tan＝＝2，解得tanα＝.故選：A31．（2022·全國·高三專題練習）已知角滿足，則（）A． B． C． D．【答案】D【分析】由題意可得，分兩種情況推出，進而可得結果.【詳解】由，且可知①或②由解得，由有知不可能，得.故選：D32．（2022·全國·高三專題練習）已知，，則()A． B． C． D．【答案】A【分析】本題考查三角恒等變換，考查運算求解能力.利用二倍角公式逐步化簡即可.【詳解】因為，所以，又，解得.故選：A.33．（2022·全國·高三專題練習）若，則的值為（）A． B． C． D．【答案】A【分析】由三角恒等變換可得，再由平方關系即可得解.【詳解】因為，所以，所以，因為，所以，所以，所以，所以.故選：A.34．（2022·全國·高三專題練習）的值為（）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據給定條件逆用二倍角的正弦公式，再用誘導公式化簡即得.【詳解】.故選：A35．（2021·廣東·模擬預測）若，則（）A． B． C． D．【答案】C【分析】將角看成整體，即，由此即可求解.【詳解】，.故選：.36．（2021·河南·溫縣第一高級中學高三階段練習（文））若，則（）A． B． C． D．【答案】B【分析】把看作一個整理，利用換元法，誘導公式和正弦的萬能公式進行求解.【詳解】依題意，，設，則，因為，故故選：B.37．（2021·全國·高三階段練習（文））已知，則（）A． B．C． D．【答案】B【分析】根據利用二倍角公式計算可得；【詳解】解：故選：B38．（2021·江蘇省鎮江中學高三階段練習）若，則（）A． B． C． D．【答案】B【分析】由題利用二倍角公式化簡，再由齊次式即得.【詳解】由題意可得：.故選：B.39．（2021·江蘇如皋·高三階段練習）已知，，，若，則（）A． B． C． D．【答案】A【分析】由可得，然后利用兩角和與差的正弦公式展開化簡可得，由可得，代入化簡得，由題意可知，所以，再結合的范圍可求得結果【詳解】由題意可知，，可化為，展開得，則，因為，，且，所以，則，且，所以，當時不滿足題意，所，因為，，所以，則，故選：A.二、多選題40．（2022·全國·高三專題練習）下列說法正確的有（）A．經過30分鐘，鐘表的分針轉過弧度B．C．若，，則為第二象限角D．若為第二象限角，則為第一或第三象限角【答案】CD【分析】對于A，利用正負角的定義判斷；對于B，利用角度與弧度的互化公式判斷；對于C，由求出的范圍，由求出的范圍，然后求交集即可；對于D，由是第二象限角，可得，，然后求的范圍可得答案【詳解】對于，經過30分鐘，鐘表的分針轉過弧度，不是弧度，所以錯；對于，化成弧度是，所以錯誤；對于，由，可得為第一、第二及軸正半軸上的角；由，可得為第二、第三及軸負半軸上的角.取交集可得是第二象限角，故正確；對于：若是第二象限角，所以，則，當時，則，所以為第一象限的角，當時，，所以為第三象限的角，綜上，為第一或第三象限角，故選項正確.故選：CD.41．（2022·江蘇·高三專題練習）已知扇形的周長是，面積是，則扇形的中心角的弧度數可能是（）A． B． C．2 D．或【答案】AB【分析】根據弧長公式和面積公式即可求解.【詳解】設扇形的半徑為，弧長為，則，∴解得或，則或1.故選：AB．42．（2022·全國·高三專題練習）已知扇形的周長是，面積是，下列選項正確的有（）A．圓的半徑為2 B．圓的半徑為1C．圓心角的弧度數是1 D．圓心角的弧度數是2【答案】ABC【分析】由題意及弧長的面積公式可得，進而得解.【詳解】設扇形半徑為，圓心角弧度數為，則由題意得，解得：，或，可得扇形半徑為1或2,圓心角的弧度數是4或1.故選：.【點睛】本題考查扇形面積公式的應用，根據題意設出未知數代入扇形面積公式列方程求解即可，屬于簡單題.43．（2022·全國·高三專題練習）已知，，，，，則下列說法正確的是（）A． B． C． D．【答案】AD【分析】將題設中等式兩邊平方后相加可得，結合角的范圍可求，從而可得正確的選項.【詳解】解：由題意知，，，將兩式分別平方相加，得，，即選項A正確，B錯誤；，，，而，，，即選項D正確，C錯誤．故選：AD．44．（2021·遼寧沈陽·高三階段練習）已知，，則下列結論正確的是（）A． B．C． D．【答案】BD【分析】由題意得，可得，根據的范圍，可得的正負，即可判斷A的正誤；求得的值，即可判斷D的正誤，聯立可求得的值，即可判斷B的正誤；根據同角三角函數的關系，可判斷C的正誤，即可得答案.【詳解】因為①，所以，則，因為，所以，所以，故A錯誤，所以，所以②，故D正確，①②聯立可得，，故B正確所以，故C錯誤，故選：BD45．（2022·全國·高三專題練習）下列式子正確的是（）A． B．C． D．【答案】ACD【分析】對于A，利用兩角差的正弦余弦公式求出的值即可，對于B，利用兩角和的余弦公式求解，對于C，求出的值代入化簡即可，對于D，利用兩角和的正切公式求解【詳解】對于A，因為，，所以，所以A正確，對于B，因為，所以B錯誤，對于C，因為，所以，所以C正確，對于D，因為，所以，所以，所以D正確，故選：ACD三、填空題46．（2022·全國·高三專題練習）若一個扇形的周長是4為定值，則當該扇形面積最大時，其圓心角的弧度數是__.【答案】2【分析】設扇形的圓心角弧度數為，半徑為，根據題意，，根據扇形的面積公式即可得解.【詳解】解：設扇形的圓心角弧度數為，半徑為，則，，當且僅當，解得時，扇形面積最大.此時.故答案為：2.47．（2022·全國·高三專題練習）已知扇形的周長為4cm，當它的半徑為________cm和圓心角為________弧度時，扇形面積最大，這個最大面積是________cm2.【答案】121【詳解】，則，則時，面積最大為，此時圓心角，所以答案為1；2；1.48．（2022·全國·高三專題練習）已知，且，則__．【答案】【分析】利用二倍角公式可得，再由同角三角函數的基本關系即可求解.【詳解】解：因為，整理可得，解得，或2（舍去），由于，可得，，所以，．故答案為：．49．（2021·河南·模擬預測（文））已知，則______.【答案】【分析】利用弦化切可求得結果.【詳解】因為，所以.故答案為：.50．（2020·山西·應縣一中高三開學考試（文））已知，則_________．【答案】2【分析】利用平方法，結合平方關系的同角三角函數關系式構造齊次式來求解.【詳解】因為，所以，即，所以，即，所以.故答案為：.51．（2022·全國·高三專題練習）已知，若是第二象限角，則的值為__________.【答案】【分析】利用完全平方和平方關系求解.【詳解】，所以，所以，所以.又因為是第二象限角，所以，，所以.故答案為：.52．（2021·山東師范大學附中高三階段練習）已知，則_________【答案】##【分析】利用三角恒等變換化簡求值.【詳解】由，得，即，，所以，故答案為：.53．（2022·全國·高三專題練習）已知，則的值為____【答案】【分析】利用二倍角正弦公式、同角三角函數的商數關系，結