第八章平面解析幾何(選擇性必修第一冊)

第1節直線與方程

整課程標準要求

1.理解直線的傾斜角和斜率的概念,掌握過兩點的直線斜率的計算

公式.

2.掌握確定直線位置的兒何要素，掌握直線方程的幾種形式(點斜式、

兩點式及一般式)，了解斜截式與一次函數的關系.

3.能根據兩條直線的斜率判定這兩條直線平行或垂直.

4.能用解方程組的方法求兩條相交直線的交點坐標.

5.掌握兩點間的距離公式、點到直線的距離公式,會求兩條平行直線

間的距離.

西海敖材夯箕四基

必備知識?課前回顧

性知識梳理

1.直線的傾斜角

(1)定義：當直線1與X軸相交時,取X軸作為基準,X軸正向與直線1

向上方向之間所成的角叫做直線1的傾斜角.當直線1與X軸平行或

重合時,規定它的傾斜角為0°.

⑵范圍：直線1傾斜角的取值范圍是［0,+).

2.斜率公式

⑴直線1的傾斜角為a(a790°)，則斜率

(2)Pi(X1，y,),P2(x2,y2)在直線1上，且x,^x2,貝ij1的斜率k=^i.

X2~X1

3.直線方程的五種形式

名稱方程適用范圍

點斜式y_y0=k(x-xo)不含直線X=Xo

斜截式y=kx+b不含垂直于X軸的直線

不含直線x=Xi(X|WX2)和

y-_x-xi

兩點式

yz-yixz-xi

直線y=yi(yi^y2)

不含垂直于坐標軸

截距式

ab

和過原點的直線

Ax+By+C=O,

一般式平面內所有直線都適用

A2+B2W0

■釋疑

(1)“截距式”中截距不是距離,在用截距式時,應先判斷,截距是否為

0,若不確定,則需分類討論.

⑵求直線方程時要注意判斷直線斜率是否存在;每條直線都有而孤

角，但不一定每條直線都存在特T

4.兩條直線的位置關系

(1)兩條直線平行與垂直

①兩條直線平行：

(i)對于兩條不重合的直線L,k若其斜率分別為k?k2,則有

h=ki=k2.

(ii)當直線L,b不重合且斜率都不存在時，

②兩條直線垂直：

(i)如果兩條直線L,L的斜率存在,設為k?k2,則有1.±

L^>ki*k2=~l.

(ii)當其中一條直線的斜率不存在，而另一條的斜率為0時，

⑵兩條直線的交點坐標

直線1,:A^+B^+CFO,12:A2x+B2y+C2=0,則L與b的交點坐標就是方程

組

{AxtBvtC-0的解?

(^2X+b2y十t2—U

5.幾種距離

(1)兩點Pl(X1,y,),P2(x2,y2)之間的距離

2-2

|PiP2l=J(x2-x1)+(y2yi)-

(2)點Po(xo,y0)至1J直線l:Ax+By+C=O的星巨離d=^^±L.

⑶兩條平行直線間的距離公式

兩條平行直線Ax+By+3=O與Ax+By+C=0間的距離d=具餐.

2yJA2+B2

■釋疑

(1)應用點到直線的距離公式時應將方程化為最簡的一般形式.

⑵應用兩條平行線間的距離公式時應使兩平行線方程中X,y的系數

分別對應相等.

法重要結論

1.直線系方程

(1)與直線Ax+By+C=O平行的直線系方程是Ax+By+m=O(m￡R且C).

⑵與直線Ax+By+C=O垂直的直線系方程是Bx-Ay+n=O(n￡R).

(3)過直線L：Aix+Biy+G=O與12:A2x+B2y+C2=0的交點的直線系方程為

Aix+Biy+Ci+入(A2x+B2y+C2)=0(入￡R),但不包括12.

2.兩直線平行的充要條件

直線LAx+Biy+G=0與直線l2:A2x+B2y+C2=0平行的充要條件是

AiBz-AzB^O,JzLAiC?—A2clWO.

3.兩直線垂直的充要條件

直線LAx+Biy+G=0與直線l2:A2x+B2y+C2=0垂直的充要條件是

A[A2+B|B2=0.

——對點自測3-

1.經過點A(8「2),斜率為T的直線方程為(D)

A.x-2y-12=0B.x+2y+4=0

C.2x+y-14=0D.x+2y-4=0

解析：由題意，直線過點A(8,-2),

且斜率為3，

根據直線的點斜式方程，

可得y-(-2)=3(x-8),

即x+2y-4=0.故選D.

2.(選擇性必修第一冊P57習題T3改編)直線l:xsin30°+ycos

150°+a=0的斜率為(A)

A.yB.V3C.-V3D.-y

解析：cos150°=-苧,sin30°=g,

所以k=-與=*故選A.

~2

3.已知直線1平分圓C:x2+y2-6x+6y+2=0的周長,且直線1不經過第三

象限,則直線1的傾斜角。的取值范圍為(A)

A.[90°,135°]B.[90°,120°]

C.[60°,135°]D.[90°,150°]

解析：圓C:x?+y2-6x+6y+2=0的標準方程為(x-3)?+(y+3)?=16,

故直線1過圓C的圓心⑶-3).

因為直線1不經過第三象限，

結合圖象可知，tan0WT,。￡[90°,135°].故選A.

4.(選擇性必修第一冊P72練習T2改編)直線l1：2x+(m+l)y+4=0與直

線l2:mx+3y-2=0平行：，貝ljm=;若貝!Jm=.

解析:若L〃12,則有"胃W1，

故m=2或-3.

若LIL,2m+(m+l)X3=0,

解得m=-|.

答案:2或-3-|

5.直線2x+2y+l=0,x+y+2=0之間的距離是.

解析:先將2x+2y+l=0化為x+y+1=0,

則兩平行線間的距離為d之冥乎.

V24

答案:早

美寺溶點既實四算

關鍵能力?課堂突破

喔考點一直線的傾斜角與斜率

1.直線xsina+y+2=0的傾斜角的取值范圍是(B

A.[0,n)B.[0,:]U片,口)

C[0,曰D.[0,可C&Ji)

解析:設直線的傾斜角為。，則有tan9=-sina.

因為sinae[-1,1],

所以TWtan8WL

又。￡[0,h),

所以0W。3或肛W。”.

44

故選B.

2.

若圖中直線L,b,13的斜率分別為k“k2,k3,貝lj(D

A.kKkzVk?

B.k3<ki<k2

C.k3<k2<ki

D.ki<k3<k2

解析:因為UL的傾斜角為銳角，且b的傾斜角大于L的傾斜角，所以

0<k3<k2,直線L的傾斜角為鈍角，斜率k/0,所以k,<k3<k2.故選D.

3.若點A(4,3),B(5,a),C(6,5)三點共線,則a的值為.

解析：因為kAc=1^=l,k=^-1=a-3,

64AB5-4

且A,B,C三點共線，

所以a-3=l,即a=4.

答案：4

4.直線1過點P(l,0),且與以A(2,1),B(0,V3)為端點的線段有公共

點,則直線1的斜率的取值范圍為.

解析：

如圖，因為kAP=——=1,

所以直線1的斜率ke(-oo,-V3］U［1,+8).

答案：(-8,-6］口［1,+8)

一題后悟通

1.在分析直線的傾斜角和斜率的關系時,要根據正切函數k=tana的

單調性,當a取值在［0,久即由。增大到算a弓)時,k由。增大到+

8,當a取值在0…)，即由式a嗎)增大到n(aWm)時,k由-8增

大到0.

2.斜率的兩種求法

(1)定義法:若已知直線的傾斜角a或a的某個三角函數值,一般根據

k=tana求斜率.

⑵公式法:若已知直線上兩點A(x?y),B(x2,y2),一般根據斜率公式

k="*(X|WX2)求斜率.

X2-X1

康考點二直線方程

CUD(1)(多選題)若直線1過點A(1,2),且在兩坐標軸上截距的絕對

值相等,則直線1的方程可能為()

A.x-y+l=OB.x+y-3=0

C.2x-y=0D.x-y-l=O

(2)已知點M是直線1:2x-y-4=0與x軸的交點,將直線1繞點M按逆

時針方向旋轉45°,得到的直線方程是()

A.x+y-3=0B.x-3y-2=0

C.3x-y+6=0D.3x+y-6=0

(3)經過兩條直線li：x+y=2,l2:2x-y=l的交點,且直線的一個方向向

量v=(-3,2)的直線方程為.

解析：(1)當直線經過原點時,斜率為k宗=2,所求的直線方程為y=2x,

即2x-y=0;當直線不過原點時一，設所求的直線方程為x±y=k,把點

A(1,2)代入可得l-2=k或l+2=k,求得k=-l或k=3,故所求的直線方程

為x-y+l=O或x+y-3=0.綜上,所求的直線方程為2x-y=0,x-y+l=O或

x+y-3=0.故選ABC.

⑵設直線1的傾斜角為Q,則tana=k=2,

直線1繞點M按逆時針方向旋轉45°,

所得直線的斜率k—tan(a=岑『-3.

41-2x1

又點M(2,0),

所以y=~3(x-2),即3x+y-6=0.故選D.

⑶聯立解得x=l,y=l,

又直線的方向向量v=(-3,2),

所以直線的斜率k=-|,

則直線方程為y-l=q(x-l),

即2x+3y-5=0.

答案:(l)ABC(2)D(3)2x+3y-5=0

解題策略

在求直線方程時,應先選擇適當的直線方程的形式,并注意各種形式

的適用條件.若采用截距式,應注意分類討論,判斷截距是否為零;若

采用點斜式,應先考慮斜率不存在的情況(或者直接設為

x-x0=m(y-y0),m￡R).

［針對訓練］

根據所給條件求直線的方程：

⑴直線過點(-4,0),傾斜角的正弦值為察；

⑵直線過點(4,1),且在兩坐標軸上的截距相等；

⑶直線過點(5,10),到原點的距離為5;

(4)直線過點⑵1)和(-2,3).

解：(1)由題設知,該直線的斜率存在,故可采用點斜式.

設傾斜角為a,則sina=^(0<a<n),

從而cosa=±B^,

則k=tana=+-.

故所求直線方程為y=±1(x+4).

即x+3y+4=0或x-3y+4=0.

⑵設直線1在x,y軸上的截距均為a.

若a=0,即1過(0,0)及(4,1)兩點,

所以1的方程為y^x,

即x-4y=0;

若aWO,則設1的方程為&】=1,

aa

因為1過點(4,1),

所以士+工二1,

aa

所以a=5,

所以1的方程為x+y-5=0.

綜上可知，直線1的方程為x-4y=0或x+y-5=0.

⑶當斜率不存在時,所求直線方程為x-5=0;

當斜率存在時,設其為k,

則所求直線方程為y-10=k(x-5),

即kx-y+(10-5k)=0.

由點到直線的距離公式,得普%=5,

解得k=^.

故所求直線方程為3x-4y+25=0.

綜上可知，所求直線方程為x-5=0或3x-4y+25=0.

(4)由兩點式得直線方程為白或，

3T-2-2

即x+2y-4=0.

峻考點三兩條直線的平行與垂直

1.已知兩條直線L：(a-l)x+2y+l=0,l2:x+ay+3=0平行,則a等于

(D)

A.-lB.2

C.0或-2D.-1或2

解析:法一因為直線L：(aT)x+2y+l=0的斜率存在,且

所以去二，

-2a

所以a=-l或a=2.

又因為兩條直線在y軸上的截距不相等，

所以a=-l或a=2時滿足兩條直線平行.

法二由A艮-AZBLO得，(a-1)a-2X1=0,

解得a=-l或a=2.

由AC—AzGWO,得(a—1)*3—1X1W0,即aW*

所以a=-l或a=2.

故選D.

2.已知直線li：2ax+(a+l)y+l=0,12:(a+l)x+(a~l)y=0,若li±l2,則a

等于(B)

A.2或:B.［或-1

C.iD.-l

3

解析:因為直線li：2ax+(a+l)y+l=0,12:(a+1)x+(a-l)y=0,li±l2,

所以2a(a+l)+(a+l)(a-l)=O,

解得a］或a=-l.故選B.

3.經過兩條直線2x+3y+l=0和x-3y+4=0的交點，并且垂直于直線

3x+4y-7=0的直線方程為.

解析：由方程組《惹空二/0,解得1j

V9，

即交點為(-|1),

因為所求直線與直線3x+4y-7=0垂直，

所以所求直線的斜率為k3.

由點斜式得所求直線方程為丫-三(x+|),

即4x-3y+9=0.

答案:4x-3y+9=0

一題后悟通

1.當直線方程中存在字母參數時,不僅要考慮到斜率存在的一般情況,

也要考慮到斜率不存在的特殊情況，同時還要注意X,y的系數不能同

時為零這一隱含條件.

2.在判斷兩直線平行、垂直時，也可直接利用直線方程的系數間的關

系得出結論.

慢考點四距離問題

(例2)(1)若兩平行直線L：x-2y+m=0(m>0)與k：2x+ny-6=0之間的距

離是遮，則2m+n等于()

A.0B.1C.-2D.-1

⑵若直線1過點P(-l,2),且到點A(2,3)和點B(-4,5)的距離相等，

則直線1的方程為.

解析：(1)因為

所以1?n=2X(-2),1X(-6)#2m,

解得n=-4,mW—3,

所以l2:x-2y-3=0.

又L,b之間距離是否，

所以二相

解得m=2或m=-8(舍去),

所以2m+n=0.

故選A.

(2)當AB〃1時，有k=kAB=q,

直線1的方程為y-2=q(x+l),

即x+3y-5=0.

當1過AB的中點時,AB的中點為(T,4),

所以直線1的方程為x=-l.

故所求直線1的方程為x+3y-5=0或x=-l.

答案：(1)A(2)x+3y-5=0或x=-l

解題策略

1.點到直線的距離的求法

可直接利用點到直線的距離公式來求，但要注意此時直線方程必須為

一般式.

2.兩平行線間的距離的求法

(1)利用“轉化法”將兩條平行線間的距離轉化為一條直線上任意一

點到另一條直線的距離.

(2)利用兩平行線間的距離公式.

[針對訓練]

(1)(2021?山西太原期中)已知直線li：mx+y-3=0與直線l2:x-y-m=0

平行，則它們之間的距離是()

A.2V2B.4C.V2D.2

⑵已知點P(4,a)到直線4x-3y-l=0的距離不大于3,則a的取值范圍

是.

解析：(1)因為直線li：mx+y-3=0與直線l2:x-y-m=0平行,

所以二，

1-1~m

解得m=-l.

所以直線L的方程為x-y+3=0,直線b的方程為x-y+l=0.

由平行直線間的距離公式，得d=.二二4八2故選C.

7+(-1)2四

⑵由題意得，點P到直線的距離為

14x4-3?a-l|_|15-3a

55~,

又弋犯W3,

即|15-3a|W15,

解得OWaWlO,

所以a的取值范圍是[0,10].

答案：⑴C⑵[0,10]

席考點五對稱問題(應用性)

C??(1)直線ax+y+3a-l=0恒過定點M,則直線2x+3y-6=0關于M點

對稱的直線方程為()

A.2x+3y-12=0B.2x_3y_12=0

C.2x-3y+12=0D.2x+3y+12=0

(2)直線ax+y+3a-l=0恒過定點M,則點M關于直線2x+3y-6=0對稱的

點N的坐標為.

⑶過點P(0,1)作直線1使它被直線l1：2x+y-8=0和b：x-3y+10=0截

得的線段被點P平分,則直線1的方程為.

(4)直線1與直線2x+y+3=0關于y軸對稱,則直線1的方程

為.

解析：(1)由ax+y+3a-l=0,

可得a(x+3)+(y-l)=0,

令［廠1=0,可得x=-3,y=l,

所以點M(-3,1)不在直線2x+3y-6=0上.

設直線2x+3y-6=0關于M點對稱的直線方程為2x+3y+C=0(Cr-6),

EHI-6+3-6_|_6+3+CI

V4+9=V4+9)

解得C=12或C=-6(舍去)，

所以所求直線方程為2x+3y+12=0.故選D.

(2)直線ax+2y+3a-l=0化為a(x+3)+yT=0,

所以該直線恒過定點M(-3,1).

設點M關于直線2x+3y-6=0的對稱點N的坐標為(x。,y。)，

00-1=3,

則有卜。+32，

x+3x口-6=0,

|I222

解得：6>'故點N的坐標為(磊.

|?。=育

(3)設L與1的交點為A(a,8-2a),

則由題意知，點A關于點P的對稱點B(-a,2a-6)在b上,把B點坐標

代入b的方程得-a-3(2a-6)+10=0,

解得a=4,即點A(4,0)在直線1上，

所以由兩點式得直線1的方程為x+4y-4=0.

(4)點(x,y)關于y軸對稱的點的坐標為(-x,y),

所以直線2x+y+3=0關于y軸對稱的直線l:2x-y-3=0.

答案：⑴D⑵(磊§(3)x+4y-4=0(4)2x-y-3=0

［"解題策略I

解決中心對稱問題的關鍵在于運用中點坐標公式，而解決軸對稱問題,

一般是轉化為求對稱點的問題,在求對稱點時,關鍵是抓住兩點:一是

兩對稱點的連線與對稱軸垂直;二是兩對稱點的中點在對稱軸上，即

抓住“垂直平分”，由“垂直”列出一個方程，由“平分”列出一個方

程,聯立求解.

［針對訓練］

(1)直線2x-y+3=0關于直線x-y+2=0對稱的直線方程是()

A.x-2y+3=0B.x-2y-3=0

C.x+2y+l=0D.x+2y-l=0

(2)

如圖，已知A(4,0),B(0,4),從點P(2,0)射出的光線經直線AB反射后

再射到直線0B上,最后經直線0B反射后又回到P點，則光線所經過的

路程是()

A.3V3B.6C.2V1OD.2V5

解析：(1)設所求直線上任意一點P(x,y),P關于x-y+2=0的對稱點為

P'(xo,y0),

產一*

由22

Ix-x0=-(y-y0)>

xo=y-2,

仔iyo=x+2,

由點P'(X。,y0)在直線2x-y+3=o上，

則2(y-2)-(x+2)+3=0,

即x-2y+3=0.

故選A.

(2)直線AB的方程為x+y=4,點P(2,0)關于直線AB的對稱點為D(4,2),

關于y軸的對稱點為C(-2,0),則光線經過的路程為

ICD|=V62+22=2V10.故選C.

息備選例題

CHD直線x+(a2+l)y+l=0的傾斜角的取值范圍是()

A.[0,=]B.丹…)

44

C.[0,可u。,n)D.片,JI)

42424

解析:依題意,直線的斜率k=-4re-I，0)，因此其傾斜角的取值范

az+l

圍是百，其).故選B.

4

C1力若經過兩點A(4,2y+l),B(2,-3)的直線的傾斜角為斗,則y等于

4

()

A.-lB.-3C.0D.2

解析：由k=l2：i=tan￥=_],得-4-2y=2,所以y=-3.故選B.

2-44

CW已知直線4x+my-6=0與直線5x~2y+n=0垂直,垂足為(t,1),則n

的值為()

A.7B,9C.11D,-7

解析：由直線4x+my-6=0與直線5x-2y+n=0垂直得,20-2m=0,即m=10.

直線4x+10y-6=0過點(t,1),

所以4t+10-6=0,即t=-l.

點(-1,1)又在直線5x-2y+n=0上,

所以-5-2+n=0,即n=7.故選A.

靈活小唬密致援卷

課時作業

選題明細表

知識點、方法基礎鞏固練綜合運用練應用創新練

直線的傾斜角與斜率1,2

直線方程5,9,10

兩條直線的位置關系3,4,711,1318

距離問題812,14,17

對稱問題615,16

A級基礎鞏固練

1.直線x+6y+l=0的傾斜角是(D)

A.-B.-

63

C.—D.—

36

解析：由直線的方程得直線的斜率為k=-噂，

設傾斜角為a,則tana=~

又a￡[0,兀)，

所以口二^.

O

故選D.

2.若平面內三點人(1,-)4(2,@2),以3,￡)共線,則2等于(A)

A.1土企或08.^或。

C.—D.—0

22

解析：由題意知k后k,?

即a(a2-2a-l)=0,

解得a=0或a=l±V2.

故選A.

3.在同一平面直角坐標系中，直線L:ax+y+b=0和直線b：bx+y+a=0有

可能是(B)

解析:由題意11:y=-ax-b,b:y=-bx-a,當a>0,b>0時，-a<0,-b〈0.選項

B符合.故選B.

4.(2021?福建漳州高三模擬)已知a2-3a+2=0,則直線L：ax+

(3-a)y-a=0和直線b：(6-2a)x+(3a-5)y-4+a=0的位置關系為(D)

A.垂直或平行B.垂直或相交

C.平行或相交D.垂直或重合

解析：因為a2-3a+2=0,

所以a=l或a=2.

當a=l時，li：x+2yT=0,l，2：4x-2y-3=0,

ki=~pk2=2,

所以L?kz=T,則兩直線垂直；

當a=2時，L：2x+y-2=0,b：2x+y-2=0,則兩直線重合.故選D.

5.若直線&Fl(a>0,b>0)過點(1,1),則a+b的最小值等于(C)

ab

A.2B.3C.4D.5

解析:將(1,1)代入直線為91,

ab

得工+21,a>0,b>0,

ab

故a+b=(a+b)(i+1)=2+-+?^2+2=4,等號當且僅當a=b時取到.故選C.

abab

6.點(1,2)關于直線x+y-2=0的對稱點是(B)

A.(1,0)B.(0,1)C.(0,-1)D.(2,1)

解析:設點A(1,2)關于直線x+y-2=0的對稱點是B(a,b),

則有露+叱2_2_0解得宜？

E+三2-0,

故點（1,2）關于直線x+y-2=0的對稱點是（0,1）.故選B.

7.（多選題）（2021?山東模擬）若三條直線1,:ax+y+l=0,

l2:x+ay+l=0,l3:x+y+a=0不能圍成三角形，貝!J（ABC）

A.3=1B,3=—1

C.a=-2D.a=2

解析:①當a=l時,直線L,b,k重合,不能構成三角形,符合題意.

②當arl時，若三條直線交于一點，則也不能構成三角形.由

=：'得直線bL的交點坐標為（，-1,1）.代入直線L的

方程ax+y+l=0得a2+a-2=0,解得a=~2或a=l（舍去），符合題意.

③三條直線中有兩條平行或重合,若1,和L平行或重合,則a=l;若12

和h平行或重合,則a=l;若L和k平行或重合,則-a=」,得a=±1,符

a

合題意.綜上,可得實數a所有可能的值為-1,1,-2.故選ABC.

8.已知坐標原點關于直線L：x-y+l=0的對稱點為A,設直線b經過點

A,則當點B（2,7）到直線卜的距離最大時，直線k的方程為（B）

A.2x+3y+5=0B.3x-2y+5=0

C.3x+2y+5=0D.2x-3y+5=0

r包1O

_-2-

—2

解析：設A（x。,y。），依題意可得，—也

\通

解得？=丁即

（Jo=1，

設點B(2,T)到直線k的距離為d,

當d=|AB|時取得最大值,此時直線12垂直于直線AB.

1-3

乂kAB2'

所以直線L的方程為yT=|(x+l),

即3x-2y+5=0.

故選B.

9.已知直線1:(a-2)x+(a+l)y+6=0,則直線1恒過定點.

解析:直線1的方程變形為a(x+y)-2x+y+6=0,

y=0，

ffl1-2x+y+6=0,

解得x=2,y=-2,

所以直線1恒過定點(2,-2).

答案：⑵-2)

10.菱形ABCD的頂點A,C的坐標分別為A(-4,7),C(6,-5),BC邊所在

直線過點P(8,-1).求：

(1)AD邊所在直線的方程；

(2)對角線BD所在直線的方程.

因為AD〃BC,

所以kAD=2.

所以AD邊所在直線的方程為廠7=2(x+4),

即2x-y+15=0.

（2）kAc=-^-=-f,

6-（-4）5

因為菱形的對角線互相垂直,

所以BDLAC,

所以RBD=2*

因為AC的中點（1,1）,也是BD的中點，

所以對角線BD所在直線的方程為

y-l=7（x-l）,

6

即5x-6y+l=0.

B級綜合運用練

11.已知直線li：x+2y+l=0與l2:ax-y+2=0平行，則實數a的值是

（C）

A」B.2

2

c.--D.-2

2

解析：因為直線li：x+2y+l=0與l2:ax-y+2=0平行，

所以全年考，

解得a=-1.故選C.

12.若三條直線y=2x,x+y=3,mx+ny+5=0相交于同一點,則點（m,n）到

原點的距離的最小值為（A）

A.V5B.V6

C.2V3D.2V5

解析:聯立j3,解得x=l,y=2,

把（1,2）代入mx+ny+5=0得m+2n+5=0,即m=-5-2n.

點(m,n)到原點距離d=Vm2+n2=J(-5-2n)2+(n+2)2+5

V5.

當且僅當n=-2,m=-l時,取.故選A.

13.與直線x-2y+3=0平行,且與兩坐標軸圍成的三角形的面積為4的

直線方程是.

解析:設所求直線方程為x-2y+X=0,令x=0,得yg;令y=0,得x=-入,

由題意得;2?I-X|=4,解得入=±4.

答案:x-2y±4=0

14.兩平行直線L,k分別過點P(T,3),Q(2,-1),它們分別繞P,Q旋轉,

但始終保持平行,則L,卜之間的距離的取值范圍是.

解析:因為且P￡L,Q￡12,

所以L,12間的最大距離為

IPQl=J[2-(-l)]2+(-1-3)2=5.

又L與不重合，

所以L,b之間距離的取值范圍是(0,5].

答案：(0,5]

15.曲線C:x2+y2-2x=0關于直線x-2y=0對稱的曲線方程是.

解析：由x2+y2-2x=0得(xT)2+y2=l,

圓心為C(l,0),半徑為1.

設C(l,0)關于直線x-2y=0的對稱點為C'(x°,y、),

=-2,

則有XQ-I

XQ+1-2?絲吧=0,

I22

解得Xo=|,4

所以所求的曲線方程為(x-|)2+(y-|)-1.

答案：&-|)2+6/=1

16.已知直線1:3x-y+3=0,求：

⑴點P(4,5)關于1的對稱點;

⑵直線x-y-2=0關于直線1對稱的直線方程；

⑶直線1關于點(1,2)對稱的直線方程.

解：(1)設P(x,y)關于直線l:3x-y+3=0的對稱點為P'(x',y').

因為kPP-?ki=-l,即5-^X3=-1.①

X-X

又PP'的中點在直線3x-y+3=0上，

所以3*寧上$+3=0.②

/=21^,③

由①②得,④

把x=4,y=5代入③④得x'=-2,y'=7,

所以點P(4,5)關于直線1的對稱點P'的坐標為(-2,7).

(2)用③④分別代換x-y-2=0中的x,y,

得關于1對稱的直線方程為士^2-變答"2=0,

化簡得7x+y+22=0.

⑶在直線1:3x-y+3=0上取點M(0,3),

設點M關于(1,2)的對稱點加設，田),

所以等=l,x'=2,芋=2,y'=1,

所以M'(2,1).

直線1關于點(1,2)的對稱直線平行于1,

所以k=3,

所以對稱直線方程為y-l=3X(x-2),

即3x-y-5=0.

17.已知點P(2,T).

⑴求過點P且與原點的距離為2的直線1的方程；

⑵求過點P且與原點的距離最大的直線1的方程,并求出最大距離；

⑶是否存在過點P且與原點的距離為6的直線?若存在,求出方程；

若不存在,請說明理由.

解：(1)過點P的直線1與原點的距離為2,而點P的坐標為(2,-1),顯

然，過點P(2,-1),且垂直于x軸的直線滿足條件，此時1的斜率不存

在，其方程為x=2;

若斜率存在,設1的方程為y+l=k(x-2),

即kx-y-2k-l=0.

|-2k-l|_

由已知得2

V/C2+l

解得H，

此時直線1的方程為3x-4y-10=0.

綜上可得,直線1的方程為x=2或3x-4y-10=0.

⑵作圖可得過點P與原點0的距離最大的直線是過點P,且與P0垂

直的直線,如圖.

由1J_OP,得k]?kOp=-l,

因為kop="|,

所以ki=--^-=2.

kop

由直線方程的點斜式得y+l=2(x-2),

即2x-y-5=0.

所以直線2x-y-5=0是過點P且與原點0的距離最大的直線,最大距離

為+:回

(3)不存在.由⑵可知,過點P不存在到原點的距離超過通的直線，因

此不存在過點P且到原點的距離為6的直線.

C級應用創新練

18.如圖,在平面直角坐標系中，分別在x軸與直線y=g(x+l)上從左

向右依次取點Ak,Bk(k=l,2,…,其中Ai是坐標原點)，使△AkBkAg是等

邊三角形,則△AioBioA”的邊長是.

解析:直線y=y(x+l)的傾斜角為30°,與x軸的交點為P(T,0).

又△ABA?是等邊三角形，

所以NPB也=90°,

所以等邊△ABA2的邊長為1,

且A2BI//A3B2/7…〃A10B9,A2B1與直線y=y(x+1)垂直，

故△A2BB,△A3B2B3,△ABB”…,△AiBBi。均為直角三角形,

且依次得到A2B2=2,A3B3=4,A4B4=8,A5B5=16,A6B6=32,A7B7=64,A8B8=128,

AgB9=256,AioBio=512,

故的邊長是512.

答案：512

第2節圓與方程

口課程標準要求

1.掌握確定圓的幾何要素,掌握圓的標準方程與一般方程.

2.能根據給定直線、圓的方程,判斷直線與圓的位置關系;能根據給定

兩個圓的方程判斷兩圓的位置關系.

3.能用直線和圓的方程解決一些簡單的問題.

?招裁材夯英四基

必備知識?課前回顧

B知識梳理

i.圓的定義與方程

定義平面內到定點的距離等于定長的點的集合叫做圓

(x-a)2+(y-b)2圓心為(a,b)

標準式

=r~(r>0)半徑為工

方程充要條件:律+E2-4F〉0

x”+Dx+

一般式圓心坐標

Ey+F=O

半徑+E2-4F

2.點與圓的位置關系

222

點M(xo,y0)與圓(x-a)+(y-b)=r的位置關系:

(1)若y0)在圓外,

則(x(ra):+(y()-b)■)

(2)若M(x。,y。)在圓上,

則(xo-ay+M-bW.

(3)若M(x。,y。)在圓內,

則(x0-a)2+(y()-b)tri

3.判斷直線與圓的位置關系常用的兩種方法

⑴幾何法:利用圓心到直線的距離d和圓的半徑r的大小關系

d〈r=相交;婦相切;d>ro相離.

>0相交；

判別式_----

⑵代數法:△=〃-4/?=0相切；

<0\相離.____

4.圓與圓的位置關系

設圓0i：(x-aj2+(y-bi)2=r(r^O),

22

圓02:(x-a2)+(y-b2)=r/(r2>0).

、方法

代數法:聯立兩圓

幾何法:圓心距d與

位由方程組成方程

r.,m的關系

關系\組的解的情況

外離d>n+r2無解

外切d=n+n一組實數解

ri-r1

相交12兩組不同的實數解

內切d=1r-r21(nW。)一組實數解

內含0Wd<|nF(rHn)無解

層重要結論

1.以A(xby),B(x2,y2)為直徑端點的圓的方程為

(x-xi)(x-x2)+(y-yi)(y-y2)=0.

2.圓的切線方程常用結論

2

(1)過圓x2+y2=d上一點P(x。,y0)的圓的切線方程為xox+yoy=r.

⑵過圓(x-a)2+(y-b)2=r2上一點P(x。,y0)的圓的切線方程為

(x0-a)(x-a)+(y0-b)(y-b)=r\

⑶過圓x2+y2=N外一點M(x0,y。)作圓的兩條切線,則兩切點所在直線

2

方程為x0x+y0y=r.

3.圓系方程

(1)同心圓系方程：(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0),其中a,b是定值,r是參數;

(2)過直線Ax+By+C=O與圓x2+y2+Dx+Ey+F=0交點的圓系方程:x?+y2+

Dx+Ey+F+入(Ax+By+C)=0(入￡R);

22

⑶過圓3：x2+y2+Dix+E1y+F尸0和圓C2:x+y+D2x+E2y+F2=0交點的圓系

22

方程:x、y2+Dix+Eiy+Fi+人(x+y+D2x+E2y+F2)=0(XWT)(該圓系不含

圓C”解題時，注意檢驗圓C2是否滿足題意，以防漏解).

4.兩圓相交時公共弦的方程

設圓3：x2+y2+Dix+Eiy+R=0,①

22

圓C2:x+y+D2x+E2y+F2=0.②

若兩圓相交,則有一條公共弦,其公共弦所在直線方程由①-②得,即

(D-D2)x+(E-E2)y+(F-F2)=0.

—一對點自測，-

1.若點(1,1)在圓(x-a￥+(y+a)2=4的內部,則實數a的取值范圍是

(A)

A.(-1,1)

B.(0,1)

C.-1)U(1,+8)

D.±1

解析:點(1,1)在圓(x-a)2+(y+a)2=4的內部，

所以(l-a)2+(l+a)2<4,

解得-l〈a〈L

故選A.

2.(多選題)已知圓M的一般方程為x2+y2-8x+6y=0,則下列說法正確的

是(ABD)

A.圓M的圓心為(4,-3)

B.圓M被x軸截得的弦長為8

C.圓M的半徑為25

D.圓M被y軸截得的弦長為6

解析：圓M的一般方程為x2+y2-8x+6y=0,則(x-4F+(y+3)2=25.圓的圓

心坐標為(4,-3),半徑為5.顯然選項C不正確,A,B,D均正確.故選

ABD.

3.(選擇性必修第一冊P98習題T1改編)圓Q:x2+y2-4x=0在點P(1,遮)

處的切線方程為(D)

A.x+V3y-2=0B.x+V3y-4=0

C.x-V3y+4=0D.x-V3y+2=0

解析:因為點P在圓上,且圓心Q的坐標為(2,0),

所以kpQ=1"=-W,

所以切線的斜率k=1,

所以切線方程為y-百=？(xT),

即x-V3y+2=0.

故選D.

4.圓(x+2T+y2=4與圓&-2)2+(丫-1)2=9的位置關系為(B)

A.內切B.相交C.外切D.相離

解析:兩圓圓心分別為(-2,0),(2,1),半徑分別為2和3,圓心距

d=V42+12=V17.

因為3-2<d<3+2,

所以兩圓相交.故選B.

5.若方程x2+y2+ax+2ay+2a2+a-1=0表示圓，則a的取值范圍是.

解析：方程x2+y2+ax+2ay+2a2+a-l=0可化為(x+￡)?+(y+a)z=-^a2-a+l.

因為該方程表示圓，

所以-，2-a+l〉0,

即3a2+4a-4<0,

所以-2<a<|.

答案：(-2,|)

關鍵能力?課堂突破奏今考堂咸實,

臉考點一圓的方程

1.半徑為2的圓C的圓心在第四象限,且與直線x=0和x+y=2V2均相

切，則該圓的標準方程為(C)

A.(x-l)2+(y+2)2=4

B.(x-2)2+(y+2)2=2

C.(x-2)2+(y+2)2=4

D.(x-2V2)2+(y+2V2)M

解析:設圓心坐標為(2,-a)(a>0),則圓心到直線x+y=2四的距離

d=2-=2,

、V2/

所以a=2,

所以該圓的標準方程為(X-2)2+(y+2)2=4.

故選C.

2.已知圓C過點A(6,O),B(1,5),且圓心在直線l:2x-7y+8=0上，則圓

C的方程為.

解析:法一(幾何法)kAB=f^=-l,

則AB的垂直平分線方程為y-|=x-1,

即x-y-l=O,

聯立方程組b后;'I'。，

解得：2：

r=J(6-3)2+(0-2)2=VT3,

故圓C的方程為(x-3)2+(y-2)2=13(圓的任何一條弦的垂直平分線過

圓心).

法二(待定系數法)設所求圓的方程為(x-a)2+(y-b)2=d.

((6-a)24-(0-b)2=r2,

由題息口1得J(1-a)2+(5-b)2=r2,

I2a~7b+8=0,

ra=3,

解得b=2,

#2—13,

故所求圓C的方程為(x-3尸+(y-2)2=13.

答案：6-3y+(y-2尸=13

3.經過三點(2,T),(5,0),(6,1)的圓的一般方程為.

解析:設所求圓的一般方程為x2+y2+Dx+Ey+F=0,

(22+(-l)2+2D-E+F=0,

由題意可知,j52++5D+0+F=0,

(62+l2+6D+E+F=0,

D=-4,

解得，E=-8,

.F=-5,

故所求圓的一般方程為x2+y2-4x-8y-5=0.

答案：x2+y2-4x-8y-5=0

一題后悟通:

求圓的方程的兩種方法

(1)直接法:根據圓的幾何性質，直接求出圓心坐標和半徑，進而寫出

方程.

⑵待定系數法：

①若已知條件與圓心(a,b)和半徑r有關,則設圓的標準方程,依據已

知條件列出關于a,b,r的方程組,從而求出a,b,r的值；

②若已知條件沒有明確給出圓心或半徑,則選擇圓的一般方程,依據

已知條件列出關于D,E,F的方程組,進而求出D,E,F的值.

臉考點二與圓有關的最值問題

口角度-利用幾何法求最值

⑴在平面直角坐標系xOy中，若圓C:(x-3)2+(y-a)2=4上存在

兩點A,B滿足：NA0B=60°,則實數a的最大值是()

A.5B.3C.V7D.2V3

(2)已知M(x,y)為圓C:x?+y2-4x-14y+45=0上任意一點,且點Q(-2,3).

①求|MQ|的最大值和最小值；

②求匚的最大值和最小值；

③求y-x的最大值和最小值.

⑴解析:根據題意，圓C的圓心為(3,a),在直線x=3上，

分析可得,當圓心距離x軸的距離越遠，ZA0B越小.

如圖，當a>0時，圓心C在x軸上方，若OA,OB為圓的切線且NA0B=60°,

此時a取得最大值，

此時NA0C=30°,

有|0C|=2|AC|=4,

即(3-0)2+(a-0尸=16,

解得a=V7,

故實數a的最大值是迎.

故選C.

⑵解:①由圓C:x2+y2-4x-14y+45=0,

可得(x-2)2+677=8,

所以圓心C的坐標為⑵7),半徑r=2V2.

又IQC|=J(2+2)2+(7-3)2=4加，

所以㈣&+2岳6近，

|MQ|min=4V2-2V2=2V2.

②可知U表示直線MQ的斜率k.

x+2

設直線MQ的方程為y-3=k(x+2),

即kx-y+2k+3=0.

因為直線MQ與圓C有交點，

所以12卜清祟3

Vl+k2

可得2~V^WkW2+V^,

所以0的最大值為2+V3,最小值為2-V3.

%+2

③設y-x=b,則x-y+b=O.

當直線y=x+b與圓C相切時,截距b取到最值，

所以左二￥-2企,

J停+(-1)2

解得b=9或1.

所以y-x的最大值為9,最小值為1.

解題策略:

處理與圓有關的最值問題時,應充分考慮圓的幾何性質，并根據代數

式的幾何意義，借助數形結合思想求解,其中以下幾類轉化較為常見:

⑴形如m衛心的最值問題,可轉化為動直線斜率的最值問題.

x-a

⑵形如m=ax+by的最值問題,可轉化為動直線截距的最值問題.

⑶形如m=(x-2)2+(丫43)2的最值問題,可轉化為兩點間距離的平方的

最值問題.

口角度二利用代數法求最值

(W3)設點p(x,y)是圓(x-3)2+y2=4上的動點,定點A(0,2),B(0,-2),

—>—>

則|PA+PB|的最大值為.

解析：由題意,知PA=(-x,2-y),PB=(-x,-2-y),

所以蘇1+麗=(-2x,-2y),

由于點P(x,y)是圓上的點，

2

故其坐標滿足方程(x-3)+yM,

故y2=-(x-3)2+4,

所以PA+PB\力4K2+4y2=246%-5.

由圓的方程(x-3)2+y2=4,易知1WXW5,

-->—>

所以當x=5\PA+PB|的值最大,最大值為2V6x5-5=10.

答案：10

解題策略

根據已知條件列出相關的函數關系式,再根據關系式的特征選用基本

不等式、函數單調性等方法求最值.

［針對訓練］

(1)已知實數x,y滿足(x-2)2+(y-l)2=l,則z號的最大值與最小值分

別為和?

(2)已知A(0,2),點P在直線x+y+2=0上，點Q在圓C:x2+yMx-2y=0

上,則|PA|+1PQ|的最小值是.

解析：⑴由題意，得匕表示過點A(0,T)和圓(x-2)2+(y-1)2=1上的動

X

點P(x,y)的直線的斜率.當且僅當直線與圓相切時,直線的斜率分別

取得最大值和最小值.設切線方程為y=kxT,即kx-yT=0,則*=1,

解得kW,

⑵因為圓C:x?+y2-4x-2y=0,

故圓C是以C(2,1)為圓心,半徑『的的圓.

設點A(0,2)關于直線x+y+2=0的對稱點為A'(m,n),

f—+—+2=0,

解得故"(-4,-2).

Ln=-2,

連接A，C交圓C于Q,由對稱性可知

|PA|+|PQ|=|A/P|+|PQ|2|A，Q|=

|A，C|-r=2V5.

答案：(1)萼子(2)26

慢考點三直線與圓的位置關系

口角度-位置關系的判斷

?ED已知點M(a,b)在圓0:x2+y2=l外,則直線ax+by=l與圓0的位置

關系是()

A.相切B.相交C.相離D.不確定

解析:因為M(a,b)在圓0:x2+y2=l外，

所以a2+b2>l,

而圓心0到直線ax+by=l的距離

1a?0+匕?0-11

d=----7===——=-F==<1,

y/a2+b2y/a2+b2

所以直線與圓相交.

故選B.

解題策略

判斷直線與圓的位置關系常見的方法

(1)幾何法:利用d與r的關系.

⑵代數法:聯立方程組,消元得一元二次方程之后利用△判斷.

⑶點與圓的位置關系法:若直線恒過定點且定點在圓內，可判斷直線

與圓相交.

口角度二弦長問題

C例2.若3a2+3b?-4c2=0,則直線ax+by+c=0被圓0:x"+y2=l所截得的弦

長為()

213

A.-B.1C.-D.-

324

解析：因為a2+b2=#,

所以圓心0(0,0)到直線ax+by+c=0的距離：=、,

所以直線ax+by+c=0被圓x2+y2=l所截得的弦長為2卜唔

2X乂.故選B.

解題策略!

弦長的兩種求法

⑴代數法:將直線和圓的方程聯立方程組,消元后得到一個一元二次

方程.在判別式△>0的前提下,利用根與系數的關系，根據弦長公式求

弦長.

(2)幾何法:若弦心距為d,圓的半徑長為r,則弦長1=262一42.

口角度三切線問題

do已知點P(/+l,2-&)，點M(3,1),圓C:(X-1)2+62)2=4.

⑴求過點P的圓C的切線方程;

⑵求過點M的圓C的切線方程,并求出切線長.

解：由題意得圓心C(l,2),半徑r=2.

⑴因為(企+1-1)2+(2-&-2)2=4,

所以點P在圓C上.

又L與親一，

所以切線的斜率k=-—-=l.

kpc

所以過點P的圓C的切線方程是

y-(2-V2)=x-(V2+1),

即x-y+l-2V2=0.

⑵因為(3-1尸+(1-2)2=5>4,

所以點M在圓C外部.

當過