摘要：在小學(xué)數(shù)學(xué)“圖形與幾何”領(lǐng)域的教學(xué)中引導(dǎo)學(xué)生運用幾何直觀和推理意識建構(gòu)問題解決模型是一項重要學(xué)習(xí)任務(wù)。教師在教學(xué)中可以運用以下策略，幫助學(xué)生建構(gòu)“圖形與幾何”問題解決模型：采用問題引領(lǐng)，啟發(fā)學(xué)生主動探究；在具身體驗中，培養(yǎng)學(xué)生有序思考；利用數(shù)形結(jié)合，優(yōu)化解決問題策略；在類比推理中，建構(gòu)解決問題模型。關(guān)鍵詞：幾何直觀；具身探索；類比推理；問題解決模型小學(xué)階段，學(xué)生的思維以具體形象思維為主。在“圖形與幾何”領(lǐng)域的教學(xué)中，教師可利用可視化材料，引導(dǎo)學(xué)生借助幾何直觀，以觀察為基本手段，充分感悟圖形的特征。幾何直觀、觀察思考是“圖形與幾何”學(xué)習(xí)的基本方法，其作用是為探索過程奠定基礎(chǔ)，同時也可以讓學(xué)生更好地體會圖形知識的生成過程。同時，教師也要清醒地認識到，對想象力和思維的培養(yǎng)不僅是通過觀察形成的，抽象幾何的性質(zhì)、關(guān)系和度量，還必須通過讓學(xué)生具身操作來獲得。同樣，對于圖形的認識，由直觀辨認到系統(tǒng)認識，都是經(jīng)歷觀察、比較、歸納、總結(jié)、概括特點的認知過程?；谝陨纤伎?，我們建構(gòu)了“運用幾何直觀，在具身探索推理中建構(gòu)問題解決模型”的教學(xué)路徑（通稱“圖形與幾何”問題解決教學(xué)路徑），以期待對這類課的教學(xué)有一定的借鑒作用（如圖1）。下面以“包裝中的學(xué)問”一課教學(xué)為例，談一談“運用幾何直觀，在具身探索推理中建構(gòu)問題解決模型”的思考與實踐。一、問題引領(lǐng)，探究由“被動”到“主動”問題引領(lǐng)可以幫助學(xué)生逐步學(xué)會更深入、更清晰、更全面、更合理地思考。所以，在數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師應(yīng)重視問題設(shè)計。在“包裝中的學(xué)問”一課中，教師應(yīng)立足學(xué)生已有的生活經(jīng)驗和學(xué)習(xí)起點，精心設(shè)計問題，使學(xué)生在問題引領(lǐng)下經(jīng)歷學(xué)習(xí)過程，有感悟才能有圖分析、有話可說、有理可推。本節(jié)課主要圍繞以下幾個問題引發(fā)學(xué)生思考與交流。問題1：如圖2，這個牛奶盒類似于長6cm，寬4cm，高13cm的長方體。要包裝這盒牛奶，至少需要多少包裝紙？就是求長方體的什么？由于把一個牛奶盒實物圖轉(zhuǎn)化為類似的長方體，并引導(dǎo)學(xué)生通過觀察平面圖與相對應(yīng)的數(shù)據(jù)，他們立刻理解了求包裝1盒牛奶需要多少包裝紙，就是求長方體的表面積。學(xué)生及時計算出牛奶盒的表面積，既復(fù)習(xí)了舊知，又為后面的探究驗證埋下伏筆。問題2：如圖3，一箱牛奶有12盒，只能這樣擺放嗎？為什么生產(chǎn)廠家要這樣擺放？有的學(xué)生說這樣擺放是因為最節(jié)省包裝紙，是這樣嗎？下面我們要做什么？（驗證）。12盒牛奶如何擺放才最節(jié)省包裝紙，請大家閉著眼睛在腦海里擺一擺，想一想，你有什么感覺？我們可以怎樣做？（從簡單出發(fā)，先研究2盒、3盒、4盒，看看能否從中找到最節(jié)省包裝紙的規(guī)律）。問題3：說說4盒牛奶可以怎么包裝？你能根據(jù)剛才擺放的方法給這些包裝分分類嗎？為什么這樣分？問題4：請大家猜一猜哪種擺放方法最節(jié)省包裝紙，我們應(yīng)怎樣驗證自己的猜想？通過計算比較，你發(fā)現(xiàn)了什么？問題5：遇到包裝問題時是否都要把所有包裝方法一一列舉出來，再進行計算比較，才能找到最佳包裝的方法？能不能探究出一種最節(jié)省包裝紙的方法？以上問題均能借助可視化實物和草圖，充分調(diào)動學(xué)生學(xué)習(xí)的主動性和積極性，引發(fā)學(xué)生充分觀察、深度思考、暢所欲言，彰顯思維顯性化。教師要讓學(xué)生有足夠的時間和空間經(jīng)歷觀察、猜測、驗證、計算、推理、建模等活動過程，使學(xué)生真正在問題引領(lǐng)中思考，在思考中感悟，在感悟中深入，以此提升思維層次。二、具身體驗，思考由“零亂”到“有序”在探究由4個相同長方體組合成新的長方體時，雖然大部分學(xué)生通過小組合作動手擺4盒牛奶，并根據(jù)擺的實物圖畫出相對應(yīng)的草圖，一共得到6種包裝方案，但此時學(xué)生的思維還是零亂無序的，思考還是片面的。為了讓學(xué)生的思考從零亂到有序，思考由片面到全面，筆者展開了如下具身體驗教學(xué)環(huán)節(jié)。先讓學(xué)生想一想4盒牛奶可以怎么擺。合作要求：1人邊說邊擺，組員邊觀察邊在表格里動手畫圖（輪流拼擺），比一比哪一組擺的方法多。小組匯報補充，說一說是怎么擺的，小組一邊展示所畫的草圖，一邊說擺的方法（如圖4）。師：你能根據(jù)剛才匯報的擺法，給這6個圖形分分類嗎？說說為什么這樣分？學(xué)生通過觀察交流發(fā)現(xiàn)：這6個圖形的體積相等，都是由4個相同長方體組成的，即4=4×1×1=1×4×1=1×1×4=2×2×1=2×1×2=1×2×2，學(xué)生根據(jù)不同的排列組合方法，把6種疊放方法分為以下兩類（如下頁圖5）。師：你能依據(jù)剛才4盒牛奶疊放的分類方法，快速探究出6盒牛奶一共有多少種包裝方法嗎？12盒呢？（學(xué)生先獨立嘗試，再小組交流匯報）教師在教學(xué)過程中，沒有讓學(xué)生僅僅停留在動手擺實物、畫草圖得出6種包裝方案這一層面上，而是讓學(xué)生繼續(xù)思考并闡述擺的方法和特點，清晰感受到6種擺法的真實畫面。接著，教師繼續(xù)引發(fā)學(xué)生思考，根據(jù)6種擺法給圖形分分類，再一次激起學(xué)生思維的火花。由于學(xué)生對疊放的方法理解到位了，加上6個圖形體積不變，通過觀察比較，發(fā)現(xiàn)長、寬、高4，1，1分為一類，1，2，2分一類，這樣對多種擺法就做到了不重復(fù)、不遺漏，有序思考就水到渠成了。在此基礎(chǔ)上，教師引導(dǎo)學(xué)生結(jié)合4盒牛奶擺的方法和分類策略，獨立解決6盒、12盒的擺法，培養(yǎng)學(xué)生學(xué)以致用、舉一反三的能力。這樣，學(xué)生在腦海中自然而然地建構(gòu)起多個相同長方體組合成新的長方體疊放的方法。三、數(shù)形結(jié)合，策略由“多樣”到優(yōu)化學(xué)生通過擺牛奶盒、畫草圖、標出新的長方體的長、寬、高等數(shù)形結(jié)合的策略，使得新的長方體示意圖鮮活地呈現(xiàn)在每個學(xué)生的面前。然后，教師引導(dǎo)學(xué)生充分觀察包裝示意圖，通過猜想、計算驗證、比較、發(fā)現(xiàn)，揭示最節(jié)省包裝紙包裝方法的本質(zhì)特征，發(fā)展學(xué)生優(yōu)化的思想。下面以探索4個長方體哪種疊放方法最節(jié)省包裝紙為例（如圖6）。猜一猜哪種方案最節(jié)省包裝紙？大部分學(xué)生都猜第3種，因為它重合的面積最大，共重合了4個大面和4個中間，所以包裝的面積應(yīng)該是最小。是不是這樣呢？教師要引導(dǎo)學(xué)生通過計算驗證、比較再下結(jié)論。學(xué)生以小組為單位開展合作探究學(xué)習(xí)，在小組匯報時，出現(xiàn)了3種驗證比較方法。第一種是：根據(jù)表面積計算公式計算出6種新的大長方體的表面積；第二種是：用總表面積-重合面積=新的表面積來計算出6個圖形的表面積；第三種是：先用推理方法排除表面積比較大的①②④三種圖形，再計算驗證剩下的③⑤⑥三個圖形的表面積。A組學(xué)生匯報：我們組根據(jù)長方體的表面積計算公式，每人分工算出一種新圖形的表面積，再把6種不同包裝的表面積進行比較，發(fā)現(xiàn)3號包裝的表面積最小，即（12×8+12×13+8×13）×2=712cm2。通過整體比較分析，我們還發(fā)現(xiàn)了其中的兩條規(guī)律：（1）長寬高越接近，表面積越??；（2）長寬高加起來的和越小，表面積越小。學(xué)生邊聽A組學(xué)生的匯報，邊觀察思考，發(fā)現(xiàn)他們的探究有理有據(jù)。B組學(xué)生匯報：我們組根據(jù)4個小長方體總的表面積-重合面積=新長方體的表面積，每人分工算出一種包裝圖形的表面積，再進行比較，也發(fā)現(xiàn)3號表面積是最小的，它重合了前后面和左右面，即308×4-（12×13×2+8×13×2）=712cm2，從中我們發(fā)現(xiàn)，重合面積越大，拼成的新長方體表面積越小，越節(jié)省包裝紙。學(xué)生對B組方法和發(fā)現(xiàn)充分肯定。C組學(xué)生匯報：我們組先根據(jù)每個小長方體的大面、中面、小面去觀察6種圖形，因為重合面越小，表面積越大。1號重合面是6個中面，2號重合面是4個小面和4個中面，4號重合面是6個小面，這3個圖形包裝面積一定大的，所以直接排除。另外3個圖形重合面比較接近，所以通過計算3個圖形表面積后再比較，也發(fā)現(xiàn)3號表面積是最小的。我們也發(fā)現(xiàn)“重合面積越大，表面積越小，最節(jié)省包裝紙?！睂W(xué)生聽完C組學(xué)生的比較方法后，一致認可，并響起了掌聲。教師總結(jié)：剛才同學(xué)們呈現(xiàn)的3種策略證實了我們的猜想。通過觀察比較，大家都喜歡第3種策略，理由是C組的驗證方法是通過觀察圖形的特點，根據(jù)重合大面、中面、小面的情況，快速把表面積大的包裝圖形通過推理的方法排除。然后，把表面積相近的3種包裝圖形進行計算比較并發(fā)現(xiàn)結(jié)果。這種解題策略直觀、簡潔、高效，從中學(xué)生可以深刻理解“重合面積越大，拼成的新長方體表面積越小，越節(jié)省包裝紙”這一規(guī)律。教師讓學(xué)生猜測哪種方案最節(jié)省包裝紙，激起了學(xué)生探究驗證的熱情，通過可視化的圖形，引領(lǐng)學(xué)生觀察、思考、計算、發(fā)現(xiàn)、匯報，為不同層次學(xué)生搭建解決問題的舞臺；引導(dǎo)學(xué)生比較三種解題策略的優(yōu)劣，闡述自己的見解，分享別人的智慧，使他們在解釋中理解最節(jié)省包裝紙的本質(zhì)屬性，提高了分析思考能力，發(fā)展優(yōu)化思想。四、類比推理，建模由“個例”到“一般”在探究最節(jié)省包裝紙的活動中，每一環(huán)節(jié)學(xué)生的思考都離不開幾何直觀的支撐，教師通過引領(lǐng)拼擺2盒、4盒牛奶方法，且畫出每一種包裝方案示意圖，使學(xué)生經(jīng)歷猜想、計算、驗證，發(fā)現(xiàn)了“重合面積越大，拼成的新長方體表面積越小，越節(jié)省包裝紙”這一規(guī)律。那是不是以后遇到包裝問題都要把所有包裝方法一一畫出來，再觀察比較計算，才能得出最節(jié)省包裝紙的面積呢？能否根據(jù)1盒牛奶，比較2盒、4盒牛奶最節(jié)省包裝紙的示意圖，直接探究推理找出最節(jié)省包裝紙的方法呢？這樣的問題打開了學(xué)生的思維，學(xué)生紛紛通過觀察示意圖發(fā)表自己的見解。大部分學(xué)生討論交流后認為，不需要把所有的包裝方法都擺或畫出來，可以根據(jù)前面發(fā)現(xiàn)的規(guī)律，每次包裝時，只要想辦法把最大面重合，這樣包裝面積就最小了。例如，1盒牛奶，前面最大，包2盒時就把1盒前面重合蓋住，這樣2盒最節(jié)省包裝紙方案就出來了。教師出示思考題，讓學(xué)生把4盒牛奶最節(jié)省包裝紙圖在草稿本上畫一畫，比一比誰能最快推導(dǎo)出來。學(xué)生快速推理出4盒最節(jié)省包裝紙示意圖（如圖6），而且剛剛探究過4盒牛奶最節(jié)省包裝紙是712cm2，所以，這個每次“找新大面，蓋新大面”直接逼近最節(jié)省包裝紙的方法讓全班學(xué)生心服口服，欣然接受。教師再次引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)示意圖推理：如果繼續(xù)往下推，能推出6盒、9盒、12盒的最節(jié)省包裝紙方案嗎？大家在草稿本上接著找一找、蓋一蓋、推一推、看誰第一個推出來？在4盒的基礎(chǔ)上，學(xué)生運用“每次找新大面，蓋新大面”的方法解決問題。一些空間觀念強的學(xué)生，把6盒、9盒、12盒牛奶最節(jié)省包裝紙示意圖都畫出來了（如圖7）。教師提問：“如果給你充足的時間，你還能繼續(xù)往下推嗎