第2章工業機器人運動學2.1

工業機器人運動學的矩陣表示2.2坐標系變換的表示方法2.3變換矩陣的逆2.4機器人正運動學2.5機器人的逆運動學解

ISO8373將工業機器人定義為能夠實現自動控制、可重復編程、多功能多用途,具有三個或三個以上自由度的工業自動化設備。機器人機構能夠獨立運動的關節數目,稱為機

器人機構的運動自由度(DegreeofFreedom,DOF)。一個獨立運動的關節為一個自由度,通常也將機器人的自由度稱為軸數,常見的有三軸、四軸、五軸、六軸和七軸工業機器人。

機器人運動學是機器人應用的核心內容之一,其包括正向運動學和逆向運動學。機器人的每個關節變量值已知,確定機器人末端位姿(位置和姿態)的過程稱為正向運動學;機

器人末端的位姿已知,確定機器人各個關節變量值的過程稱為逆向運動學。本章將從機器人的運動學表示、計算和分析三個方面,由淺到深地闡述機器人的運動學理論和方法。本

書以常用的六自由度工業機器人為代表進行描述,其外形如圖2-1所示,相關內容可以推廣到其他工業機器人應用中。

圖2-1常用的六自由度工業機器人

2.1工業機器人運動學的矩陣表示

1.空間點的表示方法空間點P用相對于參考坐標系的3個坐標分量表示(如圖2-2所示),即其中,ax、by

和cz

分別為P點在參考坐標系下的3個坐標分量,i、j、k

分別為x、y、z軸的方向向量。

圖2-2-空間點的表示方法

其中,ax、by

和cz

分別為P點在參考坐標系下的3個坐標分量,用矩陣形式可表示為

圖2-3空間向量的表示方法

為了便于表示縮放比例,引入比例因子w來描述向量縮放的尺度,可表示為

如果比例因子w=1,則各分量保持不變;如果w=0,則表示長度為無窮大的方向向量;如果w<1,則表示向量的分量都縮小;如果w>1,則表示向量的分量都放大。

3.機器人的坐標系

為了便于描述機器人運動,需要定義不同的坐標系。機器人運動的坐標系可分為參考類坐標系、機器人類坐標系和外界輔助類坐標系。參考類坐標系包括世界坐標系、基坐標

系、大地坐標系等;機器人類坐標系包括關節坐標系(也稱為運動坐標系)、末端執行器坐標系和工具坐標系等;外界輔助類坐標系包括工作臺坐標系和工件坐標系等。

世界坐標系(WorldCoordinateSystem,WCS)是參照地球的直角坐標系,即系統的絕對坐標系。在沒有建立用戶坐標系前所有點的坐標都是基于該坐標系的原點來確定位置的。

基坐標系(BaseCoordinateSystem,BCS)是以安裝機器人的基座為基準,描述機器人本體在三維空間運動的直角坐標系,通常定義為機器人前后方向為x軸,左右方向為y軸,上下方向為z軸。

大地坐標系(GeodeticCoordinateSystem,GCS)是以大地為參考的直角坐標系,用于多個機器人聯動和有附加外軸的機器人。通常大地坐標系定義為機器人的上下方向為z軸,向下為+z,向上為-z。通常,大地坐標系與基坐標系重合,但以下兩種情況有所不同:

(1)當機器人倒置安裝時,倒置機器人的基坐標系與大地坐標系的z軸方向相反,如圖2-4所示。

圖2-4倒置機器人

(2)當機器人帶外部軸時,大地坐標系位置固定,基坐標系則隨著機器人整體的運動而運動,如圖2-5所示。圖2-5帶外部軸的機器人

關節坐標系(JointCoordinateSystem,JCS)是指在機器人各關節建立的坐標系,關節坐標系通常都是運動坐標系。運動坐標系是針對參考坐標系而言的,是在參考坐標系下不斷運動的直角坐標系。

末端執行器坐標系(End-effectorCoordinateSystem,ECS),又稱腕部坐標系,其建立在機器人臂的末端連桿上,即機器人的腕關節處。

工具坐標系(ToolCoordinateSystem,TCS)是指表示工具中心和工具姿勢的直角坐標系,通常設置在機器人末端,其原點及方向隨末端位置與角度不斷變化。應根據工具的形狀、尺寸,建立與之對應的工具坐標系。

工作臺坐標系(Working-tableCoordinateSystem,WCS)是一個通用的坐標系。其根據基坐標系來確定,通常被設定在工作臺的一個角上,機器人所有運動都是相對于這個坐標系而言的,也稱為任務坐標系、世界坐標系或通用坐標系。

工件坐標系是以工件為基準建立的直角坐標系,用于描述機器人工具中心點的運動。

4.運動坐標系在參考坐標系中的表示

工業機器人通常為剛體,在運動和受力作用下機器人形狀和大小均不變,其各部分是固連在一起的,其各點的位置不變。若要定義一個空間的物體,則物體相對于參考坐標系的位姿可利用物體的原點位置信息和坐標軸的姿態信息表示,如圖2-6所示。

圖2-6空間物體表示

運動坐標系是描述物體的位姿及位姿變化的數學工具,坐標系包括坐標系原點、坐標軸的方向及單位向量。

x運動坐標系原點的位置由點在參考坐標系Fxyz下的向量來表示,如圖2-7所示。運動坐標系原點在參考坐標系下的原點可表示為

式中,px、py、pz

為P點在x、y、z軸上的投影分量。

圖2-7運動坐標系原點在參考坐標系下的表示

運動坐標系的坐標軸是由三個相互正交的方向向量來表示的,如圖2-8所示。運動坐標系是在參考坐標系下建立的坐標系,如運動坐標系Fnoa,其下標的n、o、a分別表示接近軸、方向軸和正交軸,將這三個坐標軸投影到參考坐標系上,可表示為

式中,矩陣F的元素為運動坐標系的坐標軸n、o、a在x、y、z軸上的投影,即矩陣第1列為運動坐標系的n軸在參考坐標系的x、y、z軸上的投影;同樣,矩陣第2、3列分別為運動坐標系的o、a軸分別在參考坐標系的x、y、z軸上的投影。因此,運動坐標系Fnoa在參考坐標系Fxyz中可表示為

圖2-8運動坐標系的坐標軸在參考坐標系下的表示

2.2-坐標系變換的表示方法

坐標系變換描述的是運動坐標系相對于固定參考坐標系運動而發生的變化,通常利用矩陣可以直觀地表示變換的過程。坐標系變換包括坐標系平移、繞坐標系軸旋轉及平移/旋轉混合變換三類。

1.坐標系平移變換

坐標系平移是指物體所附著的坐標系在空間的姿態不變的情況下,坐標系的原點位置運動變化的過程。其實,坐標系平移是某坐標系原點相對于參考坐標系發生了變化,即從坐標系原點P平移到新的坐標系原點P',如圖2-9所示。

圖2-9坐標系平移

在平移過程中,原點位置發生了變化,但姿態不變,方向單位向量不改變,則變化矩陣T表示為

式中,dx、dy

和dz

分別為坐標系相對于參考坐標系沿x、y、z軸的平移量。

在參考坐標系框架下,平移后新坐標系的原點位置為原坐標系的原點位置向量與平移向量的和,則新坐標系Fnew的矩陣形式可表示為

其中,Fold為原坐標系矩陣,T為變換矩陣。用符號可表示為

或

可見,坐標系平移就是原坐標系左乘變換矩陣。

2.坐標系旋轉變換

圖2-10坐標系Fnoa與參考坐標系Fxyz的關系

圖2-11繞x軸旋轉θ角度坐標系間的關系

通過建立幾何關系,獲得坐標系Fnoa相對于參考坐標系的新坐標系矩陣。繞x軸旋轉后,px不隨坐標系Fxyz的x軸旋轉而改變,py和pz則隨之發生變化,如圖2-12和圖2-13所示。

圖2-12-繞x軸旋轉后參考坐標系y軸的變化

圖2-13繞x軸旋轉后參考坐標系z軸的變化

通過對式(2-10)和式(2-12)進行觀察,可發現變換矩陣具有如下特點:

(1)主對角線上有一個元素為1,其余均為旋轉角的余弦/正弦;

(2)繞某坐標軸轉動的次序與元素1所在的行、列號對應。

(3)元素1所在的行和列的其他元素均為0。

(4)從元素1所在行起,自上而下先出現的正弦前為負號。

例2-3運動坐標系Fnoa中的一個點p(3,5,2)T繞參考坐標系z軸旋轉90°。求旋轉后該點相對于參考坐標系的坐標變化。

解由式(2-9)和式(2-12)可得

因此,旋轉后點所在的位置為[-532]T。

3.坐標系混合變換

混合變換是指坐標系進行的一系列平移、旋轉等運動集合的過程。實際上,任何復雜的運動變換都可以分解為平移變換和旋轉變換的序列。

假定坐標系Fnoa相對于參考坐標系Fxyz進行如下運動:

(1)繞x軸旋轉α;

(2)分別沿x、y、z軸平移[l1,l2,l3];

(3)繞y軸旋轉β。

例2-4固連在坐標系Fnoa中的一個點p(3,5,2)T經過平移[2,3,4]、繞z軸旋轉90°、繞x軸旋轉45°、繞y軸旋轉60°等四個連續的運動過程。求變換后該點相對于參考坐標系的坐標變化。

4.坐標系變換推廣

前述內容均為坐標系相對于參考坐標系的變換,而如果坐標系相對于運動坐標系或當前坐標系運動的變化規律是不同的。由于運動坐標系中點或物體的位置總是相對于運動坐

標系來測量的,其計算只要右乘相應的變換矩陣即可。

假定坐標系Fnoa的變換都是相對于當前運動坐標系進行如下運動:

(1)繞x軸旋轉α角度;

(2)分別沿x、y、z軸平移[l1,l2,l3];

(3)繞y軸旋轉β角度。

2.3變換矩陣的逆

假設機器人需要完成“在工件P上鉆孔”的任務,要求分析這個運動的變換矩陣,則該任務需要用到的坐標系有參考坐標系U、機器人基座坐標系R、機器人手坐標系H、末端執行器坐標系E和工件坐標系P,如圖2-14所示。

圖2-14機器人在工件上鉆孔

工件的位置利用工件坐標系P描述,機器人基座是由相對于參考坐標系U下的坐標系R描述的,機器人手利用坐標系H描述,末端執行器用坐標系E來描述。因此,工件鉆孔點的位置與參考坐標系U的變換矩陣表示為

在式(2-13)中所涉及的五個變換矩陣中,能夠直接得到的變換矩陣有以下幾個:

UTR為機器人坐標系R相對于全局坐標系U的變換,即基座位置安裝已知;

HTE為末端執行器E相對于機器人手坐標系H變換,即末端執行器的任何機械已知;

UTP為零件坐標系P相對于全局坐標系U的變換,即鉆孔的零件的位置P可通過視覺系統來確定;

PTE為末端執行器坐標系E相對于零件坐標系P的變換,即鉆孔必須知道鉆孔的位置。

將式(2-13)進行變換,則有

變換矩陣的逆計算是實現機器人運動的必要的計算過程。旋轉矩陣的逆與其轉置矩陣相同,即旋轉矩陣為酉矩陣(UnitaryMatrix)。可見,繞x、y、z軸的旋轉矩陣的逆即為

另外,機器人的位姿信息由矩陣的旋轉部分和位置部分表示。旋轉部分的矩陣的逆為旋轉矩陣的轉置,仍然是酉矩陣;位置部分的矩陣的逆是向量p分別與向量n、o、a點積

的負值,即機器人位姿信息的變換矩陣為

例2-8在某六自由度的串聯工業機器人的第6個關節上裝有一臺工業相機(Eye-in_x0002_Hand),用工業相機觀測目標并確定目標坐標系相對于相機坐標系的位置,要求根據以下數據確定末端執行器要到達目標必須完成的運動變化。

2.4機器人正運動學

1.位置的正逆運動學1)直角坐標系機器人直角坐標系,也稱為笛卡爾坐標系(CartesianCoordinateSystem,CCS),如圖2-15所示,機器人的所有驅動機構都沿著直角坐標系x、y、z軸3個方向做線性運動。

圖2-15直角坐標系

在直角坐標系中,機器人手位置的正運動學變換矩陣為

式中,RTp為機器人手坐標系原點p與參考坐標系R之間的變換矩陣。

例2-9若直角坐標機器人手坐標系原點定位在點P=[2,4,3]T,要求計算所需要的直角運動坐標系中的坐標值。

解根據正運動學RTp矩陣可得正運動學變化矩陣為

因此,根據期望的位置,可得px=2,py=4,pz=3。

2)圓柱坐標系機器人

圓柱坐標系(CylindricalCoordinateSystem,CCS)是由兩個線性平移運動和一個旋轉運動形成的工作空間,典型的圓柱坐標系機器人是可選擇柔性裝配機器臂(SelectiveComplianceAssemblyRobotArm,SCARA),如圖2-16所示。在圓柱坐標系中運動的順序為先沿x軸移動距離r,再繞z軸旋轉角度θ,最后沿z軸移動距離l,如圖2-17所示。

圖2-16典型圓柱坐標系機器人SCARA

圖2-17圓柱坐標系模型

圓柱坐標系的三個變換建立了手坐標系和參考坐標系的關系,這三個坐標系所產生的總變換矩陣為

3)球坐標系

球坐標系(SphericalCoordinateSystem,SCS)是由一個線性運動和兩個旋轉運動來描述的,即先沿z軸平移距離r,再繞y軸旋轉角度β和繞z軸旋轉角度γ,如圖2-18所示。

圖2-18球坐標系模型

2.姿態的正逆運動學

D-H法將機器人結構定義為一系列關節和連桿按任意的順序連接而成的機械結構。關節是指可以滑動和旋轉,且旋轉軸間存在偏差的機械結構。連桿是指具有任意長度,可以扭曲或彎曲的機械結構。

D-H法的核心是確定每個關節坐標系和變換矩陣,從而得到機器人的總變換矩陣。

1)關節坐標系的確定

首先,對機器人的連桿和關節進行編號(如圖2-19所示),第1個關節為關節n,第2個關節為關節n+1,第3個關節為關節n+2;第1個連桿為連桿n,第2個連桿為連桿n+1,第3個連桿為連桿n+3,以此類推。顯然,連桿n位于關節n和關節n+1之間,連

桿n+1位于關節n+1與n+2之間。

其次,指定確定參考坐標系的方法。對每個關節指定一個本地的參考坐標系,并且必須指定一個z軸和x軸,因為D-H法不需要y軸,也不需要指定y軸。

圖2-19連桿和關節的編號方法

(1)關節z軸的確定方法。如果關節是滑動的,則z軸為沿直線運動的方向;如果關節是旋轉的,則z軸位于按右手規則旋轉的方向,如圖2-20所示。定義關節n處的z軸(及該關節的本地參考坐標系)的編號為n-1,如表示繞關節n+1運動的z軸是zn;對于旋轉關節,繞z軸的旋轉角度θ是關節變量;對于滑動關節,繞z軸的連桿長度d是關節變量。

圖2-20關節坐標系z軸的確定方法

(2)關節x軸的確定方法。不管關節是平行還是相交,z軸斜線上總有一條距離最短的公垂線正交于任意兩條斜線。通常本地參考坐標系的x軸定義在公垂線方向上,如圖2-21所示。

圖2-21關節坐標系x軸的確定方法

2)變換矩陣的確定

確定從一個關節坐標系(xn-zn)到下一個關節坐標系(xn+1-zn+1)的變換矩陣可通過四步標準運動實現,如圖2-22所示。

綜上所述,D-H法是一種簡潔高效的機器人建模方法,該方法表示的都是基于x軸和z軸的運動,沒有關