直線、圓的位置關(guān)系教學(xué)目標(biāo)1．能用解方程組的方法求兩直線的交點(diǎn)坐標(biāo)；2．探索并掌握兩點(diǎn)間的距離公式、點(diǎn)到直線的距離公式，會(huì)求兩條平行直線間的距離；3．能根據(jù)給定直線、圓的方程，判斷直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系;4．能用直線和圓的方程解決一些簡單的問題；命題走向本講考察重點(diǎn)是直線間的平行和垂直的條件、與距離有關(guān)的問題、直線與圓的位置關(guān)系（特別是弦長問題）,此類問題難度屬于中等，一般以選擇題的形式出現(xiàn)，有時(shí)在解析幾何中也會(huì)出現(xiàn)大題,多考察其幾何圖形的性質(zhì)或方程知識(shí)。預(yù)測2017年對(duì)本講的考察是：(1)一個(gè)選擇題或一個(gè)填空題，解答題多與其它知識(shí)聯(lián)合考察;（2)熱點(diǎn)問題是直線的位置關(guān)系、借助數(shù)形結(jié)合的思想處理直線與圓的位置關(guān)系，注重此種思想方法的考察也會(huì)是一個(gè)命題的方向;（3）本講的內(nèi)容考察了學(xué)生的理解能力、邏輯思維能力、運(yùn)算能力.教學(xué)準(zhǔn)備多媒體課件

教學(xué)過程要點(diǎn)精講1．直線l1與直線l2的的平行與垂直（1）若l1，l2均存在斜率且不重合：①l1//l2k1=k2;②l1l2k1k2=－1。（2)若若A1、A2、B1、B2都不為零。①l1//l2；②l1l2A1A2③l1與l2相交；④l1與l2重合；注意：若A2或B2中含有字母，應(yīng)注意討論字母=0與0的情況。兩條直線的交點(diǎn):兩條直線的交點(diǎn)的個(gè)數(shù)取決于這兩條直線的方程組成的方程組的解的個(gè)數(shù)。距離（1）兩點(diǎn)間距離：若,則特別地：軸,則、軸,則。（2）平行線間距離：若，則：。注意點(diǎn)：x，y對(duì)應(yīng)項(xiàng)系數(shù)應(yīng)相等。（3）點(diǎn)到直線的距離：

，則P到l的距離為：3．直線與圓的位置關(guān)系有三種（1)若，；（2）；(3)。還可以利用直線方程與圓的方程聯(lián)立方程組求解，通過解的個(gè)數(shù)來判斷：（1）當(dāng)方程組有2個(gè)公共解時(shí)（直線與圓有2個(gè)交點(diǎn)），直線與圓相交；（2）當(dāng)方程組有且只有1個(gè)公共解時(shí)(直線與圓只有1個(gè)交點(diǎn)）,直線與圓相切；（3）當(dāng)方程組沒有公共解時(shí)（直線與圓沒有交點(diǎn)），直線與圓相離；即：將直線方程代入圓的方程得到一元二次方程，設(shè)它的判別式為Δ，圓心C到直線l的距離為d,則直線與圓的位置關(guān)系滿足以下關(guān)系：相切d=rΔ＝0；相交d〈rΔ>0;相離d〉rΔ〈0。4．兩圓位置關(guān)系的判定方法設(shè)兩圓圓心分別為O1，O2，半徑分別為r1，r2，.；

;;；;外離外切相交內(nèi)切內(nèi)含判斷兩個(gè)圓的位置關(guān)系也可以通過聯(lián)立方程組判斷公共解的個(gè)數(shù)來解決.典例解析題型1：直線間的位置關(guān)系例1．（1）若三點(diǎn)A（2，2）,B（a，0），C（0,b）（ab0）共線，則，的值等于.（2）已知兩條直線若，則____.

解析：（1）答案：；（2）2。點(diǎn)評(píng):（1）三點(diǎn)共線問題借助斜率來解決，只需保證;（2）對(duì)直線平行關(guān)系的判斷在一般式方程中注意系數(shù)為零的情況.例2．(1）已知兩條直線和互相垂直，則等于（）A．2B．1C．0D．(2）若曲線的一條切線與直線垂直，則的方程為（）A．B．C．D．解析：（1）答案為D;(2）與直線垂直的直線為,即在某一點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)為4，而，所以在（1，1）處導(dǎo)數(shù)為4，此點(diǎn)的切線為，故選A。點(diǎn)評(píng)：直線間的垂直關(guān)系要充分利用好斜率互為負(fù)倒數(shù)的關(guān)系,同時(shí)兼顧到斜率為零和不存在兩種情況。題型2:距離問題例3．到兩坐標(biāo)軸距離相等的點(diǎn)的軌跡方程是（）A．x－y=0 B．x+y=0C．|x|－y=0 D．|x|－｜y｜=0解析：設(shè)到坐標(biāo)軸距離相等的點(diǎn)為（x，y）∴｜x｜＝|y｜∴｜x|－|y|＝0。答案：D

點(diǎn)評(píng)：本題較好地考查了考生的數(shù)學(xué)素質(zhì)，尤其是考查了思維的敏捷性與清晰的頭腦,通過不等式解等知識(shí)探索解題途徑例4．已知點(diǎn)P到兩個(gè)定點(diǎn)M(－1，0）、N（1，0)距離的比為，點(diǎn)N到直線PM的距離為1．求直線PN的方程。解析：設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（x，y）,由題設(shè)有,即。整理得x2+y2－6x+1=0 ①因?yàn)辄c(diǎn)N到PM的距離為1，|MＮ|＝2,所以∠PMN＝30°，直線PM的斜率為±，直線PM的方程為y=±（x＋1）②將②式代入①式整理得x2－4x＋1＝0。解得x＝2＋，x＝2－。代入②式得點(diǎn)P的坐標(biāo)為（2＋，1＋)或（2－,－1＋）；（2＋，－1－）或（2－，1－）。直線PN的方程為y=x－1或y=－x+1。點(diǎn)評(píng)：該題全面綜合了解析幾何、平面幾何、代數(shù)的相關(guān)知識(shí),充分體現(xiàn)了“注重學(xué)科知識(shí)的內(nèi)在聯(lián)系”.題目的設(shè)計(jì)新穎脫俗，能較好地考查考生綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決問題的能力.比較深刻地考查了解析法的原理和應(yīng)用,以及分類討論的思想、方程的思想.該題對(duì)思維的目的性、邏輯性、周密性、靈活性都進(jìn)行了不同程度的考查.對(duì)運(yùn)算、化簡能力要求也較高，有較好的區(qū)分度。題型3：直線與圓的位置關(guān)系例5．（1）直線與圓沒有公共點(diǎn)，則

的取值范圍是（)A．B．C．D．（2）圓的切線方程中有一個(gè)是（）A．x－y＝0B．x＋y＝0C．x＝0D．y＝0解析：（1）解析:由圓的圓心到直線大于，且，選A。點(diǎn)評(píng):該題考察了直線與圓位置關(guān)系的判定.(2）直線ax+by=0，則，由排除法,選C，本題也可數(shù)形結(jié)合，畫出他們的圖象自然會(huì)選C,用圖象法解最省事。點(diǎn)評(píng)：本題主要考查圓的切線的求法，直線與圓相切的充要條件是圓心到直線的距離等于半徑.直線與圓相切可以有兩種方式轉(zhuǎn)化（1)幾何條件：圓心到直線的距離等于半徑（2)代數(shù)條件:直線與圓的方程組成方程組有唯一解，從而轉(zhuǎn)化成判別式等于零來解。例6．已知圓M：（x＋cos）2＋（y－sin）2＝1，直線l：y＝kx，下面四個(gè)命題:對(duì)任意實(shí)數(shù)k與,直線l和圓M相切；對(duì)任意實(shí)數(shù)k與，直線l和圓M有公共點(diǎn)；對(duì)任意實(shí)數(shù)，必存在實(shí)數(shù)k，使得直線l與和圓M相切；(D）對(duì)任意實(shí)數(shù)k，必存在實(shí)數(shù)，使得直線l與和圓M相切.其中真命題的代號(hào)是______________(寫出所有真命題的代號(hào)）

解析：圓心坐標(biāo)為（－cos,sin）d＝故選（B）(D）點(diǎn)評(píng):該題復(fù)合了三角參數(shù)的形式，考察了分類討論的思想。題型4：直線與圓綜合問題例7．直線x+y－2=0截圓x2＋y2＝4得的劣弧所對(duì)的圓心角為()A． B． C． D．解析:如圖所示：圖由圖消y得:x2－3x+2=0，∴x1=2，x2=1。∴A(2，0),B（1，)∴|AB|==2又｜OB|＝｜OA|=2，∴△AOB是等邊三角形,∴∠AOB=，故選C。點(diǎn)評(píng):本題考查直線與圓相交的基本知識(shí)，及正三角形的性質(zhì)以及邏輯思維能力和數(shù)形結(jié)合思想，同時(shí)也體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合思想的簡捷性.如果注意到直線AB的傾斜角為120°，則等腰△OAB的底角為60°。因此∠AOB=60°.更加體現(xiàn)出平面幾何的意義。

例8．過點(diǎn)(1，EQ\r（，2）)的直線l將圓（x－2)2＋y2＝4分成兩段弧，當(dāng)劣弧所對(duì)的圓心角最小時(shí)，直線l的斜率k＝。解析：過點(diǎn)的直線將圓分成兩段弧,當(dāng)劣弧所對(duì)的圓心角最小時(shí)，直線的斜率解析(數(shù)形結(jié)合）由圖形可知點(diǎn)A在圓的內(nèi)部，圓心為O（2，0)要使得劣弧所對(duì)的圓心角最小,只能是直線，所以。點(diǎn)評(píng)：本題主要考察數(shù)形結(jié)合思想和兩條相互垂直的直線的斜率的關(guān)系，難度中等.題型5：對(duì)稱問題例9．一束光線l自A(－3，3）發(fā)出，射到x軸上，被x軸反射到⊙C:x2＋y2－4x－4y＋7＝0上。(Ⅰ）求反射線通過圓心C時(shí)，光線l的方程；（Ⅱ)求在x軸上，反射點(diǎn)M的范圍．解法一:已知圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是（x－2)2+（y－2）2=1，它關(guān)于x軸的對(duì)稱圓的方程是(x－2)2+（y+2）2=1.設(shè)光線L所在的直線的方程是y－3=k(x+3）(其中斜率k待定)，由題設(shè)知對(duì)稱圓的圓心C′（2，-2）到這條直線的距離等于1，即d==1.整理得12k2+25k+12=0,解得k=－或k=－。故所求直線方程是y－3=－（x+3),或y－3=－（x+3），即3x+4y+3=0或4x+3y+3=0。

解法二：已知圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是（x－2)2+(y－2)2=1，設(shè)交線L所在的直線的方程是y—3=k（x+3）（其中斜率k待定），由題意知k≠0，于是L的反射點(diǎn)的坐標(biāo)是（－，0），因?yàn)楣饩€的入射角等于反射角，所以反射光線L′所在直線的方程為y=－k(x+)，即y+kx+3(1+k）=0.這條直線應(yīng)與已知圓相切,故圓心到直線的距離為1，即d==1.以下同解法一。點(diǎn)評(píng)：圓復(fù)合直線的對(duì)稱問題，解題思路兼顧到直線對(duì)稱性問題，重點(diǎn)關(guān)注對(duì)稱圓的幾何要素，特別是圓心坐標(biāo)和圓的半徑。例10．已知函數(shù)f(x）=x2－1（x≥1)的圖像為C1，曲線C2與C1關(guān)于直線y=x對(duì)稱。（1）求曲線C2的方程y=g(x)；(2）設(shè)函數(shù)y=g（x）的定義域?yàn)镸，x1，x2∈M，且x1≠x2，求證｜g（x1)－g(x2）｜<｜x1－x2｜;（3）設(shè)A、B為曲線C2上任意不同兩點(diǎn),證明直線AB與直線y=x必相交。

解析：（1）曲線C1和C2關(guān)于直線y=x對(duì)稱,則g（x)為f（x）的反函數(shù)。∵y=x2－1，x2=y+1，又x≥1，∴x=，則曲線C2的方程為g(x)=(x≥0).（2）設(shè)x1，x2∈M，且x1≠x2，則x1－x2≠0。又x1≥0，x2≥0,∴｜g（x1）－g（x2）|=|－|=≤<｜x1－x2|。（3）設(shè)A(x1,y1)、B（x2,y2）為曲線C2上任意不同兩點(diǎn)，x1，x2∈M，且x1≠x2,由(2）知，｜kAB｜=|｜=<1∴直線AB的斜率｜kAB｜≠1，又直線y=x的斜率為1,∴直線AB與直線y=x必相交.點(diǎn)評(píng)：曲線對(duì)稱問題應(yīng)從方程與曲線的對(duì)應(yīng)關(guān)系入手來處理,最終轉(zhuǎn)化為點(diǎn)的坐標(biāo)之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系。題型6:軌跡問題例11．已知?jiǎng)訄A過定點(diǎn)，且與直線相切,其中。（I）求動(dòng)圓圓心的軌跡的方程；（II)設(shè)A、B是軌跡上異于原點(diǎn)的兩個(gè)不同點(diǎn),直線和的傾斜角分別為和，當(dāng)變化且為定值時(shí)，證明直線

恒過定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)的坐標(biāo).解析：(I）如圖，設(shè)為動(dòng)圓圓心,為記為，過點(diǎn)作直線的垂線，垂足為，由題意知：即動(dòng)點(diǎn)到定點(diǎn)與定直線的距離相等，由拋物線的定義知，點(diǎn)的軌跡為拋物線，其中為焦點(diǎn)，為準(zhǔn)線,所以軌跡方程為；（II）如圖，設(shè)，由題意得（否則）且所以直線的斜率存在，設(shè)其方程為，顯然,將與聯(lián)立消去,得由韋達(dá)定理知①（1)當(dāng)時(shí)，即時(shí),所以，所以由①知:所以。因此直線的方程可表示為,即，所以直線恒過定點(diǎn)。（2）當(dāng)時(shí)，由，得==，將①式代入上式整理化簡可得：，所以，此時(shí)，直線的方程可表示為即

，所以直線恒過定點(diǎn)。所以由(1)（2）知，當(dāng)時(shí)，直線恒過定點(diǎn)，當(dāng)時(shí)直線恒過定點(diǎn)。點(diǎn)評(píng)：該題是圓與圓錐曲線交匯題目，考察了軌跡問題，屬于難度較大的綜合題目。例12．如圖,圓與圓的半徑都是1，.過動(dòng)點(diǎn)分別作圓、圓的切線(分別為切點(diǎn)），使得。試建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，并求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程。解析:以的中點(diǎn)為原點(diǎn)，所在直線為軸，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，則，。由已知，得。因?yàn)閮蓤A半徑均為1，所以。設(shè),則，即(或).點(diǎn)評(píng):本小題主要考查求軌跡方程的方法及基本運(yùn)算能力。題型7：課標(biāo)創(chuàng)新題例13．已知實(shí)數(shù)x、y滿足，求的最大值與最小值。解析：表示過點(diǎn)A（0，－1)和圓上的動(dòng)點(diǎn)(x,y

)的直線的斜率。如下圖,當(dāng)且僅當(dāng)直線與圓相切時(shí)，直線的斜率分別取得最大值和最小值。設(shè)切線方程為，即，則，解得。因此,點(diǎn)評(píng)：直線知識(shí)是解析幾何的基礎(chǔ)知識(shí)，靈活運(yùn)用直線知識(shí)解題具有構(gòu)思巧妙、直觀性強(qiáng)等特點(diǎn)，對(duì)啟迪思維大有裨益.下面舉例說明其在最值問題中的巧妙運(yùn)用。例14．設(shè)雙曲線的兩支分別為,正三角形PQR的三頂點(diǎn)位于此雙曲線上。若在上，Q、R在上，求頂點(diǎn)Q、R的坐標(biāo). 分析:正三角形PQR中，有， 則以為圓心，為半徑的圓與雙曲線交于R、Q兩點(diǎn)。 根據(jù)兩曲線方程可求出交點(diǎn)Q、R坐標(biāo)。 解析：設(shè)以P為圓心,為半徑的圓的方程為：, 由得：。 （其中，可令

進(jìn)行換元解之） 設(shè)Q、R兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，則. 即，同理可得：， 且因?yàn)椤鱌QR是正三角形，則, 即,得。 代入方程，即. 由方程組,得:或， 所以,所求Q、R的坐標(biāo)分別為點(diǎn)評(píng)：圓是最簡單的二次曲線,它在解析幾何及其它數(shù)學(xué)分支中都有廣泛的應(yīng)用。對(duì)一些數(shù)學(xué)問題，若能作一個(gè)輔助圓，可以溝通題設(shè)與結(jié)論之間的關(guān)系,從而使問題得解,起到鋪路搭橋的作用。思維總結(jié)1．關(guān)于直線對(duì)稱問題：（1)關(guān)于l：Ax＋By＋C＝0對(duì)稱問題：不論點(diǎn)，直線與曲線關(guān)于l對(duì)稱問題總可以轉(zhuǎn)化為點(diǎn)關(guān)于l對(duì)稱問題，因?yàn)閷?duì)稱是由平分與垂直兩部分組成，如求P（x0,y0）關(guān)于l:Ax＋By＋C＝0對(duì)稱點(diǎn)Q（x1，y1)．有＝－（1）與A·＋B·＋C＝0。（2)解出x1與y1;若求C1：曲線f（x，y

）＝0（包括直線）關(guān)于l：Ax＋By＋C1＝0對(duì)稱的曲線C2,由上面的(1）、(2）中求出x0＝g1（x1，y1）與y0＝g2(x1，y1)，然后代入C1：f＝0，就得到關(guān)于l對(duì)稱的曲線C2方程：f＝0.(3）若l:Ax＋By＋C＝0中的x,y項(xiàng)系數(shù)｜A｜＝1，｜B|＝1．就可以用直接代入解之，尤其是選擇填空題。如曲線C1：y2＝4x－2關(guān)于l：x－y－4＝0對(duì)稱的曲線l2的方程為：（x－4）2＝4(y＋4）－2．即y用x－4代，x用y＋4代，這樣就比較簡單了。（4）解有關(guān)入射光線與反射光線問題就可以用對(duì)稱問題來解決.點(diǎn)與圓位置關(guān)系:P（x0,y0)和圓C:（x－a）2＋（y－b)2＝r2。①點(diǎn)P在圓C外有（x0－a）2＋（y0－b）2＞r2；②點(diǎn)P在圓上：(x0－a）2＋（y0－b)2＝r2；③點(diǎn)P在圓內(nèi)：(x0－a）2＋（y0－b）2＜r2.3．直線與圓的位置關(guān)系：l：f1（x，y）＝0．圓C：f2（x，y)＝0消y得F（x2)＝0。（1）直線與圓相交：F（x，y)＝0中＞0;或圓心到直線距離d＜r。直線與圓相交的相關(guān)問題：①弦長｜AB|＝·｜x1－x2｜＝·，或|AB|＝2；②弦中點(diǎn)坐標(biāo)（，）；③弦中點(diǎn)軌跡方程。(2）直線與圓相切:F（x）＝0中＝0，或d＝r．其相關(guān)問題是切線方程．如P（x0，y0)是圓x2＋y2＝r2上的點(diǎn)，過P的切線方程為x0x＋y0y＝r2，其二是圓外點(diǎn)P（x0，y0)向圓到兩條切線的切線長為

或；其三是P（x0，y0）為圓x2＋y2＝r2外一點(diǎn)引兩條切線,有兩個(gè)切點(diǎn)A，B，過A，B的直線方程為x0x＋y0y＝r2。(3）直線與圓相離：F（x）＝0中＜0；或d＜r；主要是圓上的點(diǎn)到直線距離d的最大值與最小值，設(shè)Q為圓C：(x－a)2＋(y－b）2＝r2上任一點(diǎn)，|PQ｜max＝｜PC|＋r；|PQ|min＝｜PQ|－r，是利用圖形的幾何意義而不是列出距離的解析式求最值．4．圓與圓的位置關(guān)系：依平面幾何的圓心距|O1O2|與兩半徑r1，r2的和差關(guān)系判定．（1）設(shè)⊙O1圓心O1,半徑r1，⊙O2圓心O2，半徑r2則：①當(dāng)r1＋r2＝｜O1O2|時(shí)⊙O1與⊙O2外切；②當(dāng)|r1－r2|＝｜O1O2｜時(shí)，兩圓相切；③當(dāng)|r1－r2｜＜｜O1O2|＜r1＋r2時(shí)兩圓相交；④當(dāng)|r1－r2|＞|O1O2｜時(shí)兩圓內(nèi)含；⑤當(dāng)r1＋r2＜｜O1O2｜時(shí)兩圓外離。（2）設(shè)⊙O1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0，⊙O2:x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0.①兩圓相交A、B兩點(diǎn)，其公共弦所在直線方程為(D1－D2）x＋（E1－E2)y＋F1－F2＝0；②經(jīng)過兩圓的交點(diǎn)的圓系方程為x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＋（x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2）＝0（不包括⊙O2方程）。

板書設(shè)計(jì)直線、圓的位置關(guān)系1．直線l1與直線l2的的平行與垂直（1）若l1，l2均存在斜率且不重合:①l1//l2k1=k2；②l1l2k1k2=－1。(2）若若A1、