高級中學名校試卷PAGEPAGE1北京市東城區2024-2025學年高一上學期期末統一檢測數學試卷一、選擇題：共10小題，每小題4分，共40分．在每小題列出的四個選項中，選出符合題目要求的一項．1.已知集合，則（）A. B.C. D.【答案】A【解析】因集合，所以.故選：A.2.下列函數中，與函數有相同圖象的是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】函數定義域為，值域為，對于A：定義域為，值域為相同有相同圖象，A選項正確；對于B：定義域為0，+∞，定義域不同沒有相同圖象，對于C：值域為，值域不同沒有相同圖象，C錯誤；對于D：定義域為，定義域不同沒有相同圖象，D錯誤.故選：A.3.下列函數中，是奇函數的是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】對于A，函數的定義域為，定義域關于原點對稱，，所以函數fx為偶函數，A錯誤；對于B，函數的定義域為，定義域關于原點對稱，，所以函數fx為奇函數，B正確；對于C，函數的定義域為，定義域關于原點對稱，，所以函數fx為偶函數，C錯誤；對于D，函數的定義域為，定義域關于原點對稱，，故，，故，所以函數為非奇非偶函數，D錯誤.故選：B.4.已知，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】，且，.故選：B.5.如圖，函數的圖象為折線段，則不等式的解集是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】函數的圖象為折線段，且，故可設，且，，，所以，，所以，當時，不等式可化為，，即，故（舍去），當時，不等式可化為，，即，故.所以不等式的解集是.故選：D.6.已知，則“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】A【解析】因為對任意恒成立，可知可以推出，但不能推出，所以“”是“”的充分不必要條件.故選：A.7.設，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】∵函數在上單調遞減，且，，即.∵函數在上單調遞增，且，，即..故選：C.8.將函數的圖象向右平移個單位長度，所得圖象與函數的圖象關于原點對稱，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】函數的圖象關于原點對稱的函數的解析式為，將函數的圖象向左平移個單位長度，可得到函數，故.故選：B.9.已知，則（）A. B.C. D.【答案】B【解析】因為，則，當且僅當，即時，等號成立，又因為在定義域0，+所以.故選：B.10.已知函數，其中．若在上的值域為，則實數的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】當時，在內單調遞減，則，且；若在上的值域為0，4，則在上的最值點在內，可知的最大值為，且，可得，令，解得或，結合的圖像可知實數的取值范圍是.故選：C.二、填空題：共5小題，每小題5分，共25分．11.函數的定義域為______.【答案】【解析】令，解得，所以函數的定義域為.12.已知，命題：若，則．能說明為假命題的一組a，b，c的值為______，______，______．【答案】1（答案不唯一，滿足即可）0（答案不唯一，滿足即可）（答案不唯一，滿足即可）【解析】因為，則，若，則；若，則，可得；綜上所述：.所以對于任意，命題均為假命題，例如（答案不唯一，滿足即可）.13.已知函數為上的奇函數，且在上單調遞增，，若，則的取值范圍是______.【答案】【解析】因為函數為上的奇函數，且在上單調遞增，則函數在上單調遞增，可知函數上單調遞增，且，，則，若，即，可得，解得，所以的取值范圍是.14.已知，若點在第一象限，則的取值范圍是______．【答案】【解析】因為點在第一象限，則，且，可知角不為軸線角，若，則，可得，且，則，可得；若，則，可得，不合題意；若，則，可得，且，則，可得；若，則可得，不合題意；綜上所述：的取值范圍是.15.已知是定義在上的函數，若，且，使得，都有，則稱函數具有性質．給出下列四個結論：①函數具有性質；②函數具有性質；③若函數具有性質，且是偶函數，則是周期函數；④若函數具有性質，且是奇函數，則是的一個對稱中心．其中所有正確結論的序號是______．【答案】②③④【解析】對于①，若函數具有性質，則存在，使得，都有，即，則不是常數，所以函數不具有性質，①錯；對于②，因為，即，所以函數具有性質，②對；對于③，函數具有性質，則存在，使得，都有，又因為函數為偶函數，則，又因為，即，因，則，故函數為周期函數，③對；對于④，若函數具有性質，且是奇函數，則存在，使得，都有，，所以，所以是的一個對稱中心，④對.三、解答題：共6小題，共85分．解答應寫出文字說明，演算步驟或證明過程．16.（1）計算求值：；（2）解關于的不等式：（ⅰ）；（ⅱ）．解：（1）原式.（2）（ⅰ）因為，可得，等價于，解得或，所以不等式的解集為或.（ⅱ）因為，即，令，解得或，若，不等式解集為；若，不等式解集為；若，不等式解集為.17.已知函數．（1）求的最小正周期及單調遞增區間；（2）當時，求的最大值和最小值．解：（1）因為，所以的最小正周期；令，解得，所以的單調遞增區間.（2）因為，則，可得，當，即時，取得最大值1；當或，即或時，取得最小值.18.在某種藥物研究試驗中發現其在血液內的濃度（單位：毫克／毫升）與時間（單位：小時）滿足函數關系，其中，為大于的常數．已知該藥物在血液內的濃度是一個連續變化的過程，且在小時時達到最大值毫克／毫升．（1）直接寫出，的值；（2）當該藥物濃度不小于最大值一半時，稱該藥物有效．求該藥物有效的時間長度（單位：小時）．解：（1）因為該藥物在血液內的濃度是一個連續變化的過程，函數在時取最大值，所以a>0，，，所以a=2，.（2）由（1），令可得，若，則，解得，若，則，解得，所以該藥物有效的時間長度為（小時）.19.已知函數．（1）若，求的值；（2）當時，若函數在上的最大值與最小值的差為，求的值；（3）設函數，當時，的零點，求的值．解：（1）因為，可得，且，所以.（2）因為，當x∈0，1時，；當x∈1，可知在0，1內單調遞減，在1且，，若函數在上的最大值與最小值的差為，可得，即，可知在上單調遞減，則，解得，所以的值為.（3）因為，且，又因在內單調遞減，可知hx在內單調遞減，且，可得，則的唯一零點，所以.20.已知函數的圖象過點，其中.（1）求及的值；（2）求證：，都有；（3）若函數在上存在最大值，直接寫出的取值范圍.解：（1）∵函數的圖象過點，，解得..故.（2）證明：由（1）知，當時，，；當時，，，.綜上，，都有.（3）由（1）知.當時，，；當時，，.當時，，由于函數在上單調遞減，函數在上單調遞增，故函數在上無最大值；當時，，由于函數在上單調遞增，函數在上單調遞減，故當時，函數取得最大值，最大值為；當時，不妨設方程的兩根分別為和，易知函數在和上單調遞減，在和上單調遞增，要使函數在上存在最大值，需使，即，解得.綜上，若函數在上存在最大值，的取值范圍為.21.已知集合中都至少有個元素，且，滿足：①，且，總有；②，且，總有．（1）若集合，直接寫出所有滿足條件的集合；（2）已知，（ⅰ）若，且，求證：．（ⅱ）求證：．解：（1）因為，又，且，總有，所以，即，設，由，且，總有，可得，所以或或，但，所以滿足條件的集合有，，，.（2）（ⅰ）又，，，，由①知，，，由②知，，（ⅱ）因為中至少有個元素，，不妨設，其中，互不相等的整數，則，且，所以中至少存在兩個正整數，不妨設，，，又，由①知，，，，由②知，，，故由，，，，可推出，同理由可推出，，由，可推出，，所以對于大于等于的正整數，都屬于，因為，由（ⅰ），，，，所以任意的正整數都屬于，所以.北京市東城區2024-2025學年高一上學期期末統一檢測數學試卷一、選擇題：共10小題，每小題4分，共40分．在每小題列出的四個選項中，選出符合題目要求的一項．1.已知集合，則（）A. B.C. D.【答案】A【解析】因集合，所以.故選：A.2.下列函數中，與函數有相同圖象的是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】函數定義域為，值域為，對于A：定義域為，值域為相同有相同圖象，A選項正確；對于B：定義域為0，+∞，定義域不同沒有相同圖象，對于C：值域為，值域不同沒有相同圖象，C錯誤；對于D：定義域為，定義域不同沒有相同圖象，D錯誤.故選：A.3.下列函數中，是奇函數的是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】對于A，函數的定義域為，定義域關于原點對稱，，所以函數fx為偶函數，A錯誤；對于B，函數的定義域為，定義域關于原點對稱，，所以函數fx為奇函數，B正確；對于C，函數的定義域為，定義域關于原點對稱，，所以函數fx為偶函數，C錯誤；對于D，函數的定義域為，定義域關于原點對稱，，故，，故，所以函數為非奇非偶函數，D錯誤.故選：B.4.已知，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】，且，.故選：B.5.如圖，函數的圖象為折線段，則不等式的解集是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】函數的圖象為折線段，且，故可設，且，，，所以，，所以，當時，不等式可化為，，即，故（舍去），當時，不等式可化為，，即，故.所以不等式的解集是.故選：D.6.已知，則“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】A【解析】因為對任意恒成立，可知可以推出，但不能推出，所以“”是“”的充分不必要條件.故選：A.7.設，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】∵函數在上單調遞減，且，，即.∵函數在上單調遞增，且，，即..故選：C.8.將函數的圖象向右平移個單位長度，所得圖象與函數的圖象關于原點對稱，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】函數的圖象關于原點對稱的函數的解析式為，將函數的圖象向左平移個單位長度，可得到函數，故.故選：B.9.已知，則（）A. B.C. D.【答案】B【解析】因為，則，當且僅當，即時，等號成立，又因為在定義域0，+所以.故選：B.10.已知函數，其中．若在上的值域為，則實數的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】當時，在內單調遞減，則，且；若在上的值域為0，4，則在上的最值點在內，可知的最大值為，且，可得，令，解得或，結合的圖像可知實數的取值范圍是.故選：C.二、填空題：共5小題，每小題5分，共25分．11.函數的定義域為______.【答案】【解析】令，解得，所以函數的定義域為.12.已知，命題：若，則．能說明為假命題的一組a，b，c的值為______，______，______．【答案】1（答案不唯一，滿足即可）0（答案不唯一，滿足即可）（答案不唯一，滿足即可）【解析】因為，則，若，則；若，則，可得；綜上所述：.所以對于任意，命題均為假命題，例如（答案不唯一，滿足即可）.13.已知函數為上的奇函數，且在上單調遞增，，若，則的取值范圍是______.【答案】【解析】因為函數為上的奇函數，且在上單調遞增，則函數在上單調遞增，可知函數上單調遞增，且，，則，若，即，可得，解得，所以的取值范圍是.14.已知，若點在第一象限，則的取值范圍是______．【答案】【解析】因為點在第一象限，則，且，可知角不為軸線角，若，則，可得，且，則，可得；若，則，可得，不合題意；若，則，可得，且，則，可得；若，則可得，不合題意；綜上所述：的取值范圍是.15.已知是定義在上的函數，若，且，使得，都有，則稱函數具有性質．給出下列四個結論：①函數具有性質；②函數具有性質；③若函數具有性質，且是偶函數，則是周期函數；④若函數具有性質，且是奇函數，則是的一個對稱中心．其中所有正確結論的序號是______．【答案】②③④【解析】對于①，若函數具有性質，則存在，使得，都有，即，則不是常數，所以函數不具有性質，①錯；對于②，因為，即，所以函數具有性質，②對；對于③，函數具有性質，則存在，使得，都有，又因為函數為偶函數，則，又因為，即，因，則，故函數為周期函數，③對；對于④，若函數具有性質，且是奇函數，則存在，使得，都有，，所以，所以是的一個對稱中心，④對.三、解答題：共6小題，共85分．解答應寫出文字說明，演算步驟或證明過程．16.（1）計算求值：；（2）解關于的不等式：（ⅰ）；（ⅱ）．解：（1）原式.（2）（ⅰ）因為，可得，等價于，解得或，所以不等式的解集為或.（ⅱ）因為，即，令，解得或，若，不等式解集為；若，不等式解集為；若，不等式解集為.17.已知函數．（1）求的最小正周期及單調遞增區間；（2）當時，求的最大值和最小值．解：（1）因為，所以的最小正周期；令，解得，所以的單調遞增區間.（2）因為，則，可得，當，即時，取得最大值1；當或，即或時，取得最小值.18.在某種藥物研究試驗中發現其在血液內的濃度（單位：毫克／毫升）與時間（單位：小時）滿足函數關系，其中，為大于的常數．已知該藥物在血液內的濃度是一個連續變化的過程，且在小時時達到最大值毫克／毫升．（1）直接寫出，的值；（2）當該藥物濃度不小于最大值一半時，稱該藥物有效．求該藥物有效的時間長度（單位：小時）．解：（1）因為該藥物在血液內的濃度是一個連續變化的過程，函數在時取最大值，所以a>0，，，所以a=2，.（2）由（1），令可得，若，則，解得，若，則，解得，所以該藥物有效的時間長度為（小時）.19.已知函數．（1）若，求的值；（2）當時，若函數在上的最大值與最小值的差為，求的值；（3）設函數，當時，的零點，求的值．解：（1）因為，可得，且，所以.（2）因為，當x∈0，1時，；當x∈1，可知在0，1內單調遞減，在1且，，若函數在上的