跟蹤強化訓練(十四)一、選擇題1．(2017·安徽十校聯考)已知α為銳角，且7sinα＝2cos2α，則sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,3)))＝()A.eq\f(1＋3\r(5),8) B.eq\f(1＋5\r(3),8)C.eq\f(1－3\r(5),8) D.eq\f(1－5\r(3),8)[解析]由7sinα＝2cos2α得7sinα＝2(1－2sin2α)，即4sin2α＋7sinα－2＝0，解得sinα＝－2(舍去)或sinα＝eq\f(1,4)，又由α為銳角，可得cosα＝eq\f(\r(15),4)，∴sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,3)))＝eq\f(1,2)sinα＋eq\f(\r(3),2)cosα＝eq\f(1＋3\r(5),8)，故選A.[答案]A2．(2017·湖北武漢模擬)在△ABC中，a＝eq\r(2)，b＝eq\r(3)，B＝eq\f(π,3)，則A等于()A.eq\f(π,6)B.eq\f(π,4)C.eq\f(3π,4)D.eq\f(π,4)或eq\f(3π,4)[解析]由正弦定理得eq\f(a,sinA)＝eq\f(b,sinB)，所以sinA＝eq\f(asinB,b)＝eq\f(\r(2)×sin\f(π,3),\r(3))＝eq\f(\r(2),2)，所以A＝eq\f(π,4)或eq\f(3π,4).又a<b，所以A<B，所以A＝eq\f(π,4).[答案]B3．(2016·全國卷Ⅲ)在△ABC中，B＝eq\f(π,4)，BC邊上的高等于eq\f(1,3)BC，則cosA＝()A.eq\f(3\r(10),10)B.eq\f(\r(10),10)C．－eq\f(\r(10),10)D．－eq\f(3\r(10),10)[解析]設△ABC中角A，B，C的對邊分別是a，b，c，由題意可得eq\f(1,3)a＝csineq\f(π,4)＝eq\f(\r(2),2)c，則a＝eq\f(3\r(2),2)c.在△ABC中，由余弦定理可得b2＝a2＋c2－eq\r(2)ac＝eq\f(9,2)c2＋c2－3c2＝eq\f(5,2)c2，則b＝eq\f(\r(10),2)c.由余弦定理，可得cosA＝eq\f(b2＋c2－a2,2bc)＝eq\f(\f(5,2)c2＋c2－\f(9,2)c2,2×\f(\r(10),2)c×c)＝－eq\f(\r(10),10)，故選C.[答案]C4．(2017·云南昆明模擬)在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c.若滿足c＝eq\r(2)，acosC＝csinA的△ABC有兩個，則邊長BC的取值范圍是()A．(1，eq\r(2))B．(1，eq\r(3))C．(eq\r(3)，2)D．(eq\r(2)，2)[解析]因為acosC＝csinA，由正弦定理得sinAcosC＝sinCsinA，易知sinA≠0，故tanC＝1，所以C＝eq\f(π,4).過點B作AC邊上的高BD，垂足為D，則BD＝eq\f(\r(2),2)BC，要使滿足條件的△ABC有兩個，則BC>eq\r(2)>eq\f(\r(2),2)BC，解得eq\r(2)<BC<2.故選D.[答案]D5．(2017·甘肅蘭州模擬)在△ABC中，角A，B，C的對邊分別是a，b，c，若a2－b2＝eq\r(3)bc，sinC＝2eq\r(3)sinB，則A＝()A.eq\f(π,6)B.eq\f(π,3)C.eq\f(2π,3)D.eq\f(5π,6)[解析]因為sinC＝2eq\r(3)sinB，所以由正弦定理得c＝2eq\r(3)b，代入a2－b2＝eq\r(3)bc，得a＝eq\r(7)b，再由余弦定理可得cosA＝eq\f(\r(3),2)，所以A＝eq\f(π,6).故選A.[答案]A6．(2017·福建漳州二模)在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且2ccosB＝2a＋b，若△ABC的面積為eq\f(\r(3),12)c，則ab的最小值為()A.eq\f(1,2)B.eq\f(1,3)C.eq\f(1,6)D．3[解析]由正弦定理及2ccosB＝2a＋b，得2sinCcosB＝2sinA＋sinB，因為A＋B＋C＝π，所以sinA＝sin(B＋C)，則2sinC·cosB＝2sin(B＋C)＋sinB，整理可得2sinB·cosC＋sinB＝0，又0<B<π，所以sinB>0，則cosC＝－eq\f(1,2)，因為0<C<π，所以C＝eq\f(2π,3)，所以sinC＝eq\f(\r(3),2)，則△ABC的面積為eq\f(1,2)absinC＝eq\f(\r(3),4)ab＝eq\f(\r(3),12)c，即c＝3ab，結合c2＝a2＋b2－2ab·cosC，可得a2＋b2＋ab＝9a2b2，∵a2＋b2≥2ab，∴2ab＋ab≤9a2b2，即ab≥eq\f(1,3)，當且僅當a＝b＝eq\f(\r(3),3)時等號成立，故ab的最小值是eq\f(1,3).故選B.[答案]B二、填空題7．(2017·長春二模)在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且2asinA＝(2sinB＋sinC)b＋(2c＋b)sinC，則A[解析]由已知，根據正弦定理得2a2＝(2b＋c)b＋(2c＋b)c，即a2＝b2＋c2＋bc.由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccosA，故cosA＝－eq\f(1,2)，又A為三角形的內角，故A＝120°.[答案]120°8．計算：4cos50°－tan40°＝________.[解析]4cos50°－tan40°＝4sin40°－eq\f(sin40°,cos40°)＝eq\f(4cos40°sin40°－sin40°,cos40°)＝eq\f(2sin80°－sin40°,cos40°)＝eq\f(2sin120°－40°－sin40°,cos40°)＝eq\f(\r(3)cos40°＋sin40°－sin40°,cos40°)＝eq\f(\r(3)cos40°,cos40°)＝eq\r(3).[答案]eq\r(3)9．(2017·西安二模)如圖，為測量山高MN，選擇A和另一座山的山頂C為測量觀測點．從A點測得M點的仰角∠MAN＝45°，C點的仰角∠CAB＝60°以及∠MAC＝75°；從C點測得∠MCA＝45°.已知山高BC＝100m，則山高MN＝________m.[解析]在Rt△ABC中，∠CAB＝60°，BC＝100m，所以AC＝eq\f(200,\r(3))m.在△AMC中，∠MAC＝75°，∠MCA＝45°，從而∠AMC＝60°，由正弦定理得eq\f(AC,sin60°)＝eq\f(AM,sin45°)，因此AM＝eq\f(200\r(2),3)m.在Rt△MNA中，AM＝eq\f(200\r(2),3)m，∠MAN＝45°，得MN＝eq\f(200,3)m.[答案]eq\f(200,3)三、解答題10．(2017·天津卷)在△ABC中，內角A，B，C所對的邊分別為a，b，c.已知a>b，a＝5，c＝6，sinB＝eq\f(3,5).(1)求b和sinA的值；(2)求sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2A＋\f(π,4)))的值．[解](1)在△ABC中，因為a>b，故由sinB＝eq\f(3,5)，可得cosB＝eq\f(4,5).由已知及余弦定理，有b2＝a2＋c2－2accosB＝13，所以b＝eq\r(13).由正弦定理eq\f(a,sinA)＝eq\f(b,sinB)，得sinA＝eq\f(asinB,b)＝eq\f(3\r(13),13).所以b的值為eq\r(13)，sinA的值為eq\f(3\r(13),13).(2)由(1)及a<c，得cosA＝eq\f(2\r(13),13)，所以sin2A＝2sinAcosA＝eq\f(12,13)，cos2A＝1－2sin2A＝－eq\f(5,13).故sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2A＋\f(π,4)))＝sin2Acoseq\f(π,4)＋cos2A·sineq\f(π,4)＝eq\f(7\r(2),26).11．(2017·河北保定三模)在△ABC中，a，b，c分別為內角A，B，C的對邊，且滿足eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,4)c－a))cosB＝bcosA.(1)若sinA＝eq\f(2,5)，a＋b＝10，求a；(2)若b＝3eq\r(5)，a＝5，求△ABC的面積S.[解]∵eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,4)c－a))cosB＝bcosA，∴由正弦定理得eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,4)sinC－sinA))·cosB＝sinBcosA，即有eq\f(5,4)sinCcosB＝sinAcosB＋cosAsinB，則eq\f(5,4)sinC·cosB＝sinC.∵sinC>0，∴cosB＝eq\f(4,5).(1)由cosB＝eq\f(4,5)，得sinB＝eq\f(3,5)，∵sinA＝eq\f(2,5)，∴eq\f(a,b)＝eq\f(sinA,sinB)＝eq\f(2,3).又∵a＋b＝10，∴a＝4.(2)∵b2＝a2＋c2－2accosB，b＝3eq\r(5)，a＝5，∴45＝25＋c2－8c，即c2－8c－20＝0，解得c＝10或c＝－2(舍去)，∴S＝eq\f(1,2)acsinB＝15.12．(2017·河南鄭州二模)在△ABC中，角A、B、C所對的邊分別為a、b、c，且滿足cos2C－cos2A＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)＋C))·sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)－C)).(1)求角A的大小；(2)若a＝eq\r(3)，且b≥a，求2b－c的取值范圍．[解](1)由已知可得2sin2A－2sin＝2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,4)cos2C－\f(1,4)sin2C))，化簡得sin2A＝eq\f(3,4)，∴sinA＝±eq\f(\r(3),2)，又0<A<π，∴sinA＝eq\f(\r(3),2)，故A＝eq\f(π,3)或eq\f(2π,3).(2)由eq\f(a,sinA)＝eq\f(b,sinB)＝eq\f(c,sinC)，得b＝2sinB，c＝2sinC，因為b≥a，所以B≥A，所以A＝eq\f(π,3)，B＋C＝eq\f(2π,3)且B∈eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)，\f