2024—2025學年北京市第四中學高三上學期暑期測試數學試卷（2024.7.29）

一、單選題(★★)1.已知集合，．若，則實數a的取值范圍是（）

A．B．C．且D．且(★★)2.若復數是純虛數，則實數（）

A．1B．C．2D．(★★)3.已知，，，那么（）

A．B．C．D．(★★)4.函數的圖象的對稱中心為（）

A．B．C．D．(★)5.已知冪函數滿足，則的值為（）

A．2B．C．D．-2(★★)6.已知各項均為正數的等比數列的前n項和為，，，則的值為（）

A．30B．10C．9D．6(★★)7.在下列函數中，導函數值不可能取到1的是（）

A．B．C．D．(★★)8.已知．則“”是“”的（）

A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充要條件D．既不充分也不必要條件(★★★)9.在中，若，則的形狀是（）

A．等腰三角形B．直角三角形C．等腰直角三角形D．等腰或直角三角形(★★★)10.已知是函數的極小值點，那么實數的取值范圍是（）

A．B．C．D．(★★★)11.已知函數的最小正周期為，最大值為，則函數的圖象（）

A．關于直線對稱B．關于點對稱C．關于直線對稱D．關于點對稱(★★★)12.已知等比數列的前n項和為，若存在實數，使得，則以下結論不正確的是（）

A．B．數列的公比為C．D．數列可能為常數列(★★)13.某教學軟件在剛發布時有100名教師用戶，發布5天后有1000名教師用戶.如果教師用戶人數與天數之間滿足關系式：，其中為常數，是剛發布時的教師用戶人數，則教師用戶超過20000名至少經過的天數為（）（參考數據：）

A．9B．10C．11D．12(★★★★)14.已知函數，有如下3個結論：①當時，在區間上單調遞減；②當時，有兩個極值點；③當時，有最大值.其中，正確結論的個數是（）

A．0B．1C．2D．3二、填空題(★★)15.已知，則關于的不等式的解集是________．(★)16.在平面直角坐標系中，角以為始邊，且終邊經過點，則________.(★)17.若，則________.(★★)18.寫出一個同時具有下列性質的函數________.①函數是偶函數；②當時，單調遞減.(★★★)19.已知為偶函數，當時，.（1）_________；（2）不等式的解集為________.(★★★)20.設數列的前項和為，若對任意的正整數，總存在正整數，使得.給出如下4個結論：①可能為等差數列；②可能為等比數列；③均能寫成的兩項之差；④對任意，總存在，使得.其中正確命題的序號是_________.三、解答題(★★★)21.已知是等差數列，其前項和為，，.(1)求數列的通項公式及；(2)從條件①、條件②、條件③這三個條件中選擇一個作為已知，求數列的前項和.條件①：；條件②：；條件③：.注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分.(★★★