高級中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1陜西省榆林市府谷縣部分校2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期第二次月考質(zhì)量檢測數(shù)學(xué)試題考生注意：1.本試卷分選擇題和非選擇題兩部分．滿分150分，考試時間120分鐘．2.答題前，考生務(wù)必用直徑0.5毫米黑色墨水簽字筆將密封線內(nèi)項目填寫清楚．3.考生作答時，請將答案答在答題卡上．選擇題每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑；非選擇題請用直徑0.5毫米黑色墨水簽字筆在答題卡上各題的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效，在試題卷、草稿紙上作答無效．4.本卷命題范圍：人教A版選擇性必修第一冊．一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.直線和直線的位置關(guān)系為（）A.平行 B.垂直 C.重合 D.相交但不垂直【答案】B【解析】直線和直線的斜率分別為，因為，所以.故選：B.2.雙曲線的漸近線方程為（）A. B.C. D.【答案】A【解析】雙曲線的漸近線方程是，即.故選：A.3.已知橢圓兩個焦點(diǎn)分別為，點(diǎn)是上一點(diǎn)，且，則的方程為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由，得，即，又是橢圓上一點(diǎn)，所以，解得1，故橢圓的方程為，故選：C.4.直線被圓截得的弦長為（）A.1 B.2 C.3 D.4【答案】B【解析】由題意得圓心到直線的距離為，故直線被圓截得的弦長為.故選：B.5.在拋物線上求一點(diǎn)，使其到焦點(diǎn)的距離與到的距離之和最小，則該點(diǎn)坐標(biāo)為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由題意得拋物線的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線方程為.過點(diǎn)作于點(diǎn)，由定義可得PM=PF，所以，由圖可得，當(dāng)三點(diǎn)共線時，最小，此時.故點(diǎn)的縱坐標(biāo)為1，所以橫坐標(biāo)．即點(diǎn)的坐標(biāo)為．故選：A.6.如圖，已知，，是邊長為1的小正方形網(wǎng)格上不共線的三個格點(diǎn)，點(diǎn)為平面外一點(diǎn)，且，，若，則（）A. B. C.6 D.【答案】D【解析】以為基底，則，，，，.因為，所以，則，所以.故選：D7.已知點(diǎn)是圓上的動點(diǎn)，若為定值，則的最小值為（）A.4 B. C. D.【答案】D【解析】設(shè)，則，即，所以，因為為定值，所以，解得，此時，則，由圓，即，圓心為，半徑為，顯然點(diǎn)在圓內(nèi)部，且，則的最小值為，所以的最小值為．故選：D.8.在正三棱錐P-ABC中，，且該三棱錐的各個頂點(diǎn)均在以O(shè)為球心的球面上，設(shè)點(diǎn)O到平面PAB的距離為m，到平面ABC的距離為n，則（）A. B. C. D.3【答案】B【解析】在正三棱錐中，，又，，所以，所以，同理可得，，即兩兩垂直，把該三棱錐補(bǔ)成一個正方體，則三棱錐的外接球就是正方體的外接球，正方體的體對角線就是外接球的直徑，易得，如圖，建立空間直角坐標(biāo)系，則A1,0,0，，，，所以，，，設(shè)平面的法向量為，則，令，則，所以，則點(diǎn)到平面的距離，所以，故選B.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．9.若直線l過點(diǎn)且在兩坐標(biāo)軸上的截距互為相反數(shù)，則直線l的方程為（）A. B. C. D.【答案】AD【解析】直線l過點(diǎn)且在兩坐標(biāo)軸上的截距互為相反數(shù)，當(dāng)直線l過原點(diǎn)時，它們在兩坐標(biāo)軸上的截距都為0，互為相反數(shù)，方程為，即；當(dāng)直線l不過原點(diǎn)時，設(shè)其方程為，則，解得，直線的方程為，即，所以直線l的方程為或.故選：AD10.若方程所表示的曲線為，則下面四個命題中錯誤的是（）A.若為雙曲線，則或B.若為橢圓，則C.曲線可能是圓D.若為雙曲線，則焦距為定值【答案】BD【解析】若為雙曲線，則，故或，所以選項A正確；若為橢圓，則且，故且，所以選項B錯誤；若為圓，則，故，所以選項C正確；若為雙曲線，則或，當(dāng)時，雙曲線化為標(biāo)準(zhǔn)形式為，此時，所以不是定值，則焦距也不為定值，同理焦距也不為定值，故選項D錯誤.綜上，選項BD錯誤，故選：BD.11.已知拋物線的焦點(diǎn)為，且三點(diǎn)都在拋物線上，則下列說法正確的是（）A.點(diǎn)的坐標(biāo)為B.若直線BC過點(diǎn)F，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則C.若，則線段BC的中點(diǎn)到軸距離的最小值為D.若直線AB，AC是圓的兩條切線，則直線BC的方程為【答案】ABD【解析】對于A：因為在拋物線上，所以，解得，所以，故A正確；對于B：顯然直線BC的斜率不為0，設(shè)直線BC的方程為，由得，所以，所以，所以，故B正確；對于C：因為，當(dāng)且僅當(dāng)B，C，F(xiàn)三點(diǎn)共線時，等號成立，所以，所以，即線段BC的中點(diǎn)到軸距離的最小值為，故C錯誤；對于D：直線AB的斜率為，所以直線AB的方程為，即，又直線AB與圓相切，所以，整理得，即，同理可得，所以直線BC的方程為，故D正確.故選：ABD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.已知平面的法向量為，平面的法向量為，若α//β，則__________.【答案】【解析】因為α//β，所以，則存在實數(shù)，使，即，解得，所以故答案為：13.若圓與曲線有兩個公共點(diǎn)，則的取值范圍為______.【答案】【解析】圓的圓心為坐標(biāo)原點(diǎn)，關(guān)于軸對稱，因為為偶函數(shù)，函數(shù)圖象關(guān)于軸對稱，所以曲線的圖象也關(guān)于軸對稱，所以只需研究與圓只有一個交點(diǎn)即可，當(dāng)與圓相切時，則，當(dāng)與圓相交時（只有一個交點(diǎn)），則，綜上可得的取值范圍為.故答案為：14.已知是橢圓的左焦點(diǎn)，直線交橢圓于M，N兩點(diǎn).若，則橢圓的離心率為______.【答案】【解析】設(shè)是橢圓的右焦點(diǎn)，連接，由對稱性可知，則為平行四邊形，則，即，因為，則，在中，由余弦定理可得，即，解得，所以橢圓的離心率為.故答案為：.四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15.已知，，.（1）求直線的方程及的面積；（2）求的外接圓的方程.解：（1）直線的方程為，即，因為，點(diǎn)到直線的距離為，所以的面積為.（2）設(shè)的外接圓的方程為，由題意，解得，所以的外接圓的方程為：.16.如圖，四棱錐的側(cè)面為正三角形，底面為梯形，，平面平面，已知，.（1）證明：平面；（2）若，求直線與平面所成角的正弦值.解：（1）取上的點(diǎn)，使，則，所以四邊形為平行四邊形，所以，又平面，平面，所以平面；（2）取中點(diǎn)，連，因，所以，因為為正三角形，所以，又平面平面，平面平面，平面，所以平面，因為平面，所以，，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別為軸正方向，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，則，，，設(shè)為平面的法向量，則，可取，，故直線與平面所成角的正弦值為.17.如圖，過拋物線的焦點(diǎn)F的直線與C相交于A，B兩點(diǎn)，當(dāng)直線AB與y軸垂直時，（1）求C的方程;（2）以AB為直徑的圓能否經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)若能，求出直線AB的方程;若不能，請說明理由.解：（1）點(diǎn)的坐標(biāo)是，當(dāng)直線AB與y軸垂直時，點(diǎn)A，B的坐標(biāo)分別是，，，解得，所以C的方程是（2）以AB為直徑的圓不可能經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)O，理由如下：如圖，直線AB的斜率顯然存在，設(shè)其方程為，代入，消去y并整理得，設(shè)，，則因為，所以O(shè)A與OB不垂直.因此，以AB為直徑的圓不可能經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn).18.如圖1，在平行四邊形ABCD中，，將沿BD折起到位置，使得平面平面，如圖2.（1）證明：平面BCD；（2）在線段上是否存在點(diǎn)，使得二面角的大小為?若存在，求出的值；若不存在，說明理由.解：（1）在中，因為，由余弦定理，得，所以，所以，所以．如下圖1所示：在中，作于點(diǎn)，因為平面平面，平面平面平面，所以平面，又平面，所以，又因為平面，所以平面，因為平面，所以，又平面BCD，所以平面BCD.（2）方法一：如下圖2所示：存在點(diǎn)，當(dāng)是的中點(diǎn)時，二面角的大小為.證明如下：由（1）知平面BDC，所以且，所以，又因為是的中點(diǎn)，所以，同理可得：，取BD的中點(diǎn)為O，DC的中點(diǎn)為，連接MO，EM，OE，因為，所以是二面角的平面角，又因為，所以．此時．方法二：以為原點(diǎn)，所在直線分別為軸，軸，軸，建立如下圖3所示的空間直角坐標(biāo)系，則.假設(shè)點(diǎn)存在，設(shè)，則，設(shè)平面MBD的一個法向量為，則，取，可得，又平面CBD的一個法向量為，假設(shè)在線段上存在點(diǎn)，使得二面角的大小為，則，解得，所以點(diǎn)存在，且點(diǎn)是線段的中點(diǎn)，即.19.若橢圓的長軸長，短軸長分別等于雙曲線的實軸長，虛軸長，且橢圓和雙曲線的焦點(diǎn)在同一坐標(biāo)軸上，則稱橢圓是雙曲線的共軛橢圓，雙曲線是橢圓的共軛雙曲線．已知橢圓的共軛雙曲線為．（1）求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）已知點(diǎn)，直線（不過點(diǎn)）與相交于、兩點(diǎn)，且，求點(diǎn)到直線的距離的最大值．解：