第八章立體幾何初步8.6空間直線、平面的垂直8.6.1直線與直線垂直課后篇鞏固提升必備知識基礎練1.如圖,在三棱錐D-ABC中,AC=BD,且AC⊥BD,E,F分別是棱DC,AB的中點,則EF和AC所成的角等于()A.30° B.45° C.60° D.90°答案B解析如圖所示,取BC的中點G,連接FG,EG.∵E,F分別為CD,AB的中點,∴FG∥AC,EG∥BD,且FG=12AC,EG=12∵AC=BD,∴FG=EG,∴∠EFG(或其補角)為EF與AC所成的角.∵AC⊥BD,∴FG⊥EG,∴∠FGE=90°,∴△EFG為等腰直角三角形.∴∠EFG=45°,即EF與AC所成的角為45°.2.在正方體ABCD-A1B1C1D1中,E為棱CC1的中點,則異面直線AE與CD所成角的正切值為()A.22 B.32 C.52 答案C解析在正方體ABCD-A1B1C1D1中,CD∥AB,所以異面直線AE與CD所成角為∠EAB(或其補角),設正方體邊長為2a,則由E為棱CC1的中點,可得CE=a,所以BE=5a,AE2=AC2+CE2=9a2,則有AE2=AB2+BE2.則tan∠EAB=BEAB=5a3.(多選題)(2021重慶巴川中學高一期末)如圖,三棱柱ABC-A1B1C1中,底面三角形A1B1C1是正三角形,E是BC的中點,則下列敘述錯誤的是()A.CC1與B1E是異面直線B.C1C與AE共面C.AE與B1C1是異面直線D.AE與B1C1所成的角為60°答案ABD解析由于CC1與B1E都在平面C1B1BC內,故C1C與B1E共面,A錯誤;由于C1C在平面C1B1BC內,而AE與平面C1B1BC相交于E點,點E不在C1C上,故C1C與AE是異面直線,B錯誤;同理AE與B1C1是異面直線,C正確;AE與B1C1所成的角就是AE與BC所成的角,而E為BC中點,△ABC為正三角形,所以AE⊥BC,即AE與B1C1所成的角為90°,D錯誤.故選ABD.4.如圖,已知在長方體ABCD-A1B1C1D1中,A1A=AB,E,F分別是BD1和AD的中點,則異面直線CD1,EF所成的角的大小為.

答案90°解析取CD1的中點G,連接EG,DG.∵E是BD1的中點,∴EG∥BC,EG=12BC∵F是AD的中點,且AD∥BC,AD=BC,∴DF∥BC,DF=12BC∴EG∥DF,EG=DF,∴四邊形EFDG是平行四邊形,∴EF∥DG,∴∠DGD1(或其補角)是異面直線CD1與EF所成的角.又A1A=AB,∴四邊形ABB1A1,四邊形CDD1C1都是正方形,且G為CD1的中點,∴DG⊥CD1,∴∠D1GD=90°,∴異面直線CD1,EF所成的角為90°.5.如圖所示,在空間四邊形ABCD中,AB=CD,且AB與CD所成的角為30°,E,F分別為BC,AD的中點,則EF與AB所成角的大小為.

答案15°或75°解析取AC的中點G,連接EG,FG,則EG∥AB,且EG=12,FG∥CD,且FG=12CD,由AB=CD知EG=FG易知∠GEF(或其補角)為EF與AB所成的角,∠EGF(或其補角)為AB與CD所成的角.∵AB與CD所成的角為30°,∴∠EGF=30°或150°.由EG=FG知△EFG為等腰三角形,當∠EGF=30°時,∠GEF=75°;當∠EGF=150°時,∠GEF=15°.故EF與AB所成的角為15°或75°.6.如圖所示,AB是圓O的直徑,點C是弧AB的中點,D,E分別是VB,VC的中點,求異面直線DE與AB所成的角.解因為D,E分別是VB,VC的中點,所以BC∥DE,因此∠ABC是異面直線DE與AB所成的角.又因為AB是圓O的直徑,點C是弧AB的中點,所以△ABC是以∠ACB為直角的等腰直角三角形,于是∠ABC=45°,故異面直線DE與AB所成的角為45°.關鍵能力提升練7.如圖所示,在空間四邊形ABCD中,AD=BC=2,E,F分別是AB,CD的中點,EF=2.求證:AD⊥BC.證明如圖所示,取BD的中點H,連接EH,FH.因為E是AB的中點,且AD=2,所以EH∥AD,EH=1.同理FH∥BC,FH=1.所以∠EHF(或其補角)是異面直線AD,BC所成的角.因為EF=2,所以EH2+FH2=EF2,所以△EFH是等腰直角三角形,EF是斜邊,所以∠EHF=90°,即AD與BC所成的角是90°,所以AD⊥BC.8.如圖,空間四邊形ABCD的對棱AD,BC成60°的角,且AD=BC=a,平行于AD與BC的截面分別交AB,AC,CD,BD于點E,F,G,H.E在AB的何處時截面EFGH的面積最大?最大面積是多少?解∵AD與BC成60°角,∴∠HGF=60°或120°.設AE∶AB=x,則EFBC=AEAB=x∴EF=ax.由EHAD=BEAB=1-x,得EH=a∴S四邊形EFGH=EF×EH×sin60°=ax×a(1-x)×32=32a2(-x2+x)=3當x=12時,S最大值=38a2,即當E為AB的中點時,截面的面積最大,最大面積為38學科素養創新練9.如圖,點S在平面ABC外,SB⊥AC,SB=AC=2,E,F分別是SC和AB的中點,