專題02圓中的重要模型-圓弧的中點模型

當圓中出現(xiàn)弧的中點時，我們要注意考慮幾個方面：三角形的中位線，垂徑定理，圓周角定理，弦，

弧，圓心角，圓周角的關系等等。其關系復雜，在理解其做輔助線的方法和分析技巧的基礎之上，還要注

意各知識點之間的聯(lián)系，才是形成穩(wěn)固的解題思路以及推導模式的最佳選擇，以便于最后才能突破復雜的

綜合題型以及壓軸題型。

當圓中出現(xiàn)弦的中點或弧的中點時，我們聯(lián)想到的是利用垂徑定理以及圓周角定理進行思路的突破，

這樣的解決方式比較直接，而且能夠提高大家解題的效率

模型1、與垂徑定理相關的中點模型

圖1

1)如圖1,已知點尸是A3中點，連接OP,貝尸，

2)如圖2,已知過點P作MN//AB,則是圓。的切線.

3)如圖3,變換條件：連接BP、AP,若/BPN=/A,則MN是圓。切線.

例1.（2023陜西中考數學試卷）陜西飲食文化源遠流長，"老碗面”是陜西地方特色美食之一.圖②是從正

面看到的一個"老碗"（圖①）的形狀示意圖.42是C。的一部分，。是4B的中點，連接與弦交

于點C,連接OA,OB.已知AB=24cm,碗深CD=8cm,則。的半徑Q4為（）

圖①

A.13cmB.16cmC.17cmD.26cm

例2.（2023?湖北十堰?九年級校考期中）如圖，是,：。的直徑，C是。上一點，。是AC的中點，BD交

AC于點E,過點。作小〃AC交54的延長線于點E

⑴求證：DF是:。的切線；（2）若AF=2,FD=4,求ADFB的面積.

例3.（2023春?福建福州?九年級統(tǒng)考期中）如圖，點C在以為直徑的半圓。上（點C不與A,8兩點重

合），點。是AC的中點、DEJ.AB于點、E,連接AC交。E于點尸，連接。尸，過點。作半圓。的切線。尸

交54的延長線于點尸.⑴求證：AC〃。尸；（2）求證：AC=2DE；（3）連接CE,CP,若AE回EO=1回2,

求少CF的值.

例4.（2023?廣東佛山?校聯(lián)考一模）如圖，在Q中，為的直徑，點E在。上，。為3E的中點，

連接AE,3少并延長交于點C.連接OO,在。。的延長線上取一點尸，連接防，使=

9

⑴求證：BF為。的切線；⑵若AE=4,OF、，求1。的直徑.

模型2、與圓周角定理相關的中點模型（母子型）

圖1圖2圖3

1）如圖1,已知點尸是中點，點C是圓上一點，貝Ij/PCA=NPC8.

2）如圖2,已知點尸是半圓中點，則NPC4=/PCB=45°.

3）如圖3,已知點尸是AB中點，貝Ij/PBA=NPCA=NPCB=NB48.可得：△PZMS^HC；APDB^^PBC.

可得：ACAPsACDB；△CADs^CPB.

例1.（2023?廣東九年級期中）如圖,四邊形ABCD內接于O,AB為。的直徑,點C為8￡）的中點，若

ZDAB=40°,則NCBA的度數是（

40°C.60°D.50°

例2.（2023?廣東惠州?統(tǒng)考一模）如圖，在。中，弦8相交于點E,點B是劣弧CD中點，延長AC

到點色使AF=AD,連接用，CB,BD.

⑴求證：FB=CB；（2）若用〃8,求證:FB是C。的切線；⑶若AE=7,EB=2,求的長.

F

例3.（2023?湖北武漢?統(tǒng)考模擬預測）如圖，BC是，。的直徑，P為CB延長線上一點，R4切。于A,D

是BC的中點，AD交BC于E,⑴求證：R4=PE；（2）若OE=1,BE=2,求AE的長.

例4.（2023?江蘇南京,校聯(lián)考三模）如圖，在四邊形ABCD中，連接AC,作aABC的外接圓，。交。于點

E,連接BE,交AC于點/，A?=AC=10.（1）若相＞〃8C,求證：AQ是:的切線；（2）若BC=12,求

。的半徑；（3）若CE=6,E為AC的中點，則8E的長為

模型3、垂徑定理與圓周角定理結合的中點模型

如圖，是直徑，點P是AC中點，過點尸作交于點H,貝UZkADPs△”心

以下作圖可證明：ZPAC=ZAPH,即可得△E4。是等腰三角形.

例1.（2023?河北滄州?模擬預測）如圖，AB,CD是。的直徑，過點。作垂足為點G,與O

交于點尸，連接AF,AC,AC交DF于點E.甲、乙給出了如下說法：

甲：若添加條件=則A尸〃CO；乙：若添加條件/是劣弧AC的中點，則AF〃CE?.

下列說法正確的是（）

A.甲對，乙不對B.甲不對，乙對C.甲、乙兩人都對D.甲、乙兩人都不對

例2.（2023?安徽合肥?統(tǒng)考三模）如圖，是半圓。的直徑，4C是弦，點。是AC的中點;，點E是40的

中點，連接。。、3。分別交AC于點。和點尸，連接OE,則下列結論中錯誤的是（）

A.ODLACB.CE=-BDC.OE//BDD.CD2=DPBD

2

例3.（2023?山東濟南?統(tǒng)考中考真題）如圖，AB,。為（。的直徑，C為。上一點，過點C的切線與A3

的延長線交于點尸，NABC=2/BCP,點E是的中點，弦CE,相交于點E.

⑴求/OCB的度數；（2）若跖=3,求。直徑的長.

例4.（2023?浙江舟山?統(tǒng)考三模）如圖1,在（。中，直徑ABLCD于點R點E為。上一點，點C為弧

AE的中點，連接AE,交CO于點G.

⑴求證：AE=CD；（2）如圖2,過點C作。的切線交氏4的延長線于點。，若AF=2,AE=8,求。。的

PF

長度；（3）在（2）的基礎上，點尸為；。上任一點，連接尸足PQ,"的比值是否發(fā)生改變？若不變，求

出比值；若變化，說明變化規(guī)律.

模型4、與托勒密定理相關的中點模型

1）同側型：

條件：如圖5,A為弧BC中點，。為圓上等腰三角形底邊下方一點，結論：BD+CD=2ADxcose；

特別地：1）當三角形為等邊三角形時（即。=60°）；結論：BD+CD=AD

2）當三角形為等腰直角三角形時（即0=90°）；結論：BD+CD=42AD

3）當三角形為120°的等腰直角三角形時（即0=120°）；結論：BD+CD=?AD

2）異側型：

條件：如圖5,A為弧BC中點，。為圓上等腰三角形底邊下方一點，結論：BD-CD=2ADxCosd；

特別地：1）當三角形為等邊三角形時（即。=60°）；結論：BD-CD=AD

2）當三角形為等腰直角三角形時（即6=90°）；結論：BD-CDfAD

3）當三角形為120°的等腰直角三角形時（即敘120°）；結論：BD-CD=gAD

例L（2023?浙江?九年級期中）如圖，AC、3D為圓內接四邊形ABCD的對角線，且點。為8OC的中點;

⑴如圖1,若NCD3=60。、直接寫出AD,AB與AC的數量關系；

（2）如圖2、若NCDB=90。、AC平分NBC￡>,BC=4,求AD的長度.

例2.（2023?云南紅河?統(tǒng)考二模）如圖，在。中，CD為'。的直徑，過點C作射線CE,ZAOC=120°,

點B為弧AC的中點，連接A3,OB,3C.點尸為弧8C上的一個動點（不與2,C重合），連接上4,PB,

PC,PD.⑴若/ECP=NPDC,判斷射線CE與O的位置關系；（2）求證：PA=?PB+PC.

例3.（2023?山西陽泉?九年級統(tǒng)考期末）閱讀下列材料，并完成相應的任務.

托勒在定理

It勘宙（Ptolemy）（公元90年一公元168年）.名的天文家.也理學家、數學

家和光學家.在教學方面，催論”了四成七的轉性.即*名的托勒甯定理.

托勒密定理

IN內接四邊形中，兩條對角線的乘枳等于兩姐對邊條枳之和.

已如，如圖（1）?<>.四切形ABCD內接于O。，

求證：A￡BD=AB-CD^BCM

下面是謨結論的證明過際t

又/A/4.（依榭I）

2cAABCP..?.絲=絲即/C?BPAD?BC①

HCHI'

又乙《*/ZXHN5-/6.（依據2）

①+~/C（臥+/泗-AB?CD+4D?BC.

即AC?BD=AH?CD+AD?M.

任務：（1）上述證明過程中的“依據1"和"依據2"分別指什么？

依據1：依據2：

（2）當圓內接四邊形A8CD是矩形時，托勒密定理就是我們非常熟知的一個定理：_（請寫出定理名稱）.

（3）如圖（3）,四邊形內接于回。，AB=3,AD=5,0BAD=6O°,點C是弧BO的中點，求AC的長.

課后專項訓練

1.（2023?山西晉中?校考模擬預測）如圖，是。的直徑，點C、。在。上，點。為弧A3的中點，若

ZBDC=20°,則NOCD的大小為（）

A.20°B.22.5°C.25°D.30°

2.（2022秋?安徽?九年級校聯(lián)考開學考試）如圖，已知點AB,C,。均在。上，A3為C。的直徑，弦AD

的延長線與弦的延長線交于點E,連接OC,OD,AC,CD,BD.則下列命題為假命題的是（）

A.若點。是AB的中點，則40=8。B.若ODLAC,則NAOD=NA5c

C.若AB=AE,則C3=CED.若半徑0。平分弦AC,則四邊形AOCD是平行四邊形

3.（2023?江蘇?九年級假期作業(yè)）如圖，ABC的頂點A、B、C均在。上，點A是CB中點，則下列結論

正確的是（）

A.AB^OCB.ZBAC+ZAOC=180°C.BC^ZACD.ZBAC+-ZAOC=180°

2

4.（2023春?廣東深圳?九年級校考期中）如圖，點E是ABC的內心，AE的延長線和；ABC的外接圓相交

于點D,與BC相交于點G,則下列結論：?ZBAD=ZCAD；②若/班C=50。，則N3EC=130。；③若

點G為8C的中點，則/3GD=90。；④BD=DE.其中一定正確的個數是（）

A

D

A.1B.2C.3D.4

5.（2023?陜西西安?校考三模）如圖，AB是：。的直徑，C為。上的點，。是AC的中點，連接AC，BD,

若/A=20。，則一ABD的度數是（）

6.（2023?陜西西安?校考模擬預測）如圖，點A是優(yōu)弧BC的中點，過點8作AC的垂線交AC于點E,與圓

交于點D若/或心=60。，且AE=3,則圓的半徑為（）

7.（2023?重慶江津?校考二模）如圖，AB為。的直徑，且AB=4,C為弧人臺的中點，四邊形。4co為平

行四邊形，8。是＜。的切線，則圖中陰影部分的面積為（不取近似值）.

8.（2023,湖南岳陽?統(tǒng)考二模）如圖，A3是：。的直徑，且AB=6,點。，E在。上，連接ED,AD,

連接并延長，交『。的切線于點C.①若乙鉆。=40。，則弧AD的長度為（結果保留萬）;

②若E是弧8。的中點，AE與BC相交于點凡BF=2,則"'=.

9.（2023春?江西贛州?八年級校聯(lián)考期末）如圖，A3是。的直徑，AC是弦，C。與交于點E.。的

切線C尸交A2的延長線于點/，且CF=EP.

⑴求證：點。是弧A3的中點.（2）連接30，取的中點G,連接AG.若CF=8,BF=4,求AG的長.

10.（2023?貴州黔東南?統(tǒng)考二模）如圖，A2是f。的直徑，AC是弦，。是弧A3的中點，CD與A3交于

點E,C尸是Q的切線，交A3的延長線于點尸.

⑴寫出圖中一對相似三角形；（2）求證：CF=EF-（3）若Cb=4,BF=2,求5D的長.

D

11.（2023?遼寧鞍山?統(tǒng)考二模）如圖，在ABC中，以為直徑作O,。恰好經過點C,點D為半圓A3

中點，連接CO,過。作小〃AB交AC延長線于點E.

（1）求證：DE為。切線；（2）若AC=4,CD=S，求C。的半徑長.

12.（2022?山東九年級期中）如圖，。是A/RC的外接圓，N54C的平分線交：O于點。，交于點E,

過點。作直線止/ABC.（1）判斷直線DF與：O的位置關系，并說明理由；（2）若AB=6,AE=^,

5

CE=生自，求3D的長.

5

13.（2023?重慶九年級期末）如圖，33為AASC外接圓。的直徑，且NS4E=NC.（1）求證：鉆與O

相切于點A;（2）若AEI/BC,BC=2S,AC=2&，求4）的長.

E

14.（2023?浙江九年級期中）如圖，四邊形ABCD內接于O,N540=90。，點E在3C的延長線上，且

ZDEC=ZBAC.（1）求證：DE是、O的切線；（2）若ACUDE,當AB=8,CE=2時，求AC的長.

15.（2022?德陽）如圖，在直角三角形ABC中，NACB=9O。，點H是AABC的內心，的延長線和三角

形ABC的外接圓O相交于點。，連結DB.（1）求證：DH=DB；（2）過點。作3C的平行線交AC、AB

的延長線分別于點E、F,己知CE=1,圓。的直徑為5