第2講常用邏輯用語

知識梳理

一、充分條件、必要條件、充要條件

1、定義

如果命題“若p,則q”為真(記作p=>g),則p是q的充分條件；同時q是p的必要

條件.

2、從邏輯推理關(guān)系上看

(1)若png且p,則p是q的充分不必要條件；

(2)若pLq且gn/2,則p是q的必要不充分條件；

(3)若p=>q且qnp,則p是q的的充要條件(也說p和q等價)；

(4)若q且p,則p不是q的充分條件，也不是q的必要條件.

對充分和必要條件的理解和判斷，要搞清楚其定義的實質(zhì)：pnq,則0是q的充分條

件，同時“是p的必要條件.所謂“充分”是指只要p成立，“就成立；所謂“必要”是指要使

得〃成立，必須要q成立(即如果g不成立，則p肯定不成立).

全稱量詞與存在量詞

(1)全稱量詞與全稱量詞命題.短語“所有的”、“任意一個”在邏輯中通常叫做全稱量

詞，并用符號“V”表示.含有全稱量詞的命題叫做全稱量詞命題.全稱量詞命題“對M中的

任意一個X,有p(x)成立“可用符號簡記為“VxeM,p(x)”,讀作“對任意x屬于有p(x)

成立

(2)存在量詞與存在量詞命題.短語“存在一個”、“至少有一個“在邏輯中通常叫做存

在量詞，并用符號“寸，表示.含有存在量詞的命題叫做存在量詞命題.存在量詞命題“存在W

中的一個%,使以M)成立“可用符號簡記為“王尸(尤0)”，讀作“存在M中元素毛，使

p(x0)成立"(存在量詞命題也叫存在性命題).

三.含有一個量詞的命題的否定

(1)全稱量詞命題p:VxeM，Mx)的否定r?為,-,p(x0).

(2)存在量詞命題p:3x0eM,p(x0)的否定為.

注：全稱、存在量詞命題的否定是高考常見考點之一.

【解題方法總結(jié)】

1、從集合與集合之間的關(guān)系上看

設(shè)/={工|00)},8=卜|式工)}.

(1)若/=則P是4的充分條件(p=q),q是P的必要條件；若4T，則p是

q的充分不必要條件，q是p的必要不充分條件，即p=>q且p;

注：關(guān)于數(shù)集間的充分必要條件滿足：“小二大”.

(2)若B=則p是q的必要條件，q是p的充分條件；

(3)若/=2,則〃與q互為充要條件.

2、常見的一些詞語和它的否定詞如下表

原詞語等于(=)大于(>)小于(<)是都是任意(所有)至多有一個至多有一個

否定詞語不等于小于等于大于等于不是不都是某個至少有兩個一個都沒有

(為(<)(>)

(1)要判定一個全稱量詞命題是真命題，必須對限定集合〃中的每一個元素x證明其

成立，要判斷全稱量詞命題為假命題，只要能舉出集合河中的一個x0,使得其不成立即可,

這就是通常所說的舉一個反例.

(2)要判斷一個存在量詞命題為真命題，只要在限定集合w中能找到一個/使之成立

即可，否則這個存在量詞命題就是假命題.

必考題型全歸納

題型一：充分條件與必要條件的判斷

【解題總結(jié)】

1、要明確推出的含義，是P成立《一定成立才能叫推出而不是有可能成立.

2、充分必要條件在面對集合問題時，一定是小集合推出大集合，而大集合推不出小集

合.

3、充分必要條件考察范圍廣，失分率高，一定要注意各個知識面的培養(yǎng).

例1.(2024?江蘇揚州?揚州中學(xué)校考模擬預(yù)測)已知向量@=(m2,-9),b=(1,-1),貝心加=-3”

是“3〃廠的()

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】A

【解析】若加=-3,則3=（9,—9）=93,所以列區(qū)；

若1〃3,則"廣x（-l）-（-9）xl=0,解得加=±3,得不出加=-3.

所以“加=-3”是“allb”的充分不必要條件.

故選：A.

例2.（2024?全國?高三專題練習(xí)）已知直線a_L平面戊，貝!]“直線a〃平面力”是“平面a_L平

面”的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】A

【解析】若“直線?！ㄆ矫鎽簟背闪ⅲO(shè)/u〃，且〃/°,又。，平面a,所以//平面a,又/u/，

所以“平面a，平面月”成立；

若“平面a_L平面力”成立，且直線a_L平面a,可推出a〃平面月或au平面夕，

所以“直線all平面P”不一定成立.

綜上，“直線all平面P”是“平面a，平面夕”的充分不必要條件.

故選：A.

例3.（2024?天津和平?高三天津一中?？茧A段練習(xí)）“cos2a=-L^"cosc=L呃（）

22

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】B

11

【解析】cos2a=2cosa-l=——,cosa=±—,

22

所以“cos2a=-1”是“cosa=1”的必要不充分條件.

22

故選：B

例4.（2024?天津南開?南開中學(xué)校考模擬預(yù)測）已知a,beR,則“。＞6”是＞戶的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】D

【解析】若a=0〉6,則a?〉。?不成立，若同＞6且。＜0=方，止匕時/＞6?推不出a＞&,所

以“a>b”是>廿，，的既不充分也不必要條件.

故選：D

題型二：根據(jù)充分必要條件求參數(shù)的取值范圍

【解題總結(jié)】

1、集合中推出一定是小集合推大集合，注意包含關(guān)系.

2、在充分必要條件求解參數(shù)取值范圍時，要注意端點是否能取到問題，容易出錯.

例5.（2024?山東濰坊?統(tǒng)考二模）若“x=0”是“sinx+cosx>l”的一個充分條件，則a的一

個可能值是.

【答案】:（只需滿足阮,2E+［化EZ）即可）

【解析】由sinx+cosx〉1可得+>1,則sin［x+：j,

所以，2析+：<x+；<2析+,（左GZ）,解得2析<x<2析+］（左GZ）,

兀

因為“x=a”是“sinx+cosx>l”的一個充分條件，故a的一個可能取值為一.

4

故答案為：:（只需滿足ae（2標(biāo),2E+曰依€Z）即可）.

例6.（2024?上海長寧?統(tǒng)考二模）若"x=l”是“x>a”的充分條件，則實數(shù)。的取值范圍為

【答案】（-叫1）

【解析】?r“x=l”是“x>?！钡某浞謼l件，；.x=lnx>a,

即實數(shù)。的取值范圍為

故答案為：

例7.（2024?全國?高三專題練習(xí)）若“x<2”是“x<a”的必要不充分條件，則。的值可以是

.（寫出滿足條件a的一個值即可）

【答案】0（答案不唯一，滿足a<2即可）

【解析】由于“x<2”是“x<a”的必要不充分條件，所以。<2,

所以。的值只需小于2即可.

故答案為：0（答案不唯一，滿足。<2即可）

題型三：全稱量詞命題與存在量詞命題的真假

【解題總結(jié)】

1、全稱量詞命題與存在量詞命題的真假判斷既要通過漢字意思，又要通過數(shù)學(xué)結(jié)論.

2、全稱量詞命題和存在量詞命題的真假性判斷較為簡單，注意細節(jié)即可.

例8.（2024?河北?高三學(xué)業(yè)考試）設(shè)非空集合尸，。滿足尸cQ=尸，則下列選項正確的是

（）

A.V無eQ,有xePB.V無任。，有xe尸

C.使得xePD.BXEP,使得x任。

【答案】B

【解析】■'P^Q=P,，尸=。，

當(dāng)尸耳。時，*。€。，使得/任「，故A錯誤；

■：P^Q,：.\/xeP,必有xeQ,即Vx《。，必有xeP,故B正確；

由B正確，得Vxw0,必有彳色尸，.?.石￡。，使得xeP錯誤，即C錯誤；

當(dāng)八。時，不存在使得X。/。，故D錯誤，

綜上只有B是正確的.

故選：B.

xx

例9.（2024?全國?高三專題練習(xí)）已知0<6<°<1,下列四個命題：①以e（0,+o。），a>b,

abx

②Vxe(0,l),logMAlog/,③*e(0,l),x>x,④*e(0,6),a>logax.

其中是真命題的有()

A.①③B.②④C.①②D.③④

【答案】C

/=))>削=1,

【解析】對于①，由0<6<a<l得：￡>1則ax>bx,

b

①正確；

對于②，Vxe(0,l),loga-logb=log—<log1=0,即0<log<a<k>g,b,則log。x>log&x,

xvYbx

②正確；

對于③，函數(shù)了=川(0<加<1)在(0,D上為減函數(shù)，而o<b<a<l,則川<%〃，即Vxw(0,I),

③錯誤；

x

對于④，當(dāng)xe(0,6)時，a<1,logax>logab>logaa=l,即優(yōu)〈log。x,④錯誤,

所以所給命題中，真命題的是①②.

故選：C

例10.（2024?貴州畢節(jié)?統(tǒng)考模擬預(yù)測）直線4：x+（l+a）y=l-a（aeR）,直線4：〉=-gx,

給出下列命題：

①izeR,使得〃〃2；@3aeR,使得/|，4；

③VaeR,4與4都相交；④丸eR,使得原點到4的距離為2.

其中正確的是（）

A.①②B.②③C.②④D.①④

【答案】C

【解析】對于①，若貝!I一力=一萬，該方程組無解，①錯；

1一。w0

對于②，若f4,則卜占］［￡1=一1，解得〃=一|，②對；

對于③，當(dāng)4=1時，直線4的方程為無+2了=0,即尸-此時，4、4重合，③錯；

對于④，直線4的方程為尤+（。+1）了+。-1=0,

I"—

若加?火，使得原點到4的距離為2,則Ji+g+］）2=2,整理可得3/_10“+7=0,

A=100-4X3X7>0,方程3/-10。+7=0有解，④對.

故選：C.

題型四：全稱量詞命題與存在量詞命題的否定

【解題總結(jié)】

1、全稱量詞命題與存在量詞命題的否定是將條件中的全稱量詞和存在量詞互換，結(jié)論

變否定.

2、全稱量詞命題和存在量詞命題的否定要注意否定是全否，而不是半否.

例11.（2024?四川成都三模）命題，也€此/+》-140”的否定是（）

A.3x0eR,+x0-1<0B.eR,x；+尤0-1>0

2

C.VxeR,x+x-1>0D.3x0eR,^+x0-1>0

【答案】B

【解析】由題意可得，“\/苫€1＜》2+_￥-140”的否定是為0€&_￥；+%-1＞0,

故選：B

例12.（2024?貴州貴陽?統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知命題0：VawN,2"-2不是素數(shù),則上為（）

A.3ngN,2"-2是素數(shù)B.V/zeN,2"-2是素數(shù)

C.2"-2是素數(shù)D.3weN,2"-2是素數(shù)

【答案】D

【解析】命題P為全稱量詞命題，該命題的否定為2"-2是素數(shù).

故選：D.

例13.（2024?四川成都?成都七中統(tǒng)考模擬預(yù)測）命題“有一個偶數(shù)是素數(shù)”的否定是（）

A.任意一個奇數(shù)是素數(shù)B.任意一個偶數(shù)都不是素數(shù)

C.存在一個奇數(shù)不是素數(shù)D.存在一個偶數(shù)不是素數(shù)

【答案】B

【解析】由于存在量詞命題。士eM,MX），否定為.所以命題“有一個偶

數(shù)是素數(shù)”的否定是“任意一個偶數(shù)都不是素數(shù)”.

故選：B

題型五：根據(jù)命題的真假求參數(shù)的取值范圍

【解題總結(jié)】

1、在解決求參數(shù)的取值范圍問題上，可以先令兩個命題都為真命題，如果哪個是假命

題，去求真命題的補級即可.

2、全稱量詞命題和存在量詞命題的求參數(shù)問題相對較難，要注重端點出點是否可以取

到.

例14.（2024,全國,局三專題練習(xí)）若命題“三。e[―1,3],—（2。—l）x+3—。＜0"為假命題，

則實數(shù)x的取值范圍為（）

A.[-13]B.0,-|C.[-l,0]U1,4D.[-l,0）U^-1,4

【答案】C

【解析】命題“山€[-1,3],爾_（2"1、+3-"0”為假命題，其否定為真命題，

即“Vae[-1,3],蘇-（2a-l）x+3-a20”為真命題.

令g(a)=ax2-2ax+x+3-?=(x2-2x-l)a+x+3>0,

g（T）*°n-x2+3x+4>0

則g（A。，即B

3x2-5x>0

-1<x<4「-

解得>2請YC，所以實數(shù)x的取值范圍為[T，0]U|，4.

I3

故選：C

例15.（2024,全國?高三專題練習(xí)）已知命題P：eR,x2+2x+2—a<0>若〃為假命題,

則實數(shù)。的取值范圍為（）

A.（1,+℃）B.[1,+℃）C.（-℃,1）D.（-℃,1]

【答案】D

【解析】因為命題P：R,x2+2x+2-a<0>

所以Y:VxeR,x2+2x+2-a>0,

又因為P為假命題，所以B為真命題，

即WxeR,/+2》+2—。20恒成立，

所以AW0,即2?-4（2-a）40,

解得a<1,

故選：D.

例16.（2024?全國?高三專題練習(xí)）若命題P:“*eR,（后2-1）/+4（1-左）x+3<0”是假命題,

則上的取值范圍是（）

A.（1,7）B.[1,7）

C.（-7,1）D.（-7,1]

【答案】B

【解析】因為命題FxeR,（尸-1）/+4（1-左）云+3（0”是假命題，

所以命題“VxGR,（左--l）x，+4（l-左）x+3>0”是真命題，

若左2—1=0，即后=1或左=一1,

當(dāng)k=1時，不等式為3>0,恒成立，滿足題意；

當(dāng)左=-1時，不等式為8x+3>0,不怛成立，不滿足題意;

左2—

當(dāng)左2—lwO時，則需要滿足<Z>.2//2.\Q八，

△二16（1—左）一4x（左2—l）x3<0

「（左一1）（左+1）〉0

艮喉一花一7）<0,解得…<7,

綜上所述，上的范圍是[1,7）,

故選：B.

例17.（2024?全國?高三專題練習(xí)）已知命題"Vxe[l,2],2*+x-a>0”為假命題，則實數(shù)a

的取值范圍是（）

A.（-℃,5]B.[6,+00）

C.（-<?,3]D.[3,+co）

【答案】D

【解析】因為命題“Vx?l,2],2*+x-a>0”為假命題，則命題的否定“王…[1,2],

2-。+%-aW0”為真命題，所以xe[l,2].

易知函數(shù)y=2、+x在[1,2]上單調(diào)遞增，所以當(dāng)x=l時，y=2，+x取最小值，所以

a>21+l=3.所以實數(shù)。的取值范圍為[3,+oo）.

故選：D.

1.（2022?天津?統(tǒng)考高考真題）“丫為整數(shù)”是“2彳+1為整數(shù)”的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】A

【解析】當(dāng)x為整數(shù)時，2x+l必為整數(shù)；

當(dāng)2x+l為整數(shù)時，x比一定為整數(shù)，

例如當(dāng)2x+l=2時，x=-.

2

所以“x為整數(shù)”是“2x+1為整數(shù)”的充分不必要條件.

故選：A.

2.（2022?浙江?統(tǒng)考高考真題）設(shè)XER,貝lj“sinx=l”是“cosx