第五章元一次方程

課標要求

（1）經歷從具體問題中的數量相等關系，列出方程的過程，體會并認識到方程是刻畫現實世界的一個有效

的數學模型；

（2）了解方程、一元一次方程以及方程的解等基本概念，了解方程的基本變形及在解方程中的作用；

（3）會解一元一次方程，并經歷和體會解方程中“轉化”的過程和思想。了解一元一次方程解法的一般步

驟，并能正確、靈活應用；

（4）會根據具體問題中的數量關系列出一元一次方程并求解，能根據問題的實際意義檢驗所得結果是否合

理；

（5）通過實踐與探索，經歷”問題情境一一建立數學模型一一解釋、應用與拓展”的過程，體會數學建模

思想，提高分析和解決實際問題的能力；

（6）在學習和探索一元一次方程的解法和應用中，通過自主學習，提高學習能力，增強合作意識。

基礎知識歸納

知識點1一元一次方程

1.概念：只含一個未知數（元）且未知數的次數都是1的方程；

標準式：ax+b=O（x是未知數，a^b是已知數，且aWO）；

2.方程的解：使方程等號左右兩邊相等的未知數的值

知識點2等式的性質

等式的性質1：等式兩邊加（或減）同一個數（或式子），結果仍相等；

如果a=b,那么a土c=b±c;

等式的性質2：等式兩邊乘同一個數，或除以同一個不為0的數，結果仍相等;

如果a=b,那次么ac=bc;

-a二一b

如果a=b,c*0,那么cc.

知識點3含參一元一方程

1、次數含參：主要考察一元一次方程定義

2、常數項含參：求解一個常數項含參的一元一次方程，依然采用常規的五步法解題

3、解已知或可求：將解代入參數方程，求出參數

知識點4解一元一次方程

解一元一次方程的步驟：

1.去分母

兩邊同乘最簡公分母

2.去括號

(1)先去小括號，再去中括號，最后去大括號

(2)乘法分配律應滿足分配到每一項

注意：特別是去掉括號，符合變化

3.移項

(1)定義：把含有未知數的項移到方程的一邊，不含有未知數的項移到另一邊；

(2)注意：①移項要變符號；②一般把含有未知數的項移到左邊，其余項移到右邊.

4.合并同類項

(1)定義：把方程中的同類項分別合并，化成“ax=b”的形式(。中0)；

(2)注意：合并同類項時，把同類項的系數相加，字母不變.

5.系數化為1

(1)定義：方程兩邊同除以未知數的系數a,得x=-

a;

(2)注意：分子、分母不能顛倒

知識點5：一元一次方程的應用

【題型1和、差、倍、分問題】

【題型2行程問題】

距離=速度?時間

【題型3工程問題】

工作量=工效X工時

工程問題常用等量關系：先做的+后做的=完成量

【題型4順水逆水問題】

順流速度=靜水速度+水流速度，逆流速度=靜水速度-水流速度；

順水逆水問題常用等量關系：順水路程=逆水路程

【題型5商品利潤問題】

售價=定價；利潤率=銷售J1成本義100%利潤問題常用等量關系：售價-進價=利潤

成本

【題型6分配問題】

【題型7配套問題】

【題型8數字與日歷問題】

【題型9方案選擇問題】

【題型10分段計費問題】

【題型11隧道或過橋問題】

【題型12幾何圖形問題】

重要題型

【題型1方程及一元一次方程的定義】

【典例1-11下列各式中，是方程的是（）

A.7x-4=3xB.4x-6C.4+3=7D.2x<5

【典例1-2】下列方程中是一元一次方程的是（）

A.工___B.4^=24C.x+y=80D-；+2=6

60702x

【變式1-1】下列式子中，是一元一次方程的是（）

A.x+l=OB.x2-x=QC.x+y=lD.1-2=1

X

【變式1-1］在下列方程中，是一元一次方程的是（）

A.2xy=4B.1C.2x=0D.x+y=2

【題型2利用一元一次方程的定義求值】

【典例2】若（加-2）x心=5是關于x的一元一次方程，則機的值為（）

A.-2B.-1C.1D.2

【變式2-1］若方程（a-2）卅7=a+3是關于x的一元一次方程，則a的值是（）

A.2B.-2C.±2D.±1

【變式2-2］已知關于x的方程3-（m+1）4詞=0是一元一次方程，則機的值為（）

A.1B.-1

C.1或-1D.以上結果均不正確

【題型3方程的解】

【典例3】已知x=3是關于x的方程ax+2x-3=O的解，則a的值為（）

A.-1B.-2C.-3D.1

【變式3-1］已知x=-3是方程ax-6=a+10的解，則。=

【變式3-2］如果x=-1是方程x+a=3的解，則a=.

【變式3-3］若2是方程2a-3x=2的解，則a=

【題型4利用等式的性質變形】

【典例4】下列變形中，不正確的是（)

A.若a-3=6-3,則a=6B.若ac=bc,則a=6

C.若a=b,貝Ia-3=6-3D.若2則a=b

【變式4-1】運用等式性質進行的變形，不一定成立的是（）

A.如果a=0,那么ac=Z?c

B.如果a=0,那么3-2a=3-2。

C.如果/=2a,那么a=2

D.如果包上，那么4a=36

34

【變式4-2】下列運用等式性質正確的是（）

A.如果a=0,那么a+c=6-c

B.如果ac=bc,那么a=6

C.如果包=_L,那么a=b

cc

D.如果/=那么a=b

【變式4-3】下列說法正確的是（）

A.如果a=0,那么a+c=6-c

B.如果a=0,那么ac=6c

C.如果a=6,那么—_一^

x2-11x2-1

D.如果。=-5,那么〃+廿＞0

【題型5方程的解中遮擋問題】

【典例5】下面是一個被墨水污染過的方程:2%-2=3x+二七修，答案顯不此方程的解是X--

2

1,被墨水遮蓋的是一個常數，則這個常數是（）

A.1B.-1C.-1D.1

22

【變式5-1】下面是一個被墨水污染過的方程：2x-l=lx-?,答案顯示此方程的解是％=

22

5,被墨水遮蓋的是一個常數，則這個常數是()

3

A.2B.-2C.1D.-1

22

【變式5-2］下面是一個被墨水污染過的方程：2x」=3x+?，答案顯示此方程的解是x=l,

3

被墨水遮蓋的是一個常數，則這個常數是()

A.5B.-5C.二D.1

33

【變式5-3】下面是一個被墨水污染過的方程：2x-1=3x+★，答案顯示此方程的解是x=-1,

2

被墨水遮蓋的是一個常數，則這個常數是()

A.1B.-1C.-1D.1

22

【題型6解一元一次方程】

【典例6】解方程：

(1)3x+5=4x+l；(2)—X_J^X+5=AX_2.

844

【變式6-1】解方程：

(1)5尤+3=-lx-11；⑵智口號

【變式6-2】解方程：

(1)3(2x-7)=1-(x+8)；(2)3X+5_2X-1

2二3

【變式6-3］解下列方程:

(1)3(x-1)+5(%-1)=16.(2)3x-l_1=5x-7

46

【題型7根據兩個一元一次方程的解之間的關系求參數】

【典例7】若2（a+3）的值與-5互為相反數，則a的值為（）

ATBc-4D.5

【變式7-1］若多項式3x+5與5x-7的值相等，則X的值為（）

A.6B.5C.4D.3

【變式7-21當x=—時，代數式2x-1的值與代數式3x+3的值相等.

【變式7-3］若代數式3a+l的值與代數式3（a-1）的值互為相反數，則a=—.

【題型8錯解一元一次方程的問題】

【典例8］某同學解方程3x-l=Qx+3時，把口處數字看錯后解得x=-2,那么他把口處看

成了（）

A.4B.-4C.5D.-5

【變式8-1】某同學在解方程5x-l=?x+3時，把■處的數字看錯了，解得％=-9，則該同

3

學把■看成了（）

A.3B.-3C.-8D.8

【變式8-2】同學小明在解關于x的方程5x-4=（）》時，把（）處的數看錯，得錯

解》=-L則小明把（）處看成了—.

【題型9一元一次方程的解在新定義中運用】

【典例9】新定義：如果兩個一元一次方程的解互為相反數，就稱這兩個方程為“友好方程”，

如：方程2x=6和3x+9=0為“友好方程”.

（1）若關于x的方程3x+m=0與方程2x-6=4是“友好方程”，求機的值.

（2）若某“友好方程”的兩個解的差為6,其中一個解為〃，求〃的值.

【變式9-1】定義一種新運算③：a0b=4a+b,試根據條件回答問題

（1）計算：2*（-3）=；

（2）若愷（-6）=30x,請求出x的值；

（3）這種新定義的運算是否滿足交換律，若不滿足請舉一個反例，若滿足，請說明理由.

【變式9-2］對有理數a,6規定新運算※的意義是：a^b=a+2b,則方程3佟尸2-x的解是

（）

A.1B.3C.-3D.」

33

【變式9-3】新華商店店慶促銷，有一種新型書包，原價每個x元，第一次降價打八折，第二

次降價每個又減10元，經兩次降價后售價為70元.則所列方程是（）

A.70-0.8x=10B.0.08%-10=70

C.0.8x-10=70D.x-0.8x-10=70

【變式9-4】新定義一種運算規定=-瓦若2^x=x^2,則x的值為.

【變式9-5】新定義一種運算符號'△工規定-3?已知2△機=6,則m的值為一.

【題型10和、差、倍、分問題】

【典例10］某班舉行了“慶祝建黨90周年知識競賽”活動，班長安排張小明購買獎品，如圖

兩幅圖是張小明買回獎品時與班長的對話情況：

請根據圖1、圖2的信息，解答下列問題：

（1）張小明買了兩種筆記本各多少本？（說明：要求列一元一次方程解決問題）

（2）請你解釋為什么班長說不可能找回68元錢.

【變式10-11A種飲料比3種飲料單價少1元，小峰買了2瓶A種飲料和3瓶3種飲料，一

共花了13元，如果設A種飲料單價為x元/瓶，那么下面所列方程正確的是（）

A.2（尤-1）+3x=13B.2（x+1）+3x=13

C.2x+3(x+1)=13D.2x+3(x-1)=13

【變式10-2］方方同學用50元錢去購買筆記本和彩色水筆共20件，已知每本筆記本4元，每

支彩色水筆2元，設方方同學買了x本筆記本，則()

A.2x+4(20-x)=50B.2(20-x)+4x=50

C.2x+4(50-x)=20D.2(50-x)+4x=20

【變式10-3】青驕課堂2023年禁毒知識競賽答題，共設20道選擇題，要求每題必答，每答對

一題得5分，答錯一題扣1分，小新一共得了82分，他答對了一道題.

【題型11行程問題】

【典例n】甲、乙兩列火車分別從A、§兩城同時相向開出，當兩車相遇后，又繼續前進，甲

車行了全程的2時，乙車恰好行了全程的_￡這時兩車相距364km.A、B兩城相距多少千

35

米？

【變式甲地到乙地的高鐵開通后，運行時間由原來的3.5小時縮短至1小時，運行里程

縮短了40千米.已知高鐵的平均速度比普通列車的平均速度每小時快200千米，求高鐵的

平均速度.

【變式11-2】甲乙兩地相距900千米，一列快車從甲地出發勻速開往乙地，速度為120千米/

時：快車開出30分鐘時，一列慢車從乙地出發勻速開往甲地，速度為90千米時.設慢車

行駛的時間為x小時，快車到達乙地后停止行駛，根據題意解答下列問題.

(1)當快車與慢車相遇時，求慢車行駛的時間；

(2)當兩車之間的距離為315千米時，求快車所行的路程.

【變式11-31兩輛汽車同時從相距300千米的兩地相對開出，2小時后相遇.已知兩輛車的速

度比是2：3,求較慢的一輛車每小時行駛多少千米？

2小時2小時

30（）千米

【題型12工程問題】

【典例12】整理一批圖書，由一個人做要40小時完成，現計劃由一部分人先做4小時，然

后增加2人與他們一起做8小時，完成這項工作.假設這些人的工作效率相同，具體應先

安排多少人工作？

【變式12-1】學校舉辦一年一屆的科技文化藝術節活動，需制作一塊活動展板，請來甲和乙兩

名工人.已知甲單獨完成需要4天，乙單獨完成需要6天.

（1）兩個人一起做需要天完成；

（2）現由乙先做1天，再由兩個人一起做，還需要多少天可以完成這項工作？

【變式12-2】某公司需要粉刷一些相同的房間，經調查3名師傅一天粉刷8個房間，還剩40/

刷不完；5名徒弟一天可以粉刷9個房間；每名師傅比徒弟一天多刷30源的墻面.

（1）求每個房間需要粉刷的面積；

（2）該公司現有36個這樣的房間需要粉刷，若只聘請1名師傅和2名徒弟一起粉刷，需

要幾天完成？

【題型13順水逆水問題】

【典例13］兩架飛機從同一機場同時出發反向而飛，甲飛機順風飛行，乙飛機逆風飛行.已

知兩飛機在無風的速度都是500千米每小時，風速是a千米每小時.

(1)甲、乙飛機飛行時的速度分別是多少？

(2)3小時后兩機的行程分別是多少？

(3)求3小時后兩機相距多遠？

(4)3小時后，甲飛機比乙飛機多航行多少千米？

【變式13-11一架飛機在A,3兩城市之間飛行，風速為20而防，順風飛行需要8力，逆風飛

行需要8.5瓦求無風時飛機的飛行速度和A,3兩城市之間的航程.

【變式13-2】在風速為24切防的條件下，一架飛機順風從A機場飛到3機場要用2.8〃，它逆

風飛行同樣的航線要用3兒求

(1)無風時這架飛機在這一航線的平均航速；

(2)兩機場之間的航程是多少？

【變式13-31一架飛機在兩城之間飛行，風速為24千米/時.順風飛行需要2小時，逆風飛行

需要3小時，求無風時飛機的速度.

【變式13-41一架飛機在兩城之間飛行，風速為24千米/小時，順風飛行需2小時，逆風飛行

需要3小時.

（1）求無風時飛機的飛行速度;

（2）求兩城之間的距離.

【題型14商品利潤問題】

【典例14］某商店購進甲、乙兩種型號的節能燈共100只，購進100只節能燈的進貨款恰好

為2600元，達兩種節能燈的進價、預售價如表：（利潤=售價-進價）

型號進價（元/只）預售價（元/只）

甲型2025

乙型3540

（1）求該商店購進甲、乙兩種型號的節能燈各多少只？

（2）在實際銷售過程中，商店按預售價將購進的全部甲型號節能燈和部分乙型號節能燈售

出后，決定將剩下的乙型號節能燈打九折銷售，兩種節能燈全部售完后，共獲得利潤380

元，求乙型號節能燈按預售價售出了多少只.

【變式14-1】一件大衣按其進價提高50%后標價.由于季節原因，現以標價的七折售出，結

果仍盈利18元.這件上衣的進價是多少元？（提示：利潤=售價-進價）

【變式14-21一臺手機進價是2800元，按照標價3400元的九折出售；一塊電子手表進價是

600元，按照標價的八折出售，結果每臺手機的利潤比每塊手表的利潤多140元，問手表的標

價是多少元？

【變式14-3】我校七年級社會實踐小組去某商場調查商品的銷售情況，了解到該商場以每條

80元的價格購進了某品牌褲子500條，并以每條120元的價格銷售了400條，商場準備采

取促銷措施，將剩下的褲子降價銷售.

（1）前400條褲子的利潤是多少元？

（2）當每條褲子降價多少元時，銷售完這批褲子正好達到盈利45%的預期目標？

【題型15分配問題】

【典例15】《九章算術》中“盈不足術”有這樣的問題：“今有共買羊，人出六，不足四十五；

人出八，不足三.問人數、羊價各幾何？”題意是：若干人共同出資買羊，每人出6元，

則差45元；每人出8元，則差3元.求人數和羊價各是多少？設買羊人數為x人，則根據

題意可列方程為（）

A.6x+45=8x+3B.6x+45=8x-3

C.6x-45=8x+3D.6x-45=8x-3

【變式15-1】我國明代數學讀本《算法統宗》中有一道題，其題意為：客人一起分銀子，若每

人7兩，還剩4兩；若每人9兩，還差8兩.問銀子共有幾兩？設銀子共有x兩，則可列

方程為（）

A.7x+4=9x-8B.lx-4=9x+8C.D.

7979

【變式15-2】近年來，網購的蓬勃發展方便了人們的生活.某快遞分派站現有包裹若干件需

快遞員派送，若每個快遞員派送10件，還剩6件；若每個快遞員派送12件，還差6件，

設該分派站有x名快遞員，則可列方程為（）

A.10x-6=12x+6B.10x+6=12x-6

Cx-6_x+6Dx+6_x_6

?10=12?10=12

【變式15-31某學校有x間男生宿舍和y個男生，若每間宿舍住8個人，則還多4個人無法

安置；若每間宿舍安排10個人，則還多6張空床位，據此信息列出方程，下列4個方程中

正確的是（）

①8x-4=10x+6；②上宜H；③Ztl上3@8x+4=10x-6.

810810

A.①③B.②④C.①②D.③④

【變式15-4】為了阻斷新冠疫情傳播，疫情居家期間，居民購買的蔬菜包由志愿者統一派送.若

每位志愿者派送8個蔬菜包，則少5個；若每個志愿者派送6個，則剩下4個未送，設安

排x個志愿者派送，則下面所列方程中正確的是（）

A.8x-5=6x+4B.8x+5=6x+4C.8x+5=6x-4D.8x-5=6x-4

【題型16配套問題】

【典例16】某車間為提高生產總量，在原有16名工人的基礎上，新調入若干名工人，使得調

整后車間的總人數是調入工人人數的3倍多4人.

（1）求調入多少名工人；

（2）在（1）的條件下，每名工人每天可以生產240個螺栓或400個螺母，1個螺栓需要2

個螺母，為使每天生產的螺栓和螺母剛好配套，應該安排生產螺栓和螺母的工人各多少名？

【變式16-1】現用90立方米木料制作桌子和椅子，已知一張桌子配4張椅子，1立方米木料

可做5張椅子或1張桌子，要使桌子和椅子剛好配套.設用x立方米的木料做桌子，則依

題意可列方程為（）

A.4%=5（90-x）B.5x=4（90-x）

C.x=4(90-x)X5D.4%X5=90-x

【變式16-2】某車間有28名工人生產螺絲和螺母,每人每天生產1200個螺絲或1800個螺母,

現有x個工人生產螺絲，恰好每天生產的螺母和螺絲按2：1配套.為求x,可列方程（）

A.1200%=1800（28-%）B.2X1200%=1800(28-%)

C.2X1800=1200（28-%）D.1800%=1200(28-%)

【題型17數字與日歷問題】

【典例17］觀察下列三行數：

-24-8-16-3264...①

-1248-1632...②

0'6-6'18-3066...③

（1）第①行數中的第〃個數為（用含〃的式子表示）;

（2）取每行數的第n個數，這三個數的和能否等于-318?如果能，求出7/的值；如果不

能，請說明理由;

（3）如圖，用一個長方形方框框住六個數，左右移動方框，若方框中的六個數之和為-156,

求方框中左上角的數.

【變式17-1】一個兩位數，個位數字與十位數字的和是9,若將它的個位數字與十位數字對調,

則所得的新數比原兩位數大9,求原來的兩位數是多少？

【變式17-2】表中給出的是某月的月歷，任意選取型框中的7個數（如陰影部分所示）,

請你運用所學的數學知識來研究，發現這7個數的和不可能是（）

A.63B.84C.96D.105

【題型18方案選擇問題】

【典例18】甲，乙兩家商店出售兩種同樣品牌的乒乓球和乒乓球拍.乒乓球拍每副定價40元,

乒乓球每盒定價5元.而甲，乙兩店的促銷方案不同，甲店每買一副球拍贈送一盒乒乓球,

乙店全部按定價的九折優惠.該班需球拍5副，乒乓球若干盒（不小于5盒）.

（1）當購買乒乓球多少盒時，兩種優惠辦法付款一樣？

（2）若購買15盒乒乓球時，請你去辦這件事，你打算去哪一家商店購買？為什么？

【變式18-1】為抗擊新冠肺炎疫情，某藥店對消毒液和口罩開展優惠活動.消毒液每瓶定價

10元，口罩每包定價5元，優惠方案有以下兩種：①以定價購買時，買一瓶消毒液送一包口

罩；②消毒液和口罩都按定價的80%付款.現某客戶要到該藥店購買消毒液30瓶，口罩x包

（尤>30）.

（1）若該客戶按方案①購買需付款—元（用含x的式子表示）；若該客戶按方案②購買

需付款—元（用含x的式子表示）；

（2）若x=50時，通過計算說明按方案①，方案②哪種方案購買較為省錢？

（3）試求當x取何值時，方案①和方案②的購買費用一樣.

【變式18-2］在“清潔鄉村”活動中，某村長提出了兩種購買垃圾桶方案.

方案一：買分類垃圾桶，需要費用3000元，以后每月的垃圾處理費用250元；

方案二：買不分類垃圾桶，需要費用1000元，以后每月的垃圾處理費用500元.

設交費時間為x個月，方案一的購買費和垃圾處理費共為M元，方案二的購買費和垃圾處

理費共為N元.

（1）分別用x表示N；

（2）若交費時間為12個月，哪種方案更合適，并說明理由.

（3）交費時間為多少個月時，兩種方案費用相同？

【變式18-3］按照“雙減”政策，豐富課后托管服務內容，學校準備訂購一批排球和跳繩，經

過市場調查后發現排球120元/個，跳繩20元/根.某體育用品商店提供A、3兩種優惠方案

（顧客只能選擇其中一種方案）：

A方案：買一個排球送一根跳繩；

B方案:排球和跳繩都按定價的90%付款.

已知要購買排球50個，跳繩x根（x>50）.

（1）若按A方案購買，一共需付款—元；若按3方案購買，一共需付款一元；（用

含x的式子表示）

（2）購買多少根跳繩時，A、3兩種方案所需要的錢數一樣多？

【變式18-4］隨著5G時代的來臨,張老師換了新發布的5G手機并且需要新辦一種5G套餐.運

營商提出了兩種包月套餐方案，第一種是每月50元月租費，流量資費0.4元/G&第二種

是沒有月租費，但流量資費0.6元/G3.設張老師每月使用流量xGB.

（1）張老師按第一種套餐每月需花費一元，按第二種套餐每月需花費—元；（用含X

的代數式表示）

（2）若張老師這個月使用流量200GB,通過計算說明哪種套餐比較合算；

（3）張老師每月使用多少流量時，兩種套餐花費一樣多？

【題型19分段計費問題】

【典例9】為了加強公民的節水意識，合理利用水資源，某市采用價格調控的手段達到節水的

目的，該市自來水收費的價目表如下表（注：水費按月份結算，加表示立方米）：

價目表

每月用水量單價

不超出6m3的部分2元/機3

超出6加不超出10m3的4jE/m3

_______部分

超出10m3的部分87C/m3

請根據上表的內容解答下列問題：

（1）填空：若該戶居民2月份用水4/，則應收水費一元；

（2）若該戶居民3月份用水8/，則應收水費多少元？

（3）若該戶居民4月份用水卬療（其中則應收水費多少元？（用含。的代數式

表示，并化簡）；

（4）若該戶居民5月份的水費為36元，則5月份的用水量是多少立方米？

【變式19-1】“水是生命之源”，某市自來水公司為了鼓勵居民節約用水，規定按以下標準收取

水費：

用水量/月單價（元/加）

不超過20m32.8

超過20療的部分3.8

另：每立方米用水加收0.2元的城市污水處理費

（1）根據上表，用水量每月不超過20V,實際每立方米收水費一元；

如果1月份某用戶用水量為19m3,那么該用戶1月份應該繳納水費一元；

（2）某用戶2月份共繳納水費80元，那么該用戶2