初三數學知識點

第一章二次根式

1二次根式：形如右(6Z>0)的式子為二次根式；

性質：4a(6；>0)是一個非負數；

(V^)2=a(a>0);

-a(a>0)o

2二次根式的乘除：Va?=4ab(a>0,Z?>0);

*書L2b>0)。

3二次根式的加減：二次根式加減時，先將二次根式華為最簡二次根式，再將被開方數相同的二次根式

進行合并。

4海倫一秦九韶公式：S=?(p~)(p-b)(p-c),S是三角形的面積，p為p=a+b+c。

第二章一元二次方程

1一元二次方程：等號兩邊都是整式，且只有一個未知數，未知數的最高次是2的方程。

2一元二次方程的解法

配方法:將方程的一邊配成完全平方式，然后兩邊開方；

、,,.-b+^lb2-4ac

公式法：x=---------------------

2a

因式分解法：左邊是兩個因式的乘積，右邊為零。

3一元二次方程在實際問題中的應用

4韋達定理：設看,％2是方程口必+bx+c=O的兩個根,那么有

bc

Xy+%2=,玉?%2二一

aa

第三章旋轉

1圖形的旋轉

旋轉：一個圖形繞某一點轉動一個角度的圖形變換

性質：對應點到旋轉中心的距離相等；

對應點與旋轉中心所連的線段的夾角等于旋轉角

旋轉前后的圖形全等.

2中心對稱：一個圖形繞一個點旋轉180度，和另一個圖形重合，則兩個圖形關于這個點中心對稱；

中心對稱圖形：一個圖形繞某一點旋轉180度后得到的圖形能夠和原來的圖形重合，則說這個

圖形是中心對稱圖形；

3關于原點對稱的點的坐標

第四章圓

1圓、圓心、半徑、直徑、圓弧、弦、半圓的定義

2垂直于弦的直徑

圓是軸對稱圖形，任何一條直徑所在的直線都是它的對稱軸；

垂直于弦的直徑平分弦，并且平方弦所對的兩條??；

平分弦的直徑垂直弦，并且平分弦所對的兩條弧。

3弧、弦、圓心角

在同圓或等圓中，相等的圓心角所對的弧相等，所對的弦也相等。

4圓周角

在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等，都等于這條弧所對的圓心角的一半；

半圓（或直徑）所對的圓周角是直角，90度的圓周角所對的弦是直徑。

5點和圓的位置關系

點在圓外d>r

點在圓上d=r

點在圓內d〈r

定理：不在同一條直線上的三個點確定一個圓。

三角形的外接圓：經過三角形的三個頂點的圓，外接圓的圓心是三角形的三條邊的垂直平分線的

交點，叫做三角形的外心。

6直線和圓的位置關系

相交d<r

相切d=r

相離d>r

切線的性質定理：圓的切線垂直于過切點的半徑；

切線的判定定理：經過圓的外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線；

切線長定理：從圓外一點引圓的兩條切線，它們的切線長相等，這一點和圓心的連線平分兩條切

線的夾角。

三角形的內切圓：和三角形各邊都相切的圓為它的內切圓，圓心是三角形的三條角平分線的交點,

為三角形的內心。

7圓和圓的位置關系

外離d>R+r

外切d=R+r

相交R—r<d<R+r

內切d=R-r

內含d<R-r

8正多邊形和圓

正多邊形的中心：外接圓的圓心

正多邊形的半徑：外接圓的半徑

正多邊形的中心角：沒邊所對的圓心角

正多邊形的邊心距：中心到一邊的距離

9弧長和扇形面積

n7ir

弧長/=-----

180

扇形面積：s=----

360

10圓錐的側面積和全面積

側面積：

全面積

11（附加）相交弦定理、切割線定理

第五章概率初步

1概率意義：在大量重復試驗中，事件A發生的頻率,穩定在某個常數p附近，則常數p叫做事件A

n

的概率。

2用列舉法求概率

一般的，在一次試驗中，有n中可能的結果，并且它們發生的概率相等，事件A包含其中的m中

結果，那么事件A發生的概率就是p（A）二竺

n

3用頻率去估計概率

下冊

第六章二次函數

1二次函數y=ax2+bx+c-c^x+—>|——

I2aJ4a

a>0,開口向上；a〈0,開口向下；

b

對稱軸：X=------；

2a

、2a'4aJ'

圖像的平移可以參照頂點的平移。

2用函數觀點看一元二次方程

3二次函數與實際問題

第七章相似

1圖形的相似

相似多邊形的對應邊的比值相等，對應角相等；

兩個多邊形的對應角相等，對應邊的比值也相等，那么這兩個多邊形相似；

相似比：相似多邊形對應邊的比值。

2相似三角形

判定：

平行于三角形一邊的直線和其它兩邊相交，所構成的三角形和原三角形相似；

如果兩個三角形的三組對應邊的比相等，那么這兩個三角形相似；

如果兩個三角形的兩組對應邊的比相等，并且相應的夾角相等，那么兩個三角形相似；

如果一?個三?角形的兩個角與另一■個三角形的兩個角對應相等，那么兩個三角形相似。

3相似三角形的周長和面積

相似三角形（多邊形）的周長的比等于相似比；

相似三角形（多邊形）的面積的比等于相似比的平方.

4位似

位似圖形：兩個多邊形相似，而且對應頂點的連線相交于一點，對應邊互相平行，這樣的兩個圖形

叫位似圖形，相交的點叫位似中心。

第八章銳角三角函數

1銳角三角函數：正弦、余弦、正切；

2解直角三角形

第九章投影和視圖

1投影：平行投影、中心投影、正投影

2三視圖：俯視圖、主視圖、左視圖.

3三視圖的畫法

初三數學知識點

一、《一元二次方程》

1o一元二次方程的一般形式：a去。時，ax2+bx+c=0叫一元二次方程的一般形式，研究一元二次方程的有關

問題時，多數習題要先化為一般形式，目的是確定一般形式中的a、b、c;其中a、b,、c可能是具

體數，也可能是含待定字母或特定式子的代數式.

2.一元二次方程的解法：一元二次方程的四種解法要求靈活運用，其中直接開平方法雖然簡單，但是適

用范圍較??；公式法雖然適用范圍大,但計算較繁，易發生計算錯誤；因式分解法適用范圍較大，且計算簡

便,是首選方法；配方法使用較少.

3o一元二次方程根的判別式：當ax2+bx+c=0(aHO)時，A=b2—4ac叫一元二次方程根的判別式。請注意

以下等價命題:

△>0<=>有兩個不等的實根；△=()<=>有兩個相等的實根；

A<0<=>無實根；△,()<=>有兩個實根(等或不等)。

4.一元二次方程的根系關系：當ax，bx+c=0(a/0)時，如△》()，有下列公式:

—b±Vb^-4acbC

⑴X[2="；(2)Xj+x=X1X2=

2a2aa

X5.當ax，bx+c=0(a#=0)時，有以下等價命題:

(以下等價關系要求會用公式xx=--，X[X=-;A=b2—4ac分析，不要求背記)

1+2a2a

(1)兩根互為相反數0一2二0且Ub=0且△20;

a

(2)兩根互為倒數0-=1且△2()0a=c且△》()；

a

⑶只有一個零根U-=0且一已#=0Uc=0且b#=0;

aa

(4)有兩個零根L)-=0_EL--=00c=0且b=0;

aa

(5)至少有一個零根￡二00c=0;

a

(6)兩根異號0-<00a、c異號；

a

(7)兩根異號，正根絕對值大于負根絕對值0且—已>0。a、c異號且a、b異號；

aa

(8)兩根異號，負根絕對值大于正根絕對值09Vo且一BvOOa、c異號且a、b同號；

aa

(9)有兩個正根0—>0,-P>0且△與00a、c同號，a、b異號且AHO;

aa

(10)有兩個負根0￡>0,—已<0且△》()ua、c同號，a、b同號且A20。

aa

6.求根法因式分解二次三項式公式：注意：當△<0時，二次三項式在實數范圍內不能分解.

ax2+bx+c=a(x-Xi)(x—X2)或ax2+bx+c=ax------x---------------

2a2a

7.求一元二次方程的公式：

X2—(X1+X2)X+X1X2=0o注意：所求出方程的系數應化為整數。

8.平均增長率問題-------------應用題的類型題之一(設增長率為x):

(1)第一年為a,第二年為a(1+x),第三年為a(1+x)：

(2)常利用以下相等關系列方程：第三年=第三年或第一年+第二年+第三年=總和.

9.分式方程的解法：

(1)去分母法畫碧^簡驗增根代入最簡公分母(或原方程的每個分母)，值*0.

公分母

(2)換元法湊勺T兀'驗增根代入原方程每個分母,值*0.

換兀.

10o二元二次方程組的解法：

(1)代入消元法---方程組中含有一個二元一次方程;

(2)分解降次法---方程組中含有能分解為()()=0的方程;

乂2應分組為!卜)=。!(2)=。

(3)注意:

)(4)=0-[(3)=0[(4)=0[(4)=01(3)=0

※門.幾個常見轉化：

22222

(1)+x|=(Xj+x2)-2x^2；(Xj-x2)+x2)-4XJX2；x+^-=(x+—)-2；

2

一一一一~~XX

(x1—X2)2=J(X]+X2)2_4X]X2(x]之X2)

或X2+^-=(x--)2+2；

X1-X2

x2XV(X1—x2)2=_J(X]+X2)2—4X]X?(X]<X2)

,1，.分類為Xi-X2=2和Xi-X2=-2

(2)X]—X2=2n<J

11”.兩邊平方為(X1-X2)2=4

(1)分類為'=3和^=--

X1416、

⑶(或”=§)=><x23x23

X23xy

2(2)兩邊平方一般不用因為增加次數

(4)如X]=sinA,x2=sinB且NA+NB=90。時,由公式sin?A+cos2A=1,cosA=sinB

可推出x：+x：=L注意隱含條件：X]>O,x2>0.

(5)X-X2若為幾何圖形中線段長時，可利用圖形中的相等關系(例如幾何定理，相似形面積

等式,公式)推導出含有X],X2的關系式注意隱含條件：Xj>0,x2>0.

(6)如題目中給出特殊的直角三角形、三角函數、比例式、等積式等條件，可把它們轉化為某

些線段的比，并且引入“輔助未知元k”.

(7)方程個數等于未知數個數時，一般可求出未知數的值;方程個數比未知數個數少一個時，一

般求不出未知數的值，但總可求出任何兩個未知數的關系

二、《圓》

幾何A級概念：(要求深刻理解、熟練運用、主要用于幾何證明)

1o垂徑定理及推論：幾何表達式舉例：

如圖：有五個元素，“知二可推三"；需記憶其中四個定CD過圓心

理，：CDLAB

即“垂徑定理”“中徑定理”“弧徑定理”“中垂定理”。

C___________，AE=BE

平分優弧

AC=BC

(°1)過圓心

AD=BD

\E——4—垂直于弦

AXTT7B平分弦

平分劣弧

2。平行線夾弧定理：/一■>、幾何表達式舉例：

圓的兩條平行弦所夾的弧相等。/\

,/AB//CD

L2J

?cc

、“D??AC=BD

3.“角、弦、弧、距”定理：(同圓或等圓中)幾何表達式舉例：

“等角對等弦”；“等弦對等角“；(1)VZAOB=ZCOD

“等角對等弧”；“等弧對等角“；AB=CD

“等弧對等弦”；“等弦對等(優，劣)弧及嬉、\

(2)AB=CD

“等弦對等弦心距”；“等弦心距對等弦)

/.ZAOB=ZCOD

D

4.圓周角定理及推論：幾何表達式舉例：

(1)圓周角的度數等于它所對的弧的度數的一半；

(1)VZACB=-ZAOB

(2)一條弧所對的圓周角等于它所對的圓心角的一半；(如2

圖)

(3)“等弧對等角”“等角對等弧”；(2)?.?AB是直徑

(4)“直徑對直角”“直角對直徑”；(如圖)???ZACB=90°

(5)如三角形一邊上的中線等于這邊的一半，那么這個三角(3)?.,ZACB=90°

形是直角三角形.(如圖)AB是直徑

(4)CD=AD=BD

AABC是RtA

5.圓內接四邊形性質定理：幾何表達式舉例：

圓內接四邊形的對角互補，并且任何一個外ABCD是圓內接四邊

角都等于它的內對角.形

，ZCDE=ZABC

ZC+ZA=180°

6.切線的判定與性質定理：幾何表達式舉例：

如圖：有三個元素，“知二可推一”；(1):oc是半徑

需記憶其中四個定理。

VOC±AB是半徑

(1)經過半徑的外端并且垂直于這條AAB是切線垂直

半徑的直線是圓的切線；(2);OC是半徑是切線

(2)圓的切線垂直于經過切點的半徑；VAB是切線

X(3)經過圓心且垂直于切線的直線必經過切點;.\OC±AB

X(4)經過切點且垂直于切線的直線必經過圓心.(3)................

7.切線長定理：幾何表達式舉例：

從圓外一點引圓的兩條切線,PA、PB是切線

它們的切線長相等；圓心和這一,PA=PB

點的連線平分兩條切線的夾角。VP0過圓心

AZAPO=ZBP0

8.弦切角定理及其推論：幾何表達式舉例:

(1)弦切角等于它所夾的弧對的圓周角；(1)VBD是切線，BC是

(2)如果兩個弦切角所夾的弧相等，那么這兩個弦切角也相弦

等；(如圖)，ZCBD=ZCAB

(3)弦切角的度數等于它所夾的弧的度數的一半。(如圖)

(2)cc

'：EF=AB

ED,BC是切線

c

BD

BC

ZCBA=NDEF

(1)(2)

9.相交弦定理及其推論：幾何表達式舉例：

(1)圓內的兩條相交弦，被交點分成的兩條線段長的乘積相(1)VPA?PB=PC?PD

等；

(2)如果弦與直徑垂直相交，那么弦的一半是它分直徑所成(2)...AB是直徑

的兩條線段長的比例中項.?/PC±AB

APC-PA?PB

10.切割線定理及其推論：幾何表達式舉例：

(1)從圓外一點引圓的切線和割線，切線長是這點到割線與(1)?PC是切線,

圓交點的兩條線段長的比例中項；PB是割線

(2)從圓外一點引圓的兩條割線，這一點到每條割線與圓的.,.PC-PA?PB

交點的兩條線段長的積相等.(2)VPB,PD是割線

APA?PB=PC?PD

11.關于兩圓的性質定理：幾何表達式舉例：

(1)相交兩圓的連心線垂直平分兩圓的公共弦;(D是圓心

(2)如果兩圓相切，那么切點一定在連心線上..二0,02垂直平分

AB

(2)V?1,。2相切

.*.0i、A、02三點

一線

12.正多邊形的有關計算：公式舉例：

(1)中心角a”半徑屈，邊心距r?,、360°

(1)an=------;

邊長an,內角bn,邊數n;n

(2)有關計算在Rt^AOC中進行。⑵工幽

2n

Hn

幾何B級概念：(要求理解、會講、會用，主要用于填空和選擇題)

—基本概念：圓的幾何定義和集合定義、弦、弦心距、弧、等弧、弓形、弓形高

三角形的外接圓、三角形的外心、三角形的內切圓、三角形的內心、圓心角、圓周角、弦

切角、圓的切線、圓的割線、兩圓的內公切線、兩圓的外公切線、兩圓的內(外)

公切線長、正多邊形、正多邊形的中心、正多邊形的半徑、正多邊形的邊心距、正

多邊形的中心角.

二定理：

1.不在一直線上的三個點確定一個圓。

2.任何正多邊形都有一個外接圓和一個內切圓，這兩個圓是同心圓.

3.正n邊形的半徑和邊心距把正n邊形分為2n個全等的直角三角形。

AB

三公式：1.有關的計算：（1）圓的周長C=2nR；（2）弧長L=型；（3）圓的面積5=111?2.（4）扇形面積

180

S扇衫=四二=』LR;（5）弓形面積S弓陽二扇形面積SAOB±AAOB的面積。（如圖）

3602

2o圓柱與圓錐的側面展開圖：

（1）圓柱的側面積：S=2nrh：（r:底面半徑；h:圓柱高）

（2）圓錐的側面積：SLR.（L=2nr,R是圓錐母線長；r是底面半徑）

2

四常識：

1.圓是軸對稱和中心對稱圖形。

2.圓心角的度數等于它所對弧的度數。

3.三角形的外心0兩邊中垂線的交點0三角形的外接圓的圓心；

三角形的內心0兩內角平分線的交點0三角形的內切圓的圓心.

4.直線與圓的位置關系：（其中d表示圓心到直線的距離；其中r表示圓的半徑）

直線與圓相交0d<r；直線與圓相切0d=r;直線與圓相