第三章函數(shù)重難點(diǎn)04二次函數(shù)存在性問(wèn)題（15種題型匯總+專題訓(xùn)練+9種解題方法）【題型匯總】【命題預(yù)測(cè)】拋物線與特殊圖形的存在性問(wèn)題多以解答題形式出現(xiàn)，難度較大，多為壓軸題，考查幾何代數(shù)綜合.一般是在拋物線的背景下確定特殊圖形(如等腰三角形、相似三角形、平行四邊形等)的存在性，多應(yīng)用分類討論思想，題型01二次函數(shù)角度存在性問(wèn)題角度存在性問(wèn)題的解題步驟已知特殊角度求解已知角度關(guān)系求解第一步讀題、畫圖、理解題意第二步分析動(dòng)點(diǎn)、定點(diǎn)，找不變特征第三步確定分類特征，進(jìn)行分類討論第四步已知特殊角度，構(gòu)造一線三垂直、一線三等角、直角三角形，再利用直角三角形、相似三角形邊的比例關(guān)系去計(jì)算求解.將角度進(jìn)行轉(zhuǎn)化:利用銳角三角函數(shù)、相似三角形或等腰三角形的性質(zhì)、外角的性質(zhì)等轉(zhuǎn)化為常見的類型，再利用直角三角形、相似三角形邊的比例關(guān)系去計(jì)算求解.【溫馨提示】1）角相等：若無(wú)明顯條件，首選利用銳角三角函數(shù)值構(gòu)造相等角(先求已知角);2）角度和差：可通過(guò)外角的性質(zhì)、相似三角形的性質(zhì)轉(zhuǎn)化為相等角;3）倍角：可通過(guò)外角的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)轉(zhuǎn)化為相等角:1）已知特殊角求解1．（2023·四川自貢·中考真題）如圖，拋物線y=?43x2+bx+4與x軸交于A(?3,0)，B

(1)求拋物線解析式及B，C兩點(diǎn)坐標(biāo)；(2)以A，B，C，D為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，求點(diǎn)D坐標(biāo)；(3)該拋物線對(duì)稱軸上是否存在點(diǎn)E，使得∠ACE=45°，若存在，求出點(diǎn)E的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．2．（2024·山東臨沂·二模）如圖，已知拋物線y=ax2?83ax?3的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)D，OE=3OC，C是ED(1)求拋物線的表達(dá)式；(2)若點(diǎn)P在x軸上方的拋物線上運(yùn)動(dòng)，連接OP，當(dāng)四邊形OCDP面積最大時(shí)，求n的值；(3)如圖，若點(diǎn)Q在坐標(biāo)軸上，是否存在點(diǎn)Q，使∠EDQ=75°，若存在，直接寫出所有符合條件的點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．3．（2024·山西大同·一模）綜合與探究如圖，拋物線y=12x2?2x?6與x軸交于點(diǎn)A和B，點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)，交y(1)求點(diǎn)B的坐標(biāo)及直線BC的表達(dá)式；(2)當(dāng)點(diǎn)D在直線BC下方的拋物線上運(yùn)動(dòng)時(shí)，連接OD交BC于點(diǎn)E，若DEOE=5(3)拋物線上是否存在點(diǎn)F．使得∠BCF=15°?若存在，直接寫出點(diǎn)F的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．2）已知角度關(guān)系求解4．（2024·四川資陽(yáng)·中考真題）已知平面直角坐標(biāo)系中，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，拋物線y=?12x2+bx+c與x軸交于A，B兩點(diǎn)，與y軸的正半軸交于C(1)求拋物線的解析式；(2)如圖1，點(diǎn)P是拋物線在第一象限內(nèi)的一點(diǎn)，連接PB,PC，過(guò)點(diǎn)P作PD⊥x軸于點(diǎn)D，交BC于點(diǎn)K．記△PBC，△BDK的面積分別為S1，S2，求(3)如圖2，連接AC，點(diǎn)E為線段AC的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)E作EF⊥AC交x軸于點(diǎn)F．拋物線上是否存在點(diǎn)Q，使∠QFE=2∠OCA？若存在，求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，說(shuō)明理由．5．（2023·遼寧營(yíng)口·中考真題）如圖，拋物線y=ax2+bx?1a≠0與x軸交于點(diǎn)A1,0和點(diǎn)B，與y軸交于點(diǎn)C，拋物線的對(duì)稱軸交x軸于點(diǎn)D3,0，過(guò)點(diǎn)B作直線l⊥x軸，過(guò)點(diǎn)D作

(1)求拋物線的解析式；(2)如圖，點(diǎn)P為第三象限內(nèi)拋物線上的點(diǎn)，連接CE和BP交于點(diǎn)Q，當(dāng)BQPQ=5(3)在（2）的條件下，連接AC，在直線BP上是否存在點(diǎn)F，使得∠DEF=∠ACD+∠BED？若存在，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)F的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．6．（2024·重慶·模擬預(yù)測(cè)）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=ax2+bx+3與x軸交于點(diǎn)A?1,0，點(diǎn)B3,0(1)求拋物線的解析式；(2)如圖1，點(diǎn)P是直線BC上方拋物線上的一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作y軸的平行線PE交直線BC于點(diǎn)E，過(guò)點(diǎn)P作x軸的平行線PF交直線BC于點(diǎn)F，求△PEF面積的最大值及此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)；(3)如圖2，連接AC，BC，拋物線上是否存在點(diǎn)Q，使∠CBQ+∠ACO=45°？若存在，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)7．（2024·四川達(dá)州·二模）已知拋物線y=ax2+bx?4與x軸相交于點(diǎn)A(?1,0),B(?4,0)），與y(1)求拋物線的表達(dá)式；(2)如圖1，點(diǎn)P是拋物線的對(duì)稱軸l上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)△PAC的周長(zhǎng)最小時(shí)，求S△AOC(3)如圖2，取線段OC的中點(diǎn)D，在拋物線上是否存在點(diǎn)Q，使tan∠QDB=12題型02二次函數(shù)與三角形存在性問(wèn)題1）等腰三角形存在性問(wèn)題解題方法：幾何法：1）“兩圓一線”作出點(diǎn)；2）利用勾股、相似、三角函數(shù)等求線段長(zhǎng)；3)分類討論，求出點(diǎn)P的坐標(biāo).代數(shù)法：1）表示出三個(gè)點(diǎn)坐標(biāo)A、B、P；2）由點(diǎn)坐標(biāo)表示出三條線段：AB、AP、BP；3）根據(jù)題意要求（看題目有沒(méi)有指定腰），取①AB=AP、②AB=BP、③AP=BP；4）列出方程求解．①兩定一動(dòng)8．（2024·四川眉山·中考真題）如圖，拋物線y=?x2+bx+c與x軸交于點(diǎn)A?3,0和點(diǎn)B，與y軸交于點(diǎn)

(1)求該拋物線的解析式；(2)當(dāng)點(diǎn)D在第二象限內(nèi)，且△ACD的面積為3時(shí)，求點(diǎn)D的坐標(biāo)；(3)在直線BC上是否存在點(diǎn)P，使△OPD是以PD為斜邊的等腰直角三角形？若存在，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．9．（2024·云南怒江·一模）已知拋物線y=?x2+4x+5與x軸交于A、B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B左側(cè)），與y(1)求A、B、C三點(diǎn)的坐標(biāo)；(2)點(diǎn)D是直線BC上方拋物線上的點(diǎn)，連接BD、CD，求S△BCD(3)在拋物線的對(duì)稱軸上是否存在一點(diǎn)P，使得△BCP是等腰三角形？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．10．（2024·陜西西安·模擬預(yù)測(cè)）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，經(jīng)過(guò)點(diǎn)(9,13)的拋物線C1:y=ax2+bx+1（a、b為常數(shù)，且a≠0）與x軸交于A、B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C(1)求拋物線C1的函數(shù)表達(dá)式和點(diǎn)D(2)將拋物線C1向左平移m(m>0)個(gè)單位長(zhǎng)度后得到拋物線C2，拋物線C2的頂點(diǎn)為E，連接CE、DE，請(qǐng)問(wèn)在平移過(guò)程中，是否存在m的值，使得△CDE②一定兩動(dòng)11．（2023·遼寧撫順·模擬預(yù)測(cè)）如圖，拋物線y=ax2+bx?3經(jīng)過(guò)A?2,0，B4,0兩點(diǎn)，與y

(1)求拋物線的解析式；(2)P在第四象限拋物線上，連接PB，∠PBC=12∠BCO(3)點(diǎn)M從點(diǎn)C出發(fā)，以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿CB方向運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)N從點(diǎn)B出發(fā)，以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿BA方向運(yùn)動(dòng)，M，N同時(shí)出發(fā)，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒，0<t≤5，連接MN，CN，當(dāng)△CMN為等腰三角形時(shí)，直接寫出t的值．12．（2022九年級(jí)·全國(guó)·專題練習(xí)）綜合與實(shí)踐：如圖，拋物線y＝34x2?94x?3與x軸交于點(diǎn)A，B（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），交y軸于點(diǎn)C．點(diǎn)D從點(diǎn)A出發(fā)以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)(1)求點(diǎn)A，B，C的坐標(biāo)；(2)求t為何值時(shí)，△BDE是等腰三角形；(3)在點(diǎn)D和點(diǎn)E的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，是否存在直線DE將△BOC的面積分成1：4兩份，若存在，直接寫出t的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．2）直角三角形存在性問(wèn)題解題方法：如有兩定點(diǎn)，在其他特定的“線”上求第三點(diǎn)，形成直角三角形時(shí)：1）當(dāng)動(dòng)點(diǎn)在直線上運(yùn)動(dòng)時(shí)，常用的方法是①，②三角形相似，③勾股定理；2）當(dāng)動(dòng)點(diǎn)在曲線上運(yùn)動(dòng)時(shí)，情況分類如下，第一當(dāng)已知點(diǎn)處作直角的方法：①，②三角形相似，③勾股定理；第二是當(dāng)動(dòng)點(diǎn)處作直角的方法：尋找特殊角.13．（2023·四川內(nèi)江·中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=ax2+bx+c與x軸交于B4,0，C?2,0

(1)求該拋物線的函數(shù)表達(dá)式；(2)若點(diǎn)P是直線AB下方拋物線上的一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作x軸的平行線交AB于點(diǎn)K，過(guò)點(diǎn)P作y軸的平行線交x軸于點(diǎn)D，求與12PK+PD的最大值及此時(shí)點(diǎn)(3)在拋物線的對(duì)稱軸上是否存在一點(diǎn)M，使得△MAB是以AB為一條直角邊的直角三角形：若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)M的坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．14．（2024·江蘇徐州·模擬預(yù)測(cè)）如圖，直線y=?3x+23與x軸，y軸分別交于點(diǎn)A，點(diǎn)B，兩動(dòng)點(diǎn)D，E分別從點(diǎn)A，點(diǎn)B同時(shí)出發(fā)向點(diǎn)O運(yùn)動(dòng)（運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)O停止），運(yùn)動(dòng)速度分別是1個(gè)單位長(zhǎng)度/秒和3個(gè)單位長(zhǎng)度秒，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒．以點(diǎn)A為頂點(diǎn)的拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)E，過(guò)點(diǎn)E作x軸的平行線與拋物線的另一個(gè)交點(diǎn)為點(diǎn)G，與AB(1)求點(diǎn)A、點(diǎn)B的坐標(biāo)；(2)用含t的代數(shù)式分別表示EF和AF的長(zhǎng)；(3)是否存在t的值，使△AGF是直角三角形？若存在，求出此時(shí)拋物線的解析式；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．15．（2024·湖南·模擬預(yù)測(cè)）如圖，拋物線y=x2+bx+c與x軸交于A?3,0，B1,0兩點(diǎn)，與y(1)求拋物線的表達(dá)式．(2)點(diǎn)P是拋物線上位于線段AC下方的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接AP，CP，求△APC面積最大時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)；(3)在拋物線上是否存在點(diǎn)Q，使得以點(diǎn)A，C，Q為頂點(diǎn)的三角形是直角三角形？如果存在，請(qǐng)直接寫出所有滿足條件的點(diǎn)Q的坐標(biāo)；如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．3）等腰直角三角形存在性問(wèn)題解題大招：確定等腰直角三角形后構(gòu)造一線三垂直，對(duì)應(yīng)上下兩個(gè)三角形全等，得到對(duì)應(yīng)線段相等的關(guān)系，進(jìn)而設(shè)出點(diǎn)的坐標(biāo)，根據(jù)線段相等列出等式建立方程求解參數(shù).16．（2024·山東泰安·中考真題）如圖，拋物線C1:y=ax2+43x?4的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)(1)求拋物線C1(2)將拋物線C1向右平移1個(gè)單位，再向上平移3個(gè)單位得到拋物線C2，求拋物線C2的表達(dá)式，并判斷點(diǎn)D(3)在x軸上方的拋物線C2上，是否存在點(diǎn)P，使△PBD是等腰直角三角形．若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)P17．（2023·湖南婁底·中考真題）如圖，拋物線y=x2+bx+c過(guò)點(diǎn)A?1,0、點(diǎn)B5,0

(1)求b，c的值．(2)點(diǎn)Px①當(dāng)x0取何值時(shí)，△PBC的面積最大？并求出△PBC②過(guò)點(diǎn)P作PE⊥x軸，交BC于點(diǎn)E，再過(guò)點(diǎn)P作PF∥x軸，交拋物線于點(diǎn)F，連接EF，問(wèn)：是否存在點(diǎn)P，使△PEF為等腰直角三角形？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．18．（2022·山東東營(yíng)·中考真題）如圖，拋物線y=ax2+bx?3(a≠0)與x軸交于點(diǎn)A(?1,0)，點(diǎn)B(3,0)，與y(1)求拋物線的表達(dá)式；(2)在對(duì)稱軸上找一點(diǎn)Q，使△ACQ的周長(zhǎng)最小，求點(diǎn)Q的坐標(biāo)；(3)點(diǎn)P是拋物線對(duì)稱軸上的一點(diǎn)，點(diǎn)M是對(duì)稱軸左側(cè)拋物線上的一點(diǎn)，當(dāng)△PMB是以PB為腰的等腰直角三角形時(shí)，請(qǐng)直接寫出所有點(diǎn)M的坐標(biāo)．4）相似三角形存在性問(wèn)題解題大招：“相似三角形存在性問(wèn)題”是中考?jí)狠S題中一類常見的問(wèn)題.為了避免討論分支太過(guò)繁雜,一般會(huì)給出部分對(duì)應(yīng)關(guān)系,最常見的就是給出一組同角(或等角),則同角(或等角)所對(duì)邊為對(duì)應(yīng)邊.所以這類問(wèn)題一般從確定一組等角(或同角)人手如果兩個(gè)三角形中夾同角(或等角)的邊易于列代數(shù)式表示,則建議通過(guò)解方程解決;反之,則需根據(jù)具體題意轉(zhuǎn)化等角關(guān)系為特殊圖形或特殊圖形關(guān)系,進(jìn)而求解若出現(xiàn)無(wú)法確定等角(或同角)的情況,也可以列表分析.19．（2024·安徽·模擬預(yù)測(cè)）在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=?x2+2x+a與x軸交于點(diǎn)A，B（點(diǎn)A在點(diǎn)B左側(cè)），與y(1)如圖1，求a的值及直線BC的解析式；(2)如圖2，點(diǎn)D為直線BC上方拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，連接AC，AD，CD，設(shè)直線BC交線段AD于點(diǎn)E．當(dāng)(3)在（2）的條件下，且點(diǎn)D的橫坐標(biāo)小于2，在坐標(biāo)軸上是否存在一點(diǎn)P，使得以A，C，P為頂點(diǎn)的三角形與20．（2024·內(nèi)蒙古包頭·模擬預(yù)測(cè)）拋物線y=ax2+bx+2交x軸于A1,0、B3,0兩點(diǎn)，交y軸于點(diǎn)C，點(diǎn)P為線段BC

(1)求拋物線解析式；(2)在點(diǎn)P移動(dòng)過(guò)程中，△BPC的面積是否存在最大值？若存在，求出最大面積及點(diǎn)P的坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；(3)設(shè)點(diǎn)D為CB上不與端點(diǎn)重合的一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)D作線段BC的垂線，交拋物線于點(diǎn)E，若△DCE與△BOC相似，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)E的坐標(biāo)．21．（2024·內(nèi)蒙古呼倫貝爾·中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)y=ax2+bx+ca≠0的圖像經(jīng)過(guò)原點(diǎn)和點(diǎn)A4,0．經(jīng)過(guò)點(diǎn)A的直線與該二次函數(shù)圖象交于點(diǎn)B(1)求二次函數(shù)的解析式及點(diǎn)C的坐標(biāo)；(2)點(diǎn)P是二次函數(shù)圖象上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)P在直線AB上方時(shí)，過(guò)點(diǎn)P作PE⊥x軸于點(diǎn)E，與直線AB交于點(diǎn)D，設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為m．①m為何值時(shí)線段PD的長(zhǎng)度最大，并求出最大值；②是否存在點(diǎn)P，使得△BPD與△AOC相似．若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)P坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．22．（2023·四川資陽(yáng)·中考真題）如圖，直線y=34x+3與x軸、y軸分別交于A、B兩點(diǎn)，拋物線y=?34

(1)求拋物線的表達(dá)式；(2)點(diǎn)D是拋物線在第二象限內(nèi)的點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)D作x軸的平行線與直線AB交于點(diǎn)C，求DC的長(zhǎng)的最大值；(3)點(diǎn)Q是線段AO上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)P是拋物線在第一象限內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)，連結(jié)PQ交y軸于點(diǎn)N．是否存在點(diǎn)P，使△ABQ與△BQN相似，若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，說(shuō)明理由．題型03特殊四邊形存在性問(wèn)題1）平行四邊形存在性問(wèn)題類型一三定一動(dòng)類型二：兩定一動(dòng)【總結(jié)】平行四邊形存在性問(wèn)題經(jīng)常呈現(xiàn)為:一個(gè)動(dòng)點(diǎn)在拋物線上，另一個(gè)動(dòng)點(diǎn)在x軸(y軸)或?qū)ΨQ軸或某一定直線上.設(shè)出拋物線上的動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)，另一個(gè)動(dòng)點(diǎn)若在x軸上，縱坐標(biāo)為0，則用平行四邊形頂點(diǎn)縱坐標(biāo)公式;若在y軸上，坐標(biāo)為0，則用平行四邊形頂點(diǎn)橫坐標(biāo)公式.動(dòng)點(diǎn)哪個(gè)坐標(biāo)已知就用與該坐標(biāo)有關(guān)的公式.另外，把在定直線上的動(dòng)點(diǎn)看成一個(gè)定點(diǎn)，這樣就轉(zhuǎn)化為三定一動(dòng)了，分別以三個(gè)定點(diǎn)構(gòu)成的三條線段為對(duì)角線分類，分三種情況討論.這種題型，關(guān)鍵是合理有序分類:無(wú)論是三定一動(dòng)，還是兩定兩動(dòng)，統(tǒng)統(tǒng)把拋物線上的動(dòng)點(diǎn)作為第四個(gè)動(dòng)點(diǎn)，其余三個(gè)作為定點(diǎn)，分別以這三個(gè)定點(diǎn)構(gòu)成的三條線段為對(duì)角線分類，分三種情況討論，然后運(yùn)用平行四邊形頂點(diǎn)坐標(biāo)公式轉(zhuǎn)化為方程(組).這種解法，不必畫出平行四邊形草圖，只要合理分類，有序組合，從對(duì)角線入手不會(huì)漏解，條理清楚，而且適用范圍廣.其本質(zhì)是用代數(shù)的方法解決幾何問(wèn)題，體現(xiàn)的是分類討論思想、數(shù)形結(jié)合思想.①三定一動(dòng)23．（2024·廣東梅州·模擬預(yù)測(cè)）如圖，拋物線y=ax2?2ax?3與x軸交于A，B兩點(diǎn)，其中A?1,0，與(1)求拋物線的解析式；(2)如圖1，平面內(nèi)是否存在一點(diǎn)D，使以A、B、C、D為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形？若存在，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)D的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．(3)如圖2，若點(diǎn)P是線段BC（不與端點(diǎn)重合）上一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作x軸的垂線交拋物線于M點(diǎn)，連接CM．①如圖3，將△PCM沿CM對(duì)折，如果點(diǎn)P的對(duì)應(yīng)點(diǎn)N恰好落在y軸上，求證：四邊形PCNM為菱形；②當(dāng)△PCM和△ABC相似時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．24．（23-24九年級(jí)上·黑龍江佳木斯·階段練習(xí)）如圖，拋物線y=?x2+bx+c與x軸交于A，B2,0兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），與

(1)求該拋物線的解析式；(2)若D為拋物線的頂點(diǎn)，求△ACD的面積；(3)若P是平面直角坐標(biāo)系內(nèi)一點(diǎn)，是否存在以A、B、C、P為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形？若存在，請(qǐng)寫出點(diǎn)P的坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．②兩定兩動(dòng)25．（2023·山東棗莊·中考真題）如圖，拋物線y=?x2+bx+c經(jīng)過(guò)A(?1,0),C(0,3)兩點(diǎn)，并交x軸于另一點(diǎn)B，點(diǎn)M是拋物線的頂點(diǎn)，直線AM與y

(1)求該拋物線的表達(dá)式；(2)若點(diǎn)H是x軸上一動(dòng)點(diǎn)，分別連接MH，DH，求MH+DH的最小值；(3)若點(diǎn)P是拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，問(wèn)在對(duì)稱軸上是否存在點(diǎn)Q，使得以D，M，P，Q為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形？若存在，請(qǐng)直接寫出所有滿足條件的點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．26．（2023·西藏·中考真題）在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=?x2+bx+c與x軸交于A?3,0，B1,0

(1)求拋物線的解析式；(2)如圖甲，在y軸上找一點(diǎn)D，使△ACD為等腰三角形，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)D的坐標(biāo)；(3)如圖乙，點(diǎn)P為拋物線對(duì)稱軸上一點(diǎn)，是否存在P、Q兩點(diǎn)使以點(diǎn)A，C，P，Q為頂點(diǎn)的四邊形是菱形？若存在，求出P、Q兩點(diǎn)的坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．27．（2024·甘肅張掖·三模）已知二次函數(shù)圖象頂點(diǎn)為C1,0，直線y=x+m與該二次函數(shù)交于A，B兩點(diǎn)，其中A點(diǎn)3,4，B點(diǎn)在y(1)求此二次函數(shù)的解析式；(2)P為線段AB上一動(dòng)點(diǎn)（不與A，B重合），過(guò)點(diǎn)P作y軸的平行線與二次函數(shù)交于點(diǎn)E．設(shè)線段PE長(zhǎng)為h，點(diǎn)P橫坐標(biāo)為x，求h與x之間的函數(shù)關(guān)系式；(3)D為線段AB與二次函數(shù)對(duì)稱軸的交點(diǎn)，在AB上是否存在一點(diǎn)P，使四邊形DCEP為平行四邊形？若存在，請(qǐng)求出P點(diǎn)坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．2）矩形存在性問(wèn)題解題思路：1）先直角，再矩形.在構(gòu)成矩形的4個(gè)點(diǎn)中任取3個(gè)點(diǎn)，必構(gòu)成直角三角形，以此為出發(fā)點(diǎn)，可先確定其中3個(gè)點(diǎn)構(gòu)造直角三角形（方法：“兩線一圓”），再確定第4個(gè)點(diǎn)．對(duì)“2定+1半動(dòng)+1全動(dòng)”尤其適用．【小結(jié)】這種解決矩形存在性問(wèn)題的方法相當(dāng)于在直角三角形存在性問(wèn)題上再加一步求D點(diǎn)坐標(biāo)，也是因?yàn)檫@兩個(gè)圖形之間的密切關(guān)系方能如此.2）先平四，再矩形.當(dāng)AC為對(duì)角線時(shí)，A、B、C、D滿足以下3個(gè)等式，則為矩形：，其中第1、2個(gè)式子是平行四邊形的要求，再加上式3可為矩形．表示出點(diǎn)坐標(biāo)后，代入點(diǎn)坐標(biāo)解方程即可．無(wú)論是“2定1半1全”還是“1定3半”，對(duì)于我們列方程來(lái)解都沒(méi)什么區(qū)別，能得到的都是三元一次方程組．【小結(jié)】這個(gè)方法是在平行四邊形基礎(chǔ)上多加一個(gè)等式，剩下的都是計(jì)算的事.3）構(gòu)造“三垂直”直角得矩形28．（2022·貴州黔西·中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，經(jīng)過(guò)點(diǎn)A4,0的直線AB與y軸交于點(diǎn)B0,4．經(jīng)過(guò)原點(diǎn)O的拋物線y=?x2+bx+c交直線AB于點(diǎn)A(1)求拋物線y=?x(2)M是線段AB上一點(diǎn)，N是拋物線上一點(diǎn)，當(dāng)MN∥y軸且MN=2時(shí)，求點(diǎn)(3)P是拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，Q是平面直角坐標(biāo)系內(nèi)一點(diǎn)．是否存在以點(diǎn)A，C，P，Q為頂點(diǎn)的四邊形是矩形？若存在，直接寫出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．29．（2023·海南·中考真題）如圖1，拋物線y=x2+bx+c交x軸于A，B3,0兩點(diǎn)，交y軸于點(diǎn)

(1)求該拋物線的函數(shù)表達(dá)式；(2)當(dāng)點(diǎn)P的坐標(biāo)為1,?4時(shí)，求四邊形BACP的面積；(3)當(dāng)動(dòng)點(diǎn)P在直線BC上方時(shí)，在平面直角坐標(biāo)系是否存在點(diǎn)Q，使得以B，C，P，Q為頂點(diǎn)的四邊形是矩形？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；(4)如圖2，點(diǎn)D是拋物線的頂點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)D作直線DH∥y軸，交x軸于點(diǎn)H，當(dāng)點(diǎn)P在第二象限時(shí)，作直線PA，PB分別與直線DH交于點(diǎn)G和點(diǎn)I，求證：點(diǎn)D是線段30．（2024·青海西寧·一模）綜合與探究如圖，拋物線y=12x2?x?4與x軸交于A，B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），與y軸交于點(diǎn)C，拋物線的對(duì)稱軸與x軸于點(diǎn)D，過(guò)點(diǎn)D作DE(1)求點(diǎn)A，B，C的坐標(biāo)；(2)點(diǎn)P為拋物線上第四象限的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作PF⊥x軸于點(diǎn)F，當(dāng)PF=AF時(shí)，求PE的長(zhǎng)；(3)在（2）的條件下，若點(diǎn)Q是x軸上一點(diǎn)，使以P，E，Q，G為頂點(diǎn)的四邊形是矩形？若存在，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)G的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．31．（2024·湖南婁底·三模）如圖，拋物線y=x2+bx+c交x軸于A?1,0，B3,0兩點(diǎn)，交y軸于點(diǎn)C，點(diǎn)

(1)求該拋物線的函數(shù)表達(dá)式；(2)當(dāng)點(diǎn)P的坐標(biāo)為2,?3時(shí)，求四邊形ACPB的面積；(3)當(dāng)動(dòng)點(diǎn)P在直線BC上方時(shí)，在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)是否存在點(diǎn)Q，使得以B，C，P，Q為頂點(diǎn)的四邊形是矩形？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．3）菱形存在性問(wèn)題解題思路：1）先等腰，再菱形.在構(gòu)成菱形的4個(gè)點(diǎn)中任取3個(gè)點(diǎn)，必構(gòu)成等腰三角形，根據(jù)等腰存在性方法（兩圓一線）可先確定第3個(gè)點(diǎn)，再確定第4個(gè)點(diǎn)．2）先平四，再菱形.當(dāng)AC為對(duì)角線時(shí)，A、B、C、D滿足以下3個(gè)等式，則為菱形：，其中第1、2個(gè)式子是平行四邊形的要求，再加上式3可為菱形，表示出點(diǎn)坐標(biāo)后，代入點(diǎn)坐標(biāo)解方程即可．【總結(jié)】菱形作為特殊的平行四邊形其存在性問(wèn)題亦是分類討論中的一大難點(diǎn).題目一般會(huì)給出兩個(gè)定點(diǎn)，第三個(gè)點(diǎn)在某個(gè)可求的函數(shù)圖像上，在另一個(gè)函數(shù)的圖像上或直角坐標(biāo)平面內(nèi)，求能與之前的三個(gè)點(diǎn)構(gòu)成菱形的第四個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo).此類題目的一大難度在于如何合理分類的問(wèn)題，若題目中已知兩定點(diǎn)的話，可以把這兩定點(diǎn)連成的線段作為菱形的一邊或者對(duì)角線進(jìn)行分類討論，再利用菱形的性質(zhì)確定出其他的頂點(diǎn)的位置.①三定一動(dòng)32．（2023·四川雅安·中考真題）在平面直角坐標(biāo)系中，已知拋物線y=x2+bx+c過(guò)點(diǎn)A

(1)求此拋物線的函數(shù)表達(dá)式及頂點(diǎn)M的坐標(biāo)；(2)若點(diǎn)B在拋物線上，過(guò)點(diǎn)B作x軸的平行線交拋物線于點(diǎn)C、當(dāng)△BCM是等邊三角形時(shí)，求出此三角形的邊長(zhǎng)；(3)已知點(diǎn)E在拋物線的對(duì)稱軸上，點(diǎn)D的坐標(biāo)為1,?1，是否存在點(diǎn)F，使以點(diǎn)A，D，E，F(xiàn)為頂點(diǎn)的四邊形為菱形？若存在，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)F的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．33．（2024·山西長(zhǎng)治·模擬預(yù)測(cè)）綜合與探究如圖，拋物線y=ax2+bx?2與x軸交于A(?1,0)，B(4,0)兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，拋物線的頂點(diǎn)為D(1)求拋物線的解析式；(2)圖2中，對(duì)稱軸直線l與x軸交于點(diǎn)H，連接AC，CD，BD，求四邊形ACDB的面積；(3)點(diǎn)F是直線l上一點(diǎn)，點(diǎn)G是平面內(nèi)一點(diǎn)，是否存在以BC為邊，以點(diǎn)B，C，F(xiàn)，G為頂點(diǎn)的菱形？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)F的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．34．（2024·江蘇徐州·一模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)y=ax2+bx?3的圖象交x軸于A?1，0、B3，0兩點(diǎn)，交y軸于點(diǎn)C，點(diǎn)P在線段OB上，過(guò)點(diǎn)(1)a=，b=；(2)在點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，若△CDE是直角三角形，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；(3)在y軸上是否存在點(diǎn)F，使得以點(diǎn)C、D、E、F為頂點(diǎn)的四邊形為菱形？若存在，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)F的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．②兩定兩動(dòng)35．（2024·四川瀘州·中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知拋物線y=ax2+bx+3經(jīng)過(guò)點(diǎn)A3,0，與y軸交于點(diǎn)(1)求該拋物線的解析式；(2)當(dāng)?1≤x≤t時(shí)，y的取值范圍是0≤y≤2t?1，求t的值；(3)點(diǎn)C是拋物線上位于第一象限的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)C作x軸的垂線交直線AB于點(diǎn)D，在y軸上是否存在點(diǎn)E，使得以B，C，D，E為頂點(diǎn)的四邊形是菱形？若存在，求出該菱形的邊長(zhǎng)；若不存在，說(shuō)明理由．36．（2024·湖南·模擬預(yù)測(cè)）如圖，二次函數(shù)y1=ax2+bx+c圖象頂點(diǎn)坐標(biāo)為A1，4，一次函數(shù)y2=mx+n圖象與二次函數(shù)圖象相交于y(1)試求二次函數(shù)y1=ax2+bx+c與一次函數(shù)(2)連接AB，AC，試求四邊形(3)假設(shè)點(diǎn)P是二次函數(shù)y1=ax2+bx+c對(duì)稱軸上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)Q是平面直角坐標(biāo)系中任意一點(diǎn)，是否存在這樣的點(diǎn)P及點(diǎn)Q，使得以B，C，P，Q為頂點(diǎn)的四邊形是菱形？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)37．（2024·陜西渭南·一模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=ax2+bx+2（a、b為常數(shù)，且a≠0）與x軸交于點(diǎn)A?4,0和點(diǎn)B，與y軸交于點(diǎn)(1)求該拋物線的函數(shù)表達(dá)式；(2)連接BC，點(diǎn)D是拋物線的對(duì)稱軸l上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)E是平面內(nèi)的點(diǎn)，是否存在以點(diǎn)B、C、D、E為頂點(diǎn)的四邊形是菱形？若存在，求出點(diǎn)D的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．38．（2024·山東東營(yíng)·模擬預(yù)測(cè)）如圖，拋物線y=12x2+2x?6與x軸交于A，B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B(1)求出直線AC，BC的函數(shù)表達(dá)式．(2)點(diǎn)P是直線AC下方拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作BC的平行線l，交線段AC于點(diǎn)D．在直線l上是否存在點(diǎn)E，使得以點(diǎn)D，C，B，E為頂點(diǎn)的四邊形為菱形，若存在，求出點(diǎn)E的坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．4）正方形存在性問(wèn)題解題思路：1）從判定出發(fā)，若已知菱形，則加有一個(gè)角為直角或?qū)蔷€相等；若已知矩形，則加有一組鄰邊相等或?qū)蔷€互相垂直.2）構(gòu)造三垂直全等.若條件并未給關(guān)于四邊形及對(duì)角線的特殊性，則考慮在構(gòu)成正方形的4個(gè)頂點(diǎn)中任取3個(gè)，必是等腰直角三角形，若已知兩定點(diǎn)，則可通過(guò)構(gòu)造三垂直全等/等腰直角三角形來(lái)求得第3個(gè)點(diǎn)，再求第4個(gè)點(diǎn).若出現(xiàn)三或四動(dòng)點(diǎn)，則通常四邊形具有一定的特殊性，從已知條件出發(fā)，分折還需滿足的其他條件，通常列關(guān)于邊或?qū)蔷€方程得解.解題方法：正方形是菱形和矩形特征的集結(jié)，因此同時(shí)采取菱形或矩形存在性問(wèn)題解決的方法去求點(diǎn)的坐標(biāo).39．（2024·江蘇無(wú)錫·中考真題）已知二次函數(shù)y=ax2+x+c的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(1)求這個(gè)二次函數(shù)的表達(dá)式；(2)若點(diǎn)Cm+1,y1，Dm+2,y(3)點(diǎn)P，Q在直線AB上，點(diǎn)M在該二次函數(shù)圖象上．問(wèn)：在y軸上是否存在點(diǎn)N，使得以P，Q，M，N為頂點(diǎn)的四邊形是正方形？若存在，請(qǐng)直接寫出所有滿足條件的點(diǎn)40．（2023·黑龍江綏化·中考真題）如圖，拋物線y1=ax2+bx+c的圖象經(jīng)過(guò)A(?6,0)，B(?2,0)，C(0,6)

(1)求拋物線和一次函數(shù)的解析式．(2)點(diǎn)E，F(xiàn)為平面內(nèi)兩點(diǎn)，若以E、F、B、C為頂點(diǎn)的四邊形是正方形，且點(diǎn)E在點(diǎn)F的左側(cè)．這樣的E，F(xiàn)兩點(diǎn)是否存在？如果存在，請(qǐng)直接寫出所有滿足條件的點(diǎn)E的坐標(biāo)：如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．(3)將拋物線y1=ax2+bx+c的圖象向右平移8個(gè)單位長(zhǎng)度得到拋物線y2，此拋物線的圖象與x軸交于M，N兩點(diǎn)（M點(diǎn)在N點(diǎn)左側(cè)）．點(diǎn)P是拋物線y2上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)且在直線NC下方．已知點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為m．過(guò)點(diǎn)P作PD⊥NC41．（2024·陜西漢中·二模）如圖，拋物線y=?2x2+bx+c與x軸交于A(?1,0)(1)求拋物線的函數(shù)表達(dá)式；(2)點(diǎn)N在坐標(biāo)平面內(nèi)，請(qǐng)問(wèn)在拋物線上是否存在點(diǎn)M，過(guò)點(diǎn)M作x軸的垂線交x軸于點(diǎn)H，使得四邊形AHMN是正方形？若存在，求出所有符合條件的點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．42．（2024·陜西榆林·二模）如圖，已知拋物線y=ax2+bx+2a<0與y軸交于點(diǎn)C，與x軸交于A(1)求拋物線的函數(shù)表達(dá)式；(2)若點(diǎn)D是第二象限拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，DE∥x軸，交直線BC于點(diǎn)E，點(diǎn)G在x軸上，點(diǎn)F在坐標(biāo)平面內(nèi)，是否存在點(diǎn)D，使以D，E，F(xiàn)，G為頂點(diǎn)的四邊形是正方形？若存在，求點(diǎn)D的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．題型04其它存在性問(wèn)題43．（2024·山東濟(jì)寧·中考真題）已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖像經(jīng)過(guò)0,?3，?b,c兩點(diǎn)，其中a(1)求a，c的值；(2)若該二次函數(shù)的最小值是?4，且它的圖像與x軸交于點(diǎn)A，B（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），與y軸交于點(diǎn)C．①求該二次函數(shù)的解析式，并直接寫出點(diǎn)A，B的坐標(biāo)；②如圖，在y軸左側(cè)該二次函數(shù)的圖像上有一動(dòng)點(diǎn)P，過(guò)點(diǎn)P作x軸的垂線，垂足為D，與直線AC交于點(diǎn)E，連接PC，CB，BE．是否存在點(diǎn)P，使S△PCES△CBE44．（2024·江蘇宿遷·中考真題）如圖①，已知拋物線y1=x2+bx+c與x軸交于兩點(diǎn)O(0,0)、A(2,0)，將拋物線y1向右平移兩個(gè)單位長(zhǎng)度，得到拋物線y2，點(diǎn)P是拋物線y(1)求拋物線y2(2)設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為xP，點(diǎn)Q的橫坐標(biāo)為xQ，求(3)如圖②，若拋物線y3=x2?8x+t與拋物線y1=x2+bx+c交于點(diǎn)C，過(guò)點(diǎn)C作直線MN，分別交拋物線y1和y3于點(diǎn)M、N（M、N均不與點(diǎn)45．（2024·黑龍江大慶·二模）已知拋物線y=ax2+bx?3a≠0與x軸交于點(diǎn)C?1,0(1)求該拋物線的函數(shù)表達(dá)式；(2)如圖，若直線AB下方的拋物線上有一動(dòng)點(diǎn)P，過(guò)點(diǎn)P作y軸平行線交AB于點(diǎn)F，過(guò)點(diǎn)P作AB的垂線，垂足為E，求△EFP周長(zhǎng)的最大值；(3)將拋物線向左平移1個(gè)單位，再向上平移4個(gè)單位，得到一個(gè)新的拋物線，問(wèn)在y軸正半軸上是否存在一點(diǎn)M，使得當(dāng)經(jīng)過(guò)點(diǎn)M的任意一條直線與新拋物線交于S，T兩點(diǎn)時(shí)，總有1MS246．（2024·云南昆明·一模）如圖，拋物線與x軸交于A?10，B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，且滿足(1)求拋物線的解析式；(2)M是線段BC上的一點(diǎn)（不與點(diǎn)B，C重合），過(guò)點(diǎn)M作NM∥y軸交拋物線于點(diǎn)N，交x軸于點(diǎn)D，連接NB,NC，若點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為m，是否存在點(diǎn)M，使△BNC的面積最大？若存在，求47．（2024·山東濟(jì)南·模擬預(yù)測(cè)）如圖，已知拋物線y=?x2+bx+c上點(diǎn)A,C的坐標(biāo)分別為0,2，4,0，拋物線與x軸負(fù)半軸交于點(diǎn)B，連接AC,AB(1)求拋物線的解析式及點(diǎn)B的坐標(biāo)．(2)拋物線上是否存在點(diǎn)Q，使得S△ABQ=1(3)點(diǎn)M為y軸負(fù)半軸上的點(diǎn)，且OM=2，點(diǎn)D是線段BC（包含點(diǎn)B,C）上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)D作x軸的垂線，交拋物線于點(diǎn)Q，交直線CM于點(diǎn)N．若以點(diǎn)Q,N,C為頂點(diǎn)的三角形與△MOC相似，請(qǐng)求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)．

第三章函數(shù)重難點(diǎn)04二次函數(shù)存在性問(wèn)題（15種題型匯總+專題訓(xùn)練+9種解題方法）【題型匯總】【命題預(yù)測(cè)】拋物線與特殊圖形的存在性問(wèn)題多以解答題形式出現(xiàn)，難度較大，多為壓軸題，考查幾何代數(shù)綜合.一般是在拋物線的背景下確定特殊圖形(如等腰三角形、相似三角形、平行四邊形等)的存在性，多應(yīng)用分類討論思想，題型01二次函數(shù)角度存在性問(wèn)題角度存在性問(wèn)題的解題步驟已知特殊角度求解已知角度關(guān)系求解第一步讀題、畫圖、理解題意第二步分析動(dòng)點(diǎn)、定點(diǎn)，找不變特征第三步確定分類特征，進(jìn)行分類討論第四步已知特殊角度，構(gòu)造一線三垂直、一線三等角、直角三角形，再利用直角三角形、相似三角形邊的比例關(guān)系去計(jì)算求解.將角度進(jìn)行轉(zhuǎn)化:利用銳角三角函數(shù)、相似三角形或等腰三角形的性質(zhì)、外角的性質(zhì)等轉(zhuǎn)化為常見的類型，再利用直角三角形、相似三角形邊的比例關(guān)系去計(jì)算求解.【溫馨提示】1）角相等：若無(wú)明顯條件，首選利用銳角三角函數(shù)值構(gòu)造相等角(先求已知角);2）角度和差：可通過(guò)外角的性質(zhì)、相似三角形的性質(zhì)轉(zhuǎn)化為相等角;3）倍角：可通過(guò)外角的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)轉(zhuǎn)化為相等角:1）已知特殊角求解1．（2023·四川自貢·中考真題）如圖，拋物線y=?43x2+bx+4與x軸交于A(?3,0)，B

(1)求拋物線解析式及B，C兩點(diǎn)坐標(biāo)；(2)以A，B，C，D為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，求點(diǎn)D坐標(biāo)；(3)該拋物線對(duì)稱軸上是否存在點(diǎn)E，使得∠ACE=45°，若存在，求出點(diǎn)E的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】(1)拋物線解析式為y=?43x2(2)D?2,?4或D?4,4(3)E【分析】（1）將點(diǎn)A(﹣3,0)代入拋物線解析式，待定系數(shù)法求解析式，進(jìn)而分別令x,y=0，即可求得（2）分三種情況討論，當(dāng)AB，AC,BC為對(duì)角線時(shí)，根據(jù)中點(diǎn)坐標(biāo)即可求解；（3）根據(jù)題意，作出圖形，作AG⊥CE交于點(diǎn)G，F(xiàn)為AC的中點(diǎn)，連接GO,GF，則A,O,C,G在⊙F上，根據(jù)等弧所對(duì)的圓周角相等，得出G在y=?x上，進(jìn)而勾股定理，根據(jù)FG=52建立方程，求得點(diǎn)G的坐標(biāo)，進(jìn)而得出【詳解】（1）解：∵拋物線y=?43x2+bx+4∴?解得：b=?8∴拋物線解析式為y=?4當(dāng)x=0時(shí)，y=4，∴C0,4當(dāng)y=0時(shí)，0=?解得：x1∴B（2）∵A(?3,0)，B1,0，C設(shè)Dm,n∵以A，B，C，D為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形當(dāng)AB為對(duì)角線時(shí)，m+0解得：m=?2,n=?4，∴D?2,?4當(dāng)AC為對(duì)角線時(shí)，?3+0解得：m=?4,n=4∴D當(dāng)BC為對(duì)角線時(shí)，?3+m解得：m=4,n=4∴D綜上所述，以A，B，C，D為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，D?2,?4或D?4,4（3）解：如圖所示，作AG⊥CE交于點(diǎn)G，F(xiàn)為AC的中點(diǎn)，連接GO,GF，

∵∠ACE=45°∴△AGC是等腰直角三角形，∴A,O,C,G在⊙F上，∵A(?3,0)，C0,4∴F?32,2∵∠AOG=∠ACG=45°，∴G在y=?x上，設(shè)Gt,?t，則解得：t1∴點(diǎn)G設(shè)直線CG的解析式為y=kx+4∴7解得：k=1∴直線CG的解析式y(tǒng)=∵A(?3,0)，B1,0∴拋物線對(duì)稱軸為直線x=?3+1當(dāng)x=?1時(shí)，17∴E?1,【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的綜合運(yùn)用，待定系數(shù)法求解析式，平行四邊形的性質(zhì)，圓周角角定理，勾股定理，求一次函數(shù)解析式，熟練掌握以上知識(shí)是解題的關(guān)鍵．2．（2024·山東臨沂·二模）如圖，已知拋物線y=ax2?83ax?3的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)D，OE=3OC，C是ED(1)求拋物線的表達(dá)式；(2)若點(diǎn)P在x軸上方的拋物線上運(yùn)動(dòng)，連接OP，當(dāng)四邊形OCDP面積最大時(shí)，求n的值；(3)如圖，若點(diǎn)Q在坐標(biāo)軸上，是否存在點(diǎn)Q，使∠EDQ=75°，若存在，直接寫出所有符合條件的點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】(1)y=?(2)n=(3)存在，Q43【分析】（1）根據(jù)C(0,?3)，OE=3OC，求出E(?3,0)．再根據(jù)C是（2）過(guò)P作x軸垂線交DE于F，求出設(shè)直線DE解析式，由Pn,?3n2+83（3）分為①當(dāng)點(diǎn)Q在y軸上時(shí)，使∠EDQ=75°，根據(jù)OE=3OC，求出∠OEC=30°，過(guò)點(diǎn)D作DH∥x軸交y軸于點(diǎn)H，根據(jù)平行線性質(zhì)得出∠CDH=30°，再根據(jù)∠EDQ=75°，得出∠HDQ=45°，得出HQ=HD，根據(jù)D(3,?23②當(dāng)點(diǎn)Q在x軸上時(shí)，使∠EDQ'=75°，延長(zhǎng)QD交x軸于點(diǎn)F，過(guò)點(diǎn)D作DE⊥x軸交x軸于點(diǎn)G，證明GF=GD=23，求出FD，再根據(jù)∠EDF=∠FQ'D，證明△F【詳解】（1）解：∵y=ax∴C(0,?3∵OE=3∴E(?3,0)．∵C是ED的中點(diǎn)，∴D(3,?23∵D在y=ax∴?23得a=?3∴y=?3（2）過(guò)P作x軸垂線交DE于F，設(shè)直線DE:y=kx?3，即0=3k?解得：k=?3故解析式為：y=?3由Pn,?3n∴PF=?3S四邊形=S當(dāng)四邊形OCDP面積最大時(shí)，n=?5（3）解：①當(dāng)點(diǎn)Q在y軸上時(shí)，使∠EDQ=75°，∵OE=3即tan∠OCE=∴∠OCE=60°，∴∠OEC=30°，過(guò)點(diǎn)D作DH∥x軸交y軸于點(diǎn)則∠CDH=∠OEC=30°，∵∠EDQ=75°，∴∠HDQ=75°?30°=45°，∴∠HQD=45°，∴HQ=HD，根據(jù)（1）得D(3,?23∴HQ=HD=3,OQ=OH+HQ=23∴點(diǎn)Q的坐標(biāo)為0,?23②當(dāng)點(diǎn)Q在x軸上時(shí)，使∠EDQ延長(zhǎng)QD交x軸于點(diǎn)F，過(guò)點(diǎn)D作DG⊥x軸交x軸于點(diǎn)G，則∠EDG=180°?30°?90°=60°，則∠GDQ'=∠ED∴∠GDF=∠GDQ∴∠GFD=45°，∴GF=GD=23∴FD=2∵∠EDF=∠EDQ∴∠EDF=∠FQ∴△FQ∴F∵EF=OE+OG+GF=23即FQ∴FQ∴OQ∴點(diǎn)Q'的坐標(biāo)為4綜上，Q43?3,0【點(diǎn)睛】該題是二次函數(shù)綜合題，主要考查了二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，二次函數(shù)和一次函數(shù)解析式求解，相似三角形的性質(zhì)和判定，解直角三角形，等腰直角三角形的性質(zhì)和判定等知識(shí)點(diǎn)，解題的關(guān)鍵是正確理解題意，數(shù)形結(jié)合．3．（2024·山西大同·一模）綜合與探究如圖，拋物線y=12x2?2x?6與x軸交于點(diǎn)A和B，點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)，交y(1)求點(diǎn)B的坐標(biāo)及直線BC的表達(dá)式；(2)當(dāng)點(diǎn)D在直線BC下方的拋物線上運(yùn)動(dòng)時(shí)，連接OD交BC于點(diǎn)E，若DEOE=5(3)拋物線上是否存在點(diǎn)F．使得∠BCF=15°?若存在，直接寫出點(diǎn)F的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】(1)點(diǎn)B的坐標(biāo)是6,0，直線BC的表達(dá)式是y=x?6；(2)點(diǎn)D的坐標(biāo)是1,?152或(3)存在，點(diǎn)F的坐標(biāo)是4+23,43【分析】（1）令y=0和x=0，解方程即可求得點(diǎn)B和點(diǎn)C的坐標(biāo)，再利用待定系數(shù)法即可求解；（2）作DH⊥x軸，垂足為H，交直線BC于點(diǎn)G，證明△DGE∽△OCE，利用相似三角形的性質(zhì)求解即可；（3）分兩種情況討論，利用待定系數(shù)法和解方程組即可求解．【詳解】（1）解：令y=0，解方程12x2?2x?6=0得∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為6，令x=0，則y=?6，∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為0，設(shè)直線BC的表達(dá)式為y=kx?6，則0=6k?6，解得k=1，∴直線BC的表達(dá)式為y=x?6；（2）解：作DH⊥x軸，垂足為H，交直線BC于點(diǎn)G，∴DG∥∵點(diǎn)C的坐標(biāo)為0，∴OC=6，設(shè)點(diǎn)D的坐標(biāo)為m，12m2∴GD=m?6?1∵DG∥∴△DGE∽△OCE，∴DGOC∴?12m解得m=5或m=1，∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為1,?152或（3）解：∵點(diǎn)B的坐標(biāo)為6，0，點(diǎn)C的坐標(biāo)為∴OB=OC=6，∴△OBC是等腰直角三角形，∴∠OCB=45°，∵∠BCF=15°，∴∠OCF=60°或∠OCF=30°，當(dāng)∠OCF=60°時(shí)，以O(shè)C為邊作等邊△OCM，直線CM交拋物線于點(diǎn)F，此時(shí)∠BCF=15°，如圖，作MN⊥y軸于點(diǎn)N，在Rt△OMN中，OM=OC=6，ON=∴MN=O∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為33，?3，同理，求得直線MC的表達(dá)式為y=解得x=12+233∴點(diǎn)F的坐標(biāo)是12+23當(dāng)∠OCF=30°時(shí)，設(shè)CF交x軸于點(diǎn)K，此時(shí)∠BCF=15°，如圖，在Rt△OCK中，OC=6，∠OCK=30°∴OK=OC?tan∴點(diǎn)K的坐標(biāo)為23同理，求得直線CK的表達(dá)式為y=3聯(lián)立y=3解得x=4+23y=43∴點(diǎn)F的坐標(biāo)是4+23綜上，點(diǎn)F的坐標(biāo)是4+23,43【點(diǎn)睛】本題考查了一次函數(shù)表達(dá)式的確定，函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，二次函數(shù)圖象和性質(zhì)，解一元二次方程，相似三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，分類討論思想等，屬于中考?jí)狠S題，解題關(guān)鍵是熟練掌握待定系數(shù)法，運(yùn)用方程思想和分類討論思想．2）已知角度關(guān)系求解4．（2024·四川資陽(yáng)·中考真題）已知平面直角坐標(biāo)系中，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，拋物線y=?12x2+bx+c與x軸交于A，B兩點(diǎn)，與y軸的正半軸交于C(1)求拋物線的解析式；(2)如圖1，點(diǎn)P是拋物線在第一象限內(nèi)的一點(diǎn)，連接PB,PC，過(guò)點(diǎn)P作PD⊥x軸于點(diǎn)D，交BC于點(diǎn)K．記△PBC，△BDK的面積分別為S1，S2，求(3)如圖2，連接AC，點(diǎn)E為線段AC的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)E作EF⊥AC交x軸于點(diǎn)F．拋物線上是否存在點(diǎn)Q，使∠QFE=2∠OCA？若存在，求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，說(shuō)明理由．【答案】(1)y=?(2)8(3)存在，Q11?3【分析】（1）先求C點(diǎn)坐標(biāo)，待定系數(shù)法求出函數(shù)解析式即可；（2）求出BC的解析式，設(shè)Pm,?12m2（3）易得FE垂直平分AC，設(shè)OF=a，勾股定理求出F點(diǎn)坐標(biāo)，三線合一結(jié)合同角的余角相等，推出∠AFE=∠OCA=∠CFE，分別作點(diǎn)E關(guān)于x軸和直線CF的對(duì)稱點(diǎn)E1,E2，直線【詳解】（1）解：∵B4,0∴OB=4，∵∠BOC=90°,BC=42∴OC=B∴C0,4把B4,0，C∴c=4?12∴y=?1（2）∵B4,0，C∴設(shè)直線BC的解析式為：y=kx+4k≠0，把B4,0，代入，得：∴y=?x+4，設(shè)Pm,?12∴PK=?12m2+m+4+m?4=?∴S1∴S=?=?3∴當(dāng)m=83時(shí)，S1（3）存在：令y=?1解得：x1∴A?2,0∵C0,4，點(diǎn)E為AC∴E?1,2∵FE⊥AC，AE=CE=?1+2∴AF=CF，∴∠AFE=∠CFE，設(shè)OF=a，則：CF=AF=a+2，在Rt△COF中，由勾股定理，得：a∴a=3，∴F3,0，CF=5∵FE⊥AC，∠AOC=90°，∴∠AFE=∠OCA=90°?∠CAF，∴∠AFE=∠OCA=∠CFE，①取點(diǎn)E關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)E1，連接FE1，交拋物線與點(diǎn)Q1，則：設(shè)FE1的解析式為：則：3k1+b=0∴y=1聯(lián)立y=12x?32∴Q1②取E關(guān)于CF的對(duì)稱點(diǎn)E2，連接EE2交CF于點(diǎn)G，連接F則：∠Q2FE=2∠CFE=2∠OCA∵CE=5∴EF=C∵S△CEF∴5EG=25∴EG=2，∴FG=E過(guò)點(diǎn)G作GH⊥x軸，則：GH=FG?sin∠CFO=4×4∴OH=OF?FH=3∴G3∴E2設(shè)直線E2F的解析式為：則：3k2+∴y=?11聯(lián)立y=?112x+332∴Q2綜上：Q11?35【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，涉及待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，中垂線的判定和性質(zhì)，等積法求線段的長(zhǎng)，坐標(biāo)與軸對(duì)稱，勾股定理，解直角三角形，等知識(shí)點(diǎn)，綜合性強(qiáng)，難度大，計(jì)算量大，屬于中考?jí)狠S題，正確的求出函數(shù)解析式，利用數(shù)形結(jié)合和分類討論的思想，進(jìn)行求解，是解題的關(guān)鍵．5．（2023·遼寧營(yíng)口·中考真題）如圖，拋物線y=ax2+bx?1a≠0與x軸交于點(diǎn)A1,0和點(diǎn)B，與y軸交于點(diǎn)C，拋物線的對(duì)稱軸交x軸于點(diǎn)D3,0，過(guò)點(diǎn)B作直線l⊥x軸，過(guò)點(diǎn)D作

(1)求拋物線的解析式；(2)如圖，點(diǎn)P為第三象限內(nèi)拋物線上的點(diǎn)，連接CE和BP交于點(diǎn)Q，當(dāng)BQPQ=5(3)在（2）的條件下，連接AC，在直線BP上是否存在點(diǎn)F，使得∠DEF=∠ACD+∠BED？若存在，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)F的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】(1)y=?(2)P(3)F513,?【分析】（1）根據(jù)拋物線過(guò)點(diǎn)A1,0，對(duì)稱軸為直線x=3（2）根據(jù)題意求得B5,0，tan∠CDO=tan∠DEB，求得BE=6，則E5,?6，進(jìn)而求得直線EC的解析式為y=?x?1，過(guò)點(diǎn)P作PT⊥x軸，交EC于點(diǎn)T，證明△PTQ∽△BEQ，根據(jù)已知條件得出PT=425設(shè)T（3）根據(jù)題意可得∠DEF=45°，以DE為對(duì)角線作正方形DMEN，則∠DEM=∠DEN=45°，進(jìn)而求得M,N的坐標(biāo)，待定系數(shù)法求得EM,EN的解析式，聯(lián)立BP解析式，即可求解．【詳解】（1）解：∵拋物線y=ax2+bx?1a≠0與x軸交于點(diǎn)A1,0，拋物線的對(duì)稱軸交x∴a+b?1=0?解得：a=?∴拋物線解析式為y=?1（2）解：由y=?15x2+解得：x1∴B5,0當(dāng)x=0時(shí)，y=?1，則C0,?1∵DE⊥CD，∠COD=∠EBD=∠CDE=90°∴∠CDO=90°?∠EDB=∠DEB，∴tan∠CDO=即OCOD∴13∴BE=6，則E5,?6設(shè)直線EC的解析式為y=kx?1，則?6=5k?1，解得：k=?1，∴直線EC的解析式為y=?x?1，如圖所示，過(guò)點(diǎn)P作PT⊥x軸，交EC于點(diǎn)T，

∵BE∥∴△PTQ∽△BEQ∵BQ∴BEPT=設(shè)Tt,?t?1，則Pt,?t?1?42將點(diǎn)Pt,?t?47即?t?解得：t=?3或t=14（舍去）當(dāng)t=?3時(shí)，?t?47∴P?3,?（3）∵A1,0，C則OA=OC=1，△AOC是等腰直角三角形，∴∠OAC=45°，由（2）可得∠BED=∠ADC，∵∠DEF=∠ACD+∠BED∴∠DEF=∠ACD+∠ADC=∠OAC=45°，由（2）可得P?3,?設(shè)直線BP的解析式為y=ex+f，則5e+f=0解得：e=∴直線BP的解析式為y=如圖所示，以DE為對(duì)角線作正方形DMEN，則∠DEM=∠DEN=45°，

∵DB=2,BE=6，則DE=210，則DM=22設(shè)Mm,n，則m?3解得：m=1n=?4，m=7則M1,?4，N設(shè)直線EM的解析式為y=sx+t，直線EN的解析式為y=則5s+t=?6s+t=?4，5解得：s=?12t=?設(shè)直線EM的解析式為y=?12x?72∴y=?12x?72y=2x?16y=45x?4解得：綜上所述，F(xiàn)513,?【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)綜合運(yùn)用，熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．6．（2024·重慶·模擬預(yù)測(cè)）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=ax2+bx+3與x軸交于點(diǎn)A?1,0，點(diǎn)B3,0(1)求拋物線的解析式；(2)如圖1，點(diǎn)P是直線BC上方拋物線上的一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作y軸的平行線PE交直線BC于點(diǎn)E，過(guò)點(diǎn)P作x軸的平行線PF交直線BC于點(diǎn)F，求△PEF面積的最大值及此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)；(3)如圖2，連接AC，BC，拋物線上是否存在點(diǎn)Q，使∠CBQ+∠ACO=45°？若存在，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)【答案】(1)y=?x(2)△PEF面積的最大值為8132，P(3)2,3或?2【分析】（1）利用待定系數(shù)法即可求解；（2）y=?x2+2x+3可得C0,3，求出直線BC的解析式為y=?x+3，又可得∠OBC=∠OCB=45°，進(jìn)而得△PEF為等腰直角三角形，得到S△PEF=12PE2，設(shè)Pp,?p2+2p+3（3）分點(diǎn)Q在BC上方和點(diǎn)Q在BC下方兩種情況，畫出圖形解答即可求解；本題考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式和一次函數(shù)解析式，二次函數(shù)的最值，二次函數(shù)的幾何問(wèn)題，掌握二次函數(shù)的性質(zhì)并運(yùn)用分類討論思想解答是解題的關(guān)鍵．【詳解】（1）解：把A?1,0、B3,0代入a?b+3=09a+3b+3=0解得a=?1b=2∴拋物線的解析式為y=?x（2）解：由y=?x2+2x+3設(shè)直線BC的解析式為y=kx+n，把B3,0、C0=3k+n3=n解得k=?1n=3∴直線BC的解析式為y=?x+3，∵B3,0，C∴OC=OB=3，∴∠OBC=∠OCB=45°，∵PE∥y軸，∴∠PEF=∠PFE=45°，PE⊥PF，∴△PEF為等腰直角三角形，∴S△PEF設(shè)Pp,?p2∴PE=?p當(dāng)p=32時(shí)，即P32,154S△PEF（3）解：存在．當(dāng)點(diǎn)Q在BC上方時(shí)，作點(diǎn)A?1,0關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)A'1,0，過(guò)點(diǎn)B作BT∵A與A'關(guān)于y∴∠ACO=∠A又∵BT∥∴∠QBC=∠BCA∵∠A∴∠ACO+∠OBC=45°，∵C0,3，A同理可得直線CA'解析式為設(shè)直線BT解析式為y=?3x+t，將B3,0代入得，0=?9+t∴t=9，∴y=?3x+9，由y=?x解得x=2y=3或x=3∴Q2,3當(dāng)點(diǎn)Q在BC下方時(shí)，作點(diǎn)D0,1，直線BD與拋物線交于點(diǎn)Q∵D0,1，B同理可得直線BD解析式為y=?1∵AO=OD=1∠COA=∠BOD=90°∴△COA≌△BODSAS∴∠ACO=∠DBO，∴∠CBQ由y=?x解得x=?23y=∴Q'綜上，點(diǎn)Q的坐標(biāo)為2,3或?27．（2024·四川達(dá)州·二模）已知拋物線y=ax2+bx?4與x軸相交于點(diǎn)A(?1,0),B(?4,0)），與y(1)求拋物線的表達(dá)式；(2)如圖1，點(diǎn)P是拋物線的對(duì)稱軸l上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)△PAC的周長(zhǎng)最小時(shí)，求S△AOC(3)如圖2，取線段OC的中點(diǎn)D，在拋物線上是否存在點(diǎn)Q，使tan∠QDB=12【答案】(1)y=?(2)8(3)Q?5+172?2或Q【分析】（1）待定系數(shù)法求函數(shù)解析式即可；（2）根據(jù)△PAC的周長(zhǎng)等于PA+PC+AC,以及AC為定長(zhǎng)，得到當(dāng)PA+PC的值最小時(shí)，△PAC的周長(zhǎng)最小，根據(jù)拋物線的對(duì)稱性，得到A，B關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱，則：PA+PC=PB+PC≥BC,得到當(dāng)P,B,C三點(diǎn)共線時(shí),PA+PC=BC，進(jìn)而求出P點(diǎn)坐標(biāo)，即可得解；（3）求出D點(diǎn)坐標(biāo)為(0,2),進(jìn)而得到tan∠OBD=12,得到【詳解】（1）∵拋物線y=ax2+bx?4與∴a?b?4=0解得：a=?1b=?5∴拋物線解析式為y=?x2?5x?4；（2）在y=?x2?5x?4,當(dāng)x=0時(shí),y=?4，∴C(0,4∵拋物線解析式為y=?∴拋物線的對(duì)稱軸為直線x=?∵△PAC的周長(zhǎng)等于PA+PC+AC，AC為定長(zhǎng),∴當(dāng)PA+PC的值最小時(shí)，△PAC的周長(zhǎng)最小，∵A，B關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱，∵BA=PB，∴PA+PC=PB+PC≥BC，∴當(dāng)P,B,C三點(diǎn)共線時(shí),PA+PC的值最小，為BC的長(zhǎng)，此時(shí)點(diǎn)P為直線BC與對(duì)稱軸的交點(diǎn)，設(shè)直線BC的解析式為：y=mx+n，∴?4m+n=0解得：m=?1n=?4∴直線BC的解析式為y=?x?4,當(dāng)x=?52時(shí),∴P?∴S△OACS△PAC∴S（3）當(dāng)Q點(diǎn)在D點(diǎn)下方時(shí)：過(guò)點(diǎn)D作DQ∥OB,交拋物線于點(diǎn)Q,則∠QDB=∠OBD,此時(shí)Q點(diǎn)縱坐標(biāo)為?2，設(shè)Q點(diǎn)橫坐標(biāo)為t，則:?t2?5t?4=?2,∴Q?5+172②當(dāng)點(diǎn)Q在D點(diǎn)上方時(shí)：設(shè)DQ與x軸交于點(diǎn)E,∵DE=BE，設(shè)E(p,0),∴DE2∴p解得：p=?∴E?同理可得DE的解析式為y=?4聯(lián)立y=?解得：x=?3y=2或∴Q?32或綜上：Q?5+172?2或Q【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，正確的求出二次函數(shù)解析式，利用數(shù)形結(jié)合，分類討論的思想進(jìn)行求解，是解題的關(guān)鍵.本題的綜合性強(qiáng)，難度較大，屬于中考?jí)狠S題.題型02二次函數(shù)與三角形存在性問(wèn)題1）等腰三角形存在性問(wèn)題解題方法：幾何法：1）“兩圓一線”作出點(diǎn)；2）利用勾股、相似、三角函數(shù)等求線段長(zhǎng)；3)分類討論，求出點(diǎn)P的坐標(biāo).代數(shù)法：1）表示出三個(gè)點(diǎn)坐標(biāo)A、B、P；2）由點(diǎn)坐標(biāo)表示出三條線段：AB、AP、BP；3）根據(jù)題意要求（看題目有沒(méi)有指定腰），取①AB=AP、②AB=BP、③AP=BP；4）列出方程求解．①兩定一動(dòng)8．（2024·四川眉山·中考真題）如圖，拋物線y=?x2+bx+c與x軸交于點(diǎn)A?3,0和點(diǎn)B，與y軸交于點(diǎn)

(1)求該拋物線的解析式；(2)當(dāng)點(diǎn)D在第二象限內(nèi)，且△ACD的面積為3時(shí)，求點(diǎn)D的坐標(biāo)；(3)在直線BC上是否存在點(diǎn)P，使△OPD是以PD為斜邊的等腰直角三角形？若存在，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】(1)拋物線的解析式為y=?(2)D的坐標(biāo)為?1,4或?2,3(3)P的坐標(biāo)為0,3或25?19318,?7+【分析】（1）利用待定系數(shù)法求解；（2）過(guò)D作DK∥y軸交AC于K，求出直線AC解析式，根據(jù)（3）先求出點(diǎn)A，B坐標(biāo)，再求出直線BC解析式，過(guò)P作PN⊥y軸于N，過(guò)D作DM⊥y軸于M，分以下情況分別討論即可：①P與C重合，D與A重合時(shí)；②當(dāng)P在第一象限，D在第四象限時(shí)；③當(dāng)P在第四象限，D在第三象限時(shí)；④當(dāng)P在第四象限，D在第一象限時(shí)．【詳解】（1）解：把A?3,0，C0,3代入?9?3b+c=0c=3解得b=?2c=3∴拋物線的解析式為y=?x（2）解：過(guò)D作DK∥y軸交AC于

由A?3,0，C0,3得直線AC解析式為設(shè)Dt,?t2∴DK=?t∵△ACD的面積為3，∴12DK?解得t=?1或t=?2，∴D的坐標(biāo)為?1,4或?2,3；（3）解：在直線BC上存在點(diǎn)P，使△OPD是以PD為斜邊的等腰直角三角形，理由如下：在y=?x2?2x+3中，令y=0解得x=?3或x=1，∴A?3,0，B由B1,0，C0,3得直線BC解析式為設(shè)Pm,?3m+3，D過(guò)P作PN⊥y軸于N，過(guò)D作DM⊥y軸于M，①∵OA=OC=3，∴當(dāng)P與C重合，D與A重合時(shí)，△OPD是等腰直角三角形，如圖：

此時(shí)P0,3②當(dāng)P在第一象限，D在第四象限時(shí)，

∵△OPD是以PD為斜邊的等腰直角三角形，∴OD=OP，∠POD=90°，∴∠DOM=90°?∠PON=∠OPN，∵∠DMO=90°=∠PNO，∴△DOM≌△OPNAAS∴DM=ON，OM=PN，∴n=?3m+3解得m=25+19318n=?7?∴?3m+3=?3×25?∴P的坐標(biāo)為25?193③當(dāng)P在第四象限，D在第三象限時(shí)，如圖：

∵△OPD是以PD為斜邊的等腰直角三角形，∴OD=OP，∠POD=90°，∴∠DOM=90°?∠PON=∠OPN，∵∠DMO=90°=∠PNO，∴△DOM≌△OPNAAS∴PN=OM，ON=DM，同理可得m=n解得m=25+19318∴?3m+3=?3×25+∴P的坐標(biāo)為25+193④當(dāng)P在第四象限，D在第一象限，如圖：

∵△OPD是以PD為斜邊的等腰直角三角形，∴OD=OP，∠POD=90°，∴∠DOM=90°?∠PON=∠OPN，∵∠DMO=90°=∠PNO，∴△DOM≌△OPNAAS∴PN=OM，ON=DM，∴m=?解得m=0n=?3（舍去）或m=∴?3m+3=?3×11∴P的坐標(biāo)為119綜上所述，P的坐標(biāo)為0,3或25?19318,?7+193【點(diǎn)睛】本題屬于二次函數(shù)綜合題，考查待定系數(shù)法求函數(shù)解析式、二次函數(shù)中三角形面積計(jì)算、特殊三角形存在性問(wèn)題、等腰直角三角形的性質(zhì)等，難度較大，熟練運(yùn)用數(shù)形結(jié)合及分類討論思想是解題的關(guān)鍵．9．（2024·云南怒江·一模）已知拋物線y=?x2+4x+5與x軸交于A、B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B左側(cè)），與y(1)求A、B、C三點(diǎn)的坐標(biāo)；(2)點(diǎn)D是直線BC上方拋物線上的點(diǎn)，連接BD、CD，求S△BCD(3)在拋物線的對(duì)稱軸上是否存在一點(diǎn)P，使得△BCP是等腰三角形？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】(1)A?1,0，B5,0(2)最大值為125(3)存在，2,41或2,?41或2,5+46或【分析】（1）分別令y=0、x=0計(jì)算即可得解；（2）求出直線BC的解析式為：y=?x+5，過(guò)點(diǎn)D作DE∥y軸，交BC于點(diǎn)E，設(shè)點(diǎn)D的坐標(biāo)為m,?m2+4m+5，則Em,?m+5，求出（3）設(shè)P2,n，則BP2=n2+9，CP2【詳解】（1）解：令y=?x解得：x1=?1，∵點(diǎn)A在點(diǎn)B左側(cè)，∴A?1,0，B當(dāng)x=0時(shí)，y=5，∴C0,5（2）解：設(shè)直線BC的解析式為y=kx+b，∵B5,0，C∴5k+b=0b=5解得：k=?1b=5∴直線BC的解析式為：y=?x+5，過(guò)點(diǎn)D作DE∥y軸，交BC于點(diǎn)E，設(shè)點(diǎn)D的坐標(biāo)為m,?m2+4m+5∴DE=?m∴S∴當(dāng)m=52時(shí)，△BCD的面積最大，最大值為（3）解：∵點(diǎn)P在拋物線對(duì)稱軸上，且對(duì)稱軸為：x=?4∴設(shè)P2,n，則BP2=n△BCP是等腰三角形，需分3種情況討論：①當(dāng)BC=BP時(shí)，n2+9=50，解得：此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(2,41)或②當(dāng)BC=CP時(shí)，(n?5)2+4=50，解得：此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(2,5+46)或③當(dāng)BP=CP時(shí)，n2+9=(n?5)此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(2,2)．綜上所述，滿足條件的點(diǎn)P有5個(gè)，分別為2,41或2,?41或2,5+46或2,5?【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)、二次函數(shù)綜合—面積問(wèn)題、二次函數(shù)綜合—特殊三角形、勾股定理，熟練掌握以上知識(shí)點(diǎn)并靈活運(yùn)用，添加適當(dāng)?shù)妮o助線，采用分類討論的思想是解此題的關(guān)鍵．10．（2024·陜西西安·模擬預(yù)測(cè)）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，經(jīng)過(guò)點(diǎn)(9,13)的拋物線C1:y=ax2+bx+1（a、b為常數(shù)，且a≠0）與x軸交于A、B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C(1)求拋物線C1的函數(shù)表達(dá)式和點(diǎn)D(2)將拋物線C1向左平移m(m>0)個(gè)單位長(zhǎng)度后得到拋物線C2，拋物線C2的頂點(diǎn)為E，連接CE、DE，請(qǐng)問(wèn)在平移過(guò)程中，是否存在m的值，使得△CDE【答案】(1)拋物線C1的函數(shù)表達(dá)式為y=49x2(2)m的值為6或5或256【分析】本題考查二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，正確的求出函數(shù)解析式，利用數(shù)形結(jié)合和分類討論的思想進(jìn)行求解是解題的關(guān)鍵．（1）利用待定系數(shù)法可求得拋物線C1的函數(shù)表達(dá)式，配方成頂點(diǎn)式即可求得頂點(diǎn)D（2）根據(jù)平移的性質(zhì)得到C2:y=49x?3+m2?3，則頂點(diǎn)E的坐標(biāo)為3?m,?3，利用兩點(diǎn)之間的距離公式求得CD=5，CE=m2【詳解】（1）解：∵經(jīng)過(guò)點(diǎn)(9,13)的拋物線C1:y=ax∴81a+9b+1=13?解得a=4∴拋物線C1的函數(shù)表達(dá)式為y=y=4∴頂點(diǎn)D的坐標(biāo)為3,?3；（2）解：由題意將y=49x?32?3∴C2∴C2的頂點(diǎn)E的坐標(biāo)為3?m,?3對(duì)于C1，令x=0，則y=1∴C2與y軸交于點(diǎn)C的坐標(biāo)為0,1即C0,1，D3,?3，E3?m,?3∴CD=3?0CE=3?mDE=3?m?3當(dāng)CD=CE時(shí)，則m2解得m=0（舍去）或m=6，此時(shí)CD=CE=5，DE=6，符合題意；當(dāng)CD=DE時(shí)，則m=5，此時(shí)CD=DE=5，CE=5當(dāng)DE=CE時(shí)，則m2?6m+25=m，解得m=256綜上，m的值為6或5或256②一定兩動(dòng)11．（2023·遼寧撫順·模擬預(yù)測(cè)）如圖，拋物線y=ax2+bx?3經(jīng)過(guò)A?2,0，B4,0兩點(diǎn)，與y

(1)求拋物線的解析式；(2)P在第四象限拋物線上，連接PB，∠PBC=12∠BCO(3)點(diǎn)M從點(diǎn)C出發(fā)，以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿CB方向運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)N從點(diǎn)B出發(fā)，以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿BA方向運(yùn)動(dòng)，M，N同時(shí)出發(fā)，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒，0<t≤5，連接MN，CN，當(dāng)△CMN為等腰三角形時(shí)，直接寫出t的值．【答案】(1)y=(2)點(diǎn)P的坐標(biāo)是10(3)258秒或5013秒或5秒或【分析】（1）分別將點(diǎn)A，B的坐標(biāo)代入拋物線y=ax2+bx?3得到關(guān)于a（2）作∠BCO的平分線交x軸于K，過(guò)K作KH∥y軸交BC于H，求出C0,?3，直線BC解析式為y=34x?3，設(shè)Kp,0，由CK平分∠BCO，可得∠CKH=∠BCK，CH=KH，故p2+34p2=34p?3（3）過(guò)M作MR⊥y軸于R，由BN=CM=t，可得N4?t,0，M45t,35t?3，故CN2=4?t2；③當(dāng)CM=MN時(shí)，t2【詳解】（1）解：∵拋物線y=ax2+bx?3經(jīng)過(guò)A∴4a?2b?3=016a+4b?3=0解得a=3∴拋物線的解析式為y=3（2）如圖，作∠BCO的平分線交x軸于K，過(guò)K作KH∥y軸交BC于∵拋物線y=38x2?當(dāng)x=0時(shí)，得y=?3，∴C0,?3設(shè)直線BC解析式為y=kBCx+bBC∴4k解得：kBC∴直線BC解析式為y=3設(shè)Kp,0，則H∵CK平分∠BCO，∴∠OCK=∠BCK=1∵KH∥∴∠CKH=∠OCK，∴∠CKH=∠BCK，∴CH=KH，∴p?02解得：p=32或p=?6（此時(shí)K在∴K3設(shè)直線CK解析式為y=kCKx+bCK∴32解得：kCK∴直線CK解析式為y=2x?3，∵∠PBC=1∴PB∥設(shè)直線PB解析式為y=2x+q，過(guò)點(diǎn)B4,0∴0=8+q，解得：q=?8，∴直線PB解析式為y=2x?8，聯(lián)立y=3解得：x=4y=0或x=∴P10（3）如圖，過(guò)M作MR⊥y軸于R，∵B4,0，C∴OB=4，OC=3，∴BC=O根據(jù)題意得：BN=CM=t，∴N4?t,0∵RM∥∴△CRM∽△COB，∴CRCO=CM∴CR=35t∴OR=3?3∴M4∴CN2=4?t2①當(dāng)CN=CM時(shí)，t2解得：t=25②當(dāng)CN=MN時(shí)，t2解得：t=0（舍去）或t=50③當(dāng)CM=MN時(shí)，t2解得：t=5或t=25綜上所述，t的值為258秒或5013秒或5秒或【點(diǎn)睛】本題是二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，考查了待定系數(shù)法確定函數(shù)解析式，平行線的判定和性質(zhì)，等腰三角形判定與性質(zhì)，勾股定理，兩點(diǎn)間的距離，相似三角形判定與性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，解題的關(guān)鍵是分類討論思想的應(yīng)用．12．（2022九年級(jí)·全國(guó)·專題練習(xí)）綜合與實(shí)踐：如圖，拋物線y＝34x2?94x?3與x軸交于點(diǎn)A，B（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），交y軸于點(diǎn)C．點(diǎn)D從點(diǎn)A出發(fā)以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)(1)求點(diǎn)A，B，C的坐標(biāo)；(2)求t為何值時(shí)，△BDE是等腰三角形；(3)在點(diǎn)D和點(diǎn)E的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，是否存在直線DE將△BOC的面積分成1：4兩份，若存在，直接寫出t的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】(1)A（﹣1，0），B（4，0），C（0，﹣3）(2)t的值為52，2513(3)存在，1或4【分析】（1）令y＝0，求出方程0=34x2?94x﹣3，可得點(diǎn)A（﹣1，0），點(diǎn)B（4，0），再令x＝0，可得點(diǎn)C（（2）根據(jù)勾股定理可得BC=5，然后分三種情況：當(dāng)BD＝BE時(shí)，當(dāng)BE＝DE時(shí)，當(dāng)BD＝DE時(shí)，即可求解；（3）過(guò)點(diǎn)E作EH⊥BD于H，根據(jù)銳角三角函數(shù)可得HE=35t，然后分兩種情況：當(dāng)S△BDE=15S△BOC=65時(shí)，當(dāng)S△BDE【詳解】（1）解：令y＝0，可得0=34x2?94解得：x1＝﹣1，x2＝4，∴點(diǎn)A（﹣1，0），點(diǎn)B（4，0），可得y＝﹣3，∴點(diǎn)C（0，﹣3）；（2）解：∵點(diǎn)A（﹣1，0），點(diǎn)B（4，0），點(diǎn)C（0，﹣3），∴AB＝5，OB＝4，OC＝3，∴BC=OB當(dāng)BD＝BE時(shí)，則5﹣t＝t，∴t=5當(dāng)BE＝DE時(shí)，如圖1，過(guò)點(diǎn)E作EH⊥BD于H，∴DH＝BH=12BD∵cos∠DBC=BO∴5?t2∴t=25當(dāng)BD＝DE時(shí)，如圖2，過(guò)點(diǎn)D作DF⊥BE于F，∴EF＝BF=12BE=∵cos∠DBC=BF∴12∴t=40綜上所述：t的值為52，2513和（3）解：∵S△BOC=12BO×CO＝∴15S△BOC=65，45S如圖1，過(guò)點(diǎn)E作EH⊥BD于H，∵sin∠DBC=HE∴HEt∴HE=35當(dāng)S△BDE=15S△BOC=65時(shí)，則12（5﹣t∴t1＝1，t2＝4，當(dāng)S△BDE=45S△BOC=245時(shí)，則12（5﹣t∴t2﹣5t+16＝0，∴方程無(wú)解，綜上所述：t的值為1或4．【點(diǎn)睛】本題主要考查了二次函數(shù)與特殊三角形的綜合題，熟練掌握二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，并利用分類討論思想解答是解題的關(guān)鍵．2）直角三角形存在性問(wèn)題解題方法：如有兩定點(diǎn)，在其他特定的“線”上求第三點(diǎn)，形成直角三角形時(shí)：1）當(dāng)動(dòng)點(diǎn)在直線上運(yùn)動(dòng)時(shí)，常用的方法是①，②三角形相似，③勾股定理；2）當(dāng)動(dòng)點(diǎn)在曲線上運(yùn)動(dòng)時(shí)，情況分類如下，第一當(dāng)已知點(diǎn)處作直角的方法：①，②三角形相似，③勾股定理；第二是當(dāng)動(dòng)點(diǎn)處作直角的方法：尋找特殊角.13．（2023·四川內(nèi)江·中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=ax2+bx+c與x軸交于B4,0，C?2,0

(1)求該拋物線的函數(shù)表達(dá)式；(2)若點(diǎn)P是直線AB下方拋物線上的一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作x軸的平行線交AB于點(diǎn)K，過(guò)點(diǎn)P作y軸的平行線交x軸于點(diǎn)D，求與12PK+PD的最大值及此時(shí)點(diǎn)(3)在拋物線的對(duì)稱軸上是否存在一點(diǎn)M，使得△MAB是以AB為一條直角邊的直角三角形：若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)M的坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】(1)y=(2)存在，12PK+PD的最大值為25(3)1,6或1,?4【分析】（1）將A、B、C代入拋物線解析式求解即可；（2）可求直線AB的解析式為y=12x?2，設(shè)Pm,14m（3）過(guò)A作AM2⊥AB交拋物線的對(duì)稱軸于M2，過(guò)B作BM1⊥AB交拋物線的對(duì)稱軸于M1，連接AM1，設(shè)M1【詳解】（1）解：由題意得16a+4b+c=04a?2b+c=0解得：a=1∴拋物線的解析式為y=1（2）解：設(shè)直線AB的解析式為y=kx+b，則有4k+b=0b=?2解得：k=1∴直線AB的解析式為y=1設(shè)Pm,14∴1解得：x=1∴K1∴PK=m?=?1∴1PD=?=?1∴=?=?1∵?1∴當(dāng)m=32時(shí)，12∴y=1∴P3故12PK+PD的最大值為258（3）解：存在，如圖，過(guò)A作AM2⊥AB交拋物線的對(duì)稱軸于M2，過(guò)B作BM

∵拋物線y=14x∴設(shè)M1∴A=nABB=n∵AB∴n解得：n=6，∴M設(shè)直線BM1的解析式為k1解得k1∴直線BM1解析式為∵AM2∥∴直線AM2解析式為∴當(dāng)x=1時(shí)，y=?2×1?2=?4，

∴M綜上所述：存在，M的坐標(biāo)為1,6或1,?4．【點(diǎn)睛】本題考查了待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，二次函數(shù)中動(dòng)點(diǎn)最值問(wèn)題，直角三角形的判定，勾股定理等，掌握解法及找出動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)滿足的函數(shù)解析式是解題的關(guān)鍵．14．（2024·江蘇徐州·模擬預(yù)測(cè)）如圖，直線y=?3x+23與x軸，y軸分別交于點(diǎn)A，點(diǎn)B，兩動(dòng)點(diǎn)D，E分別從點(diǎn)A，點(diǎn)B同時(shí)出發(fā)向點(diǎn)O運(yùn)動(dòng)（運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)O停止），運(yùn)動(dòng)速度分別是1個(gè)單位長(zhǎng)度/秒和3個(gè)單位長(zhǎng)度秒，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒．以點(diǎn)A為頂點(diǎn)的拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)E，過(guò)點(diǎn)E作x軸的平行線與拋物線的另一個(gè)交點(diǎn)為點(diǎn)G，與AB(1)求點(diǎn)A、點(diǎn)B的坐標(biāo)；(2)用含t的代數(shù)式分別表示EF和AF的長(zhǎng)；(3)是否存在t的值，使△AGF是直角三角形？若存在，求出此時(shí)拋物線的解析式；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】(1)A2,0，(2)AF=4?2t，EF=t(3)存在，y=【分析】（1）在直線y=?3x+23中，分別令y=0和x=0，即可求得A（2）由OA、OB的長(zhǎng)可求得∠ABO=30°，用t可表示出BE，EF，和BF的長(zhǎng)，由勾股定理可求得AB的長(zhǎng)，從而可用t表示出AF的長(zhǎng)；（3）若△AGF為直角三角形時(shí)，由條件可知只能是∠FAG=90°，又∠AFG=∠OAF=60°，由（2）可知AF=4?2t,EF=t,又由二次函數(shù)的對(duì)稱性可得到EG=2OA=4，從而可求出FG，在Rt△AGF中，可得到關(guān)于t的方程，可求得t的值，進(jìn)一步可求得E【詳解】（1）解：在直線y=?3令y=0得?3解得：x=2令x=0得y=23∴A2,0，（2）解：由（1）可知OA=2，OB=2∴∴∠ABO=30°，∵運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒，∴BE=∵EF∥∴在Rt△BEF中，EF=BE?tan∠ABO=在Rt△ABO中，OA=2，OB=2∴AB=4，∴AF=AB?BF=4?2t；（3）解：存在．∵EG∥∴∠GFA=∠BAO=60°，∵G點(diǎn)不能在拋物線的對(duì)稱軸上，∴∠FGA≠90°，∴當(dāng)△AGF為直角三角形時(shí)，則有∠FAG=90°，又∠FGA=30°，∴FG=2AF，∵EF=t，EG=4，∴FG=4?t，且AF=4?2t,∴4?t=24?2t解得：t=即當(dāng)t的值為43秒時(shí)，△AGF此時(shí)OE=OB?BE=2∴E(0,∵拋物線的頂點(diǎn)為A2,0，設(shè)拋物線解析式為y=a把E點(diǎn)坐標(biāo)代入得：23解得：a=3∴拋物線的解析式為y=3即y=3【點(diǎn)睛】本題主要考查了二次函數(shù)綜合運(yùn)用待定系數(shù)法，三角函數(shù)的定義，相似三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，二次函數(shù)的對(duì)稱性等知識(shí)點(diǎn)；綜合運(yùn)用以上知識(shí)是解題的關(guān)鍵．15．（2024·湖南·模擬預(yù)測(cè)）如圖，拋物線y=x2+bx+c與x軸交于A?3,0，B1,0兩點(diǎn)，與y(1)求拋物線的表達(dá)式．(2)點(diǎn)P是拋物線上位于線段AC下方的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接AP，CP，求△APC面積最大時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)；(3)在拋物線上是否存在點(diǎn)Q，使得以點(diǎn)A，C，Q為頂點(diǎn)的三角形是直角三角形？如果存在，請(qǐng)直接寫出所有滿足條件的點(diǎn)Q的坐標(biāo)；如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】(1)拋物線的表達(dá)式為y=(2)點(diǎn)P的坐標(biāo)為?(3)存在，滿足條件的點(diǎn)Q的坐標(biāo)為?1,?4或2,5或?1+52【分析】（1）利用拋物線的交點(diǎn)式直接代值求解即可得到答案；（2）過(guò)點(diǎn)P作x軸的垂線，交AC于D，如圖所