第11講變量與函數

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學習目標

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1.理解變量與常量概念，并會辨別自變量與因變量

2.掌握自變量的取值范圍運算方法

3.理解函數定義，并能根據生活實際列出相關的函數解析式

4.通過函數圖像的學習，培養學生讀取圖像信息能力，學會歸納總結。

||雷基礎知識

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知識點1:變量與常量

定義：在一個變化過程中，我們稱數值發生改變的量為變量，數值始終不變的量為常量.

一般地，在一個變化過程中，如果有兩個變量X和y,并且對于的每一個確定的值，都有

唯一確定的值與其對應，那么我們就說x是自變量，y是因變量，y是x的函數.如果當x=a

時，y=b,b那么a叫做當自變量x的值為a時的函數值.

知識點2：自變量取值范圍

初中階段，在一般的函數關系中自變量的取值范圍主要考慮以下四種情況：

（1）函數關系式為整式形式：自變量取值范圍為任意實數；

（2）函數關系式為分式形式：分母0

（3）函數關系式含算術平方根：被開方數0；

（4）函數關系式含0指數：底數0。

知識點3：函數定義

像s=40Ly=40x,s=n，這樣，用關于自變量的數學式子表示

函數與自變量之間的關系，是描述函數的常用方法，這種式子叫做函數的解析式

知識點4：函數的圖像

Q考點剖析

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考點一：變量與常量

1.（2022秋?武義縣期末）筆記本每本a元，買3本筆記本共支出y元，下列選項判斷正確的有

)

A.a是常量時,y是變量

B.。是變量時,y是常量

C.。是變量時,y也是變量

D.無論。是常量還是變量，y都是變量

【變式1-1］（2023?南海區校級模擬）球的體積是V,球的半徑為R,則其中變量和常量分別

3

是（

A.變量是V,R；常量是4，TTB.變量是R,TT；常量是冬

33

C.變量是匕R,TT;常量是4D.變量是V,2；常量是幾

3

【變式1-2］（2023?惠來縣模擬）某人要在規定的時間內加工100個零件，如果用n表示工作效率，用t

表示規定的時間，下列說法正確的是（）

A.數100和"，f都是常量B.數100和〃都是變量

C.w和/都是變量D.數100和r都是變量

【變式1-3］（2022春?清鎮市校級期中）樹的高度隨時間f的變化而變化，下列說法正確的是（）

A.，都是常量B.，是自變量，/?是因變量

C./?,/都是自變量D.〃是自變量，f是因變量

考點二：函數的定義

I'例2.（2023春?淮陽區月考）下列曲線中不能表示y是x的函數的是（）

y

O

A.。B.C.

【變式2-1］（2023春?原陽縣月考）下列等式中，y不是x的函數的是（）

A.3x-2y—0B.x2-y2—lC.y=VxD.y=|尤|

【變式2-2］（2023春?偃師市校級月考）下列圖形中，表示y是x的函數的是（）

【變式2-3]（2022秋?余姚市校級期末）如圖圖象中，表示y是x的函數的個數有（）

考點三：函數的關系式

例3.（2022秋?晉中期末）如圖是一支溫度計的示意圖,圖中左邊是用攝氏溫度表示的溫度值，右

邊是用華氏溫度表示的溫度值，下表是這兩個溫度值之間的部分對應關系:

攝氏溫度值01020304050

x/℃

華氏溫度值32506886104122

根據以上信息，可以得到y與x之間的關系式為（

5

B.y=x+32C.y=x+40D?y^r-x+32

y

【變式3-1]（2022秋?肇源縣期末）一個長方形的周長為30c%,長為我"，寬為衣相，則用尤表示y的關

系式為（

A.y=30-尤B.y=dC.x=15-yD.y=15-x

2

【變式3-2］（2022秋?沈河區期末）小明一家自駕車到離家500左機的某景點旅游，出發前將油箱加滿油.下

表記錄了行駛路程尤（km）與油箱余油量y（￡）之間的部分數據：

行駛路程尤（km）050100150200

油箱余油量yCL）4541373329

下列說法不正確的是（）

A.該車的油箱容量為45L

B.該車每行駛100km耗油8￡

C.油箱余油量y（L）與行駛路程x（km）之間的關系式為y=45-8尤

D.當小明一家到達景點時，油箱中剩余5E油

考點四：函數的自變量取值范圍

例4.（2023春?鹿城區校級月考）在函數■中,自變量x的取值范圍是（）

A.xWOB.x>2C.%22D.x>0

【變式4-1］（2022秋?桂平市期末）函數y=旦，自變量x的取值范圍是（）

X

A.x<0B.x>0

C.X取任意實數D.xWO的一切實數

【變式4-2］（2023?惠山區校級模擬）函數工中，自變量尤的取值范圍是（）

A.x<2B.x<2C.x>2D.%22

【變式4-3］（2022秋?貴池區期末）函數丫巫王中，自變量尤的取值范圍是（）

yx+3

A.B.xW-3

C.*《'且x#-3D.*《］且無力-3

考點五：函數值

［例5.（2022秋?沙坪壩區校級期末）根據如圖所示的程序計算函數y的值，若輸入x的值為1,則

輸出y的值為2；若輸入x的值為-2,則輸出y的值為（）

y=ax2^2bx

【變式5-1]（2023?奉賢區一模）已知f（x）」一，那么/（-I）的值是.

X-1

【變式5-2]（2022秋?隆回縣期末）如圖，若輸入元的值為-5,則輸出的結果為（）

輸出

A.-6B.-5C.5D.6

【變式5-3]（2023?浦橋區校級自主招生）/（無）=2-1，求/（F-1）=.

X

考點六：函數的圖像

[\例6.（2022秋?海淀區校級期末）小明家、食堂、圖書館在同一條直線上.小明從家去食堂吃早

餐，接著去圖書館讀報，然后回家.小明離家的距離與時間之間的對應關系如圖所示.

根據如圖回答下列問題：

（1）食堂離小明家多遠？小明從家到食堂用了多少時間？

（2）小明吃早餐用了多少時間？在圖書館停留了多少時間？

（3）圖書館離小明家多遠？小明從圖書館回家的平均速度是多少？

【變式6-1］（2023春?沙坪壩區校級月考）周末，小陳出去購物；如圖是他離家的距離y（千米）與時間x

（分鐘）的關系圖象，根據圖示信息：下列說法正確的是（）

A.小陳去時的速度為6千米/小時

B.小陳在超市停留了15分鐘

C.小陳去時花的時間少于回家所花的時間

D.小陳去時走下坡路，回家時走上坡路

【變式6-2】（2022秋?肇源縣期末）某天小明騎自行車上學，途中因自行車發生故障，修車耽誤了一段時

間后繼續騎行，按時趕到了學校.如圖所示是小明從家到學校這一過程中所走的路程s（米）與時間*分）

之間的關系.

（1）小明從家到學校的路程共米，從家出發到學校，小明共用了一分鐘；

（2）小明修車用了多長時間？

（3）小明修車以前和修車后的平均速度分別是多少？

【變式6-3］（2022春?織金縣期中）如圖是某汽車從A地去2地（行駛過程中，速度相同），再返回行駛

過程中路程與時間的關系，回答下列問題：

（1）A地與B地之間的距離是千米；汽車中途共休息了小時；

（2）在前3小時汽車的行駛速度是多少？汽車在返回時的平均速度是多少？

考點七：動點問題的函數圖像

例7.（2022春?牡丹區校級期中）如圖，在長方形ABCZ）中，動點P從點8出發，沿BC,CD,

D4運動到點A停止，設點P運動路程為x,的面積為y,如果y關于尤的函數圖象如圖所

示，則長方形ABC。的周長是（）

A.24B.18C.20D.40

【變式7-1］（2022春?朝陽區校級月考）如圖，正方形A3。的邊長為4,尸為正方形邊上一動點，運動

路線是4一。一（7-8―4設尸點經過的路程為x,以點A、P、。為頂點的三角形的面積是y,則下列圖

象能大致反映y與x的函數關系的是（

斗

8-

B.0481216x

【變式7-2］（2022春?東營區校級月考）如圖1,點P從AABC的頂點A出發，沿A-8-C勻速運動到點

C,圖2是點尸運動時線段CP的長度y隨時間尤變化的關系圖象，其中點0為曲線部分的最低點，則

△A8C的面積為（）

A.50B.60C.65D.70

【變式7-3］（2022秋?渦陽縣校級月考）如圖1,在長方形4BC。中，動點尸從點8出發，沿8-C一。一

A方向勻速運動至點A停止.已知點尸的運動速度為Icvn/s,設點尸的運動時間為X（s）,的面

積為y（cm2）,若y關于i的函數圖象如圖2所示，則長方形A5CD面積為（）cm2

DC

p

A■B

圖1

C.48D.24

1.（2023?廣元）向高為10的容器（形狀如圖）中注水，注滿為止，則水深。與注水量u的函數關系的大

B.

C.

2.（2023?廣安）如圖，用彈簧測力計將一鐵塊懸于盛有水的水槽中，然后勻速向上提起，使鐵塊完全露

出水面，并上升一定高度，則下列能反映彈簧測力計的讀數y（單位：N）與鐵塊被提起的時間x（單位:

S）之間的函數關系的大致圖象是（）

3.甲、乙離A地的距離S與時間f

下列說法錯誤的是（

B.乙的速度是甲的速度的2倍

C.若甲比乙晚5分鐘到達，則甲用時10分鐘

D.若甲出發時的速度為原來的2倍，則甲比乙提前1分鐘到達B地

5.（2022?大連）汽車油箱中有汽油30L.如果不再加油，那么油箱中的油量y（單位：L）隨行駛路程x

（單位：km）的增加而減少，平均耗油量為0.1〃加7.當0WxW300時，y與x的函數解析式是（）

A.y=0.1xB.y=-O.lx+30

C.產迪D.y=-0.1f+30x

X

6.（2022?常州）某城市市區人口尤萬人,市區綠地面積50萬平方米，平均每人擁有綠地y平方米，則y

與尤之間的函數表達式為（）

A.y=x+50B.y=50xC.,=50D.y=—

x-50

7.（2022?北京）下面的三個問題中都有兩個變量:

①汽車從A地勻速行駛到B地，汽車的剩余路程y與行駛時間尤;

②將水箱中的水勻速放出，直至放完，水箱中的剩余水量y與放水時間x；

③用長度一定的繩子圍成一個矩形，矩形的面積y與一邊長x.

其中，變量y與變量x之間的函數關系可以用如圖所示的圖象表示的是（）

A.①②B.①③C.②③D.①②③

8.（2022?武漢）勻速地向一個容器內注水，最后把容器注滿.在注水過程中,水面高度h隨時間t的變化

規律如圖所示（圖中0ABe為一折線）.這個容器的形狀可能是（）

。1

人昌B.餐。專/

9.（2023?岳陽）函數>=」一中，自變量x的取值范圍是_________.

X-2

10.（2023?黑龍江）在函數中，自變量x的取值范圍是________.

1留過關檢ST）

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1.（2022秋?東平縣校級期末）下列各圖能表示y是尤的函數是（）

yf

牛不~c

2.（2023春?橋西區校級期中）在圓的周長C=2nR中，常量與變量分別是（）

A.2是常量，C、n、R是變量B.2TT是常量，C、R是變量

C.C、2是常量，R是變量D.2是常量，C、R是變量

3.（2023春?鐵西區期中）李大爺要圍成一個矩形菜園，菜園的一邊利用足夠長的墻，用籬笆圍成的另外

三邊總長度恰好為24米.要圍成的菜園是如圖所示的長方形A3C￡>.設邊的長為x米，AB邊的長為

y米，則y與龍之間的函數關系式是（）

墻

|AD

y菜園

5C

'XA

A.y=-kx+12B.y=-2x+24C.y=2x-24D.y=—x-12

22

4.（2023春?昌平區期中）已知函數尸[2x+l當工=2時，函數值、為（）

[4x（x<0）

A.5B.6C.7D.8

5.（2023春?白銀期中）在利用太陽能熱水器來加熱水的過程中，熱水器里的水溫隨所曬時間的長短而變

化，這個問題中因變量是（）

A.太陽光強弱B.水的溫度C.所曬時間D.熱水器

6.（2023春?揭東區月考）周末小麗從家里出發騎單車去公園，因為她家與公園之間是一條筆直的自行車

道，所以小麗騎得特別放松.途中，她在路邊的便利店挑選一瓶礦泉水，耽誤了一段時間后繼續騎行，

愉快地到了公園.圖中描述了小麗路上的情景，下列說法中錯誤的是（）

木離家的距離（米）

A.小麗從家到達公園共用時間20分鐘

B.公園離小麗家的距離為2000米

C.小麗在便利店時間為15分鐘

D.便利店離小麗家的距離為1000米

7.（2023?青山區模擬）新龜兔賽跑的故事：龜兔從同一地點同時出發后，兔子很快把烏龜遠遠甩在后頭.驕

傲自滿的兔子覺得自己遙遙領先，就躺在路邊呼呼大睡起來.當它一覺醒來，發現烏龜已經超過它，于

是奮力直追，最后同時到達終點.用Si、S2分別表示烏龜和兔子賽跑的路程，/為賽跑時間，則下列圖象

中與故事情節相吻合的是（）

8.（2023春?禪城區校級期中）變量尤與y之間的關系是y=2尤+1,當y=5時，自變量尤的值是（）

A.13B.5C.2D.3.5

9.（2022秋?渠縣校級期末）根據如圖所示的計算程序，若輸入的值x=-3,則輸出y的值為（）

A.-2B.-8C.10D.13

10.（2023?平遠縣校級開學）借培用新買的50元5G電話卡打長途電話，按通話時間3分鐘內收1.2元，

3分鐘后每超過1分鐘加收0.3元錢的方式繳納話費.若通話時間為f分鐘C大于等于3分鐘），那么

電話費用卬（元）與時間r（分鐘）的關系式可以表示為.

11.（2023春?鄲城縣期中）甲、乙兩家藍莓采摘園的藍莓品質相同，銷售價格都是每千克30元，“五一”

假期，兩家均推出了優惠方案：甲采摘園的優惠方案是：游客進園需購買60元的門票，采摘的藍莓六折

優惠；乙采摘園的優惠方案是：游客進園不需購買門票，采摘的藍莓超過10千克后，超過部分五折優惠，

優惠期間，設某游客的藍莓采摘量為x（千克），在甲采摘園所需總費用為yi（元），在乙采摘園所需

總費用為"（元）.

（1）當藍莓采摘量超過10千克時，求與、以與尤的關系式；

（2）若要采摘40千克藍莓，去哪家比較合算？請計算說明.

12.（2023春?驛城區期中）為了解某種車的耗油量，我們對這種車在高速公路上做了