第一章數與式

第03講分式

（思維導圖+9個考點+4種題型+難度分層練）

考情透視目標導航..............................................................................2

知識導圖思維導航..............................................................................2

考點突破考法探究..............................................................................3

重點考點一分式的相關概念...............................................................3

重點考點二分式的基本性質...............................................................4

重點考點三分式的運算.....................................................................5

題型精研考向洞悉..............................................................................6

第一部分：常考考點講練........................................................................6

考點1:分式的值為零的條件................................................................6

考點2：分式的值...........................................................................7

考點3：分式的基本性質.....................................................................7

考點4：最簡公分母.........................................................................7

考點5：分式的乘除法.......................................................................7

考點6：分式的加減法.......................................................................8

考點7：分式的混合運算.....................................................................9

考點8：分式的化簡求值.....................................................................9

考點9：負整數指數鬲......................................................................10

第二部分：高頻題型洞悉.......................................................................10

題型1：求分數值為正（負）數時未知數的取值范圍..........................................10

題型2：求使分數值為整數時未知數的取值范圍...............................................11

題型3：利用分式的基本性質判斷分式值的變化...............................................11

題型4：分式加減乘除混合運算.............................................................12

分層訓練鞏固提升.............................................................................13

基礎夯實訓練.............................................................................13

能力拔高訓練.............................................................................13

考情透視?目標導航

/V\

考點要求新課標要求命題預測

在中考，主要考查分

分式的相關概念>理解分式和最簡分式的概念.

式的意義和分式值為零

情況，常以選擇題、填空

分式的基本性質>能利用分式的基本性質進行約分與通分.

題為主；分式的基本性質

和分式的運算考查常以

分式的運算>能對簡單的分式進行加、減、乘、除運算.選擇題、填空題、解答

題的形式命題.

知識導圖?思維引航

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考點突破?考法探究

重點考點一分式的相關概念

21，?兗實目礎知浪精出

分式的概念：如果A,B表示兩個整式，并且B中含有字母，那么式子金叫做分式，A為分子，B為分母.

D

對于分式金來說：①當BWO時，分式有意義；當B=0時，分式無意義.

D

②當A=0且BWO這兩個條件同時滿足時，分式值為0.

③當A=B時，分式的值為1.當A+B=0時，分式的值為-1.

④若》0,則A、B同號;若京0,則A、B異號.

約分的定義：把一個分式的分子與分母的公因式約去，叫分式的約分.

最簡公式的定義：分子與分母沒有公因式的分式，叫做最簡分式.

通分的定義：把幾個異分母的分式分別化成與原來的分式相等的同分母分式，這一過程叫做分式的通分.

通分步驟：①定最簡公分母；②化異分母為最簡公分母.

約分與通分的聯系與區別：

聯系都是根據分式的基本性質對分式進行恒等變形，即每個分式變形之后都不改變原分式的值.

區別1）約分是針對一個分式而言，約分可使分式變簡單.

2）通分是針對兩個或兩個以上的分式來說的，通分可使異分母分式化為同分母分式.

最簡公分母的定義：通常取各分母系數的最小公倍數與所有字母因式的最高次累的積作為公分母，這樣的

分母叫做最簡公分母.

確定最簡公分母的方法：

類型方法步驟

1）取單項式中所有系數的最小公倍數作為最簡公分母的系數；

分母為單項式

2）取單項式中每個字母出現的最高次數作為最簡公分母中該字母的次數.

1）對每個分母因式分解；

分母為多項式2）找出每個出現的因式的最高次幕，它們的積為最簡公分母；

3）若有系數,求各分母系數的最小公倍數作為最簡公分母的系數.

?ft高顓易錯把握細節

1.判斷一個式子是不是分式，需看它是否符合分式的條件，若分子和分母含有相同字母，不能把原式化簡

后再判斷，例如：蔡就是分式.

2.分式的值為0,必須保證分母W0,否則分式無意義.

3.約分是對分子、分母同時進行的，即分子的整體和分母的整體都除以同一個因式,約分要徹底，使分子、

分母沒有公因式，而且約分前后分式的值相等.

4.約分與通分都是根據是分式的基本性質.約分的關鍵是找出分子和分母的公因式，通分的關鍵是確定幾

個分式的最簡公分母.

。技15點捷方法舊納

1）分式值為0的條件：分式的分子等于0且分母不等于0,這兩個條件必須同時考慮，進而求解問題.

2）分式值為正的條件：分式的分子、分母同號.

3）分式值為負的條件：分式的分子、分母異號.

4）分式的約分子和分母必須都是乘積的形式才能進行約分，約分要徹底，使分子、分母沒有公因式.確定分

子、分母的公因式的方法：

分子、分母類型具體方法

單項式1）系數取各系數的最大公約數;2）相同字母取字母的最低次幕.

多項式先把分子、分母進行因式分解,再確定公因式

重點考點二分式的基本性質

Ss''1,兗實目礎知源精/

AA?r

分式的基本性質：分式的分子和分母同乘（或除以）一個不等于。的整式，分式的值不變.即:廣-（C.0）

或g=昔（c#o）,其中A,B,C是整式.

分式符號法則：分式的分子、分母與分式本身的符號，改變其中任何兩個,分式的值不變，即：《=3=-9=

D—DD

A

?ft高麻易錯把握細節

運用分式的基本性質時，要注意：①限制條件：同乘（或除以）一個不等于0的整式；

②隱含條件：分式的分母不等于0.

■技巧點撥方法歸納

分式的基本性質是分式恒等變形和分式運算的理論依據，正確理解和熟練掌握這一性質是學好分式的

關鍵，利用分式的基本性質可將分式恒等變形，從而達到化簡的分式，簡化計算的目的.

重點考點三分式的運算

建7兗實目礎知i只描沮

分式運翼說明

1）同分母：分W不變.分子相加即：s±5--.

CC€

分式的加履法

2）洋分母e光通分.化為網分母的分式.和加減.即，：土：=巴竽.

t*d2

1）乘法；用分干的枳作為枳的分子,分切的粗作為枳的分口.即；：=B

ba

分式的乘除法

2）除正把賒式的分子、分理?倒位■,再與破除式加餐￡+：=：?色=誓

分式的乘力把分f.分母分別乘乩即：（:）"=￡

運WHS序：先H乘方,再算乘除，最后算和行括8的.先W括號里的.靈活運用運H

分的混合匕算

律.父算結果必須艮最用分式或整K.

?ft商顓易錯把握細節

1.異分母分式通分的依據是分式的基本性質，通分時應確定幾個分式的最簡公分母.

2.整式和分式進行運算時，可以把整式看成分母為1的分式.

3.分式與分式相乘，

①若分子、分母是單項式，則先將分子、分母分別相乘，然后約去公因式，化為最簡分式或整式;

②若分子、分母是多項式，則先把分子、分母分解因式，看能否約分，再相乘.

4.當分式與整式相乘時,要把整式與分子相乘作為積的分子,分母不變.

5.乘方時,一定要把分式加上括號,并且一定要把分子、分母分別乘方.

6.分式乘方時,確定乘方結果的符號與有理數乘方相同，即：

①正分式的任何次幕都為正；②負分式的偶次幕為正,奇次幕為負.

7.分式乘方時,分式的分子或分母是多項式時,應把分子、分母分別看作一個整體.

la-iJ（a-b）2a2-b2

8.分式的混合運算，一般按常規運算順序，但有時應先根據題目的特點，運用乘法的運算律進行靈活運

算.

?技15點提方法歸納

先把分式化簡后，再把分式中未知數對應的值代入求出分式的值.在化簡的過程中要注意運算順序和

分式的化簡.化簡的最后結果分子、分母要進行約分，注意運算的結果要化成最簡分式或整式.

【規律方法】分式化簡求值時需注意的問題

1）化簡求值，一般是先化簡為最簡分式或整式，再代入求值.化簡時不能跨度太大，而缺少必要的步驟,

代入求值的模式一般為“當…時，原式=???”.

2）代入求值時，有直接代入法，整體代入法等常用方法.解題時可根據題目的具體條件選擇合適的方法.當

未知數的值沒有明確給出時，所選取的未知數的值必須使原式中的各分式都有意義，且除數不能為0.

題型精研?考向洞悉?

A\

第一部分：常考考點講練

考點1：分式的值為零的條件

【例1】（2024?武進區校級模擬）若代數式E的值為0,則實數x的值是（）

X

A.0B.2C.3D.4

【變式1］（2024?泗陽縣三模）若使分式二過口的值為0,貝!U的值為（）

（7—1

A.一1或1B.一1或3C.3D.±1或3

【變式2］（2024?東臺市校級模擬）若分式―的值為0,則彳=—.

X+1

考點2：分式的值

【例2】（2024?姜堰區一模）對于分式上^的值，下列說法一定正確的是（）

1-m

A.不可能為0B.比1大C.可能為2D.比加大

【變式1］（2024?天寧區校級一模）分式的值，可以等于（）

X+1

A.-1B.0C.1D.2

【變式2］（2024?涕陽市一模）若。>0,b>0,且標-62=4",則"芟的值為

a—2b

考點3：分式的基本性質

【例3】（2024?宜興市二模）不改變分式的值，將分式二中的分子與分母的各項系數化為整數，且

—0.3%+0.5

第一項系數都是最小的正整數，正確的是（)

A2x+l口2x-10「2%+102%+10

A.-----D.-------D.

3x-53x+5.3x+53x-5

【變式1］（2024?鼓樓區一模）若加w幾，則下列化簡一定正確的是（)

.m+3mm—3mm3m3mm

A,-------=—B.C.D.

n+3nn—3nn3n3nn

【變式2］（2023?海門市二模）如果把分式葉&中的x和y都擴大到原來的20倍，那么分式的值（）

X

B.縮小到原來的-L

A.擴大到原來的20倍

20

C.擴大到原來的2倍D.不變

考點4：最簡公分母

【例4】（2。2。?江陰市模擬）分式圭,5的最簡公分母是

【變式1］（2021?宜興市校級二模）分式和旦的最簡公分母為_2（機-〃）

2m-Inm-n

考點5：分式的乘除法

【例5】（2024?秦淮區二模）（〃二）+1-2"+1

【變式1］（2024?揚州）（1）計算:|乃-3|+2sin3O。-（百-2）°；

（2）化簡：二+（彳一2）.

x+1

【變式2］（2023?新吳區二模）（1）計算：%。一囪+（g）-2；

（3）化簡：三二3+生F

x+44x

考點6：分式的加減法

【例6】（2024?梁溪區校級一模）已知實數根、n、p滿足根-〃+p=—+—-—=0,則下列結論:①若m>0,

mnp

則〃>夕；②若p=l,貝!J/—帆=1；③若病—p2=2,則初=2；④若〃p=l,則m=1.其中正確的為（

)

A.②③④B.①②③④C.①②③D.①③④

【變式1］（2024?錫山區一模）化簡—L+a—1的結果是（）

a+1

A.1B.

a+1Q+1

【變式2］（2024?建鄴區二模）計算——+的結果是.

【變式2】（2024?揚中市二模）（1）計算：|--|+3-1-2°+sin30o；

3

（2）化簡：士生一〃“I.

m—1

考點7：分式的混合運算

【例7】（2024?沐陽縣模擬）化簡-的結果是（)

C2-ba

A.a+bB.---C.a-bD.

a+ba-b

【變式1】(2024?徐州)計算：

1X—1

(1)|-3|-20240+(-)^+^8；(2)(1二)十口.

x~x

【變式2］（2024?濱湖區校級一模）（1）計算:(-1)-'+28^45°-|3-72|；

(2)化簡：(烏....—

a+3a—3a—9

考點8：分式的化簡求值

【例8】（2024?高新區校級模擬）先化簡，再求值：土在十（尤+1一至二1）,其中*=一2.

尤2—1尤一1

【變式1］（2024?亭湖區三模）先化簡：伍+3+工）三，再從的整數中選取一個你喜歡的。

a—32a—6

的值代入求值.

【變式2］（2022?南京模擬）已知實數x,y,z,。滿足x+/=2010,y+a2=2011,z+a2=2012,且

孫z=6,則代數式上+上+三一工一工一工的值等于—

yzxzxyxyz

考點9：負整數指數募

【例9】（2024?武進區校級一模）計算：（_1）2+《尸=

【變式1］.（2020?鹽城二模）計算：|_g|一2T-（萬-4）°.

【變式2］（2023?東海縣二模）比較大小：2"2023°.（用“>“〈”或“="填空）

第二部分：高頻題型洞悉

題型1：求分數值為正（負）數時未知數的取值范圍

［例1］（23-24八年級上?山東威海?期末）若分式與二1的值為負數，則x的取值范圍是（）

/+4

,5555

A.x1—B.x<——C.x>—D.x<—

2222

【變式1］（16-17八年級上?北京房山?期中）若分式4的值為正數，貝□滿足______

7-x

【變式2］（23-24八年級上?江蘇蘇州?期末）閱讀材料：

解分式不等式竺F<。

x-l

3x+6<0

解：根據實數的除法法則：同號兩數相除得正數，異號兩數相除得負數，因此，原不等式可轉化為

x-l>0

3x+6>0…

①或x-l<0②

解①得：無解，解②得：—2<x<l

所以原不等式的解集是-2<x<l

⑴請運用上述方法，直接寫出下列分式不等式的解集

x-4,八3%+2八x+2，八

<0：；>2：；——<0：

2x+5-----------------x-1-----------------x2-4

⑵解分式不等式：了".

題型2：求使分數值為整數時未知數的取值范圍

［例2］（2024?江蘇揚州?三模）能使分式竺。值為整數的整數x有_____個.

2x-3

【變式1］（17-18八年級?山東濟南?期末）若x取整數，則使分式里|的值為整數的尤值有（）

2x-l

A.4個B.5個C.6個D.8個

【變式2］（16-17八年級下?江蘇揚州?階段練習）當x取何整數時，分式與的值是整數？

X-1

題型3：利用分式的基本性質判斷分式值的變化

［例3］（2024?江蘇泰州?一模）對于分式上空的值，下列說法一定正確的是（）

1-m

A.不可能為0B.比1大C.可能為2D.比加大

【變式1】（21-22八年級上?，江蘇南通?期末）如果把分式二^中的x和y都擴大到原來的20倍，那么

X

分式的值（）

B.縮小到原來的*

A.擴大到原來的20倍

C.擴大到原來的2倍D.不變

?三模）如果把分式工旦的x和y都擴大3倍，那么分式的值（）

【變式2］（2024?江蘇徐州

x+y

A.擴大為原來的9倍B.擴大為原來的3倍

C.不變D.縮小為原來的;倍

題型4：分式加減乘除混合運算

【例4】（2024九年級下?江蘇徐州?學業考試）計算：

（1）（一1廣4_&『+4_（萬_3.14）°；⑵2-0+1

【變式11（18-19八年級上?北京房山?期中）定義：如果一個分式能化成一個整式與一個分子為常數的

2

分式的和的形式，則稱這個分式為“和諧分式”.如：二=^^4=王二+二7=1+二7,貝q二是“和

x—1x-1x-1x—1x-1X-]

諧分式”.

（1）下列式子中，屬于“和諧分式”的是（填序號）；

x+1z-x2+%x+2.y2+1

①——;②一③-7；

x2x+1y

（2）將“和諧分式”二￡±1化成一個整式與一個分子為常數的分式的和的形式為：

a—1

‘一2"+3=_____（要寫出變形過程）；

〃一1

（3）應用：先化簡土班一T+fzL,并求X取什么整數時，該式的值為整數.

x+1xx+2x

【變式2]（2024?江蘇?模擬預測）（1）計算：-/彳14

Vm-1m+1J2m

（2）解分式方程：巖-2=手工-

x-22-x

分層訓練?鞏固提升I

基礎夯實訓練

（2020?湖北恩施?中考真題）函數y=，叵的自變量的取值范圍是（

1.)

X

A.x2—1B.且xwO

C.x>0D.%>—1且

Y

2.（2。24.江蘇無錫?二模）函數y=k的自變量X的取值范圍是（

A.%。2B.x<2C.x<2D.%<2且xwO

3.（2024?江蘇宿遷?三模）下列計算正確的是（）

A.2\/3j=—6B.%6x3=x2C.(X-3)2=X2-9D.-9

（2024?江蘇無錫?二模）函數y=1三中自變量x的取值范圍是（

4.)

A.尤>—2B.x>2C.x<-2D.%v—2

（14-15九年級上?福建龍巖?期末）若式子耳、，在實數范圍內有意義，則元的取值范圍是.

5.

3x2+xy-3y2

6.（2024?山東聊城?一模）已知----=5,那么

xy2x2-xy-2y2

2x-3AR

7.（2023?江蘇揚州?模擬預測）已知=~+-，其中46為常數，那么2A+B的值為

x2—xx—1X

（21-22七年級下?浙江杭州?期末）m+n,工+工，/等代數式，如果交換加和〃的位置，式子

8.

mn

的值不變，我們把這樣的式子叫做完美對稱式.若關于九,y的分式2V———IWC是完美對稱式，則：加=

尤y

若完美對稱式2v一t一nx滿足：v2-t-nx=孫+2,且x>y>0,則>=（用含x的代數式表示）.

xy尤y

9.（2024?江蘇揚州?模擬預測）⑴計算：槨-1卜出-2sin60°；

〃+3(〃-1)〉2

（3）解不等式組:

2a-l<3

10.（16-17七年級下?江蘇無錫?期末）規定兩數a,b之間的一種運算，記作（。⑼，如果/=%,那么（a,b）=c,

例如：因為23=8,所以（2,8）=3.

⑴根據上述規定，填空：（3,27）=,（5,1）=；

⑵小明在研究這種運算時發現一個現象，（3",4"）=（3,4）,小明給出了如下的證明：

設（3",4"）=x,則（3"）j,即（3，）"=￥,

3”=4,即（3,4）=x,

（3",4"）=（3,4）,

請你嘗試用這種方法證明下面這個等式：（3,4）+（3,5）=（3,20）

11.（2022?江蘇徐州?模擬預測）（1）計算：+（萬-3）°-2cos30。+卜-J可

（2）先化簡，再求值：［+"+；,其中x=卜2|-3tan60。.

lx-2x+lx-1x-11

能力拔高訓練

3

12.（2024?江蘇南京?三模）已知反比例函數y=—（x>0）的圖像經過點（〃4%）、（〃2+1,%）、（〃7+2,%），則

X

下列關于％+%與%的大小關系正確的是（）

A.%+%>2%B.%+為<2%C.%+%=2%D.不能確定

13.（2024?江蘇宿遷?二模）興趣小組同學借助數學軟件探究函數'=的圖象，輸入了一組。/的

hn

14.（2021?江蘇蘇州?中考真題）已知兩個不等于0的實數。、6滿足a+6=0,則一+不等于（）

ab

A.-2B.-1C.1D.2

15.（2024?江蘇無錫?二模）請寫出一個關于x的分式，無論x取何值該分式都有意義，且當x=l時，分

式的值為2：.

16.（2020?江蘇連云港?二模）若分式二二：有意義，則x的取值