重難點突破06證明不等式問題

目錄

01方法技巧與總結(jié)...............................................................2

02題型歸納總結(jié).................................................................2

題型一：直接法..................................................................2

題型二：構(gòu)造函數(shù)（差構(gòu)造、變形構(gòu)造、換元構(gòu)造、遞推構(gòu)造）........................3

題型三：分析法..................................................................4

題型四：凹凸反轉(zhuǎn)、拆分函數(shù)......................................................5

題型五：對數(shù)單身狗，指數(shù)找朋友..................................................7

題型六：放縮法..................................................................8

題型七：虛設零點...............................................................10

題型八：同構(gòu)法.................................................................H

題型九：泰勒展式和拉格朗日中值定理.............................................12

題型十：分段分析法、主元法、估算法.............................................14

題型十一：割線法證明零點差大于某值，切線法證明零點差小于某值...................15

題型十二：函數(shù)與數(shù)列不等式問題.................................................16

題型十三：三角函數(shù).............................................................18

03過關(guān)測試....................................................................19

方法技巧馬總結(jié)

利用導數(shù)證明不等式問題，方法如下：

(1)直接構(gòu)造函數(shù)法：證明不等式/(x)>g(x)(或/(x)<g(x))轉(zhuǎn)化為證明/(X)-g(x)>0(或

/(x)-g(x)<0),進而構(gòu)造輔助函數(shù)〃(x)=/(x)-g(x)；

(2)適當放縮構(gòu)造法：一是根據(jù)已知條件適當放縮；二是利用常見放縮結(jié)論；

(3)構(gòu)造“形似”函數(shù)，稍作變形再構(gòu)造，對原不等式同解變形，根據(jù)相似結(jié)構(gòu)構(gòu)造輔助函數(shù).

(4)對數(shù)單身狗，指數(shù)找基友

(5)凹凸反轉(zhuǎn)，轉(zhuǎn)化為最值問題

(6)同構(gòu)變形

㈤2

薪刑歸納與.柒年

題型一：直接法

【典例1-1](2024?全國?模擬預測)已知函數(shù)〃x)=a(2x+a)-Inx.

⑴討論"X)的單調(diào)性；

(2)證明：當a>0時，/(x)>91na.(參考數(shù)據(jù)：In2?0.693)

【典例1-2](2024?全國?模擬預測)已知函數(shù)〃x)=a(e'+叫-x.

(1)討論了⑸的單調(diào)性；

(2)證明:當。>0時，/(x)>41na+2.

【變式1-1](2024?四川?模擬預測)已知函數(shù)/(尤)=e-￡x3-i.

(1)若/(x)有3個極值點，求a的取值范圍；

(2)若xNO,a-~^證明：+x.

【變式1-2］已知函數(shù)/(%)=￡—Inx,a>0.

⑴求/(x)的最小值g⑷;

(2)證明：g(a\<a+--\.

a

3

【變式1-3](2024?寧夏吳忠?模擬預測)已知函數(shù)/(x)=ae'-x-受aeR).

⑴討論/(x)的單調(diào)性；

(2)證明：當a>0時，/(無)>21na-/.

題型二：構(gòu)造函數(shù)(差構(gòu)造、變形構(gòu)造、換元構(gòu)造、遞推構(gòu)造)

【典例2-1](2024?河北滄州?模擬預測)對于函數(shù)/(x)和g(x),設ae{x"(x)=0}，匹{尤|g(x)=0},若

存在a,尸使得卜一夕141,則稱/(x)和g(x)互為“零點相鄰函數(shù)，.設/(x)=ln(a+x)(aeR),

g(x)=x(x+l),且/(x)和g(x)互為“零點相鄰函數(shù)”.

(1)求。的取值范圍；

(2)令〃(x)=g[x)-〃x)(g'(x)為g(x)的導函數(shù))，分析力⑴與g(x)是否互為“零點相鄰函數(shù)”；

(3)若a=l,x>0,證明：f

【典例2-2】(2024?湖北荊州?三模)已知函數(shù)〃x)=41nx

⑴求曲線>=/")在點處的切線方程；

(2)求證：函數(shù)歹=/(x)的圖象位于直線>=x的下方；

【變式2-1】已知函數(shù)/(x)=ln(x+a)-x有且只有一個零點，其中a>0.

⑴求。的值；

(2)若對任意的xe(O,+?),有/(同2注2成立，求實數(shù)上的最大值；

(3)設妝x)=/(x)+x,對任意4/(-1,+℃乂國片々)，證明:不等式啟尢>4X\X2+X\+X2+X恒成立.

【變式2-2】設〃x)=(+x)e必,當xe[0,l]時,求證：l-x</(x)<-^.

【變式2-3](2024?山東荷澤?模擬預測)已知函數(shù)/(x)=tdnx-才+1(0<^<2).

⑴求函數(shù)八》)的單調(diào)區(qū)間；

612b2

(2)若a>b>0,證明:In<a4-b4

題型三：分析法

【典例3-1】已知函數(shù)/(%)=(辦2一21+3卜、一X—3(QER),當時，證明：/(x)+l>x.

【典例3-2】已知函數(shù)/(x)=z?e*+7-2(=eR),g(x)=xlnx.

(1)若直線y=x-l是函數(shù)/(x)的圖象的切線，求實數(shù)機的值；

(2)當加<-1時，證明：對于任意的xe(0,+oo),不等式/(x)<g(x)+x-2恒成立.

【變式3-1](2024?山東?模擬預測)已知函數(shù)/(x)=eMf_也士x+'"7十丁廣。,其中〃-0.

mmj

⑴求曲線y=/(x)在點(2J(2))處切線的傾斜角；

(2)若函數(shù)/(力的極小值小于0,求實數(shù)加的取值范圍；

(3)證明：2e*-2(x+l)lnx-x>0.

題型四：凹凸反轉(zhuǎn)、拆分函數(shù)

【典例4-1】已知函數(shù)/(%)=爐--，證明：當xzO時，/(x)>l.

【典例4-2】(2024?陜西西安?模擬預測)已知函數(shù)”xh蛔-L

xe

⑴求/(%)的最大值；

(2)證明：當x>0時，/(x)<xex.

【變式4-1](2024?全國?模擬預測)已知函數(shù)〃x)=xe*+a,g(x)=xlnx+a.

⑴若函數(shù)/(X)的最小值與g(x)的最小值之和為-求。的值.

e

(2)若〃=0,x>0,證明：/(x)>gf(x).

【變式4-2】已知/(x)=lnx+3,a>-,b>\,求證：/(lnZ>)>y.

xeb

【變式4-3](2024?全國?模擬預測)已知函數(shù)/(x)=；e2，+(“-2)e-2ax.

⑴若曲線V=/(x)在/"，處的切線方程為4辦+2了+1=0,求。的值及/(x)的單調(diào)區(qū)間.

(2)若/(x)的極大值為〃ln2),求。的取值范圍.

53

(3)當Q=0時，求證：/(x)+5e%--x2+x\wc.

1r?y

【變式4-4】已知函數(shù)/(x)=r—，求證：

x+x+1e

【變式4-5](2024?陜西安康?模擬預測)已知函數(shù)/(x)=lnx+?+2x.

⑴討論函數(shù)〃x)的單調(diào)性；

(2)若加求證：[2/(x)-4x-l].eI>2.

題型五：對數(shù)單身狗，指數(shù)找朋友

【典例5-1](2024?陜西榆林?三模)已知函數(shù)/'3=/汕ix+x2-xj(x)的導函數(shù)為/'(x).

⑴討論/(x)的單調(diào)性；

2ex1

(2)當掰=1時，證明：+,---+----+x-l.

?\/X+1X+1

【典例5-2】(2024?青海?模擬預測)已知質(zhì)數(shù)/@)=屐'-》2+“-/〃，且曲線y=〃x)在點(2,/(2))處的

切線方程為4e，-y-4e2=0.

(1)求加的值;

(2)證明：對一切xNO,都有〃力泊2/.

【變式5-1](2024?全國?模擬預測)已知函數(shù)〃x)=e"，2f+加，且曲線/⑺在點(0J(0))處的切線

方程為2x-y+l=0(其中e為自然對數(shù)的底數(shù)).

⑴求實數(shù)加的值.

2

(2)當〃=3時，證明：對Vxe[0,+oo),都有/(x)Ne21r+1.

【變式5-2](2024?廣西?模擬預測)設函數(shù)〃x)=lnx+"+6,曲線y=〃x)在點(1,7(1))處的切線方程為

y=6x-3.

(1)求a,b的值；

2

(2)證明：/(Jc)>---1.

【變式5-3](2024?河北保定?三模)已知函數(shù)〃x)=x2一辦+lnx,x=1為的極值點.

⑴求。；

(2)證明：f(x)<lx1-4x.

題型六：放縮法

【典例6-1】(2024?全國?模擬預測)已知函數(shù)/(尤)=血.

⑴求函數(shù)g(x)=//的最值.

2

1p—1

⑵證明：xex--x4-^-x3-ef(x)>0(其中e為自然對數(shù)的底數(shù)).

【典例6-2】已知函數(shù)〃x)=e*-lnx,/'(x)為/(x)的導函數(shù).

⑴求函數(shù)/(X)的零點個數(shù)；

(2)證明：f(x)>a+l+(l-a)lna.

【變式6-1](2024?江蘇徐州?模擬預測)已知函數(shù)/(x)=2x2+x-ln(x+M，機eR.

⑴當加=0時，求曲線y=/(力在點(1J(D)處的切線方程；

(2)當加￡1時，證明：f(x)>0.

【變式6-2](2024?山東棗莊?模擬預測)已知函數(shù)/(x)=e'-a/_x,為/(x)的導數(shù)

⑴討論/(x)的單調(diào)性;

(2)若x=0是/□)的極大值點，求。的取值范圍；

(3)若0,(,證明：e"11^1+em0-1+ln(sincos^)<1.

【變式6-3](2024?遼寧大連?模擬預測)定義：若曲線/(x/)=0或函數(shù)了=/(x)的圖象上的兩個不同點處

的切線互相重合，則稱該切線為曲線/(x/)=0或函數(shù)V=〃x)的圖象的“自公切線”.

⑴設曲線C：x2+/-x-|x|-l=0,在直角坐標系中作出曲線C的圖象，并判斷。是否存在“自公切線”？

(給出結(jié)論即可，不必說明理由)

(2)證明：當工?0時，函數(shù)/(x)=sinx+cosx-e”不存在“自公切線”;

⑶證明：當北0,“eN*時，sinx+cosx>ln(2x+l)+2--~

(x+3eI

【變式6-4］已知函數(shù)/(x)=—ln(G)+依一2(a。0),證明：當a〉0時，/(x)>lnx-xex+1+sinx+l.

題型七：虛設零點

【典例7-1】(2024?山東濟南?二模)已知函數(shù)/(%)=62-lnx-l,g(x)=xe*-辦2(°eR)?

⑴討論/(x)的單調(diào)性；

(2)證明：/(x)+g(x)>x.

【典例7-2】(2024?全國?模擬預測)已知函數(shù)/(x)=e2-aln(x+l).

(1)若。=2,討論〃x)的單調(diào)性.

(2)若x>0,a>l,求證：f(x)>^-alna.

【變式7-1]已知函數(shù)/(x)=e="-1.

(1)若/(x)在定義域內(nèi)不單調(diào)，求。的取值范圍；

(2)證明：若a=tan/,且迎《0,1^,則產(chǎn)與儂/>e-

【變式7-2](2024?高三?遼寧丹東?開學考試)已知函數(shù)/(x)=xeiTnx-x.

⑴求函數(shù)/(x)的最小值；

(2)求證：e[/(x)+x]>6^-(e-l)lnx-^-.

【變式7-3](2024?河北張家口?三模)已知函數(shù)/(x)=lnx+5x-4.

(1)求曲線了=f(x)在點(1，/⑴)處的切線方程；

3

(2)證明：/(%)>---2.

【變式7-4](2024?山東威海?二模)已知函數(shù)/(%)=山%-狽+1.

(1)求/(x)的極值；

(2)證明：Inx+x+1<xex.

題型八：同構(gòu)法

【典例8-1】已知函數(shù)/(%)="/幾x-1+1,a6R.

(1)討論/(x)的單調(diào)區(qū)間；

(2)當p>q>l時，證明qlnp+Inq<plnq+Inp.

【典例8-2】已知函數(shù)/(x)=/〃x+-----2(aGR).

x+1

(1)討論函數(shù)/(x)的單調(diào)性；

(2)當a=2時，求證：/(x)>0在(l,+oo)上恒成立;

Y2

(3)求證：當x>0時，ln(x+1)>----.

ex-1

【變式8-1](2024?甘肅定西?一模)設函數(shù)/(、)=x［：：+2，g(x)=x_ln(x+l)

⑴證明：g(x)?0.

⑵當x>e-l時，證明：/(x)<ln(x+2).

【變式8-2](2024?甘肅白銀?三模)設函數(shù)g(x)=x-ln(x+l).

⑴討論/(x)的單調(diào)性.

(2)證明：g(x)>0.

⑶當x>e-l時，證明：/(x)<ln(^+2).

【變式8-3](2024?廣東廣州?模擬預測)已知函數(shù)/(x)=xe"(a>0).

(1)求/(力在區(qū)間[-U]上的最大值與最小值；

(2)當.21時，求證：/(x)>lnx+x+l.

【變式8-4](2024?全國?模擬預測)已知函數(shù)〃x)=x(ae，-l),flGR.

⑴若曲線了=〃力在x=-l處的切線/與直線》-即+2=0垂直，求/的方程;

3

(2)^g(x)=/(x)+(2-lnx-x)e+xf求證：當。>1時,g(x)>0.

題型九：泰勒展式和拉格朗日中值定理

【典例%1】證明不等式：1+'-工<Vi7^(x>o).

28

【典例9-2】已知函數(shù)/(》)=工2+/〃x-ax.

(1)求函數(shù)“X)的單調(diào)區(qū)間；

(2)若/(x),2/,對xe[O,+8)恒成立，求實數(shù)。的取值范圍；

(3)當a=1時，設g(x)=xe*-x-1.若正實數(shù)4,%滿足4+4=1,%,x2e(0,+co)(x產(chǎn)乙)，證

明：g(Axi+4%)<4g(網(wǎng))+4g(%)?

【變式9-1](2024?河南周口?模擬預測)已知函數(shù)/(x)=(x-l)ln(l-x)-x-cosx.

⑴求函數(shù)/(x)在區(qū)間(0,1)上的極值點的個數(shù).

(2)“￡”是一個求和符號，例如\>=l+2+L+n,E(2X')=2X+2X2+L+2X",等等.英國數(shù)學家布魯

Z=1Z=1

〃f—1Y-1.丫2,-2

克?泰勒發(fā)現(xiàn)，當+8時，cosx，這就是麥克勞林展開式在三角函數(shù)上的一個經(jīng)典應用.

￡臺(”2Z-2：)!

都有￡(―1尸產(chǎn)3

證明：(i)當“f+8時，對Vx>0,>0；

Z=1(2z+3)!

(ii)EN*,〃22).

【變式9-2】英國數(shù)學家泰勒發(fā)現(xiàn)的泰勒公式有如下特殊形式：當/(x)在x=0處的〃(幾￡N*)階導數(shù)都存

在時，〃x)=/(o)+/(o)x+q^f上野；e戈+….注：/"(X)表示〃x)的2階導數(shù),

即為了'(X)的導數(shù)，/(")(0(心3)表示了(同的〃階導數(shù)，該公式也稱麥克勞林公式.

(1)根據(jù)該公式估算sin；的值，精確到小數(shù)點后兩位；

(2)由該公式可得：cosx=l-—+—當x20時，試比較cosx與1_土的大小，并給出證明(不

2!4!6!2

使用泰勒公式);

§1____]_

(3)設〃EN*,證明：之(,\1>〃4/7+2.

J〃+1tan----

')n+k

【變式9-3】閱讀材料一■“裝錯信封問題”是由數(shù)學家約翰?伯努利(JohannBernoulli,1667-1748)的兒

子丹尼爾?伯努利提出來的，大意如下：一個人寫了〃封不同的信及相應的〃個不同的信封，他把這〃封信

都裝錯了信封，問都裝錯信封的這一情況有多少種？后來瑞士數(shù)學家歐拉(LeonhardEuler,1707~1783)

給出了解答：記都裝錯〃封信的情況為。〃種，可以用全排列〃!減去有裝正確的情況種數(shù)，結(jié)合容斥原理可

得公式：---+(-iy—\其中〃wN*.

V1!2!n17

閱讀材料二：英國數(shù)學家泰勒發(fā)現(xiàn)的泰勒公式有如下特殊形式：當/(X)在x=o處〃階可導，則有：

/■3=/(0)+/0)尤+廠必/+--+』刎爐+--，注〃)(x)(〃23)表示〃x)的〃階導數(shù)，該公式也稱

麥克勞林公式.閱讀以上材料后請完成以下問題：

⑴求出4,4,2的值；

(2)估算正的大小(保留小數(shù)點后2位)，并給出用e和〃表示。.的估計公式；

(3)求證：2tanL+4tan[+…+2〃tan」-<2〃+l,其中〃eN*.

242n

題型十：分段分析法、主元法、估算法

【典例10-1】已知函數(shù)/(x)=e*+ax2-1.

(1)討論函數(shù)/(X)的導函數(shù)的單調(diào)性；

7夕21

(2)求證：對Vx20,/(x)25%3+%恒成立.

【典例10-2]已知函數(shù)/(%)=(加+l)x—加nx—加.

(1)討論/(X)的單調(diào)性；

(2)證明：當以￡1,且x>l時，/(x)<e^1.

【變式10-1]若定義在R上的函數(shù)/(%)滿足/(x)=-e2A--2+x2-2/(0)x,

g(x)=f弓)一+(1-q)尤+a,aeR.

(I)求函數(shù)〃x)解析式；

(II)求函數(shù)g(x)單調(diào)區(qū)間；

(III)若x、>、滿足\y~m\,則稱x比y更接近機.當a.2且x..』時，試比較二和e*"+a哪個

x

更接近歷x,并說明理由.

【變式10-2】已知函數(shù)/(x)=/(sinx-"2+2”e),其中aeR,e=2.71828…為自然對數(shù)的底數(shù).

(1)當a=0時，討論函數(shù)/(x)的單調(diào)性；

(2)當;”a,1時，求證：對任意的xe[0,+oo),/(x)<0.

題型十一：割線法證明零點差大于某值，切線法證明零點差小于某值

【典例11-1](2024?河南?模擬預測)已知b>0,函數(shù)/(無)=(x+a)ln(x+b)的圖象在點處的切線

方程為xln2-y-ln2=0.

⑴求a,b的值；

(2)若方程「(x”！(e為自然對數(shù)的底數(shù))有兩個實數(shù)根王,馬，且再<迎，證明：x2-x1<\+-+^-

eeeln2

【典例11-2】已知函數(shù)/(同=H!《.

⑴求函數(shù)/(x)的單調(diào)性；

⑵若y=有兩個不相等的零點X1，Z,且再<》2.

①證明：二隨t的增大而增大;

x\

②證明：x2-xx<(e+l)z+l.

【變式11-1】(2024?重慶?模擬預測)已知函數(shù)/■(x)=a(lnx+l)+-'?(a>0).

(1)求證：1+xlnx>0；

,?證：I%-玉|<]-J-

(2)若4X2是/(“)的兩個相異零點

題型十二：函數(shù)與數(shù)列不等式問題

【典例12-1］(2024?安徽馬鞍山?模擬預測)已知函數(shù)/(x)=(x+2)ln(x+l).

(1)證明：x>0時，f(X)>2x；

n2

(2)證明：1帥+1)>^亍7

k=l'左+1

【典例12-2】(2024?陜西西安?模擬預測)已知函數(shù)/(x)=2sinx-6

(1)若函數(shù)在［0,兀］內(nèi)點A處的切線斜率為求點A的坐標;

JT

(2)①當a=1時，求g(x)=-ln(x+1)在0,—上的最小值;

6

②證明：sing+sin；H---l-sin—>eN,n>2).

【變式12-1】(2024?江蘇南通?模擬預測)已知函數(shù)/(x)=eX-ox-co&￥,且/(x)在［0,+句上的最小值為0.

(1)求實數(shù)。的取值范圍；

(2)設函數(shù)y=0(x)在區(qū)間0上的導函數(shù)為y=d(x),若林］,>1對任意實數(shù)尤e。恒成立,則稱函數(shù)

y=9(x)在區(qū)間￡>上具有性質(zhì)S.

(i)求證：函數(shù)/(x)在(0,+8)上具有性質(zhì)S；

(ii)記「［p(i)=Ml)p(2)...p⑺，其中〃eN*,求證：IIz-sin->-7~n-

i=it1n\ji+1j

【變式12-2](2024,天津?模擬預測)已知函數(shù)/(x)=sinx+ln(l+x)-辦,aeR.

(1)求〃x)在點(0,1(0))處的切線方程；

⑵若/(x)V0恒成立，求。的值；

2n/1A?〃一]

(3)求證：Vsin—<21n------ln2,?>2,MeN*.

/=?+1V-V?-l

【變式12-3］(2024?湖南衡陽?三模)已知正項數(shù)列｛風｝的前〃項和為邑，首項q=1.

(1)若a；=4S“-2a”-l,求數(shù)列｛凡｝的通項公式；

⑵若函數(shù)〃x)=2e'+x,正項數(shù)列｛4｝滿足：。用=/a)(〃eN*).

n

(i)證明：Sn>3-M-l；

(ii)證明：(1+Jy)(l+Jy)(l+Jy)…(1+

ja25a35a45an

題型十三：三角函數(shù)

【典例13-1】(2024?全國?三模)已知函數(shù)/(X)=N■-x+asinx(aeR)在x=0處的切線方程為>=0.

⑴求。的值；

(2)證明:#(x)N0.

【典例13-2】(2024?遼寧?模擬預測)已知函數(shù)/(x)=sinr-ln(sinr),xe(l,2)

⑴求/(x)的最小值；

(2)證明：sinx-ei-smv-In(sinx)>1.

【變式13-1](2024?四川廣安?二模)已知函數(shù)/'(x)=ex-辦-1.

⑴若〃力存在極值，求。的取值范圍；

(2)若aVI,X6(0,+oo),證明：〃x)>x-sinx.

【變式13-2】已知函數(shù)/(x)=e*-e*sinx,(e為自然對數(shù)的底數(shù)).

⑴求曲線y=/(x)在x=0處的切線方程

(2)若不等式aV/(x)V6對任意xe0,方恒成立，求實數(shù)。-6的最大值;

⑶證明：/(x-l)>l-ex-1sin(x-l)x~^\'

【變式13-3](2024?廣東湛江?二模)已知函數(shù)/(x)=e*+xlnx.

⑴求曲線y=/(x)在點(1J⑴)處的切線方程；

(2)若a>0,b>0,J!La2+Z>2=1,證明：/(a)+/(Z>)<e+1.

0

過去酬孰

1.(2024?安徽蚌埠?模擬預測)已知函數(shù)/(x)=ln(x+l),g(x)=。，其中aZl.

(1)若。=1,證明：x>o時，/(x)<

2g(x+1)；

(2)若函數(shù)尸(力=/(x)-g(x)在其定義域內(nèi)單調(diào)遞增，求實數(shù)a的值;

(3)已知數(shù)列｛4｝的通項公式為％,=羋尸，求證：a>a>/.

2.(2024?湖南長沙三模)已知函數(shù)工(x)=x"+x"T+…+x-l(〃eN+).

⑴判斷并證明，(x)的零點個數(shù)

⑵記工(x)在(0,舟)上的零點為當,求證；

(i)｛斗｝是一個遞減數(shù)列

3.(2024?山東?模擬預測)已知函數(shù)/■(x)=g+a，nx+，2,其中“eR.

(1)當a21時，判斷/(x)的單調(diào)性；

⑵若/(X)存在兩個極值點再,工2(x2>0).

一2

(i)證明：x—x+2>一；

2xa

[45

(ii)證明：xe(l,+s)時，/(x)>——一r+一—2.

4.已知/(x)=asinx(aeR),g(x)=e*.

⑴若0<心1,判斷函數(shù)G(x)=/(1-x)+lnx在(0,1)的單調(diào)性；

(2)設b(x)=g(x)-wx2-2(x+l)+M%eR),對Vx>0,m<0,有廠(x)>0恒成立，求上的最小值;

.1.1.1占<ln2.(〃eN)

(3)證明:sin^+sm^+sin—+-+sin

5.(2024?陜西西安?模擬預測)已知函數(shù)/(x)=(x-a)lnx+("l)x(aeR).

⑴若函數(shù)/(x)在(0,+。)上單調(diào)遞增，求實數(shù)。的值；

(2)求證：ln2>sin-^—+sin^—+---+sin^—.

“7100101198

6.(2024?河北?三模)已知函數(shù)/(x)=xlnx-"2+(2a—l)x—Q+l(aeR).

⑴若/(x)W0在[1,W)恒成立，求實數(shù)a的取值范圍；

、TH口111111c

(2)證明：---+----+----+…+----+—>ln2.

n+1〃+2〃+3n+nAn

7.(2024?河北滄州?模擬預測)已知函數(shù)〃x)=lnK-ln(x-l)-L.

⑴求/(x)的值域；

n1

(2)求證：當〃￡N*時，￡sin-----；<In2.

n+1

已知函數(shù)f[x)=ax-\wc--^-

8.

⑴當。=-1時，求/(X)的極值；

(2)當尤21時，不等式/卜)》0恒成立，求。的取值范圍;

ln(l)<''

(3)證明:w++

V1+12,2+2、\ln+n2

9.已知冽〉0,函數(shù)/(%)=匕2-％,g(x)=/(x)-----------+%.

m

(1)若函數(shù)/(x)的最小值是0,求實數(shù)冽的值；

(2)已知曲線歹=/(%)在點(1，/⑴)處切線的縱截距為正數(shù).

(i)證明：函數(shù)g(x)恰有兩個零點；

、11

(ii)證明：>mm—mm,

10.(2024?河北邢臺?二模)已知函數(shù)/(力=/？+。7-a,

⑴當。=0時，求函數(shù)了=/(力在x=(處的切線方程；

1

(2)若/(尤)ve'二恒成立，求實數(shù)。的取值范圍；

(3)證明：ln(?+l)!>?+^p-^-|(?>2).

15.(2024?福建莆田?三模)已知函數(shù)/(x)=x—'+alnx,其中QER.

x

⑴當X?l,+8)時，/(%)>0,求。的取值范圍.

(2)若。<-2,證明：/(%)有三個零點芯，X?,七(再<%2<%3)，且X"巧，七成等比數(shù)列.

⑶證明：S#Fo>ln(w+1)(""*)?

16.(2024?廣東揭陽二模)已知函數(shù)"x)=lnx-g.

(1)當。=1時，證明：/(力是增函數(shù).

(2)若/(x)Vx恒成立，求。的取值范圍.

(3)證明：叱+也+…+則0一，…)(?>2；〃eN).

23ne-1

17.已知函數(shù)=-e"L

⑴證明：Vx>0,總有/(x)<0成立;

1+1+??-+-1>ln(?+l)

(2)設〃￡N*證明:

Vl2+16+2yjn2+n

18.求證：￡-^->^1(2?+1)(?6^).

i=i4z—1

19.(2024?河南?二模)已知函數(shù)/(x)=alnx—2x+a(a。0).

⑴討論“X)的單調(diào)性；

19

⑵若ae1--/()--x>0對任意x>0恒成立，求a的取值范圍；

axa

1〃！___

(3)證明：—>In德+1+1.

〃占

20.已知函數(shù)/(x)=e'+G(awR),g(x)=ln(x+1).

(1)求函數(shù)的極值；

⑵若/(%)>1-g(x)對任意的x￡[0,”)恒成立，求實數(shù)〃的取值范圍;

(3)求證：x>0時，(ex-l)g(x)>x2.

21.(2024?全國?模擬預測)已知函數(shù)"Tnx,a￡R.

⑴若函數(shù)廠(x)=/(“-d有兩個極值點，求。的取值范圍；

⑵若曲線y=/(x)在點[處的切線與y軸垂直，求證：

重難點突破06證明不等式問題

目錄

01方法技巧與總結(jié)...............................................................2

02題型歸納總結(jié).................................................................2

題型一：直接法.................................................................2

題型二：構(gòu)造函數(shù)（差構(gòu)造、變形構(gòu)造、換元構(gòu)造、遞推構(gòu)造）.......................3

題型三：分析法.................................................................4

題型四：凹凸反轉(zhuǎn)、拆分函數(shù).....................................................5

題型五：對數(shù)單身狗，指數(shù)找朋友.................................................7

題型六：放縮法.................................................................8

題型七：虛設零點..............................................................10

題型八：同構(gòu)法................................................................11

題型九：泰勒展式和拉格朗日中值定理............................................12

旦市和|?-?蛇國?*柘171才士。毋4士筲才*****************************************************************************************14

題型十一：割線法證明零點差大于某值，切線法證明零點差小于某值..................15

題型十二：函數(shù)與數(shù)列不等式問題.................................................16

題型十三：三角函數(shù)............................................................18

03過關(guān)測試....................................................................19

方法技巧馬總結(jié)

利用導數(shù)證明不等式問題，方法如下：

(1)直接構(gòu)造函數(shù)法：證明不等式/(x)>g(x)(或/(x)<g(x))轉(zhuǎn)化為證明/(X)-g(x)>0(或

/(x)-g(x)<0),進而構(gòu)造輔助函數(shù)〃(x)=/(x)-g(x)；

(2)適當放縮構(gòu)造法：一是根據(jù)已知條件適當放縮；二是利用常見放縮結(jié)論；

(3)構(gòu)造“形似”函數(shù)，稍作變形再構(gòu)造，對原不等式同解變形，根據(jù)相似結(jié)構(gòu)構(gòu)造輔助函數(shù).

(4)對數(shù)單身狗，指數(shù)找基友

(5)凹凸反轉(zhuǎn)，轉(zhuǎn)化為最值問題

(6)同構(gòu)變形

題型歸贏總結(jié)

題型一：直接法

【典例1-1](2024?全國?模擬預測)已知函數(shù)/(x)=a(2x+a)-Inx.

(1)討論了⑸的單調(diào)性；

(2)證明：當。>0時，/(x)>91na.(參考數(shù)據(jù)：In2-0,693)

【解析】(1)由題意得了'(x)=2a-。，

當aWO時，/'(x)<0在(0,+8)上恒成立，/(X)在(0,+8)上單調(diào)遞減，

當。>0時，令/'(x)=0,解得x=(.

當xe/A)時，r(x)<0,當#(x)〉0.

所以〃x)在(0,()上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；

綜合得：當時，/(%)在(0,+8)上單調(diào)遞減，

當。>0時，/(X)在(0,5)上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；

(2)由(1)可知，當“〉0時，/(%)的最小值為丁]=■—In——=d+l+ln2a.

要證/(x)〉91n〃成立，需〃2+i+1112a>91n〃成立,

即證-81nQ+l+ln2〉0.

Q_o

令〃(a)=/-81ntz+l+ln2(tz>0)，則h\a)=2a——=------.

aa

令/⑷=0,得a=2(負值舍去).

當〃￡(0,2)時，h\a)<0；當〃￡(2,+oo)時，h\a)>0.

因此〃(〃)在(0,2)上單調(diào)遞減，在(2,+8),上單調(diào)遞增.

所以當Q=2時，力(。)取得最小值，A(2)=4-81n2+l+ln2=5-71n2>5-7x0.7=0.1>0,

故當〃〉0時，/(%)〉91nq.

【典例1-2】(2024?全國?模擬預測)已知函數(shù)/(x)=a(e'+/)7.

⑴討論/(x)的單調(diào)性；

(2)證明：當。>0時，/(x)>41n?+2.

【解析】(1)〃x)的定義域為(f,+己),/'(X—.

若Q0O,則/'(X)<O,/(%)在(-*+8)上單調(diào)遞減：

若〃〉0,則由/'(x)=0得x=-lna,當-Ino時，/r(x)<0；當x>-Ino時，/r(x)>0；

故/(%)在(-叫-Ina)上單調(diào)遞減，在(-Ina,+8)上單調(diào)遞增；

故當a40時，/(%)在(-°°,+8)上單調(diào)遞減：

當〃>0時，/(%)在(-°°,-Ina)上單調(diào)遞減，在(-ln〃,+8)上單調(diào)遞增；

(2)方法1,當a〉0時，由(1)知，當x=—lna時，/(%)取得最小值.

所以/(%)>/(-Ina)=a，+1+in〃,從而f(%)-(41na+2)>tz3-31M-1.

3

3Qr—Q

設g(x)=x3-31nx-l,(x>0),貝Ug^x)=3X2--=.

XX

當0<x<1時，g'(x)<0；當%>1時，g'(x)>0,

所以g(x)在(0,1)上單調(diào)遞減，在(1,+8)上單調(diào)遞增，

故當X>0時，g(x)>g(l)=0,

故當Q>0時，/_31na—120,即/(x)之41na+2；

方法2：當〃>0時，由(1)知，當x=—Ina時，/(%)取得最小值，

所以lna)="+l+lna,從而〃x)-(41na+2)2/_31na-l,

1—Y

令力(x)=hix—x+l,x>0,hr(x)=---,

x

當0<x<1時，hr(x)>0；當x〉1時，hr(x)<0；

所以從“在(0,1)上單調(diào)遞增，在(1,+8)上單調(diào)遞減，

^/z(x)</z(l)=0).-.lnx<x-l,當x=l等號成立；

所以，當。>0時，o'-31na-l>a3-3(a-1)-1=fit3-3a+2=(a-Y)2(a+2)>0,

BP/(x)>41nfl+2.

【變式1-1](2024?四川?模擬預測)已知函數(shù)〃x)=e，/x3-1.

(1)若/(力有3個極值點，求。的取值范圍；

(2)若x20,a<1,證明：f(x)>ax2+x.

【解析】(1)由〃x)=e=1x3一1有3個極值點，

可得到/'("=3-"2具有3個變號零點，

當x=0時不是/'(力=3-狽2的零點，

則可得:°在0)u(O,+“)有3個交點，

構(gòu)造函數(shù)g(x)=\,(-8,0)"0,+8),

則g，(x)=e、(；3-2),令g[x)=o,解得》=2,

所以當xe(-e,0),g'(x)>0,g(x)單調(diào)遞增,

當xe(O,2),g,(x)<0,g(x)單調(diào)遞減，

當xe(2,+e),g'(x)>0,g(x)單調(diào)遞增,

所以g(x).=g(xY.=—，

而當Xf-00時，g(x)-O,當X―0時，g(x)f+8,當x—”時，g(x)f+8,

2

所以〃〉上e，

4

則a的取值范圍為

(2)構(gòu)造函數(shù)〃(x)=f(x)-?x2-x=ex-^x3-1-ax2-x,x>0

則h'(x)=eA—ax2—2ax—1,且%(0)=0,h'(0)=0,

構(gòu)造函數(shù)》(1)=〃3=廿_加-2方-1,則〃2G_2a,

再令v(x)=M(x)=e"-2ax-2a,貝Uv'(x)=ex-2a,

因為a?；時，則v'(x)=e"—2a>0,v(x)在[0,+a?)單調(diào)遞增，

rFffv(x)>v(O)=l-2a,所以M(x)在［0,+<x>)單調(diào)遞增,

所以〃(x)*(O)=O,所以吊力在［0,+e)單調(diào)遞增,

故/z(x)2/z(0)=l-l=0,gpf(^x)>ax2+x.

【變式1-2］已知函數(shù)/(尤)=x"-lnx,a>0.

⑴求/(x)的最小值g(a)；

(2)證明：g(tz)<a+--1.

【解析】(1)"X)的定義域為(0,+e),r(x)=axi-9竺了，

令0^-1=0解得%=1_11，又因為當。>0時，蚱療-1為增函數(shù)，

故當xc(O,x。)時，r(x)<0,則/(x)在(O,x。)上單調(diào)遞減；

當xe(xo，+oo)時，f^(x)>0,則/(x)在(x0,+QO)上單調(diào)遞增；

故/(xL=/(%)=x^-lnx=---ln-=,故g()=,

0aaaaaa

/-、(、1+lnQ八.Jf(\—Ina

(2)g(Q)=-----,Q〉o,則g(")=——,

ad

故當ae(O,l)時，g'(a)>0,則g(a)在(0,1)單調(diào)遞增;

當ae(l,+oo)時,g'(a)<0,則g(a)在(1,+8)單調(diào)遞減；

故g(a)a=g(l)=l.

又因為.+122/°義。=2,所以a+’TNl(當且僅當4=1時，取"=

a\aa

所以g(a)(a+：-l.

3

【變式1-3］(2024?寧夏吳忠?模擬預測)已知函數(shù)/(x)=ae，-x-］(awR).

⑴討論/(x)的單調(diào)性；

(2)證明：當a>0時,/(%)>2Ina-a2.

【解析】(1)由題意知/'(x)=ae*-l,

當a40時,/'(x)<0,所以/(x)在(-*+8)上單調(diào)遞減；

當〃〉0時，令/'(x)<0,解得x<—lna,

令/'(%)>0,解得x>—Ina,

所以/(%)在(-叫-Ina)上單調(diào)遞減，在(-Ina,+8)上單調(diào)遞增

31

=

(2)由(1)/Wminf(-ina)=ae+\na--=\na--

要證/(x)>2In(7-<72,即證1口。一；>21!1。一。2,即證/一;—in”>0,

令g(Q)—a?———lna(a>0),貝|g\a)—2a—————-，

2aa

令g'(o)<0,解得0<〃<交，令g'(a)〉0,解得〃>X1,

22

所以g(。)在0,三上單調(diào)遞減，在、,+8上單調(diào)遞增，

\7\7

所以g(a)mm=g—=|—---\n—^\n^2>Q,

\7\7-

則