專題18特殊四邊形及圓的相關證明與計算

目錄一覽

知識目標（新課程標準提煉）

中考命題趨勢（分析考察方向，精準把握重難點）

重點考向（以真題為例，探究中考命題方向）

A考向一直角三角形斜邊上的中線

A考向二平行四邊形的判定與性質

A考向三矩形的判定與性質

A考向四菱形的判定與性質

A考向五正方形的判定與性質

A考向六垂徑定理的應用

A考向七圓周角定理

A考向八圓內接四邊形的性質

A考向九三角形的外接圓與外心

A考向十直線與圓的位置關系

A考向十一切線的判定與性質

A考向十二三角形的內切圓與內心

A考向十三正多邊形和圓

A考向十四弧長的計算

A考向十五扇形面積的計算

A考向十六圓錐的計算

A考向十七圓的綜合題

最新真題薈萃（精選最新典型真題，強化知識運用，優化解題技巧）

知識目標

1.理解矩形、菱形、正方形的概念，以及它們之間的關系；探索并證明矩形、菱形、正方形的性質定理和

判定定理.

2.探索圓周角與圓心角及其所對弧的關系，了解并證明圓周角定理及其推論；理解圓、弧、弦、圓心角、

圓周角的概念，了解等圓、等弧的概念；知道三角形的外心；

3.圓內接四邊形的對角互補.了解直線和圓的位置關系，掌握切線的概念，探索切線與過切點的半徑關系，

會用三角尺過圓上一點畫圓的切線；知道三角形的內心.

4.會計算圓的弧長、扇形的面積；了解正多邊形的概念及正多邊形與圓的關系.

H中考解密

特殊四邊形考點內容是考查重點，年年都會考查，分值為15分左右，預計2024年各地中考還將出現，并

且在選擇、填空題中考查利用特殊四邊形性質和判定求角度、長度問題的可能性比較大。解答題中考查特

殊四邊形的性質和判定，一般和三角形全等、解直角三角形、二次函數、動態問題綜合應用的可能性比較

大。對于本考點內容，要注重基礎，反復練習，靈活運用。

圓的性質及其證明與計算板塊內容以考查綜合題為主，也是考查重點，除了填空題和選擇題外，年年都會

考查綜合題，對多數考生來說也是難點，分值為5分左右。預計2024年各地中考肯定還是考查的重點在選

擇、填空題中考查，考查形式多樣，多以動點、動圖的形式給出，難度較大。關鍵是掌握基礎知識、基本

方法，力爭拿到全分。

與切線有關的證明與計算板塊內容以考查綜合題為主，也是考查重點，除了填空題和選擇題外，年年都會

考查綜合題，對多數考生來說也是難點，分值為8分左右。預計2024年各地中考肯定還是考查的重點在選

擇、填空題中考查，在解答題中想必還會考查切線的性質和判定，和直角三角形結合的求線段長的問題和

三角函數結合的求角度的問題等知識點綜合，考查形式多樣，多以動點、動圖的形式給出，難度較大。關

鍵是掌握基礎知識、基本方法，力爭拿到全分。

弧長、扇形面積相關計算板塊內容以考查綜合題為主，也是考查重點，除了填空題和選擇題外，年年都會

考查綜合題，對多數考生來說也是難點，分值為5分左右。預計2024年各地中考肯定還是考查的重點在選

擇、填空題中考查弧長、扇形面積，考查形式多樣，難度較大。關鍵是掌握基礎知識、基本方法，力爭拿

到全分。

匕重點考向

A考向一直角三角形斜邊上的中線

1.（2023?株洲）一技術人員用刻度尺（單位：an）測量某三角形部件的尺寸.如圖所示，已知///=90°,

點2為邊46的中點，點46對應的刻度為1、7,則（）

c

A.3.5cmB.3cmC.4.5cmD.6cm

【思路點撥】根據圖形和直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，可以計算出⑦的長.

【完整解答】解：由圖可得，

NACB=90°,A5=7-l=6（cm）,點2為線段4?的中點，

CD^—AB—3cm,

2

故選：B.

【考點剖析】本題考查直角三角形斜邊上的中線，解答本題的關鍵是明確題意，利用數形結合的思想解

答.

2.（2023?荊州）如圖，"為m△/比斜邊四上的中線，少為力C的中點.若力C=8,CD=3,貝1J龍=

3.

【思路點撥】根據直角三角形斜邊上的中線的性質得到熊=2==10,根據勾股定理得到寬=

22=6）

7AB-AC根據三角形中位線定理即可得到結論.

【完整解答】解：：=為口△/%斜邊A?上的中線，CD=5,

二45=2。=10,

：//%=90°,〃=8,

,，,5C，=VAB2-AC2=6,

:￡為然的中點,

：.AE=CE,

二座是△/回的中位線，

:.DE=LBC=3,

2

故答案為：3.

【考點剖析】本題考查了直角三角形斜邊上的中線，勾股定理，三角形中位線定理，熟練掌握直角三角

形的性質是解題的關鍵.

A考向二平行四邊形的判定與性質

3.（2023?貴州）如圖，在中，ZC=90°,延長。至〃使得初=",過點4〃分別作/￡〃孫,

DE//BA,/￡與龐相交于點反下面是兩位同學的對話：

小星：由題目的已知條件，若連接施，則可

證明BELCD.

小紅：由題目的已知條件，若連接密則可證明但施.

（1）請你選擇一位同學的說法，并進行證明；

（2）連接9若位）=5如，”上，求〃1的長.

AC3

【思路點撥】（1）小星：連接應'，根據平行四邊的判定定理得到四邊形山嚨是平行四邊形，根據平行

四邊形的性質得到/￡=劭，推出四邊形/誠是平行四邊形，根據矩形性質得到見LW；小紅：連接應,

龍，根據平行四邊形的判定和性質以及矩形的判定和性質定理即可得到論；

（2）連接設CB=2k,/C=3L根據勾股定理即可得到結論.

【完整解答】（1）證明：小星：連接BE,

?:AE〃BD,DE//BA,

???四邊形/反應是平行四邊形,

：.AE=BD9

,:BD=BC,

：.AE=BC,

AE//BC,

：.四邊形/旗。是平行四邊形,

VZC=90°,

???四邊形/旗。是矩形，

???N誠=90°,

：.BE.LCD；

小紅：連接第BE,

9：AE//BD,DE//BA,

???四邊形/皿是平行四邊形,

：.AE=BD,AB=DE,

,:BD=BC,

：.AE=BC,

U：AE//BC,

???四邊形/旗C是平行四邊形,

???NC=90°,

???四邊形4旗。是矩形，

：.AB=CE,

:?DE=CE；

(2)?.,生?上，

AC3

:.設CB=2k,AC^3k,

:.CA4k,

:初+初=加

(3k)2+(W2=(572)2,

k=近,,

：.AC=3班.

【考點剖析】本題考查了平行四邊形的判定和性質，勾股定理，矩形的判定，熟練掌握平行四邊形的性

質是解題的關鍵.

4.(2023?揚州)如圖，點反F、6、〃分別是平行四邊形力8必各邊的中點，連接/尸、B相交于點四連

接4G、絡相交于點兒

(1)求證：四邊形/欣W是平行四邊形；

(2)若口/蛇V的面積為4,求口圈的面積.

【思路點撥】(1)依據四邊形力尺汨是平行四邊形，可得⑷/〃g依據四邊形/區％是平行四邊形，可

緊AN"CM,進而得出四邊形/第V是平行四邊形；

(2)連接/G依據三角形重心的性質，即可得到邑仰=2J皿再根據S是的中線，即可得出S

3

AJGV=—進而得到S平行四邊形械y=Ls平行四邊形密。,依據。/掰GV的面積為4,即可得出結論.

33

【完整解答】解:(1):?點艮F、G、〃分別是平行四邊形/成/各邊的中點，

：.AH//CF,AH=CF,

四邊形ZR力是平行四邊形，

：.AM//CN,

同理可得，四邊形/￡(力是平行四邊形，

：.AN//CM,

.??四邊形前例是平行四邊形；

(2)如圖所示，連接4G

,:H,G分別是4?,切的中點，

...點兒是的重心，

:.CN=2HN,

又?.?"是的中線,

3

又是平行四邊形劃?和平行四邊形ABCD的對角線,

??S平行四邊形平行㈣邊形，死》，

又???0/第V的面積為4,

【考點剖析】本題主要考查了平行四邊形的判定與性質以及三角形重心性質的運用，解決問題的關鍵是

掌握平行四邊形的判定方法以及三角形重心性質.

A考向三矩形的判定與性質

5.（2023?雅安）如圖，在△/氏7中，ZC=90°,AC=BC=6,產為邊48上一動點，作出，6c于點〃PE

_L/C于點E,則施的最小值為_3y[2_-

A

zf

BDC

【思路點撥】連接CP,由勾股定理求出應?的長,.再證四邊形成是矩形，得DE=CP,然后由等腰直角

三角形的性質求出爐的長，即可得出結論.

【完整解答】解：如圖，連接血

A

BDC

9：ZACB=90°,AC=BC=6,AB=VAC2+BC2=V62+62=6^2-

.：PDLBC,PE工AC,

：.ZPDC=ZPEC=90°,

???四邊形。合是矩形，

：.DE=CP,

由垂線段最短可得，當C7LZ8時,線段龐的值最小，

止匕時，AP=BP,

:.CP=,AB=3M，

，施的最小值為3&,

故答案為：3版.

【考點剖析】本題考查了矩形的判定與性質、勾股定理、垂線段最短以及等腰直角三角形的性質等知識,

熟練掌握矩形的判定與性質是解題的關鍵.

6.(2023?大慶)如圖，在平行四邊形"中，￡為線段繆的中點，連接/C,AE,延長/￡,交于點尸,

連接力N46F=90°.

(1)求證：四邊形/皿是矩形；

(2)若繆=13,CF=5,求四邊形/8CF的面積.

【思路點撥】(1)證明△/旌△戶二(44S),得AE=FE,所以四邊形力是平行四邊形，再根據有

一個角是直角的平行四邊形是矩形即可解決問題；

(2)根據矩形的性質和勾股定理求出火的值，由△/族△人為，可得四邊形28"的面積=平行四邊形

ABCD-的面積，進而可以解決問題.

【完整解答】(1)證明：???四邊形"圈是平行四邊形，

：.AD//BC,

:?/ADE=/FCE,/DAE=/CFE,

,?"為線段"的中點，

：.DE=CE,

：./\ADE^/\FCE(AAS),

：.AE=FE,

???四邊形/皿是平行四邊形，

VZ^6F=90°,

???四邊形ZC7。是矩形；

(2)解：,??四邊形2皿是矩形，

：.ZCFD=90°,AC=DF,

?.?C9=13,CF=5,

22

:.DF=VCD-CF=V132-52=12，

△ADE^XFCE,

：△口如的面積=工入4*的面積=LX』"X5X12=15,

222

平行四邊形的面積=6C"C=5X12=60,

.?.四邊形/松的面積=平行四邊形力式》的面積-Z\Cm的面積=60-15=45.

【考點剖析】本題考查了矩形的判定與性質，平行四邊形的判定與性質，全等三角形的判定與性質，解

決本題的關鍵是掌握矩形的性質.

A考向四菱形的判定與性質

7.（2023?德陽）如圖，口四切的面積為12,AC=BD=6,AC與即交于點、0,分別過點GD作BD,4C的

平行線相交于點尸，點G是"的中點，點戶是四邊形邊上的動點，則展的最小值是（）

c4D.3

【思路點撥】先判定四邊形。。力為菱形，找出當夕垂直于菱形畋。的一邊時，戶。有最小值.過。點

作，小/C于〃，過G點作少，力C與R則神〃勿，利用平行四邊形的面積求解颯的長，再利用三角形

的中位線定理可求解%的長，進而可求解.

【完整解答】解：：四邊形4?切為平行四邊形，AC=BD,

：.OD=OC,

'：DF//AC,OD//CF,

二四邊形。。刃為菱形，

:點G是繆的中點，點一是四邊形。色?邊上的動點，

.?.當G尸垂直于菱形況物的一邊時，PG有最小值.

過，點作血L/C于M,過G點作G2L/C與P,則GP//MD,

:矩形/配9的面積為12,/C=6,

2

即2X-lx6?a/=12,

2

解得，/=2,

,:G為。的中點，

二。為△聯的中位線,

：.GP=^DM=\,

2

故用的最小值為1.

【考點剖析】本題主要考查平行四邊形的性質，菱形的判定與性質，三角形的中位線等知識的綜合運用,

找準用有最小值時的一點位置是解題的關鍵.

8.（2022?遼寧）如圖，W是△力8c的角平分線，過點。分別作/C,8c的平行線，交BC于點、E,交〃1于

點尸.若N/%=60°,切=4?,則四邊形儂尸的周長是16.

【思路點撥】連接所交切于。，證明四邊形㈤圻是菱形，可得3，跖NECD=L/ACB=30：OC

2

=工0）=26，在RtzXa定中，可得四=―四=4,故四邊形3郎的周長是40=16.

2cos30爽

~2~

【完整解答】解：連接跖交切于。，如圖：

...四邊形CW是平行四邊形,

:"是△/8C的角平分線，

ZFCD=AECD,

'：DE//AC,

：.AFCD^ACDE,

C.AECD^ZCDE,

:.CE=DE,

四邊形6W是菱形，

：.CDLEF,/ECD=±NACB=3Q。,OC=^-CD=243>

在RtZ\C施'中，

moc2V3.

cos30

~2~

二四邊形6W的周長是4B=4X4=16,

故答案為：16.

【考點剖析】本題考查是三角形角平分線及菱形性質和判定，解題的關鍵是掌握平行線性質，證明四邊

形CEDF是菱形.

A考向五正方形的判定與性質

9.（2020?臺州）下列是關于某個四邊形的三個結論：①它的對角線相等；②它是一個正方形；③它是一

個矩形.下列推理過程正確的是（）

A.由②推出③，由③推出①B.由①推出②，由②推出③

C.由③推出①，由①推出②D.由①推出③，由③推出②

【思路點撥】根據對角線相等的四邊形推不出是正方形或矩形即可判斷.

【完整解答】解：對角線相等的四邊形推不出是正方形或矩形，

故①一②，①一③錯誤，

故選項8,C,。錯誤，

故選：A.

【考點剖析】本題考查正方形的判定和性質，矩形的判定等知識，解題的關鍵是靈活運用所學知識解決

問題，屬于中考常考題型.

10.（2017?玉林）如圖，在等腰直角三角形/8C中，ZACB=90°,/C=6C=4,。是的中點，E,尸分

別是相勿上的點（點￡不與端點4C重合），且然=國連接跖并取廝的中點。，連接2。并延長

至點G,使GO=O0,連接DE,DF,GE,GF.

（1）求證：四邊形成戶G是正方形；

（2）當點￡在什么位置時，四邊形&>6的面積最小？并求四邊形友戶G面積的最小值.

【思路點撥】（1）連接/根據等腰直角三角形的性質可得出4=N26F=45°、AD=CD,結合力￡=CF

可證出△力。陛（S4S）,根據全等三角形的性質可得出龐=卯、ADE=

/CDF,通過角的計算可得出/砂尸=90°,再根據。為廝的中點、GAOD,即可得出修，跖，且。=

20D=EF,由此即可證出四邊形四心是正方形；

（2）過點〃作施'L/C于夕，根據等腰直角三角形的性質可得出座'的長度，從而得出2W〃￡<2&,

再根據正方形的面積公式即可得出四邊形幽切的面積的最小值.

【完整解答】（1）證明：連接蜀，如圖1所示.

?.?△力阿為等腰直角三角形，ZACB=90°,。是的中點，

：.ZA=ZDCF=45°,AD=CD.

'AE=CF

在△力龍和△肉中，，ZA=ZDCF>

AD=CD

:.△ADE^XCDF（SAS）,

：.DE=DF,/ADE=NCDF.

*：/ADE+/EDC=9Q°,

:/EDC+/CDF=/EDF=9Q°,

為等腰直角三角形.

:。為"的中點，GO=OD,

：.GDVEF,MGD=20D=EF,

...四邊形及是正方形；

（2）解:過點〃作龐',47于,如圖2所示.

?.?△力宛為等腰直角三角形，ZACB=90°,AC=BC=4,

:.DE=^BC=2,/8=4&,點內為4C的中點，

\2WDEV2近（點￡與點中重合時取等號）.

4<SEDFG=DS<8.

...當點￡為線段/C的中點時，四邊形旗防的面積最小，該最小值為4.

G

【考點剖析】本題考查了正方形的判定與性質、等腰直角三角形以及全等三角形的判定與性質，解題的

關鍵是：（1）找出口江斯且加空（2）根據正方形的面積公式找出4WS四娜颯＜8.

A考向六垂徑定理的應用

11.（2023?廣西）趙州橋是當今世界上建造最早，保存最完整的中國古代單孔敞肩石拱橋.如圖，主橋拱

呈圓弧形，跨度約為37m,拱高約為1m,則趙州橋主橋拱半徑R約為（）

A.20nlB.28mC.35〃zD.40m

【思路點撥】設主橋拱半徑此根據垂徑定理得到力。=巫，再利用勾股定理列方程求解，即可得到答案.

2

【完整解答】解：由題意可知，AB=31m,CD=lm,

設主橋拱半徑為Rm,

C.OD^OC-CM(R-7)m,

是半徑，OCLAB,

:.AD=BD=LB=紅(加，

22

在七49。中，AF+OF=O#,

：.(巫)2+(R-7)2=R,

2

解得不=油叵~28.

56

【考點剖析】本題主要考查垂徑定理的應用，涉及勾股定理，解題的關鍵是用勾股定理列出關于A的方

程解決問題.

12.(2023?東營)“圓材埋壁”是我國古代數學名著《九章算術》中的一個問題：“今有圓材，埋在壁中,

不知大小.以鋸鋸之，深一寸，鋸道長一尺.問：徑幾何？”轉化為現在的數學語言表達就是：如圖，

切為。。的直徑，弦/心LC?,垂足為￡,四=1寸，肥=10寸，則直徑切的長度為26寸.

【思路點撥】連接力，設。。的半徑是r寸，由垂徑定理得到/￡=上/3=5寸，由勾股定理得到/=(r

2

-1)2+5,求出r,即可得到圓的直徑長.

【完整解答】解：連接OA,

設。。的半徑是r寸，

;直徑CDA.AB,

.?.4￡=工43=工義10=5寸，

22

'：CE=\寸，

OE=(r-1)寸，

'：0及=OhAk

.\r=(r-1)2+52,

r=13,

???直徑切的長度為2r=26寸.

故答案為:26.

【考點剖析】本題考查垂徑定理的應用，勾股定理的應用，關鍵是連接力構造直角三角形，應用垂徑定

理，勾股定理列出關于圓半徑的方程.

A考向七圓周角定理

13.（2023?云南）如圖，助是。。的直徑，。是。。上一點.若NBOC=66°,貝1]//=（）

【思路點撥】根據圓周角定理解答即可，在同圓或等圓中，同弧所對的圓周角等于這條弧所對的圓心角

的一半.

【完整解答】解：：/4=工/3%,/BOC=66°,

2

：.ZA=32）°.

故選：B.

【考點剖析】本題考查了圓周角定理，圓周角定理：在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等，

都等于這條弧所對的圓心角的一半.定理成立的條件是“同一條弧所對的”兩種角，在運用定理時不要

忽略了這個條件，把不同弧所對的圓周角與圓心角錯當成同一條弧所對的圓周角和圓心角.

14.（2023?深圳）如圖，在。。中，46為直徑，C為圓上一點，/的C的角平分線與。。交于點。，若/ADC

【思路點撥】先根據直徑所對的圓周角是直角可得//絡=90°,再利用圓周角定理可得

=20°,然后利用直角三角形的兩個銳角互余可得/歷10=70°,從而利用角平分線的定義進行計算，即

可解答.

【完整解答】解：???/方為。。的直徑,

■:NADC=20°,

:.NADC=/ABC=2Q°,

：.ZBAC=9Q°-ZABC=70°,

:力小平分/胡C,

：.ZBAD=1-ZBAC=35O,

2

故答案為：35.

【考點剖析】本題考查了圓周角定理，熟練掌握圓周角定理是解題的關鍵.

A考向八圓內接四邊形的性質

15.（2023?西藏）如圖，四邊形48切內接于。。，￡為8c延長線上一點.若/DCE=65°,則N&M的度

數是（）

A.65°B.115°C.130°D.140°

【思路點撥】根據鄰補角互補求出N2O的度數，再根據圓內接四邊形對角互補求出/"”的度數，最后

根據圓周角定理即可求出勿的度數.

【完整解答】解：???/2。=65°,

：.4DCB=\8G-NDCE=\8Q°-65°=115°,

?.?四邊形4%入內接于。。，

:./BAm/DCB=\80°,

；./BAD=65°,

：.4BOD=24BAD=2X65°=130°,

故選：C.

【考點剖析】本題考查了圓內接四邊形的性質、圓周角定理，熟練掌握這些定理和性質是解題的關鍵.

16.（2023?淮安）如圖，四邊形48切是。。的內接四邊形，6c是。。的直徑，BC=2CD,貝！|

/曲〃的度數是120°.

D

A

【思路點撥】連接勿，根據等邊三角形的性質得到NC=60°,再根據圓內接四邊形的性質計算，得到

答案.

【完整解答】解：如圖，連接辦，

是。。的直徑，BC=2CD,

0C=0D=CD,

.?.△。切為等邊三角形，

.?.ZC=60°,

?.?四邊形/靦是。。的內接四邊形，

掰0NC=180°,

：.ZBAD^120°,

故答案為：120.

【考點剖析】本題考查的是圓內接四邊形的性質、等邊三角形的判定和性質，掌握圓內接四邊形的對角

互補是解題的關鍵.

A考向九三角形的外接圓與外心

17.（2023?自貢）如圖，△/1加內接于。。，繆是。。的直徑，連接初，ZDCA^41°,則N4%的度數是

A

A.41°B.45°C.49°D.59°

【思路點撥】由直徑所對的圓周角是直角可得N〃8C=90°,由同弧所對的圓周角相等可得

進而可計算NZ8C

【完整解答】解：,??繆是。。的直徑，

:?/DBC=9G°,

u：ZDBA=ZDCA=41°,

：.ZABC=90°-ZDBA=49°,

故選：c.

【考點剖析】本題主要考查了直徑所對的圓周角是直角、同弧所對的圓周角相等，解決本題的關鍵是熟

練掌握相關知識點，難度不大.

18.（2023?湖北）如圖，在3X3的正方形網格中，小正方形的頂點稱為格點，頂點均在格點上的圖形稱

為格點圖形，圖中的圓弧為格點△/回外接圓的一部分，小正方形邊長為1,圖中陰影部分的面積為（）

C

A.—n--LB.—n--C.-n-工D.—n--

24224442

【思路點撥】作然的垂直平分線就作成的垂直平分線尸0,設腑與網相交于點。，連接物，OB,OC,

則點。是△/回外接圓的圓心，先根據勾股定理的逆定理證明是直角三角形，從而可得N/0C=9O°,

然后根據圖中陰影部分的面積=扇形4%的面積-△力%的面積-△力比'的面積，進行計算即可解答.

【完整解答】解：如圖：作群的垂直平分線惻作6c的垂直平分線網，設磔與園相交于

點。，連接力，OB,OC,則點。是△/比'外接圓的圓心，

由題意得：042=12+22=5,

^=12+22=5,

^=12+32=10,

：.0^06=AC,

.?.△/0C是直角三角形,

...NZOC=90°,

:AgOX或,

二圖中陰影部分的面積=扇形4%的面積-的面積-△力8c的面積

—90兀乂巫）2

LA?OC-1.AB-1

36022

=旦1-AxVsxV5--X2X1

422

5兀51

42

_5兀-7--,

42

故選：D.

【考點剖析】本題考查了三角形的外接圓與外心，扇形面積的計算，根據題目的已知條件并結合圖形添

加適當的輔助線是解題的關鍵.

A考向十直線與圓的位置關系

19.（2023?宿遷）在同一平面內，己知。。的半徑為2,圓心。到直線/的距離為3,點戶為圓上的一個動

點，則點尸到直線1的最大距離是（）

A.2B.5C.6D.8

【思路點撥】根據圓心到直線/的距離為3,而圓的半徑為2,此時直線與圓相離，當點尸在上運動

時，當點尸在夕。的延長線與。。的交點時，點夕到直線）的距離最大，根據題意畫出圖形進行解答即可.

【完整解答】解：如圖，由題意得，OA=2,OB=3,

當點尸在8。的延長線與。。的交點時，點尸到直線1的距離最大，

此時，點P到直線1的最大距離是3+2=5,

故選：B.

【考點剖析】本題考查直線與圓的位置關系，掌握直線與圓的位置與圓心到直線的距離之間的關系是解

決問題的關鍵.

20.（2023?鎮江）已知一次函數y=Ax+2的圖象經過第一、二、四象限，以坐標原點。為圓心，r為半徑

作。“若對于符合條件的任意實數A,一次函數y=4x+2的圖象與。。總有兩個公共點，則r的最小值

為2.

【思路點撥】在y="x+2中，令x=0,貝！Jy=2,于是得到一次函數y=Kx+2的圖象與y軸交于（0,2）,

求得一次函數過定點（0,2）,當。。過（0,2）時，兩者至少有一個交點，根據一次函數經過一、二、

四象限，得到直線與圓必有兩個交點，而當。。半徑小于2時，圓與直線存在相離可能，于是得到結論.

【完整解答】解：在尸Ax+2中，令x=0,貝！］尸2,

，一次函數尸比葉2的圖象與y軸交于（0,2）,

...一次函數過定點（0,2）,

當。。過（0,2）時，兩者至少有一個交點，

?.?一次函數經過一、二、四象限，

二直線與圓必有兩個交點，

而當。。半徑小于2時，圓與直線存在相離可能，

半徑至少為2,

故r的最小值為2,

故答案為：2.

【考點剖析】本題考查了直線與圓的位置關系，一次函數圖象上點的坐標特征，熟練掌握直線與圓的位

置關系是解題的關鍵.

A考向十一切線的判定與性質

21.（2023?郴州）如圖，在。。中，48是直徑，點C是圓上一點.在48的延長線上取一點〃連接力，

使/比

（1）求證：直線是。。的切線；

（2）若//0=120。，CD=2M，求圖中陰影部分的面積（結果用含口的式子表示）.

【思路點撥】（1）連接0G由A?是直徑，可得/力⑶=/OQ+NO⑵=90°,再證/。。1=//=/頗,

廊有NBC決NOCB=NOCD=90°,即可證明.

（2）由圓周角定理求得N4%=2//=60°,在Rt/XOCT?中，解直角三角形得0C=2,然后利用三角形

的面積公式和扇形的面積公式即可解答.

【完整解答】（1）證明：連接0C,

是直徑，

ZACB^ZOCA+ZOCB^90°,

0A=OC,ZBCD=ZA,

：.ZOCA=ZA=ZBCD,

：.ABCIhZOCB=ZOCD=90°,

0C±CD,

:%是。。的半徑，

直線。是。。的切線.

(2)解：\'ZACD^12.0°,ZACB^9Q°,

：.ZA=ZBCD^Z12Q°-90°=30°,

：.ZBOC=2.ZA=GOa,

在Rt△況》中，tan/=@=tan60°,切=2?,

oc

，漢2=，§，解得宓=2,

OCv

2

???陰影部分的面積=-S扇形歐=~X2V3X2-1%2_=2畬-^―

23603

【考點剖析】本題主要考查圓周角定理，切線的判定，扇形的面積公式及解直角三角形，熟練掌握性質

是解題關鍵.

22.(2023?巴中)如圖，已知等腰相=M,以四為直徑作。。交回于點2,過。作"UaC于點反

交的延長線于點足

(1)求證："'是。。的切線.

(2)若CE=a，CD=2,求圖中陰影部分的面積(結果用m表示).

【思路點撥】(1)連接勿，根據等腰三角形的性質證明/勿勿，進而可以得到結論；

(2)連接根據勾股定理求出所1,根據銳角三角函數可得//勿=60°,然后證明如是的

中位線，求出根據陰影部分的面積=四邊形/眥的面積-扇形/切的面積，代入值即可.

3

【完整解答】(1)證明：如圖，連接如，

;AB=AC,

：.2B=ZC,

"：OB=OD,

:./B=/ODB,

：.AODB=AC,

J.AC//OD,

*：DFLAC,

：.ODVDF,

:①是。。的半徑，

.?.加'是。。的切線；

(2)解:如圖，連接必

設。。的半徑為r,

在Rt△物中，CE=M，CD=2,

二勵=切-第=4-3=1,

../「CE5/3

.cosZC=-^-=-^-

CD2

：.ZC=30°,

-30°,

:.NA0D=6Q°,

'：AC//0D,。為48的中點,

二勿是的中位線，

是8c中點，

：.CD=BD=2,

是。。的直徑，

：.ZADB=90°,

.\AD=—AB=r,

2

/.BD=JjAD=如==2,

.-2V3

??1r--------,

3

:.AB=2r=￡2,

3

：.AE=AC-CE=AB-料=生巨-料=近,

33

陰影部分的面積=四邊形/①￡的面積-扇形/切的面積

=工XI-」。.nX2

2333603

_V32兀

--------.

【考點剖析】本題考查了切線的判定和性質，等腰三角形的性質，三角形中位線定理，圓周角定理，扇

形面積計算等知識點，能綜合運用定理進行推理是解此題的關鍵.

A考向十二三角形的內切圓與內心

23.（2023?廣州）如圖，的內切圓。/與比；CA,48分別相切于點〃E,F,若。/的半徑為r,Z

A=a,則（BRCE-BC）的值和/劉放的大小分別為（）

A.2r,90°-aB.0,90°-aC.2r,gQ°——D.0,gQ0——

【思路點撥】如圖，連接小IE.利用切線長定理，圓周角定理，切線的性質解決問題即可.

【完整解答】解：如圖，連接明IE.

的內切圓。/與8C,CA,46分別相切于點。，E,F,

：.BF=BD,CD=CE,IFLAB,IEVAC,

C.BFvCE-BC=B1ACD-BC=BC-BC=0,ZAFI=ZAFI=9Qa,

：.ZEIF=180°-a,

：.ZEDF=—ZEIF=90°-Aa.

22

故選：D.

【考點剖析】本題考查三角形的內切圓與內心，圓周角定理，切線的性質等知識，解題的關鍵是掌握切

線的性質，屬于中考常考題型.

24.（2023?攀枝花）已知△力8c的周長為其內切圓的面積為口步,則△力8c的面積為（）

A.—rlB.—urlC.rlD.nrl

22

【思路點撥】由題意可得見.=工/8XS^Boc=—BCKr,SAAOC=—ACXr,由面積關系可求

2222

解.

【完整解答】解：如圖，設內切圓。與△/比■相切于點〃點￡，點凡連接的，OB,OC,OE,OF,OD,

：力6切。。于￡,

OELAB,OE=r,

/.SZOB=~ABX0E=Lexr,

22

同理：$4眥=—BCXr,

2

S^AOC=-CXr，

2

S—^03+5^gcc.+5^J0r=—AB'Xr^—BCX.r^—ACXr——(AB+BC+AC)Xr,

2222

?.*1=AB+BC+AC,

2

故選：A.

【考點剖析】本題考查了三角形的內切圓與內心，掌握內切圓的性質是解題的關鍵.

A考向十三正多邊形和圓

25.（2023?福建）我國魏晉時期數學家劉徽在《九章算術注》中提到了著名的“割圓術”，即利用圓的內

接正多邊形逼近圓的方法來近似估算，指出“割之彌細，所失彌少.割之又割，以至于不可割，則與圓

周合體,而無所失矣”.“割圓術”孕育了微積分思想，他用這種思想得到了圓周率”的近似值為3.1416.如

圖，的半徑為1,運用“割圓術”，以圓內接正六邊形面積近似估計。。的面積，可得”的估計值為

司巨，若用圓內接正十二邊形作近似估計，可得"的估計值為（）

【思路點撥】過力作/以貂于四求得/亞歷=360°+12=30°,根據直角三角形的性質得

到聞仁工3=工，根據三角形的面積公式得到見鹿=!，于是得到正十二邊形的面積為12義工=3,根

2244

據圓的面積公式即可得到結論.

【完整解答】解：如圖，是正十二邊形的一條邊，點。是正十二邊形的中心，

過/作4加_仍于〃，

在正十二邊形中，//勿=360°4-12=30°,

22

S^OB=y-OB-AM=^~x1x4-=—>

2224

正十二邊形的面積為12X1-=3,

4

.\3=12Xn,

Ji=3,

n的近似值為3,

【考點剖析】本題考查了正多邊形與圓，三角形的面積的計算，正確地作出輔助線是解題的關鍵.

26.（2023?衡陽）如圖，用若干個全等的正五邊形排成圓環狀，圖中所示的是其中3個正五邊形的位置.要

完成這一圓環排列，共需要正五邊形的個數是10.

【思路點撥】先求出多邊形的每一個內角為108。，可得到/。=36°,即可求解.

【完整解答】解：???多邊形是正五邊形，

正五邊形的每一個內角為：1x180°X（5-2）=108°,

5

.?.Z（9=180°-（180°-108°）X2=36°,

...正五邊形的個數是360。+36°=10.

故答案為：10.

【考點剖析】本題主要考查正多邊形與圓，多邊形內角和問題，熟練掌握相關知識點是解題關鍵.

A考向十四弧長的計算

27.（2023?青島）如圖，四邊形/灰/是0。的內接四邊形，/8=58°,ZACD=40°.若0。的半徑為5,

則DC的長為（）

A

【思路點撥】根據圓周角的性質，計算出弧加所對的圓心角度數，按照公式求出弧長即可.

【完整解答】解：連接物、OD、0C,

,??N20C=2N8=n6°，ZAOD=2ZACD=80°,

：.ZD0C=3G°，

?京歿?

故選：C.

【考點剖析】本題考查了弧長的計算和圓周角定理，同弧所對的圓周角是圓心角的一半.

28.（2023?阜新）如圖，四邊形如因是正方形，曲線CGGaG…叫作“正方形的漸開線”，其中已總，

c2c3'c3c4,C4C5'…的圓心依次按昆a循環’當如=1時，點般的坐標是（）

A.(-1,-2022)B.(-2023,1)

C.(-1,-2023)D.(2022,0)

【思路點撥】由題得點的位置每4個一循環，經計算得出乙您在第三象限，與%G，凡，…符合同一規

律，探究出第c7,第，...的規律即可.

【完整解答】解：由圖得G(0,1),G(1,0),&(-1,-2),a(-4,1),Q(0,5),Q(5,

0),G(-1,-6),?

點C的位置每4個一循環,

2023=505X4+3,

，0必在第三象限，與a，a，a”…

符合規律（-1,-72+1）,

...&23坐標為(-1，-2022).

故選：A.

【考點剖析】本題考查了點的坐標的規律的探究，理解題意求出坐標是解題關鍵.

A考向十五扇形面積的計算

29.（2023?連云港）如圖，矩形///內接于分別以48、BC、CD、加為直徑向外作半圓.若四=4,

BC=5,則陰影部分的面積是（）

B

B.Win-20

A.n-20C.20JiD.20

42

【思路點撥】根據矩形的性質可求出切，再根據圖形中各個部分面積之間的關系，即S陰影部分=S以4〃為直徑的

圓+s以瑟為直8的圓+$矩形wo-s以如為直桂的1a進行計算即可.

【完整解答】解：如圖，連接被則切過點。,

在此△/劭中，45=4,BC=5,

.?.碗=/〃+/^=41,

S陰影部分=S以9為直徑的圓+S以四為直徑的圓+S矩形ABCD一S以即為直徑的圓

=nX（A）2+JIX&）2+4X5-JIX（股）2

222

=417￡+20.41JL

44

=20,

故選：D.

【考點剖析】本題考查勾股定理，矩形的性質以及扇形面積的計算，掌握矩形的性質、勾股定理以及扇

形面積的計算方法是正確解答的前提.

30.（2023?婁底）如圖，正六邊形/方CW的外接圓。。的半徑為2,過圓心。的兩條直線4、力的夾角為

60。，則圖中的陰影部分的面積為（）

C.—"-V3

323。?”與

【思路點撥】連接力。OC,由。。是正六邊形的外接圓可求得/抽=60°,是等邊三角形，根據

扇形面積公式可求S四皿根據三角形面積公式可求必儂，利用三角形全等將兩塊陰影部分拼接，轉化

為弓形,根據S網影=S扇形COD-SACOO即可求解.

【完整解答】解:如圖，連接4AOC,

是正六邊形的外接圓，

.?.4?必過點0,/儂=婚----=60°,

6

又'：OC=OD,

是等邊三角形，OC=OD=CD=2,

:直線4、、的夾角為60°,

：.ACOD-AKOD=AKOH-ZKOD,

於/C0K=/D0H,

又Y/D0H=2A0G,

：./COK=/AOG,

；/OCK=NOAG=6Q°,OC=OA,

QV，

**?△OCK=i\OAG(ASA)fS扇形加=S扇形力

??S扇形a財-S&QCK-S扇形/加一SAOAG，

,?S陰影——S扇形C0D~SACOD，

..._6QXnX22_2

'3607

5kOT=yX2X-73=V3)

；?S網影=曰n-VS-

o

故選：c.

【考點剖析】本題主要考查了正多邊形和圓，三角形面積和扇形面積計算，明確s腕=5觥陋-幺,3是解

決問題的關鍵.

A考向十