二項式定理【十一大題型】

?熱點題型歸納

【題型1求二項展開式的特定項】..............................................................3

【題型2求二項展開式的特定項系數】..........................................................3

【題型3兩個二項式之積問題】................................................................4

【題型4三項展開式問題】.....................................................................4

【題型5二項式系數和與系數和問題】..........................................................4

【題型6二項式系數的最值問題】..............................................................5

【題型7整除和余數問題】.....................................................................5

【題型8近似計算問題】.......................................................................6

【題型9證明組合恒等式】.....................................................................6

【題型10二項式定理與數列求和1.............................................................................................7

【題型11楊輝三角】..........................................................................8

?考情分析

1、二項式定理

考點要求真題統計考情分析

2022年新高考全國I卷：第

13題，5分從近幾年的高考情況來看，二項式

2023年北京卷：第5題，4分定理是高考的熱點內容，主要考查二項

(1)能用多項式運算法則2023年天津卷：第11題，5

展開式的通項、展開式的特定項或特定

和計數原理證明二項式定分

理，會用二項式定理解決2023年上海卷：第10題，5項的系數以及各項系數和等問題，往往

與二項展開式有關的簡單分以選擇題或填空題的形式考查，難度中

問題2024年北京卷：第4題，4分

等，復習時需要加強這方面的練習，解

2024年天津卷：第11題，5

分題時要學會靈活求解.

2024年上海卷：第6題，5分

?知識梳理

【知識點1二項式定理】

1.二項式定理

般地，對于任意正整數"，都有

(a+b)"=C：an+C\an-lb+C^an-2b2+---+C^an-k/+…+Cfb".(*)

公式(*)叫做二項式定理，等號右邊的多項式叫做(。+6)"的二項展開式，其中各項的系數CA/e{0,1,2,

…叫做二項式系數，Gf/T〃叫做二項展開式的通項，用乙+1表示,即通項為展開式的第左+1項:

Tk+\=C「a-眇.

⑵二項展開式的規律

?二項展開式一共有(n+1)項

②(?+1)項按a的降幕b的升幕排列

③每一項中a和6的幕指數之和為n.

2.二項式系數的性質

對稱性與首末兩端“等距離”的兩個二項式系數相等(即c;=c；r,M)

當左＜V時，二項式系數逐漸增大；當左〉十時，二項式系數逐漸減

增減性

小，因此二項式系數在中間取得最大值

當〃是偶數時，展開式的中間一項%+1的二項式系數C9最大；當力是奇數

最大值

時，展開式的中間兩項馬與&1+1的二項式系數c/,C干相等且最大

各二項式C+C：+C彳+…+C：=2"

系數的和C2+C：+C：H—=C：+C：+C：H—=2"T

【知識點2展開式中的通項問題】

1.求二項展開式的特定項的解題策略

求二項展開式中的特定項，一般是化簡通項公式后，令字母的指數符合要求(求常數項時，指數為零；

求有理項時，指數為整數等)，解出項數什1,代回通項公式即可.

2.兩個二項式之積、三項展開式問題的解題策略

(1)對于幾個多項式積的展開式中的特定項問題，一般都可以根據因式連乘的規律，結合組合思想求解,

但要注意適當地運用分類方法，以免重復或遺漏；也可利用排列組合的知識求解.

(2)對于三項式問題一般先變形化為二項式再解決，或利用展開式的原理求解.

【知識點3二項式系數的和與各項系數的和問題】

1.賦值法

"賦值法"普遍適用于恒等式，是一種重要的方法，對形如(ax+6)",(ax2+6x+cy"(a,6GR)的式子求其展

開式的各項系數之和，常用賦值法.

2.系數之和問題的解題策略

若[0）=即+°6+處/4------\-a?xn,則丸x）展開式中各項系數之和為人1）,奇數項之和為

恁+處+%+…=/⑴？㈠）,偶數項系數之和為0+/+四+…=/⑴/T）

3.展開式的逆用

根據所給式子的特點結合二項式展開式的要求，使之具備二項式定理右邊的結構，然后逆用二項式定

理求解.

【知識點4二項式系數最大項問題】

1.二項式系數最大項的確定方法

nK

當〃為偶數時，展開式中第5+1項的二項式系數最大，最大值為C3當幾為奇數時，展開式中第

〃+1

2

和第寧〃+項3的二項式系數開式中第最大，最大值為C—L或C—L.

【方法技巧與總結】

1.C：+聶+C：H—=C+C：+C：H—=2"T.

?舉一反三

【題型1求二項展開式的特定項】

【例1】（2024?遼寧?模擬預測）（2x—后丫的展開式中的常數項為（）

A.112B.56C.-56D.-112

【變式1-1]（2024?遼寧錦州?模擬預測）二項式（口+左）12的展開式的常數項是（）

A55口55?55「55

A-百B.-yC.--D.y

【變式1-2]（2024?河南?模擬預測）已知（其中a>0）的展開式中的第7項為7,則展開式中的

有理項共有（）

A.6項B.5項C.4項D.3項

【變式1-3]（2024?河北廊坊?模擬預測）（x—|y（neN*）的展開式中只有第四項的二項式系數最大，則展

開式中的常數項為（）

A.-160B.-20C.20D.160

【題型2求二項展開式的特定項系數】

【例2】（2024?北京?模擬預測）在Q—2y戶的展開式中，/項的系數為（）

A.-20B.20C.-40D.40

【變式2-1]（2023?福建泉州?模擬預測）6—y）1°的展開式中，/的系數等于（）

A.-45B.-10C.10D.45

【變式2-2]（2024?湖北武漢?模擬預測）（2久―行丫展開式中含專項的系數為（）

A.420B.-420C.560D.-560

【變式2-3]（23-24高二下?海南?期末）（楙一代）6的展開式中，/的系數為（）

,15?5?5615

A.7B,-C,-D.-

【題型3兩個二項式之積問題】

【例3】（2024?山西長治?模擬預測）（x+2y）Q—丫戶的展開式中好好的系數是（）

A.-10B.0C.10D.30

【變式3-1]（2024?西藏?模擬預測）在（?一￡）（x+y）6的展開式中，尤2y4的系數為（）

A.-4B.4C.-8D.8

【變式3-2]（2024?吉林長春?模擬預測）（1+久+/）（1一乃1。的展開式中/的系數（）

A.28B.35C.36D.56

【變式3-3]（2024高三?全國?專題練習）已知（a久+l）（2x—1）7的展開式中好的系數為448,則該展開式

中久2的系數為（）

A.56B.-98C.106D.-112

【題型4三項展開式問題】

【例4】（2024?新疆喀什?三模）（/+久+1＞展開式中，爐的系數為（）

A.20B.30C.25D.40

【變式4-1]（2024?河北滄州?二模）在（％-2y+3z）6的展開式中，盯223項的系數為（）

A.6480B.2160C.60D.-2160

【變式4-2]（2024?新疆烏魯木齊?一模）（久2—”+y）5的展開式中久5y2的系數為（）

A.-30B.-20C.20D.30

【變式4-3]（2024?全國?模擬預測）在（x+1—if的展開式中常數項為（）

A.721B.-61C.181D.-59

【題型5二項式系數和與系數和問題】

【例5】（2024?安徽阜陽?模擬預測）在二項式的展開式中，下列說法正確的是（）

A.常數項為竽B.各項的系數和為64

C.第3項的二項式系數最大D.奇數項二項式系數和為一32

【變式5-1］（2024?四川樂山?三模）設（x+2024）（2x—1）2023=aQ+arx+a2X2+...+^^2024,則:十

^2,a3,。2024

22十23十…十22024)

A.1B.-1C.2024D.-2024

【變式5-2］（23-24高二上?福建漳州?階段練習）多項式（ax+1＞的/項系數比爐項系數多35,則其各項

系數之和為（）

A.1B.243C.64D.0

45112

【變式5-3］（2024?廣東江門?一模）已知（1+x）+（1+x）+…+（1+%）=%+的（2+x）+a2（2+x）

H—+ciii（2+K）n,則a。+ci2+a4"I—+的值是（）

A.680B.-680C.1360D.-1360

【題型6二項式系數的最值問題】

【例6】（2024?四川雅安?一模）（1—久）1°的展開式中，系數最小的項是（）

A.第4項B.第5項C.第6項D.第7項

【變式6-1］（2024?江西南昌?三模）若（2/—3n的展開式中有且僅有第五項的二項式系數最大，則展開式

中系數最大的是（）

A.第二項B.第三項C.第四項D.第五項

【變式6-2］（2024?遼寧丹東?二模）在（X—1）71的二項展開式中，僅有第4項的二項式系數最大，貝切=

（）

A.5B.6C.7D.8

【變式6-3］（23-24高三上?河南安陽?階段練習）已知（?-|）"的展開式中只有第5項是二項式系數最大，

則該展開式中各項系數的最小值為（）

A.-448B.-1024C.-1792D.-5376

【題型7整除和余數問題】

71

【例7】（2024?黑龍江齊齊哈爾?一模）若+髭久2+...+喘久能被7整除，則x,n的一組值可能為

（）

A.x=4,n=6B.x=4,n=8

C.%=5,n=7D.%=6,n=9

2100

【變式7-1］（2024?湖南懷化?二模）若（2x+1）10°=劭+a1X+a2x+-+a100x,則2（的+a3+…+。99）

—3被8整除的余數為（）

A.4B.5C.6D.7

【變式7-2］（2024?黑龍江哈爾濱?模擬預測）中國南北朝時期的著作《孫子算經》中，對同余除法有較深

的研究，對于兩個整數。力，若它們除以正整數爪所得的余數相同，則稱a和b對模m同余，記為a三b

（modm）.若a=禺7義6+C孑7x6?+…+C衿x617,a三b（mod8）,貝Ub的值可以是（）

A.2021B.2022C.2023D.2024

【變式7-3］（2024?貴州黔南?二模）我國農歷用“鼠、牛、虎、兔、龍、蛇、馬、羊、猴、雞、狗、豬”這

12種動物按順序輪流代表各年的生肖年號，今年2024年是龍年.那么從今年起的（1314+1）年后是（）

A.虎年B.馬年C.龍年D.羊年

【題型8近似計算問題】

【例8】（2024?湖南?二模）某銀行在2024年初給出的大額存款的年利率為3%,某人存入大額存款的元，

按照復利計算10年后得到的本利和為aio,下列各數中與詈最接近的是（）

A.1.31B.1.32C.1.33D.1.34

【變式8-1］（2024?安徽合肥?三模）某銀行大額存款的年利率為3%,小張于2024年初存入大額存款10萬

元，按照復利計算8年后他能得到的本利和約為（）（單位：萬元，結果保留一位小數）

A.12.6B.12.7C.12.8D.12.9

【變式8-2］（2024?北京西城?二模）某放射性物質的質量每年比前一年衰減5%,其初始質量為機0，10年

后的質量為加，則下列各數中與署最接近的是（）

m。

A.70%B.65%

C.60%D.55%

【變式8-3］（2024?江西南昌?一模）二項式定理，又稱牛頓二項式定理，由艾薩克?牛頓提出.二項式定理可

以推廣到任意實數次累，即廣義二項式定理：

對于任意實數a,(1+X)a=1+^-X+嗎＞?X2+???+°『-1)?xk+…

當因比較小的時候，取廣義二項式定理展開式的前兩項可得：(1+%)a?1+a?%,并且因的值越小，所得

結果就越接近真實數據用這個方法計算通的近似值，可以這樣操作：

詆="4+1=」4(1+；)=2'+3~2x(l+lxi)=2.25.

用這樣的方法，估計畫的近似值約為()

A.2.922B.2.926C.2.928D.2.930

【題型9證明組合恒等式】

【例9】(2024高三?全國?專題練習)〉(―1)4/C或二家=22氣力.

【變式9-1](2024高三?全國?專題練習)求證：(C9n+J2—(C%+J2+(C猊+J2—(◎?+)+-+(—1盧+1

?(嚼=0.

2n

(--T=(―-

Zk=O

712n

【變式9-3](24-25高二?全國?課后作業)已知函數%(%)=(1+A%)=劭++a2x+???+anx,其

中AER.

⑴若”=8,a7=1024,求心。=0,1,23…,8)的最大值;

CX

(2)若4=-1,求證：Qn^Vn-fcW=X.

【題型10二項式定理與數列求和】

mmim2m6

【例10］（2024?江西?模擬預測）設（2/―?）=aox°+arx+a2x4----1-a6x,則zn（）+7ni+ni2

H-----1-m6=（）

A.21B.64C.78D.156

2

【變式10-1］（23-24高二?全國?課后作業）已知（2—22刀EN）,展開式中％的系數為/（九），則而y+

o2o3O2019

7（3）+7（4）+........+3（2020）等于（）

，2019c2019—1009—1009

Aprn

1105051010505

【變式10-2］（2024?全國?模擬預測）設neN*,在數列｛an｝中，的=1,前n項和為%=2（即+1—1）.

（1）求Bn｝的通項公式.

（2）在等差數列｛6?｝中，兒二口口歷二？。?，證明：>"（七?瓦）2跡竽巨.

【變式10-3】（2024?山東?模擬預測）設a,beZ,a力0.如果存在qeZ使得b=aq,那么就說b可被a整除

（或a整除6）,記做a|b且稱b是a的倍數，a是b的約數（也可稱為除數、因數）.b不能被a整除就記做

alb.由整除的定義，不難得出整除的下面幾條性質：①若a|b,b\c,則a|c；@a,b互質，若a|c,b\c,則

ab\c；③若a|b”則a|>c也，其中6€21=1,2,3廣一,加

j=i

（1）若數列｛a“｝滿足，an=2『i,其前幾項和為Sn,證明：279|S3OOO；

（2）若n為奇數，求證：陵+〃能被a+6整除；

n

丁2九-1,求證：尸（九,1）可整除尸（幾女）.

Zr=l

【題型11楊輝三角】

【例11】（2024?河南新鄉?三模）如圖所示的“分數楊輝三角形”被我們稱為萊布尼茨三角形，是將楊輝三角

1

形中的￡換成不期而得到的，根據萊布尼茨三角形，下列結論正確的是（）

1

T

111

T6J

1j_j__1_1

520JO205

ii__________111__________1

B

A?應+闋;+i=gi)&+i-嬴+nQ+i=(7)CL

1]__________1__111

C(n+l)Q+(n+gi=nC"iD-0+1)4+(n+lE=nCL

【變式11-1】（2024?甘肅?模擬預測）“楊輝三角”是中國古代數學文化的瑰寶之一，它揭示了二項式展開式

中的組合數在三角形數表中的一種幾何排列規律，如圖所示，則下列關于“楊輝三角”的結論錯誤的是（）

第0行(a+b)°1

第1行(a+6)i11

第2行(a+?2121

第3行(a+b)31331

第4行講6)414641

第5行(“+6)515101051

第6行(a+b)61615201561

第7行(療6)7172135352171

第8行(a+小18285670562881

A.第6行的第7個數、第7行的第7個數及第8行的第7個數之和等于第9行的第8個數

B.第2023行中第1012個數和第1013個數相等

C.記“楊輝三角”第n行的第i個數為《，則〉（2J%i）=3n

D.第34行中第15個數與第16個數之比為2:3

【變式11-2]⑵-24高二下?山東荷澤?期末)在(1+x+%2)n=D°+D裊+D次2+...+嘰/+???+

/n-l+D朝久2n中，把球，叫,席喑稱為三項式系數.

1

11

121

1331

14641

⑴當n=2時，寫出三項式系數Dg,D%Di，可，D,的值;

（2）（a+6）%neN）的展開式中，系數可用楊輝三角形數陣表示，如圖，當OWnW4,neN時，類似楊輝三

角形數陣表，請列出三項式的n次系數的數陣表；

(3)求口為16《016—02016^2016+02016^2016—02016^2016■…+D%算貂;的值(用組合數作答).

【變式11-3】（2025?四川內江?模擬預測）楊輝是中國南宋末年的一位杰出的數學家、教育家，楊輝三角是

楊輝的一項重要研究成果.楊輝三角中蘊藏了許多優美的規律，它的許多性質與組合數的性質有關，圖1為

楊輝三角的部分內容，圖2為楊輝三角的改寫形式

右

左積

積

第

0行

行

第111

行

第2121

行

第31331

行

第44641

行

第55WW5

行

第66

152015

命

中

右

左

以

實

袤

袤

謙

藏

而

乃

乃

乘

者第行1cLci1……瑞.1

除

隅

積

商

皆

之

方

算

數第"行：弓???：

廉1CC???C2&T1

圖1

圖2

⑴求圖2中第10行的各數之和；

（2）從圖2第2行開始，取每一行的第3個數一直取到第15行的第3個數，求取出的所有數之和；

（3）在楊輝三角中是否存在某一行，使該行中三個相鄰的數之比為3:8:14?若存在，試求出這三個數；若不存

在，請說明理由.

?過關測試

一、單選題

1.（2024?江西?一模）弓+今（％—1）7的展開式中的常數項為（）

A.147B.-147C.63D.-63

2.（2024?河南?模擬預測）（2久+3，+（收一1）5的展開式中x的系數為（）

A.30B.40C.70D.80

3.（23-24高二下?云南麗江?階段練習）在（1+x）6（l+54的展開式中，苴的系數為（）

A.200B.180C.150D.120

4.（2024?湖北?模擬預測）22。24被9除的余數為（）

A.1B.4C.5D.8

5.（2024?陜西西安?模擬預測）在。+1）（%+2）（%+m）（x+九）的展開式中，含%3的項的系數是7,則m+九=

A.1B.2C.3D.4

6.（2024?湖北?模擬預測）若（3?—3的二項展開式中，當且僅當第5項是二項式系數最大的項，則其

展開式中福的系數為（）

A.8B.28C.70D.252

320

7.（2024?廣東佛山?模擬預測）已知a=1+G02+%22+C^02+…+C^2,則a被10除所得的余數為

（）

A.9B.3C.1D.0E.均不是

8.（23-24高二下?云南?期中）我國南宋數學家楊輝1261年所著的《詳解九章算法》一書中展示了二項式

系數表，數學愛好者對楊輝三角做了廣泛的研究，則下列結論錯誤的是（）

楊輝三角

肯

0行

nt1行

啟

2行11

i

3行121

LDs

閆1331

4行

14641

啟

5行

,615101051

t行

n71615201561

ci行

Lr8172135352171

t.行

La918285670562881

-行

ci1193684126126843691

am

Lor1104512021025221012045101

JT1

ltf111551653304624623301655511I

A.1+=c§

B.第6行、第7行、第8行的第7個數之和為第9行的第8個數

C.第12行中從左到右第2個數與第3個數之比為2:11

D.第2020行的第1010個數最大

二、多選題

9.（2024?山西臨汾?三模）在（|—⑸-的展開式中（）

A.所有奇數項的二項式系數的和為128

B.二項式系數最大的項為第5項

C.有理項共有兩項

D.所有項的系數的和為38

10.（2024?江蘇?模擬預測）若（%2+、―2）1°=劭+。1汽+劭％2++???+。20%2。，則（）

A.a。=1024B.臼=1