2022-2023學年湘教版八年級數學下冊精選壓軸題培優卷專題04勾股定理與網格問題姓名：___________班級：___________考號：___________評卷人得分一、選擇題(每題2分，共20分)1．(本題2分)（2023春·八年級課時練習）如圖，在正方形網格內，A、B、C、D四點都在小方格的格點上，則（

）A． B． C． D．【答案】B【思路點撥】找出點關于的對稱點，連接、，根據軸對稱的性質，得出，再根據角之間的數量關系，得出，再根據網格的特點，結合勾股定理，得出，，再根據，再根據勾股定理的逆定理，得出是等腰直角三角形，再根據等腰直角三角形的性質，得出，進而即可得出的度數．【規范解答】解：如圖，找出點關于的對稱點，連接、，∵點關于的對稱點，∴，∴，∵，，∴，∴，∴是等腰直角三角形，∴，∴．故選：B【考點評析】本題考查了軸對稱、網格的特點、勾股定理、勾股定理的逆定理、等腰直角三角形的性質，正確作出輔助線，得出是解本題的關鍵．2．(本題2分)（2023春·八年級課時練習）如圖，在邊長為1的正方形網格中，A、B、C均在正方形格點上，則C點到AB的距離為（

）A． B． C． D．【答案】D【思路點撥】連接、，利用割補法求出，根據勾股定理求出，設C點到的距離為h，根據，即可求出h的值．【規范解答】解：如圖，連接、，，，設C點到的距離為h，∵，∴．故選：D．【考點評析】本題考查了勾股定理：在任何一個直角三角形中，兩條直角邊長的平方之和一定等于斜邊長的平方．也考查了三角形的面積和二次根式的運算．3．(本題2分)（2022·八年級單元測試）如圖，在由單位正方形組成的網格圖中標有四條線段，其中能構成一個直角三角形三邊的線段是（）A． B． C． D．【答案】A【思路點撥】設出正方形的邊長，利用勾股定理，解出各自的長度，再由勾股定理的逆定理分別驗算，看哪三條邊能夠成直角三角形．【規范解答】解：設小正方形的邊長為1，則，，，，因為，所以能構成一個直角三角形三邊的線段是．故選：A．【考點評析】本題主要考查了勾股定理以及勾股定理的逆定理的應用，熟練掌握勾股定理及其逆定理是解題的關鍵．4．(本題2分)（2023春·八年級課時練習）如圖，在以下四個正方形網格中，各有一個三角形，不是直角三角形的是（）A． B． C． D．【答案】A【思路點撥】根據勾股定理的逆定理對各選項進行逐一判斷即可．【規范解答】解：A、三邊長分別為，∵，∴不是直角三角形，故本選項符合題意；B、三邊長分別為，，∴是直角三角形，故本選項不符合題意；C、三邊長分別為，∵，∴是直角三角形，故本選項不符合題意；D、三邊長分別為，∵，∴是直角三角形，故本選項不符合題意．故選A．【考點評析】本題考查勾股定理的逆定理，熟知如果三角形的三邊長滿足，那么這個三角形就是直角三角形是解題關鍵．5．(本題2分)（2023春·八年級課時練習）如圖，和的頂點均在邊長為1的小正方形網格格點上，則的度數為（）A． B． C． D．無法計算【答案】B【思路點撥】如圖連接、，利用勾股定理的逆定理證明是直角三角形，再證明是直角直角三角形，可得，即可求出的度數．【規范解答】解：如圖：∵，，，又∵，∴，∴是直角三角形，，又∵，∴是直角直角三角形，∴，∴，故選：B．【考點評析】本題考查了勾股定理及其逆定理，根據題目已知條件添加適當的輔助線是解答本題的關鍵．6．(本題2分)（2022秋·山東青島·八年級校考期末）如圖1，小正方形邊長為1，連接小正方形的三個頂點，可得△ABC，則AC邊上的高是（

）A． B． C． D．【答案】C【思路點撥】求出三角形ABC的面積，再根據三角形的面積公式即可求得AC邊上的高．【規范解答】解：四邊形DEFA是正方形，面積是4；△ABF，△ACD的面積相等，且都是1×2＝1．△BCE的面積是：1×1．則△ABC的面積是：4﹣1﹣1．在直角△ADC中根據勾股定理得到：AC．設AC邊上的高線長是x．則AC?xx，解得：x．故選：C．【考點評析】本題考查了勾股定理，掌握勾股定理，利用割補法求面積是解決本題的關鍵．7．(本題2分)（2022春·山東濱州·八年級校考階段練習）如圖在的網格中，每個小正方形的邊長均為1，則到直線的距離為（

）A． B． C． D．【答案】B【思路點撥】根據小正方形的邊長為1，利用勾股定理求出，由正方形面積減去三個直角三角形面積求出三角形面積，利用面積法求出邊上的高即可．【規范解答】解：如圖，為邊上的高，∴，∵，，∴，解得．故選：B．【考點評析】本題考查了勾股定理，以及三角形的面積，熟練掌握勾股定理是解本題的關鍵．8．(本題2分)（2022秋·山東威海·八年級統考期末）如圖，將線段CD，EF，GN分別繞點O旋轉，能與線段AB重合的線段是（

）A．EF B．GN C．EF，GN D．EF，CD【答案】C【思路點撥】連接，設小方格正方形的邊長為1，利用勾股定理可得，，再根據旋轉的性質即可得．【規范解答】解：如圖，連接，設小方格正方形的邊長為1，，，旋轉前后的對應點到旋轉中心的距離相等，結合圖形可知，將線段繞點順時針旋轉能與線段重合，將線段繞點旋轉能與線段重合，將線段繞點旋轉不能與線段重合，故選：C．【考點評析】本題考查了旋轉的性質、勾股定理、二次根式的化簡，熟練掌握旋轉的性質是解題關鍵．9．(本題2分)（2022秋·江蘇·八年級專題練習）如圖，在甲、乙兩個大小不同的6×6的正方形網格中，正方形ABCD，EFGH分別在兩個網格上，且各頂點均在網格線的交點上．若正方形ABCD，EFGH的面積相等，甲、乙兩個正方形網格的面積分別記為，，有如下三個結論：①正方形ABCD的面積等于的一半；②正方形EFGH的面積等于的一半；③．上述結論中，所有正確結論的序號是（）A．①② B．②③ C．③ D．①②③【答案】B【思路點撥】設甲正方形網格中每一小格長度為a，乙正方形網格中每一小格長度為b，分別求出，，和，根據S正方形ABCD＝，S正方形EFGH＝即可判斷①②，再由正方形ABCD，EFGH的面積相等得出，進而判斷③．【規范解答】解：設甲正方形網格中每一小格長度為a，乙正方形網格中每一小格長度為b，則，，，，∴S正方形ABCD＝，S正方形EFGH＝，∴正方形ABCD的面積大于的一半；正方形EFGH的面積等于的一半；∵S正方形ABCD＝S正方形EFGH，∴，∴，∴，即，∴正確結論的序號是②③，故選：B．【考點評析】本題主要考查勾股定理的應用，解題關鍵在于設出甲正方形網格中每一小格長度為a，乙正方形網格中每一小格長度為b．本題還可以根據正方形在正方形網格中占面積的比例進行求解．10．(本題2分)（2022秋·浙江杭州·八年級杭州外國語學校校考期末）如圖，在4×4的正方形網格中，每個小正方形的邊長均為1，點A，B，C都在格點上AD⊥BC于點D，則AD的長為（

）A．5 B．3 C．5 D．2【答案】D【思路點撥】首先由勾股定理得AB，AC，BC的三邊長，從而有AB2+AC2=BC2，得∠BAC=90°，再根據，代入計算即可．【規范解答】解：由勾股定理得：∵AB2+AC2=25，BC2=25，∴AB2+AC2=BC2，∴∠BAC=90°，∴∴，∴AD=2，故選：D．【考點評析】本題主要考查了勾股定理和勾股定理的的逆應用，通過勾股定理計算出三邊長度，判斷出∠BAC=90°是解題的關鍵．評卷人得分二、填空題(每題2分，共20分)11．(本題2分)（2023秋·河北承德·八年級統考期末）如圖，在每個小正方形的邊長為1的網格中，A，B為格點在如圖所示的網格中求作一點C，使得且的面積等于，則此時的長為______．【答案】【思路點撥】的面積等于，，確定點C所在的位置，即可求解．【規范解答】∵，∴∵的面積等于，∴點C所在的位置如圖所示，∴故答案為：【考點評析】本題考查勾股定理求三角形線段的長，解題的關鍵是確定點C所在的位置．12．(本題2分)（2022秋·甘肅定西·八年級統考期中）如圖，在的正方形網格中，是網格線交點．畫出，使得與全等，這樣的F點有_______個．【答案】4【思路點撥】根據SSS判定三角形全等，去確定F即可．【規范解答】根據SSS判定三角形全等，構造點F如下：故答案為：4．【考點評析】本題考查了網格上三角形全等判定，勾股定理，運用勾股定理確定邊長是解題的關鍵．13．(本題2分)（2022秋·北京房山·八年級統考期末）如圖，在邊長為1的小正方形組成的網格中，的三個頂點均在格點上．判斷是______三角形；計算的面積______．【答案】

直角

【思路點撥】根據勾股定理求得，根據勾股定理的逆定理證明是，進而根據三角形面積公式即可求解．【規范解答】解：∵，，，∴，∴，∴是，且,∴，故答案為：直角；．【考點評析】本題考查了勾股定理與網格問題，掌握勾股定理以及逆定理是解題的關鍵．14．(本題2分)（2023春·八年級課時練習）如圖，在的方格紙中小正方形的邊長為1，的三個頂點都在小正方形的格點上，下列結論正確的有_____（填寫序號）．①的形狀是直角三角形；②的周長是；③點B到邊的距離是2；④若點D在格點上（不與A重合），且滿足，這樣的D點有3個不同的位置．【答案】①②③【思路點撥】根據勾股定理求出、、的長，即可判斷②，再根據勾股定理的逆定理即可判斷①，根據三角形面積公式即可判斷③和④．【規范解答】由勾股定理得：，，＝，，的形狀是直角三角形，且，故結論①正確；的周長是，故結論②正確；設點B到邊的距離是h，由三角形面積公式得：，

h，故結論③正確；，∴D點到的距離等于A點到的距離，如圖所示，D點可以是直線m、n上的任意一點，又∵點D在格點上（不與A重合），∴這樣的D點有個不同的位置，故結論④錯誤．故答案為：①②③．【考點評析】本題考查了勾股定理及其逆定理，三角形的面積的應用，熟練掌握勾股定理是解題的關鍵．15．(本題2分)（2022秋·廣東惠州·八年級校考期中）如圖所示的網格是正方形網格，圖形的各個頂點均為格點，則_____．【答案】##度【思路點撥】利用勾股定理的逆定理先證明再證明，進而得出答案．【規范解答】解：如圖所示：連接由勾股定理可得：∴∴∴而∴

∴故答案為：．【考點評析】本題考查的是勾股定理的應用，勾股定理的逆定理的應用，等腰直角三角形的性質，三角形的內角和定理的應用，證明是解本題的關鍵.16．(本題2分)（2022春·湖北孝感·八年級校考期中）如圖，每個小正方形的邊長為1，在△ABC中，點A，B，C均在格點上，點D為AB的中點，則線段CD的長為____________．【答案】##【思路點撥】根據勾股定理列式求出AB、BC、AC的長，再利用勾股定理逆定理判斷出△ABC是直角三角形，然后根據直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半解答即可．【規范解答】解：∵，，，∴，∴∠ACB＝90°，∵點D為AB的中點，∴CD為AB邊上的中線，∴．故答案為：．【考點評析】本題主要考查了直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半的性質、勾股定理以及勾股定理逆定理的應用，解題的關鍵是判斷出△ABC是直角三角形．17．(本題2分)（2022秋·八年級課時練習）如圖所示的網格是正方形網格，每個小正方形的邊長均為1，點，，，都在格點上，則的度數是______度．【答案】【思路點撥】作C點關于AB的對稱點E，連接DE，由對稱性知≌，得到∠CAB＝∠BAE，再結合網格利用勾股定理得出AD，DE，AE的長，進而利用勾股逆定理解答即可．【規范解答】解：作C點關于AB的對稱點E，連接AE，DE，如圖所示：由對稱性知≌，∴∠CAB＝∠BAE，在正方形網格，每個小正方形的邊長均為1，在Rt中，，由勾股定理得：，在Rt中，，由勾股定理得：，，在Rt中，，由勾股定理得：，∴，∴△AED是等腰直角三角形，∴∠DAE＝45°＝∠DAB＋∠BAE＝∠DAB＋∠CAB，故答案為：45．【考點評析】本題考查網格中運用勾股定理、勾股逆定理及等腰直角三角形的判定與性質，關鍵是根據勾股定理得出AD，DE，AE的長解答．18．(本題2分)（2021秋·福建泉州·八年級統考期末）圖所示的網格是正方形網格，點A、B、C、D、E是網格線交點，則∠DAE－∠BAC的度數為______．【答案】45°##45度【思路點撥】如圖，連接EG、AG，根據勾股定理的逆定理可得∠EAG=90°，從而知△EAG是等腰直角三角形，根據平行線的性質和三角形全等，可知：∠DAE-∠BAC=∠AEG，即可得解．【規范解答】解：如圖，連接EG、AG，設網格中正方形的邊長為x，由勾股定理得：，∴，∴∠EAG=90°，∴△EAG是等腰直角三角形，∴∠AEG=45°，∵EF∥AD，∴∠AEF=∠EAD，在△EFG和△ABC中，，∴△EFG≌△△ABC（SAS），∴∠FEG=∠BAC，∴∠DAE－∠BAC=∠FEA-∠FEG=∠AEG=45°，故答案為：45°．【考點評析】本題考查了勾股定理的逆定理，勾股定理，三角形的全等的性質，等腰直角三角形的判定和性質，正確的作出輔助線是解題的關鍵．19．(本題2分)（2022秋·八年級課時練習）如圖，在的正方形網格中，每個小正方形的頂點稱為格點，點、、均在格點上，則______．【答案】45°##45度【思路點撥】取正方形網格中格點Q，連接PQ和BQ，證明∠AQB=90°，由勾股定理計算PQ=QB，進而得到△QPB為等腰直角三角形，∠PAB+∠PBA=∠QPF+∠BPF=∠QPB=45°即可求解．【規范解答】解：取正方形網格中格點Q，連接PQ和BQ，如下圖所示：∴AE=PF，PE=QF，∠AEP=∠PFQ=90°，∴△APE≌△PQF(SAS),∴∠PAB=∠QPF，∵PF∥BE，∴∠PBA=∠BPF，∴∠PAB+∠PBA=∠QPF+∠BPF=∠QPB，又QA2=22+42=20，QB2=22+12=5，AB2=52=25，∴QA2+QB2=20+5=25=AB2，∴△QAB為直角三角形，∠AQB=90°，∵PQ2=22+12=5=QB2，∴△PQB為等腰直角三角形，∴∠QPB=∠QBP=(180°-90°)÷2=45°，∴∠PAB+∠PBA=∠QPF+∠BPF=∠QPB=45°，故答案為：45°．【考點評析】本題考查了勾股定理及逆定理、三角形全等的判定等，熟練掌握勾股定理及逆定理是解決本類題的關鍵．20．(本題2分)（2021春·山東德州·八年級統考期中）如圖和的頂點都是網格線交點，那么______．【答案】45°【思路點撥】連接AD，構建等腰直角三角形，利用勾股定理和逆定理得：∠DAC=90°，∠ADC=∠ACD=45°，最后根據平行線的性質可得結論．【規范解答】解：連接AD，由勾股定理得：AD2=12+32=10，AC2=12+32=10，CD2=22+42=20，∴AD=AC，AD2+AC2=CD2，∴∠DAC=90°，∴∠ADC=∠ACD=45°，∵AB∥DE，∴∠BAD+∠ADE=180°，∴∠BAC+∠CDE=180°-90°-45°=45°，故答案為：45°．【考點評析】本題考查了勾股定理及其逆定理等知識，熟練掌握網格型問題的計算方法是關鍵．評卷人得分三、解答題(共60分)21．(本題6分)（2023秋·江西吉安·八年級統考期末）利用直尺畫圖：(1)利用圖1中的網格，過點畫直線的平行線和垂線；(2)把圖（2）網格中的三條線段通過平移使三條線段、、首尾順次相接組成一個角形；(3)在圖（3）的網格中畫一個三角形：滿足①是直角三角形；②任意兩個頂點都不在同一條網格線上；③三角形的頂點都在格點上（即在網格線的交點上）．【答案】(1)作圖見解析(2)作圖見解析(3)作圖見解析【思路點撥】（1）根據網格結構的特點，利用直線與網格的夾角的關系找出與平行的格點以及垂直的格點作出圖形即可；（2）根據網格結構的特點，過點E找出與位置相同的線段，過點找出與位置相同的線段，作出圖形即可；（3）根據網格結構以及勾股定理逆定理找出符合的線段，作出即可．【規范解答】（1）解：作圖如下：，即為所求；（2）解：如圖所示：或都是所求作的三角形；（3）解：如圖所示：是符合條件的直角三角形．【考點評析】本題考查了平行線的作法，垂線的作法，以及線段的平移，掌握網格結構的特點并熟練應用是解題的關鍵．22．(本題6分)（2022秋·江西撫州·八年級統考期末）如圖，每個小正方形的邊長都是1，在每幅圖中以格點為頂點，分別畫出一個符合下列條件的格點三角形．(1)在圖1中畫出一個等腰直角三角形，要求底邊；(2)在圖2中畫出一個直角三角形，要求，，的長為無理數．【答案】(1)見解析(2)見解析【思路點撥】（1）根據等腰三角形的定義和勾股定理，求出的長，作圖即可；（2）根據要求作圖即可；【規范解答】（1）解：∵是等腰直角三角形，底邊∴，由勾股定理得：，∴，如圖，即為所求；此時：；（2）解：如圖，即為所求；由勾股定理得：，，，∴，∴為直角三角形，且，的長為無理數．【考點評析】本題考查勾股定理與網格問題．熟練掌握勾股定理及其逆定理，等腰三角形的定義，以及無理數的定義，是解題的關鍵．23．(本題8分)（2023秋·江西九江·八年級統考期末）如圖，在的正方形網格中，每個小正方形的邊長均為1，點A，B，C，D，M，F均在格點上，且與交于點E．(1)與全等嗎？________（填“全等”或“不全等”）；理由是________；(2)與是否垂直？________（填“是”或“否”）；(3)求的長．【答案】(1)全等，(2)是(3)【思路點撥】（1）利用“”即可證明；（2）根據可得，即可判斷；（3）根據（2）中結論可得：，問題得解．【規范解答】（1）全等，理由如下：根據網格圖可知：，，，∴；故答案為：全等；；（2）是，理由如下：∵在（1）中已證明，∴，∵，∴，∴，∴，∴；故答案為：是；（3）∵在（2）已證明，∴，，又∵，∴，∵，，，∴，∴在中，．【考點評析】本題主要考查了全等三角形的判定與性質，勾股定理等知識，充分利用網格圖，結合勾股定理得出所需線段的長度是解答本題的關鍵．24．(本題8分)（2022秋·江西九江·八年級統考期中）閱讀理解：在中，，，分別為5，10，13，求這個三角形的面積．小明是這樣解決問題的：先建立一個正方形網絡（每個小正方形的邊長為1），再在網絡中畫出格點三角形（即三個頂點都在小正方形頂點處），如圖1所示，這樣就可以不用求的高，借助網絡就能計算出它的面積，我們稱上述方法為網絡構圖法．(1)圖1中的面積為________．(2)利用網絡構圖法在圖2中畫出格點三角形，使得，，．并求出的面積；(3)在圖1中分別以、為邊向外作正方形、正方形，連接．試說明的面積與面積之間的關系．【答案】(1)(2)圖形見解析，3(3)相等【思路點撥】（1）用所在的正方形的面積減去其周圍的三個三角形的面積，即可求解；（2）根據勾股定理分別畫出，即可；（3）求出的面積，即可求解．【規范解答】（1）解：的面積；故答案為：（2）解：如圖，即為所求；理由：，的面積；（3）解：如圖，的面積，∵面積為，∴的面積與面積相等．【考點評析】此題主要考查了勾股定理以及三角形面積求法，關鍵是熟練掌握勾股定理，結合網格求得三角形的面積是解題的關鍵．25．(本題8分)（2023·全國·八年級專題練習）綜合與實踐【背景介紹】勾股定理是幾何學中的明珠，充滿著魅力．如圖1是著名的趙爽弦圖，由四個全等的直角三角形拼成，用它可以證明勾股定理，思路是大正方形的面積有兩種求法，一種是等于，另一種是等于四個直角三角形與一個小正方形的面積之和，即，從而得到等式，化簡便得結論．這里用兩種求法來表示同一個量從而得到等式或方程的方法，我們稱之為“雙求法”．【方法運用】千百年來，人們對勾股定理的證明趨之若鶩，其中有著名的數學家，也有業余數學愛好者．向常春在2010年構造發現了一個新的證法：把兩個全等的直角三角形和如圖2放置，其三邊長分別為，，，，顯然．(1)請用，，分別表示出四邊形，梯形，的面積，再探究這三個圖形面積之間的關系，證明勾股定理．(2)【方法遷移】請利用“雙求法”解決下面的問題：如圖3，小正方形邊長為1，連接小正方形的三個頂點，可得，則邊上的高為______．(3)如圖4，在中，是邊上的高，，，，設，求的值．【答案】(1)見解析(2)(3)【思路點撥】（1）表示出三個圖形的面積進行加減計算可證；（2）計算出的面積，再根據三角形的面積公式即可求得邊上的高；（3）運用勾股定理在和中求出，列出方程求解即可；【規范解答】（1）證明：∵，，，∴∴∴（2），，，即AB邊上的高是（3）解：在中，由勾股定理得∵，∴在中，由勾股定理得∴，∴【考點評析】此題主要考查了梯形，證明勾股定理，勾股定理的應用，證明勾股定理常用的方法是利用面積證明，是解本題的關鍵．構造出直角三角形DEF是解本題的難點．26．(本題8分)（2021秋·八年級單元測試）如圖，在每個小正方形的邊長為1的網格中，點A、B、C、D均在格點上，點P是直線CD上的點連BP，點A′是點A關于直線BP的對稱點．（1）在圖①中，當DP=1（點P在點D的左側）時，計算DA′的值；（2）當DA′取值最小值時，請在如圖②所示的網格中，用無刻度的直尺畫出點A′，并簡要說明點A′的位置如何找到的（不要求證明）【答案】（1）；（2）見解析【思路點撥】（1）利用勾股定理計算即可；（2）利用角平分線和等腰三角形知識作圖即可．【規范解答】解：（1）由圖象可知：DA′==，

（2）如圖2中，點A′即為所求．①連接BD，②在直線CD上截取DP=BD=5，③取點E，連接AE交BD于A′．（目的使得PB⊥AE）點A′即為所求．【考點評析】此題考查在格點上作圖，涉及等腰三角形和勾股定理及平行線的相關知識，有一定難度．27．(本題8分)（2022春·黑龍江哈爾濱·八年級哈爾濱市第四十七中學校考階段練習）如圖，在每個小正方形的邊長均為1的方格紙中，有線段和線段，點A、B、C、