§2場論初步場論的基本概念及梯度、散度與旋度[標量場]空間區域D的每點M(x,y,z)對應一個數量值(x,y,z)，它在此空間區域D上就構成一個標量場，用點M(x,y,z)的標函數(x，y，z)表示.若M的位置用矢徑r確定，則標量可以看作變矢r的函數＝(r).例如溫度場u(x,y,z),密度場,電位場e(x,y,z)都是標量場.[矢量場]空間區域D的每點M(x，y，z)對應一個矢量值r(x，y，z)，它在此空間區域D上就構成一個矢量場，用點M(x，y，z)的矢量函數r(x，y，z)表示.若M的位置用矢徑r確定，則矢量r可以看作變矢r的矢函數r(r)：r(r)＝X(x，y，z)i＋Y(x，y，z)j＋Z(x，y，z)k例如流速場(x，y，z)，電場E(x，y，z)，磁場H(x，y，z)都是矢量場.與標量場的情況一樣，矢量場概念與矢函數概念，實質上是一樣的.沿用這些術語(標量場、矢量場)是為了保留它們的自身起源與物理意義.[梯度]grad＝(，，)==i＋j＋k式中=i＋j＋k稱為哈密頓算子,也稱為耐普拉算子.grad有的書刊中記作del.grad的方向與過點(x，y，z)的等量面＝C的法線方向N重合，并指向增加的一方，是函數變化率最大的方向，它的長度等于.梯度具有性質：grad(＋)＝grad＋grad(、為常數)grad()＝grad＋gradgradF()＝[方向導數]＝l·grad＝cos＋cos＋cos式中l＝(cos,cos,cos)為方向l的單位矢量,,,為其方向角.方向導數為在方向l上的變化律，它等于梯度在方向l上的投影.[散度]divr＝＋＋=·r=div(X,Y,Z)式中為哈密頓算子.散度具有性質：div(a＋b)＝diva＋divb(、為常數)div(a)＝diva＋agraddiv(a×b)＝b·rota－a·rotb[旋度]rotr＝()i＋()j＋()k=×r=式中為哈密頓算子，旋度也稱渦度，rotr有的書刊中記作curlr.旋度具有性質：rot(a＋b)＝rota＋rotb(、為常數)rot(a)＝rota＋a×gradrot(a×b)＝(b·)a－(a·)b＋(divb)a－(diva)b[梯度、散度、旋度混合運算]運算grad作用到一個標量場產生矢量場grad，運算div作用到一個矢量場r產生標量場divr，運算rot作用到一個矢量場r產生新的矢量場rotr.這三種運算的混合運算公式如下：divrotr＝０rotgrad＝０divgrad＝＋＋=graddivr＝(r)rotrotr＝×(×r)divgrad(+)=divgrad+divgrad(、為常數)divgrad()=divgrad＋divgrad＋２grad·gradgraddivr－rotrotr＝r式中為哈密頓算子，＝·＝２為拉普拉斯算子.[勢量場(守恒場)]若矢量場r(x，y，z)是某一標函數(x，y，z)的梯度，即r＝grad或X＝，Y＝，Z＝則r稱為勢量場，標函數稱為r的勢函數.矢量場r為勢量場的充分必要條件是：rotr＝０，或=,=,=勢函數計算公式(x，y，z)＝(x0，y0，z0)＋＋＋[無散場(管形場)]若矢量場r的散度為零，即divr＝0，則r稱為無散場.這時必存在一個無散場T，使r＝rotT，對任意點M有T＝式中r為dV到M的距離，積分是對整個空間進行的.[無旋場]若矢量場r的旋度為零，即rotr＝0，則r稱為無旋場.勢量場總是一個無旋場，這時必存在一個標函數，使r＝grad，而對任意點M有＝－式中r為dV到M的距離，積分是對整個空間進行的.梯度、散度、旋度在不同坐標系中的表達式1．單位矢量的變換[一般公式]假定x=f(),y=g(),z=h()把()空間的一個區域一對一地連續映射為(x，y，z)空間的一個區域D，并假定f，g，h都有連續偏導數，因為對應是一對一的，所以有＝(x，y，z)，再假定也有連續偏導數，則有或逆變換沿dx，dy，dz方向的單位矢量記作i，j，k，沿方向的單位矢量記作，則有[圓柱面坐標系的單位矢量]對于圓柱面坐標系(圖8.11)單位矢量為它們的偏導數為[球面坐標系的單位矢量]對于球面坐標系(圖8.12)單位矢量為它們的偏導數為2．矢量的坐標變換[一般公式]一個由(x，y，z)坐標系所表達的矢量可以用()坐標系來表達:＝(，y，z)＝i＋yj＋zk＝式中[圓柱面坐標系與直角坐標系的互換]由圓柱面坐標系到直角坐標系的變換公式由直角坐標系到圓柱面坐標系的變換公式[球面坐標系與直角坐標系的互換]由球面坐標系到直角坐標系的變換公式由直角坐標系到球面坐標系的變換公式3．各種算子在不同坐標系中的表達式設U＝U(x，y，z)是一個標函數，V＝V(x，y，z)是一個矢函數.[在圓柱面坐標系中各種算子的表達式]哈密頓算子＝++梯度gradU＝U＝++散度divV＝·V＝旋度rotV＝×V＝＋＋拉普拉斯算子U＝divgradU＝[在球面坐標系中各種算子的表達式]哈密頓算子＝++梯度gradＵ＝Ｕ＝++散度divV=·V=旋度rotV＝×V＝+＋拉普拉斯算子U＝divgradU＝曲線積分、曲面積分與體積導數[矢量的曲線積分及其計算公式]矢量場r(r)沿曲線的曲線積分定義為r(r)·dr＝r()·ri-1式中ri-1=ri－ri-1，右邊極限與的選擇無關，曲線由A到B(圖8.13)若矢函數Ｒ(r)是連續的(就是它的三個分量是連續函數),曲線也是連續的,且有連續轉動的切線,則曲線積分存在.若Ｒ(r)為一力場，則Ｐ＝就等于把一質點沿著移動時力Ｒ所作的功.矢量曲線積分的計算公式如下：＝=＋(圖8.14)=－=＋=k(k為常數)[矢量的環流]如果為一閉曲線，則沿曲線的曲線積分＝稱為矢量場Ｒ(r)沿閉曲線的環流.勢量場沿任何閉曲線的環流都等于零.如果Ｒ(r)為一勢量場，且它的勢函數為時，則曲線積分=＝(B)－(A)與連接A，B兩點的路徑無關，只依賴于A，B兩點的位置(圖8.15).[矢量的曲面積分]設S為一曲面，令N＝表示在曲面S上一點的法線單位矢量,這里規定法線單位矢量與曲面分布在切面的兩側.而dS＝NdS表示面積矢量元素.又設(r)=(x,y,z)是定義在曲面S上的連續標函數，R(r)=(X(x,y,z),Y(x,y,z),Z(x,y,z))是定義在曲面S這里規定法線單位矢量與曲面分布在切面的兩側.1標量場的通量(或流量)dS=dydzi＋dzdxj＋dxdyk式中Syz，Szx，Sxy分別表示曲面S在Oyz平面，Ozx平面，Oxy平面上的投影.Sxy的正負號規定如下：當從ｚ軸正方向看去時，看到的是曲面S的正面，認為Sxy為正，如果看到的是曲面的反面，則認為Sxy為負(圖8.16).2矢量場的標通量R·dS=Xdydz＋Ydzdx＋Zdxdy式中Syz等的意義同1.3矢量場的矢通量R×dS＝(Zj－Yk)dydz＋(Xk－Zi)dzdx＋(Yi－Xj)dxdy式中Syz等的意義同1.[矢量的體積導數]如果S是包圍體積V的閉曲面，并包含點r，則沿閉曲面S的曲面積分(dS,R·dS,R×dS)與體積V之比，當V趨于零時(即它的直徑０)的極限稱為標量場(或矢量場R)在點r處的體積導數(或空間導數).1標量場的體積導數就是它的梯度：grad＝2矢量場Ｒ的體積導數之一是它的散度：divR＝3矢量場Ｒ的另一個體積導數是它的旋度：rotR＝－矢量的積分定理[高斯公式]RdV=R·dS=R·NdS即式中Ｓ為空間區域Ｖ的邊界曲面，N＝為在S上一點的法線單位矢量，R(r)=(X(x,y,z),Y(x,y,z),Z(x,y,z))在V＋S上有連續偏導數.[斯托克斯公式]rotＲ·dS＝rotR·NdS＝R·dr即==式中S為一定曲面的一側，L為曲面S的閉邊界曲線(L的正向與N構成右手系).S的每點有切面，其