數論-整除-整除的判定-0星題

課程目標

知識點考試要求具體要求考察頻率

整除的判定C1、理解并掌握整除的一些基本性少考

質。

2、熟練運用整除的基本性質解決基

本的整除問題。

3、能夠結合數論的相關知識綜合應

用。

知識提要

整除的判定

?整除的判定

1、末位判定法

一個數的末位能被2或5整除，這個數就能被2或5整除；

一個數的末兩位能被4或25整除，這個數就能被4或25整除；

一個數的末三位能被8或125整除，這個數就能被8或125整除；

2、數字求和法

一個數個位數字之和能被3整除，這個數就能被3整除；

一個數各位數字之和能被9整除，這個數就能被9整除；

3、奇偶位求差法

如果一個整數的奇數位上的數字之和與偶數位上的數字之和的差能被11整除，那么這個

數能被11整除；

簡稱：奇位和與偶位和的差能被11整除，那么這個數能被11整除。

4、截斷作和

如果一個數從個位開始每兩位一截，得到的所有兩位數（最前面的可以是一位數）之和能

被99整除，那么這個數就能被99整除。

5、截斷作差

對于位數較

小數的數：如果一個整數的末三位與末三位以前的數字組成的數之差能被7、n或13整除，

那么這個數能被7、11或13整除；

對于位數較大

數的數：如果一個整數，從個位開始每三位一截，奇數段之和與偶數段之和的差能被7、11或

13整除，那么這個數能被7、11或13整除。

?整除的性質

性質1：如果a、b都能被c整除，那么它們的和與差也能被c整除。

性質2：如果6與c的積能整除a,那么b與c都能整除a。

性質3：如果b、c都能整除a,且b和c互質，那么b與c的積能整

除a。

性質4：如果c能整除b，b能整除a，那么c能整除a。

精選例題

整除的判定

1.N是一個各位數字互不相等的自然數，它能被它的每個數字整除.N的最大值是.

【答案】9867312

【分析】N不能含有0,因為0不能做除數.

N不能同時含有5和偶數，因為此時N的個位將是0.如果含有5,則2,4,6,8都不能有，此

時位數不會多.

如果N只缺少5,則含有1,234,6,7,8,9,但是數字和為40,不能被9整除.

所以必須再去掉一位，為了最大，應該保留9放到最高位，為了使數字和被9整除，還需要去

掉4.

此時由123,6,7,8,9組成，肯定被9整除，還需要考慮被7和8整除.

前四位最大為9876,剩下三個數字組成的被8整除的三位數為312,9876312被7除余5；

前四位如果取9873,剩下三個數字組成的被8整除的三位數為216,9873216被7除余3；

前四位如果取9872,剩下三個數字組成的被8整除的三位數為136,9872136被7除余1；

前四位如果取9871,剩下三個數字組成的被8整除的三位數為632,9871632被7除余1；

前四位如果取9867,剩下三個數字組成的被8整除的三位數為312,9867312被7整除.

2.若六位數a2016b能被12整除，則這樣的六位數有個.

【答案】9

【分析】

12=3x4.

先考慮能被4整除，則b=0,4,8,再考慮能被三整除

①b=0時，要使各位數字之和能被3整除a=3,6,9故有3種；

②6=4時，要使各位數字之和能被3整除a=2,5,8故有3種；

③b=8時，要使各位數字之和能被3整除a=1,4,7故有3種；

綜上符合題意的六位數有：320160,620160,920160,220164,520164,820164,

120168,420168,720168.共9個

3.把三位數荻接連重復寫下去，共寫1993個而，所得的數3ab3ab…3ab恰是91的倍數,

1993個3ab

試求ab—.

【答案】64

【分析】因為91=7x13,所以713ab3ab…3ab,1313ab3ab…3ab,由截斷法，最后轉化成

1993個3ab1993個3ab

3ab能被7和13都整除，即能被91邈即滿足題意，因為91的倍數中小于1000的只有

91x4=364的百位數字是3,所以，ab=64.

4.能被5和6整除，并且數字中至少有一個6的三位數有個.

【答案】6

【分析】能被5和6整除，也就是能被5、2、3整除，因此個位必須是0,且數字和是3的

倍數，故這個三位數有：600,630,660,690,360,960,共6個.

5.在523后面寫出三個數字，使所得的六位數被7、8、9整除.那么這三個數字的和

是.

【答案】17或8

【分析】這個數能被7,8,9整除，相當于能被[7,8,9]=7x8x9=504整除，523999十

504=1039……343,所以所得六位數是523999-343=523656,或523656-504=

523152,因此三個數字的和是17或8.

6.如果一個五位數，它的各位數字乘積恰好是它的各位數字和的25倍.那么，這個五位數的

前兩位的最大值是.

【答案】75

【分析】5個數字分別為a、b、c、d、e,

axbxcxdxe=25(a+b+c+d+e),

a、b、c、d、e中有兩個5,設d=e=5,貝！］

axbxc=a+b+c+10.

(1)如果a=9,則9bc=b+c+19,即b+c+19是9的倍數，b+c可以為8或17,若

b+c=8,則be=3,若b+c=17,則be=4,這兩種情況下都沒有滿足條件的整數b、c；

(2)如果a=8,則助c=b+c+18,即b+c+18是8的倍數，b+c可以為6或14,若

b+c=6,則be=3,若b+c=14,則be=4,這兩種情況下也沒有滿足條件的整數6、c；

(3)如果a=7,則7bc=b+c+17,即b+c+17是7的倍數，b+c可以為4或H或18,

若b+c=4,則6c=3,若b+c=ll,則be=4,若b+c=18,則6c=5,只有第一種

情況下有滿足條件的整數b、c,此時6=1,c=3,組成五位數的5個數字分別為7,5,5,

3,1,所以這個五位數的前兩位的最大值是75.

7.將從1開始至1J25的連續的自然數相乘，得到1x2x3x???x25.記為25!(讀作25的階

乘).用3除25!,顯然，25!被3整除，得到一個商：再用3除這個商，……，這樣一直用

除下去，直到所得的商不能被3整除為止，那么，在這個過程中用3整除了次.

【答案】10

【分析】求1x2x3x…x25中因數的個數，25+3=8……1,8+3=2……2,整除了

8+2=10次.

8.將最小的10個合數填到圖中所示表格的10個空格中，要求滿足以下條件:

(1)填入的數能被它所在列的第一個數整除；

(2)最后一行中每個數都比它上面那一格中的數大.

那么，最后一■行中5個數的和最小是.

23456

【答案】66

【分析】最小的10個合數分別是4,6,8,9,10,12,14,15,16,18.這10個合數

當中10和15一定是在5的下面，其中15在最后一行；4、8、14、16一定是在2和4下面,

其中14一定在2的下面；剩下的6、9、12、18在3或6下面，其中9一定在3的下面，對

2和4所在的列和3和6所在的列分別討論.4、8、14、16,這四個數中最大的數16一定在

最后一行，最小的數4一定在第二行，所以2和4所在的列中最后一行的數的和最小是16+

8=24,當14、16在2下面，4和8在4下面時成立；6、9、12、18,這四個數中最大的數

18一定在最后一行，最小的數6一定在第二行，所以3和6所在的列中最后一行的數的和最

小是18+9=27,當12和18在6下面，6和9在3下面時成立.所以最后一行的5個數的

和最小是24+15+27=66.

9.若六位數201a六能被11和13整除，則兩位數ab=.

【答案】48

【分析】由11的整除特征可知：

(7+a+0)—(2+l+b)=a+4—6=0或11,

若

a+4—b=11,

a—b=7,

只有

8-l=9-2=7,

六位數201817、201927都不能被13整除.

若

a+4—b=0,

則

a+4=瓦

只有0+4=4,1+4=5,2+4=6,3+4=7,4+4=8,5+4=9等情況，構成的六

位數201047,201157,201267,201377,201487,201597中只有201487能被13整除，

則筋=48.

10.老師讓菲菲從19這9個數字中選取4個不同的數字，組成一個四位數，使得這個四位數

能被所有她沒有選中的數整除，但不能被選中的任意一個數字整除，那么，菲菲組成的四位數

是.

【答案】5936

【分析】設：改四位數為砒

①顯然而而不含1；

②而而含5.若說力不含5,19除5外不能排列成5的倍數；所以而而含5

③而萬不含2.若ABCD含2.說明2不被4BCD整除,所以ABCD的四個數字為2,4,6,8

組成的四位數必為偶數，矛盾；所以通而不含2.

④4BCD含9.若ABCD不含9,說明9不被整除毛BCD,貝I]ABCD必須不含3,6,所以的四

個數字為4,5,7,8,不可能被整9除；所以商而含9

⑤而而不含4.若而而含4,說明4不被整除而而，則而而必須含8,所以而而的

四個數字為5,4,8,9,不可能被3整除；所以ABCD必須不含4

⑥而而含6若而而不含6,說明6不被整除必須不含3,所以而麗的四個數字為

5,7,8,9,不可能被3整除；所以南而必須不含4

⑦4BCD含3若4BC0不含3,則4BCD的四個數字為5,7,6,9,能被9整除；所以4BC0必

含3

綜上所述.的四個數字為3、5、6、9.為使這個四位數能被8整除，個位必須為6；有因為

其與都是奇數，根據位值原理，十位數一定為3；只需驗證9536,5936兩個答案即可.經驗證,

答案為5936

11.非零數字a,b,c能組成6個沒有重復數字的三位數，且這6個數的和是5994,則這6

個數中的任意一個數都被9整除(填“能”或“不能”).

【答案】不能.

【分析】a,b,c組成的所有三位數都是由a,b,c三個數字組成，且a,b,c在個位、十

位、百位都出現兩次，所以和應該為：

(a+b+c)x2xl+(a+b+c)x2xl0+(a+b+c)x2x100=5994,

a+b+c=27,

a=b=c=9,

與題意矛盾，故不能.

12.222-2除以13所得余數是.

2000個"2"

【答案】9

【分析】我們發現222222整除13,2000+6余2,所以答案為22+13余9.

13.已知一個五位回文數等于45與一個四位回文數的乘積(即abcba=45xdeed),那么這

個五位回文數最大的可能值是.

【答案】59895

【分析】根據題意：abcba=45xdeed,則abcba為45的倍數，所以a應為0或5,又a

還在首位，所以a=5,現在要讓話而盡可能的大，首先需要位數高的盡可能的大，所以令

b=9,c=8,貝i」a+b+c+b+a=36是9的倍數，用59895+45=1331符合條件，所

以，這個五位回文數最大的可能值是59895.

14.若四位數2ABC能被13整除，則A+B+C的最大值是.

【答案】26

【分析】因

1001=7x11x13,

能被13整除的特征：“末三位數字組成的數”與“末三位以前的數字組成的數”之差能被13整除;

痂一2是13的倍數，砒一2最大為988,而？可以是990,977,964,……數字和比

9+7+7大的有：9、7、8與9、8、8與9、8、9和9、9、9,百位是9的排除，百位是8

有899,

(899-2)-13=897+13=69,

則

8+9+9=26.

15.在小于5000的自然數中，能被11整除，并且數字和為13的數，共有個.

【答案】18

【分析】按照位數分類討論，如下：

(1)一位數：0個；

(2)兩位數：11、22……99；0個；

(3)三位數：設這個三位數為abc,有a+b+c=13和a+c—b=11,則a+c=12,b=

1,所以符合的有913,814,715,616,517,418,319,共7個；

(4)四位數：設這個四位數為溫，

①a+b+c+d=13和(a+c)—(b+d)—11有

a+c=12,b+d=1,

貝Ua=3或a=4有2種組合，b和d有2種.共4個；

②a+b+c+d=13和(b+d)—(a+c)=11,有

a+c=l,b+d=12,

則只能a=l,c=0,b和d有7種組合，

綜上所述，這樣的數有7+4+7=18個.

16.abc是三位數，若a是奇數，且abc是3的倍數，則最小是.

【答案】102

【分析】a為奇數，且要求最小，則a=Lb=0.又要求為3的倍數，則a+b+c為3

的倍數，所以6=0,c=2.

17.對于自然數N,如果在19這九個自然數中至少有六個數可以整除N,則稱N是一個“六

合數”，則在大于2000的自然數中，最小的“六合數”是.

【答案】2016

【分析】六合數肯定是1的倍數，所以剩余8個數中有5個可以整除六合數，29中有4個

奇數，4個偶數，所以5個可以整除六合數的數字中至少有1個偶數，所以六合數也肯定是2

的倍數。

大于2000的偶數有2002,2004,2006,2008,2010,2012,2014,2016,……

2002=2X7X11X13,只能被1,2,7整除，不是六合數；

2004=22X3X167,只能被1,2,3,4,6整除，不是六合數；

2006=2X1003,只能被1,2整除，不是六合數；

2008=23X251只能被1,2,4,8整除，不是六合數；

2010=2x3x5x67,只能被1,2,3,5,6整除，不是六合數；

2012=22x503,只能被1,2,4整除，不是六合數；

2014=2X1007,只能被1,2整除，不是六合數；

2016=25x32x7,能被1,2,3,4,6,7,8,9整除，是六合數.

18.若十位數a2016b2017能被33整除，那么，這樣的十位數有個.

【答案】3

【分析】被33整除，能拆成同時滿足被3和11整除，被3整除得到：a+b=2,5,8,

11,14或17被11整除得到：

a—b=1,

所以共有

fa=3,fa=6,fa=9,

lb=2,lb=5,lb=8,

這3種情況.

19.一個大于1的自然數去除300,243,205時，得到相同的余數，則這個自然數是，

【答案】19

【分析】300—243=57,243-205=38,所以這個數是57,38的大于1的公約數，而

57,38的公約數只有1和19,所以所求自然數為19.

20.給定一個除數（不為0）與被除數，總可以找到一個商與一個余數，滿足

被除數=除數x商+余數

其中，04余數<除數。這就是帶余數的除法。當余數為0時，也稱除數整除被除數，或者稱

除數是被除數的因數（被除數是除數的倍數）.

請寫出所有不超過88并且能夠被6整除的大于1的自然數有.

【答案】6,12,18,24,30,36,42,48,54,60,66,72,78,84.

【分析】能被6整除的數一定為6的倍數，并且要求不超過88.

所以有6,12,18,24,30,36,42,48,54,60,66,72,78,84.

21.對于自然數N,如果在1?9這九個自然數中至少有六個數是N的因數，則稱N是一個

“六合數”，則在大于2000的自然數中，最小的“六合數”是.

【答案】2016

【分析】N為奇數，則2、4、6、8不是N的因數，所以N為偶數.

當N不為3的倍數，則N不為6的倍數，N不為9的倍數，所以，必須滿足其他條件，是8、

7、5的倍數，N>2000,最小是2240.

當N為3的倍數.那么N為6的倍數.N>2000,當N=2004時，5不能整除2004,7不

能整除2004,8不能整除2004,9不能整除2004,不滿足題意；

當N=2010時，4不能整除2010,7不能整除2010,8不能整除2010,9不能整除2010,

不滿足題意；則N最小為2016.

22.在算式：2X。。。=。。。的六個方框中，分別填入2,3,4,5,6,7這六個數字，使

算式成立，并且算式的積能被13整除，那么這個乘積是.

【答案】546

【分析】先從個位數考慮，有2X2=4、2X3=6、2x6=12、2X7=14四種可能；

再考慮乘數的百位只能是2或3,因此只有三種可能的填法：2X273=546,2X327=654,

2X267=534,其中只有546能被13整除，所以這個積是546.

23.一個五位數恰好等于它各位數字和的2007倍，則這個五位數是.

【答案】36126或54189

【分析】設這個五位數為abcde,由題意abcde=2007(a+b+c+d+e),由于912007,

可得91abede,則有9](a+b+c+d+e),所以(2007x9)|abcde

2007x9=18063,這個五位數是18063的倍數，只可能為：

18063,36126,54189,72252,90315.經檢驗，36126和54189符合題意.

24.從左向右編號為1至1991號的1991名同學排成一行.從左向右1至11報數，報數為11

的同學原地不動，其余同學出列；然后留下的同學再從左向右1至11報數，報數為11的同

學留下，其余的同學出列；留下的同學第三次從左向右1至11報數，報到11的同學留下，

其余同學出列.那么最后留下的同學中，從左邊數第一個人的最初編號是.

【答案】1331

【分析】第一次報數后留下的同學，他們最初編號都是11的倍數；第二次報數后留下的同

學，他們最初編號都是1"=121的倍數；第三次報數后留下的同學，他們最初編號都是

113=1331的倍數.因此，第三次報數后留下的同學中，從左邊數第一個人的最初編號是

1331.

25.有一個三位數，百位數字是最小的質數，十位數字是算式(0.3+TTX13)的結果中的小數

點后第1位數字，個位數字是三位數中能被17整除的最小數的個位數字，則這個三位數

是.(兀取3.14)

【答案】212

【分析】百位數字是最小的質數即2；

0.3+7TX13=41.12,

即十位數字是1；

能被17整除的最小三位數102,個位數字是2,所以這個三位數是212.

26.若四位數Z4B7能被13整除，則兩位數AB的最大值是.

【答案】97

【分析】

13I24B7=13|^4B0+2007,

20074-13……5,

所以

ABO^-13……8,

13I4B5,

利用數字謎或倒除法，可確定而=97.數字謎方法如下：根據乘積的個位，可確定第二個因

數的個位為5,因為構造最大值，所以十位為最大為7,積為975.

131313

x口口x口固-團團

口口=回國=回國

口口口口回國

口口國口□回回回國

27.有20個約數，且被42整除最小的自然數是

【答案】336

【分析】因為被42整除，所以一定含有質因數2,3,7.

20=1x20=2x10=4x5=2x2x5,

有20個約數的自然數有：因為必須含有3個不同的質因數，所以最小的只能是:

2x2x2x2x3x7=336;

所以有20個約數且被42整除的最小自然數是336.

28.11個連續兩位數的乘積能被343整除，且乘積的末4位都是0,那么這11個數的平均數

是多少？

【答案】45

【分析】(1)因為343=73,由于在11個連續的兩位數中，至多只能有2個數是7的倍

數，所以其中有一個必須是49的倍數，那就只能是49或98；(2)因為乘積的末4位都是0,

所以這連續的11個自然數至少應該含有4個因數5,連續的11個自然數中至多只能有3個是

5的倍數，至多只能有1個是25的倍數，所以其中有一個必須是25的倍數，那么就只能是

25、50或75；(3)所以這11個數中應同時有49和50,且除50外還有兩個是5的倍數，

只能是40,41,42,43,44,45,46,47,48,49,50,它們的平均數即為它們的中間項45.

29.從0、1、2、3、4、5、6、7、8、9這十個數字中選出五個不同的數字組成一個五位數，

使它能被3、5、7、13整除，這個數最大是多少？

【答案】94185

【分析】本題采用試除法.因為3,5,7,13的最小公倍數為1365,

100000+1365=73……355,

100000-355=99645,

所以在100000之內最大的1365的倍數為99645但是不符合數字各不相同的條件，于是繼續

減1365依次尋找第二大，第三大的數，看是否符合即可.有

99645-1365=98280,

98280-1365=9691,

96915-1365=95550,

95550-1365=94185.

所以，滿足題意的5位數最大為94185.

30.六位數257a38能被3整除，數字a=?

【答案】2,5或8.

【分析】2+5+7+a+3+8=25+a,要使25+a能被3整除，數字a只能是2,5或

8.即符合題意的a是2,5或8.

31.如果abcde能被6整除,那么2(a+b+c+d)—e也能被6整除.

【答案】見解析.

【分析】因為6=2x3,所以21abede,所以2|e,所以6|3e.

因為3\ubcde,所以3|a+b+c+d+e,所以6|2(a+b+c+d+e),所以6|2(a+

b+c+d+e)—3e,所以6|2(a+b+c+d)—e.

32.用數字6,7,8各兩個，組成一個六位數，使它能被168整除，這個六位數是多少？

【答案】768768

【分析】因為168=8X3X7,所以組成的六位數可以被8、3、7整除，能夠被8整除的數

的特征是末三位組成的數一定是8的倍數，末兩位組成的數定是4的倍數，末位為偶數，在題

中條件下，驗證只有688、768是8的倍數，所以末三位只能是688或768,而又要求是7的

倍數，abcabc形式的數一定是7、11、13的倍數，所以768768一定是7的倍數，。。。688

的。不管怎么填都得不到7的倍數.至于能否被3整除可以不驗證，因為整除3的數的規律

是數字和為3的倍數，在題中給定的條件下，不管怎么填數字和都是定值，所以768768能被

168整除，且驗證沒有其他滿足條件的六位數.

33.23487,3568,8875,6765,5880,7538,198954,6512,93625,864,407.

(1)這些數中，有哪些數能被4整除？哪些數能被8整除？

(2)哪些數能被25整除？哪些數能被125整除？

(3)哪些數能被3整除？哪些數能被9整除？

【答案】見解析.

【分析】(1)能被4整除的數有：3568,5880,6512,864；能被8整除的數有：

3568,5880,6512,864；

(2)能被25整除的數有：8875,93625；能被125整除的數有：8875,93625；

(3)能被3整除的數有：23487,6765,5880,198954,864；能被9整除的數有：198954,864.

34.有如下5個自然數：3124、3823、45235、5289、5588.其中能被11整除的有哪些？

【答案】3124,5588

【分析】簡答：判斷能否被11整除，看奇位和偶位和的差.

35.有些數既能表示成3個連續自然數的和，又能表示成4個連續自然數的和；還能表示成5

個連續自然數的和.請你找出700至1000之間，所有滿足上述要求的數，并簡述理由.

【答案】750、810、870、930、960

【分析】3個連續自然數的和，一定能夠被3整除；4個連續自然數的和，一定能夠被2整

除，且除以2所得的商是奇數，也就是說它不能被4整除，除以4所得余數為2；5個連續自

然數的和，一定能夠被5整除.

3、2、5的最小公倍數是30,所以滿足上述三個條件的最小的數是30.

3、4、5的最小公倍數是60,所以60的整數倍加上30就可以滿足條件.

700=60x11+40,所以第一個符合題意的數是750=60x12+30,最大的一個數是

990=60X16+30,共計16-12+1=5個數，分別為750、810、870、930、960.

36.在小于100的正整數中，能被2或3整除，且不能被6整除的數共有多少個？

【答案】50個.

【分析】小于100的正整數中，能被2整除的有49個，能被3整除的正整數有33個，能

同時被2和3整除的有16個，則滿足條件的數有49+33-16X2=50個.

37.用0、3、4、5四個數字，按要求排列成一個沒有重復數字的四位數.

既能被2整除，又能被5整除；

能被2整除，但不能被5整除；

能同時被3和5整除.

【答案】3450,3540,4350（答案不唯一）；

3504,3054,5304（答案不唯一）；

3450,3540,4350（答案不唯一）.

【分析】能同時被2、5整除的數必須具備：個位上的數是0.

能被2整除，但不能被5整除的數必須具備：個位上的數是2,4,6,8.

能同時被3、5整除的數必須具備：個位上的數是0或5,各個數位上的數的和能夠被3整除.

38.同時能被2,3,5整除的最小三位數是幾？

【答案】120

【分析】能被5整除的三位數是：

100,105,110,115,120,125,-

其中，第一個能同時被2,3整除的數是120（它是偶數，且1+2+0=3）,故120

為所求.

39.將2009除以一個兩位數，所得的余數為7,則滿足條件的兩位數共有多少個？

【答案】7

【分析】

2009-7=2002=2X7X11X13.

兩位數有14111322267791共7個.

40.六位自然數1082。。能被23整除，末兩位數有多少種情況.

【答案】4

【分析】試除法.因為108200+23=4704……8,把余8看做不足15.所以，方框中的數

為15、38、61、84四種情況時，六位數能被23整除.所以末兩位數有4種情況.

41.判斷下面11個數的整除性：

23487,3568,8875,6765,5880,7538,198954,6512,93625,864,407.

(1)這些數中，有哪些數能被4整除？哪些數能被8整除？

(2)哪些數能被25整除？哪些數能被125整除？

(3)哪些數能被3整除？哪些數能被9整除？

(4)哪些數能被11整除？

【答案】見解析.

【分析】(1)末兩位能被4整除，該數即能被4整除；

末三位能被8整除，該數即能被8整除.

所以，能被4整除的數有：3568,5880,6512,864；

能被8整除的數有：3568,5880,6512,864；

(2)末兩位是25的倍數，該數就能被25整除；

末三位是125的倍數，該數就能被125整除.

所以能被25整除的數有：8875,93625；

能被125整除的數有：8875,93625；

(3)數字和是3的倍數即能被3整除，數字和為9的倍數即能被9整除.所以，能被3整除

的數有：23487,6765,5880,198954,864；

能被9整除的數有：198954,864；

(4)從末位開始，奇數位數字之和與偶數位數字之和的差如果為11的倍數，即為11的倍

數.則為11的倍數的有：6765,6512,407.

42.六位數2009。。能被99整除,它的最后兩位數是多少？

【答案】70

【分析】方法一：試除法

200999被99除商2020余29,所以這個六位數最后兩位是99-29=70時，它能

被99整除；

方法二：99=9X11,2009。。能被99整除,所以各位數字之和為9的倍數，所以

方框中數字的和只能為7或16；又根據數被11整除的性質，方框中兩數字的差為7,所以它

的最后兩位數是70.

43.六位數356a29能被3整除，數字a=?

【答案】2,5或8.

【分析】3+5+6+a+2+9=25+a使25+a能被3整除，數字a只能是2,5或

8.即符合題意的a是2,5或8.

44.有一個四位數荻T,它能被3整除，則a代表幾？

【答案】1,4,7

【分析】根據被3整除的數的性質：

3|3aal=>3|（3+a+a+1）=3|（2a+4）［_1?

0<a<9）

45.1萬丁是一個四位數.數學老師說：“我在其中的方框內先后填入3個數字，所得到的3個

四位數：依次可被9,11,6整除.”問：數學老師先后填入的3個數字的和是多少？

【答案】19

【分析】173-,設填入的數為a,由能被9整除知，l+7+3+a=ll+a是9的倍數，

由于a是一位數，所以a=7,即第一次填入的數是7；由能被11整除知，（7+a）—（1+

3）=3+a是11的倍數，a=8,即第二次填入的數是8；由能被6整除知，這個數能被2、3

同時整除，所以a是偶數且1+7+3+a=11+a是3的倍數，所以a=4,即第三次填入

的數是4.三個數的和是7+8+4=19.

46.已知四H^一位數55…5。99…9（其中5和9各有20個）能被7整除，那么中間方格內的

數字是多少？

【答案】6

【分析】我們知道abcabc這樣的六位數一定能整除7、11、13,原41位數中從高位數起

共有20個5,從低位數起共有20個9,那么我們可以分別從低位和高位選出555555,和

999999,從算式的結構上將就是進行加法的分拆，即：555555x10…00（35個0）+

555555X10…00（29個0）+??-+55-99+999999X10…00（12個0）+?-?+999999,這個

算式的和就是原來的41位數，我們可以發現每一組含有555555或999999因數的部分都已

經是7的倍數，唯獨剩余55。99待定，那么只要令55。99是7的倍數即可，即只要。44是

7的倍數即可，。應為6.

47.某個七位數1993。。。能夠同時被234,5,6,7,8,9整除，那么它的最后三位數字依次是多

少？

【答案】3,2,0

【分析】一個數能同時被2,3,4,5,6,7,8,9整除，相當于能被[2,3,4,5,6,7,8,9]=5x7義8x

9=2520整除，1993999+2520=791……679,所以1993999-679=1993320能被2520

整除，即1993320為所求的這個數.

48.在所有的五位數中，各位數字之和等于43且能夠被11整除的數有哪些？

【答案】97999,99979,98989

【分析】設這個五位數為次雨，由題意

r(CL+c+e)—(b+d)—11

ta+b+c+d+e=43

解得

(a+c+e=27

tb+d=16'

所以a=c=e=9,8+4為7+9或者8+8,abcde有三種可能:97999,99979,98989.

49.小明的兩個衣服口袋中各有13張卡片，每張卡片上分別寫著1,2,3,13.如果從這

兩個口袋中各拿出一張卡片來計算它們所寫兩數的乘積，可以得到許多不相等的乘積.那么，

其中能被6整除的乘積共有多少個？

【答案】21

【分析】這些積中能被6整除的最大一個是13x12=26x6,最小是6.但在1x6~

26x6之間的6的倍數并非都是兩張卡片上的乘積，其中有25x6,23x6,21x6,19x6,

17X6這五個不是.所以所求的積共有26-5=21（個）.

50.—個五位數8。25。，方格中的數未知.請問：

（1）如果該數能被72整除，這個五位數是多少？

（2）如果該數能被55整除，這個五位數是多少？

【答案】(1)86256；(2)85250

【分析】（1）能被72整除的數，即能被8和9整除.若8。25。能被8整除,個位應填

6.再考慮能被9整除，千位應填6.因此這個五位數是86256.

（2）能被55整除，即能被5和11整除.若8。25。能被5整除,個位應填0或5.當個位

填。時，若能被11整除，千位應填5.當個位填5時，千位無論填幾都不能滿足條件，因此

滿足條件的數為85250.

51.在方框中填上兩個數字，可以相同也可以不同，使4。32。是9的倍數，(1)請隨便填出

一種，并檢查自己填的是否正確；(2)一共有多少種滿足條件的填法？

【答案】(1)43326(答案不唯一)；(2)12

【分析】一個數是9的倍數，那么它的數字和就應該是9的倍數，即4+。+3+2+。是

9的倍數，而4+3+2=9,所以只需要兩個方框中的數的和是9的倍數，(1)依次填入3、

6,因為4+3+3+2+6=18是9的倍數，所以43326是9的倍數；(2)經過分析容易得

到兩個方框內的數的和是9的倍數，如果和是9,那么可以是(9,0)；(8,1)；(7,

2)；(6,3)；(5,4)；(4,5)；(3,6)；(2,7)；(1,8)；(0,9),共10

種情況，還有(0,0)和(9,9),所以一共有12種不同的填法.

52.某個七位數1993。。。能夠同時被2,3,4,5,6,7,8,9整除，那么它的最后三位數

字依次是多少？

【答案】320

【分析】本題可采用整除數字的判定特征進行判斷，但是太過繁瑣，采用試除法比較方便，

若使得7位數能夠同時被2,3,4,5,6,7,8,9整除，只要讓七位數是2,3,4,5,6,

7,8,9最小公倍數的倍數即可，[2,3,4,5,6,7,8,9]=2520,用1993000試除，

19930004-2520=790……2200,余2200可以看成不足2520-2200=320,所以在末三位的

方格內填入320即可.

53.有一個九位數abcdefghi的各位數字都不相同且全都不為0,并且二位數ab可被2整除，

三位數abc可被3整除，四位數abed可被4整除，…依此類推，九位數abede/ghi可被9整

除.請問這個九位數abcdefghi是多少？

【答案】381654729

【分析】由題可知這個九位數由數字1?9組成，其中每個數字出現一次，且從d、f、h

都是偶數，a、c、e、g、i是奇數.由于abede可被5整除，所以e=5.

由于就可被3整除，所以a、b、c三個數之和可被3整除.由于abede/可被6整除,所以

d、e、/三個數之和可被3整除.

由于溫可被4整除,所以前可被4整除,而c是超，所以d只能為2或6.由

abede/gh可被8整除知abede/gh可被4整除，所以g/i可被4整除，同上可知h也只能為2

或6.所以有如下兩種情;!_

(1)d=2,h=6.此時兩=兩可被3整除，/只能為8.那么b為4.由于a、b、c三

個數之和可被3整除，而a、c為1、3、7、9中的某兩個，所以a、c為1和7.那么g為3

或9,其中滿足麗=礪可被8整除的只有9,所以g為9,i為3.此時abedefg為

1472589或7412589,但這兩個數都不能被7整除，不符題意；

(2)d=6,h=2.此時兩=兩可被3整除，;■只能為4.那么b為8.此時羸=冢

可被8整除，所以g為3或7.又a、b、c三個數之和可被3整除，而b為8,所以a、c可

以為(1,3)、(1,9)、(7,3)或(7,9),所以此時abcde禽用有8種可能情況：189654327；

981654327；789654321；987654321；183654729；381654729；189654723；

981654723.經檢驗，其中只有381654729滿足abcdefg能被7整除,所以所求的

abcdefghi是381654729.

54.(1)判斷下列各數，哪些能被4、8、25、125、3、9、11整除：437250、96255、

42104、6875、752604、308；

(2)判斷1027、45038,哪個能被13整除，哪個能被7整除？

【答案】(1)能被4整除的：42104、752604、308；

能被8整除：42104；

能被25整除的：437250、6875；

能被125整除的：6875；

能被3整除的：437250、96255、752604；

能被9整除：96255；

能被11整除的:6875、308；

(2)1027能被13整除；45038能被7整除.

【分析】(1)能被4整除的：42104、752604、308；

能被8整除：42104；

能被25整除的：437250、6875；

能被125整除的：6875；

能被3整除的：437250、96255、752604；

能被9整除：96255；

能被11整除的：6875、308；

(2)1027能被13整除；45038能被7整除.

55.下面有9個自然數48、75、90、122、650、594、4305、7836、4