2025年湖南省中考數學一輪復習

第二十講解直角三角形學生版

知識要點對點練習

L銳角三角函數的定義

在RtAABC中,NC=90o,NA,N民NC的對邊

分別為。力,G則

[.在△A5C中,/。=90%。=12,

B

5。=5,則下列三角函數值正確的

AbC是()

,ANA的對邊aA.sinA--B.cosA--

sinA=---------=-,1313

斜邊c

C.tanA--D.tanB--

1313

NA的鄰邊b

cosA==,

斜邊c

,NA的對邊a

tanA==.

NA的鄰邊b

2.特殊角的三角函數值

sin30。=__________|___________,cos30。=

2.(l)tan45。的值為()

V3*oc。V3

—________,tan30。=________—________;

A.—B.—C.lD.V3

32

sin45。=__________-y__________,cos45。=

(2)如果a是銳角,sina=cos30。,那么a

—________,tan45。=________;

2為________.

sin60。=___________-y__________,cos60。=

|________,tan60。=________V3________.

3.解直角三角形3(1)(教材再開發?湘教九上P110例1

⑴直角三角形中的邊角關系改編）在AABC中，ZC=90°,cos

4="。=6則AB的長度為（）

A.8B.10C.12D.14

⑵解直角三角形：由直角三角形中（2）RtAABC中,/。=90。,5。=20,

的_______,求出其余_______的過程.A5=20&廁NB=_______度

4.解直角三角形的實際應用

4.（1）（教材再開發?湘教九上P126例1

①仰角和俯角:仰角是________看的視線與水

改編）如圖，小明站在自家陽臺上A處

平線的夾角；俯角是_______看的視線與水平

觀測到對面大樓底部C的俯角為a,A

線的夾角.如圖1：

處到地面B處的距離AB=35m,則兩

棟樓之間的距離（單位:m）為

②坡角:坡面與_______的夾角?;

坡度（坡比）:坡面的鉛直高度h和_______的

比；坡度z與坡角?之間的關系

為:i=h/l=_______.如圖2:

（2）在坡度為1：2的山坡上種樹，要求

株距（相鄰兩樹間的水平距離）是6米,

斜坡上相鄰兩樹間的坡面距離是

③方向角:一般是指從_______或________方

向到目標方向所形成的小于90。的角.如圖3

A.3米B.12米

點B在點O的南偏西45。方向（或西南方向）,

C.3代米D.5百米

點A在點O的北偏西65。方向

-2-

考點1銳角三角函數的定義

【例1】(2024.內江中考)如圖,在矩形ABCD中,A5=3,AD=5,點E在DC上,將矩形

ABCD沿AE折疊，點D恰好落在BC邊上的點F處，那么tanZEFC^

4

3,

【方法技巧】

求銳角三角函數值的“三方法”

(1)以網格和坐標系為背景，分清直角邊、斜邊，根據勾股定理求出需要的邊,用三角

函數定義求值；

⑵構造直角三角形把銳角放到直角三角形中，然后利用銳角三角函數的定義求

解；

⑶借助等角求值，找出一個與之相等的角，其等角的三角函數值即為此角的三角

函數值.

提醒:若直角三角形的邊長未知，可以設參數，再在求三角函數值的過程中約去參

數.

【變式訓練】

1.(2024云南中考)如圖，在"5。中，若/5=90。,45=3,5。=4則tanA=()

4343

A-B.-C.-D.-

5534

2.（2024.江西中考）將圖1所示的七巧板，拼成圖2所示的四邊形A5CD連接AC,

貝UtanNCAB=_.

圖1圖2

考點2特殊角的三角函數值

【例2】（2024.齊齊哈爾中考）計算:〃+卜4cos60°|-（7i-5）°+（|）-2.

【自主解答】原式=2+卜4x*l+4=2+2-l+4=7.

【方法技巧】

熟記特殊角的三角函數值的兩種方法

⑴按值的變化：30。,45。,60。角的正余弦的分母都是2,正弦的分子分別是1,V2,V3,

余弦的分子分別是8,企,1,正切分別是*1,VI

（2）特殊值法：

①在直角三角形中，設30。角所對的直角邊為1,那么三邊長分別為1,V3,2；

②在直角三角形中，設45。角所對的直角邊為1,那么三邊長分別為1,1,V2.

【變式訓練】

1.（2024?天津中考）應cos45°-1的值等于（）

A.。B.lC爭D.V2-1

2.（2024?天津三模）tan45°+2sin30。的值等于（）

A.lB.V3C.2D.2V2

3.（2024.青海中考）計算同-tan45。+泊卜市|.

-4-

考點3解直角三角形

【例3】（2023?廣元中考）如圖，在平面直角坐標系中,已知點A（1,O）,點5（0,-3）,點C

在入軸上，且點C在點A右方，連接AB,BC若tanNA5C三，則點C的坐標為

【方法技巧】

解直角三角形的規律

解直角三角形的方法可概括為“有斜用弦，無斜用切，寧乘勿除，取原避中”，即當已

知斜邊時，就用正弦（或余弦），無斜邊時，就用正切;當求值可用乘法又可用除法時,

則用乘法，不用除法;當可用已知數據又可用中間數據求解時，則用已知數據，避免

用中間數據.

【變式訓練】

/.如圖，在RtAABC中,NA5C=90o,NA=a,A5=4廁AC的長是（）

Q

BC

44

A.4sinaB.----C.-----D.4tana

sinacosa

2.如圖，在RtAABC中，已知NC=9(r,a=4,c=8,解這個直角三角形.

考點4解直角三角形的應用

【例4】（2024.甘肅中考）習近平總書記于2021年指出，中國將力爭2030年前實現

碳達峰、2060年前實現碳中和.甘肅省風能資源豐富，風力發電發展迅速.某學習

小組成員查閱資料得知，在風力發電機組中，“風電塔筒”非常重要，它的高度是一

個重要的設計參數.于是小組成員開展了“測量風電塔筒高度”的實踐活動.如圖,

已知一風電塔筒AH垂直于地面,測角儀CD,EF在AH兩側,CD=E/=L6m點C

與點E相距182m（點C,H,E在同一條直線上），在D處測得筒尖頂點A的仰角為

45。,在F處測得筒尖頂點A的仰角為53。.求風電塔筒AH的高度.（參考數據：

sin53°q4,cos53。、3,tan53。苦4）

-6-

【變式訓練】

1.（2024.雅安中考）在數學課外實踐活動中,某小組測量一棟樓房CD的高度（如圖）,

他們在A處仰望樓頂，測得仰角為30。,再往樓的方向前進50米至B處，測得仰角

為60。,那么這棟樓的高度為（人的身高忽略不計）（）

D

石

呂

呂

A.25W米B.25米

C.25魚米D.50米

2.（2024.蘇州中考）圖①是某種可調節支撐架方。為水平固定桿，豎直固定桿

A5活動桿AD可繞點A旋轉,8為液壓可伸縮支撐桿，已知A5=10cm,

BC-2Qcm,AD-50cm.

⑴如圖②，當活動桿A。處于水平狀態時，求可伸縮支撐桿CD的長度（結果保留根

號）；

⑵如圖③，當活動桿AD繞點A由水平狀態按逆時針方向旋轉角度區且tana=|（a

為銳角）,求此時可伸縮支撐桿CD的長度（結果保留根號）.

-8-

1.（2021.邵陽中考）如圖在矩形A5CD中QEUC,垂足為點E.若sin/AOE號

AO=4,則AB的長為.

2.（2024.湖南中考）如圖，圖1為《天工開物》記載的用于舂（chOng）搗谷物的工具

——“碓（dui）”的結構簡圖，圖2為其平面示意圖.已知AB1CD于點B,AB與水平

線I相交于點0QEL.若BC=4分米。5=12分米,N5OE=60。,則點C到水平線/

的距離CF為V3分米（結果用含根號的式子表示）.

天

工

開

物

3.(2023?常德中考滸算:1寸尸?sin60°+|2°-V3|.

4（2023?長沙中考）2023年5月30日9點31分,“神舟十六號”載人飛船在中國酒

泉衛星發射中心點火發射，成功把景海鵬、桂海潮、朱楊柱三名航天員送入中國

空間站.如圖，在發射的過程中，飛船從地面0處發射，當飛船到達A點時，從位于地

面。處的雷達站測得4。的距離是8km,仰角為30°;10s后飛船到達5處,此時測

得仰角為45°.

⑴求點A離地面的高度AO-

⑵求飛船從A處到B處的平均速度.（結果精確到0.1km/s,參考數據:舊句.73）

5.（2024.湖南中考）某數學研究性學習小組在老師的指導下,利用課余時間進行測

-10-

量活動.

活動主題測算某水池中雕塑底座的底面積

測量工具皮尺、測角儀、計算器等

某休閑廣場的水池中有一雕塑,其底座的底面為矩形其

示意圖如圖所示，

活動模型

過程抽象

GEFH

①在水池外取一點E,使得點C,B,E在同一條直線上；

測繪②過點E作GH±CE,并從點E沿EH方向前進到點色用皮尺測

過程得EF的長為4米；

活動

與數③在點F處用測角儀測得/。76=60.3。,/5/G=45。，

過程

據信ZAFG=21.8°;

息④用計算器計算得:sin60.3°~0.87,cos60.3°~0.50,tan60.33

1.75,sin21.8°~0.37,cos21.8°~0.93,tan21.8°~0.40.

請根據表格中提供的信息,解決下列問題(結果保留整數):

(1)求線段CE和的長度；

⑵求底座的底面ABCD的面積.

2025年湖南省中考數學一輪復習

第二十講解直角三角形教師版

知識要點對點練習

1.銳角三角函數的定義

在RtAAfiC中,/。=90。,/4,N5,NC的對

邊分別為。也G則

1.在工ABC中,N0900A012,

5C=5,則下列三角函數值正確的

是(A)

.,NA的對邊aA.sinA--B.cosA--

smA=---------=-,1313

斜邊-C—

C.tanA~—D.tanB--

NA的鄰邊b

cosA----------=-,

斜邊-c-

4A的對邊

tanA=--------=-a.

NA的鄰邊-b—

2.特殊角的三角函數值

2.(l)tan45。的值為(C)

sin30°=-,cos30°=—,tan30°=—;

-2--2--3——

A.—B.—C.lD.V3

32

sin45。=—,cos45。=—,tan45°=

—2------2-----(2)如果a是銳角,sina=cos30。,那么a為

L；

60°.

sin60°=—,cos60°=-,tan60°=V3.

-2——~2——-——

-12-

3.解直角三角形

⑴直角三角形中的邊角關系

一

CaB3.⑴(教材再開發?湘教九上P110例1改

編)在中,NC=9(r,cosA=|AC=6,則

三邊關系Y+反-2

兩銳角關系ZA+ZB=90°AB的長度為(B)

sinA=cosB="，A.8B.10C.12D.14

c

邊角之間的關系sinB=cosA=",

c(2)RtAABC中,/。=90。方。=20,

.a口b

tanA=-,tanB=

baA5=20近廁/B=45度

⑵解直角三角形:由直角三角形中的上

知元素，求出其余未知元素的過

程.

4（1）（教材再開發?湘教九上P126例1改

4.解直角三角形的實際應用

編）如圖，小明站在自家陽臺上處觀測到

①仰角和俯角:仰角是」看的視線A

對面大樓底部C的俯角為aA處到地面B

與水平線的夾角；俯角是向下看的視9

處的距離A5=35m,則兩棟樓之間的距離

線與水平線的夾角.如圖1：

（單位m）為（D）

②坡角:坡面與水平面的夾角?;

坡度（坡比）:坡面的鉛直高度h和水平寬

A.35tanaB.35sina

度I的比;坡度i與坡角a之間的關系3535

C.-D.—

sinatana

為:i=h/l=tana.如圖2:⑵在坡度為1：2的山坡上種樹，要求株

距(相鄰兩樹間的水平距離)是6米，斜坡

上相鄰兩樹間的坡面距離是(C)

A.3米B.12米

③方向角:一般是指從正北或正南C.3迷米D.5遮米

方向到目標方向所形成的小于90。的角.如

圖3點3在點O的南偏西45。方向(或西

南方向)，點A在點O的北偏西65。方向

考點1銳角三角函數的定義

【例1】(2024.內江中考)如圖,在矩形ABCD中,A5=3,AD=5,點E在DC上,將矩形

ABCD沿AE折疊，點。恰好落在BC邊上的點F處，那么tanZEFC=J.

-J---

【方法技巧】

求銳角三角函數值的“三方法”

(1)以網格和坐標系為背景，分清直角邊、斜邊，根據勾股定理求出需要的邊,用三角

函數定義求值；

(2)構造直角三角形把銳角放到直角三角形中，然后利用銳角三角函數的定義求

解；

⑶借助等角求值，找出一個與之相等的角，其等角的三角函數值即為此角的三角

-14-

函數值.

提醒:若直角三角形的邊長未知，可以設參數，再在求三角函數值的過程中約去參

數.

【變式訓練】

1.（2024云南中考）如圖，在及鉆。中，若/5=90。5A5=3,50=4,貝hanA=（C）

4343

A.-B.-C.-D.-

5534

2.（2024.江西中考）將圖1所示的七巧板，拼成圖2所示的四邊形A5CR連接AC,

貝han/CAB=!.

-2---

考點2特殊角的三角函數值

【例2】（2024.齊齊哈爾中考）計算:"+Ycos60°|-（7i-5）°+（|）-2.

【自主解答】原式=2+卜4x*l+4=2+2-l+4=7.

【方法技巧】

熟記特殊角的三角函數值的兩種方法

⑴按值的變化：30。,45。,60。角的正余弦的分母都是2,正弦的分子分別是1,V2,V3,

余弦的分子分別是1,正切分別是*1,VI

⑵特殊值法：

①在直角三角形中，設30。角所對的直角邊為1,那么三邊長分別為1,V3,2；

②在直角三角形中，設45。角所對的直角邊為1,那么三邊長分別為1,1,V2.

【變式訓練】

1.（2024?天津中考）&cos45°-1的值等于（A）

A.OB.lC.--1D.V2-1

2

2.（2024?天津三模）tan45°+2sin30。的值等于（C）

A.lB.V3C.2D,2V2

3.（2024?青海中考）計算:同退1145。+71°-卜加|.

【解析】V18-tan45O+7T,）-|-V2|

=3V2-1+1-V2

=2\[2.

考點3解直角三角形

【例3】（2023.廣元中考）如圖，在平面直角坐標系中,已知點4（1,0）點5（0,-3）,點C

在x軸上，且點C在點A右方，連接AB,BC,若tanN45。=/則點C的坐標為_（汕_.

【方法技巧】

解直角三角形的規律

解直角三角形的方法可概括為“有斜用弦，無斜用切，寧乘勿除，取原避中”，即當已

知斜邊時，就用正弦（或余弦），無斜邊時，就用正切;當求值可用乘法又可用除法時,

則用乘法，不用除法;當可用已知數據又可用中間數據求解時，則用已知數據，避免

用中間數據.

【變式訓練】

-16-

/.如圖，在RtAABC中,/45。=90。,/4=%45=4廁AC的長是(C)

A

K

BC

44

A.4sinaB.----C.-----D.4tana

sinacosa

2.如圖，在RtAABC中，已知/。=90。,0=4?=8,解這個直角三角形.

【解析】???在R3A5C中，

a2+lf2=c2,a=4,c=8,

Z>=Vc2-a2=V82-42=4A/3,

sinAcZ8A2'=3'0°,

ZB=90°-30°=60°.

考點4解直角三角形的應用

【例4】（2024.甘肅中考）習近平總書記于2021年指出，中國將力爭2030年前實現

碳達峰、2060年前實現碳中和.甘肅省風能資源豐富，風力發電發展迅速.某學習

小組成員查閱資料得知，在風力發電機組中，“風電塔筒”非常重要，它的高度是一

個重要的設計參數.于是小組成員開展了“測量風電塔筒高度”的實踐活動.如圖,

已知一風電塔筒AH垂直于地面,測角儀CD,EF在AH兩側,CD=E/=L6m點C

與點E相距182m（點C,H,E在同一條直線上），在D處測得筒尖頂點A的仰角為

45。,在F處測得筒尖頂點A的仰角為53。.求風電塔筒AH的高度.（參考數據：

sin53°^4|,cos53。卻3an53°~4|）

【自主解答】連接OF交A”于點G

由題意得:CD=E/=G"=1.6m,DF=CE=182mJDFLAH,

設DG=xm,則/G=￡)F-OG=(182-x)m,在RtAADG中,NAOG=45。，

.*.AG=DGtan45°=x(m),在RtAAFG中,NAFG=53°,

：.AG=FGtan53。苦(182-x)m,

.??x=/182-x),解得x=104,

：.AG=104m,.,.AH=AG+GH=104+1.6=105.6(m),

；?風電塔筒AH的高度約為105.6m.

【變式訓練】

1.(2024.雅安中考)在數學課外實踐活動中,某小組測量一棟樓房CD的高度(如圖),

他們在A處仰望樓頂，測得仰角為30。,再往樓的方向前進50米至B處，測得仰角

為60。,那么這棟樓的高度為(人的身高忽略不計)(A)

口

□

□

口

A

A.25遙米B.25米

-18-

C.25夜米D.50米

2.（2024.蘇州中考）圖①是某種可調節支撐架方。為水平固定桿，豎直固定桿

A5活動桿AD可繞點A旋轉,CD為液壓可伸縮支撐桿，已知A5=10cm,

BC-2Qcm5Az）=50cm.

⑴如圖②，當活動桿A。處于水平狀態時，求可伸縮支撐桿CD的長度（結果保留根

號）；

⑵如圖③，當活動桿AD繞點A由水平狀態按逆時針方向旋轉角度%且tana=|（a

為銳角）,求此時可伸縮支撐桿CD的長度（結果保留根號）.

【解析】⑴過點。作C￡_LAO,垂足為區

A._____華____,￡)

L

BC

由題意得:A5=CE=10cm,BC=AE=20cm,

VAD=50cm,AED=AZ)-AE=50-20=30(cm),SRtACED中。=V"2十DE2

=V102+302=10V10(cm),

???可伸縮支撐桿CD的長度為lOViOcm;

⑵過點D作DF上BC,交BC的延長線于點F,交A。于點G,

由題意得:A5=FG=10cmAG=BF,ZAGD=90°,

在RtAADG中,tan?=-=-,

設Z)G=3xcm,則AG=4xcm,AD=y/AG2+DG2=J(4x)2+(3x)2=5x(cm),

\'AD=50cm,:.5x=50,解得x=10,

.*.AG=40cm,0G=30cm,

，DF=DG+FG=30+10=40(cm),

,,

：.BF=AG=40cm,.BC=20cm,.*.CF=BF-JBC=40-20=20(cm),

.,?SRtACFDtfl,CD=VCF2+DF2=y/202+402=20V5(cm),

???此時可伸縮支撐桿。。的長度為20詬cm.

1.（2021.邵陽中考）如圖在矩形A5C。中,。E，AC,垂足為點E若sinZADE^,

4。=4,貝UAB的長為3.

2.（2024.湖南中考）如圖，圖1為《天工開物》記載的用于舂（chOng）搗谷物的工具

——“碓（dui）”的結構簡圖，圖2為其平面示意圖.已知AB±CD于點B,AB與水平

線I相交于點OQEL.若BC=4分米,05=12分米,N5OE=60。,則點C到水平線I

的距離CF為分米（結果用含根號的式子表示）.

圖1圖2

-20-

3.(2023?常德中考滸算:l-g)Lsin60°+|2°-V3|.

【解析】原式=L2xf+|L㈣

=l-V3+[-(l-V3)]

=1-V3-1+V3

=0.

4.(2023?長沙中考)2023年5月30日9點31分,“神舟十