2.6.2圓與圓的位置關(guān)系前面我們運(yùn)用直線與圓的方程，研究了直線與圓的位置關(guān)系，今天我們將類比上述研究方法，運(yùn)用圓的方程通過定量計(jì)算來研究圓與圓的位置關(guān)系。

問題1圓與圓有哪些位置關(guān)系？相離、相切、相交.外離，外切，相交，內(nèi)切，內(nèi)含.

從兩圓公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)來考慮，可將兩圓的方程聯(lián)立，消去一個(gè)未知數(shù)得到一元二次方程，通過判斷?的符號(hào)確定一元二次方程解的個(gè)數(shù)，即方程組解的個(gè)數(shù),我們把這種方法稱之為代數(shù)法.

問題2如何用方程來刻畫兩圓的位置關(guān)系呢？圓與圓相離兩圓沒有公共點(diǎn)圓與圓內(nèi)含圓與圓外離?<0圓與圓內(nèi)切圓與圓外切圓與圓相切兩圓只有一個(gè)公共點(diǎn)?=0

問題3如何進(jìn)一步描述兩圓的位置關(guān)系呢？圓與圓相交兩圓有兩個(gè)公共點(diǎn)?>0外切內(nèi)切令相交外離內(nèi)含幾何法：通過比較兩圓圓心距與兩圓半徑的大小關(guān)系來刻畫位置關(guān)系.不妨設(shè)兩圓的半徑分別為給出了兩圓的方程之后，就知道了兩圓的半徑及圓心坐標(biāo)，并根據(jù)圓心坐標(biāo)算出兩圓心之間的距離d，進(jìn)而由d的大小就可以判斷兩圓具有上述哪種位置關(guān)系.下面我們舉例說明.

例5判斷圓與圓的位置關(guān)系.

解把圓的方程化成標(biāo)準(zhǔn)方程，得.

把圓的方程化成標(biāo)準(zhǔn)方程，得.

圓的圓心是點(diǎn)，半徑為2

.

圓的圓心是點(diǎn)，半徑為.

此時(shí)，兩圓心之間的距離.

所以圓與圓相交，它們有兩個(gè)公共點(diǎn)

（如右圖所示）.xyOC1C2對(duì)于本例，我們也可以用代數(shù)法來解決問題.

因?yàn)?/p>

即

,

例5判斷圓與圓的位置關(guān)系.將兩圓的方程聯(lián)立，得方程組①②①-②，得

.③即

.代入①式，整理，得④因?yàn)?，所以方程④有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，即方程組有兩組不同的解，因此，圓C1與圓C2有兩個(gè)公共點(diǎn)，所以兩個(gè)圓相交.

例5判斷圓與圓的位置關(guān)系.

既然已知兩圓相交，你能求出兩圓的交點(diǎn)A，B坐標(biāo)嗎？公共弦AB所在的直線方程呢？由方程組①②①-②，得

.③即

.代入①式，整理得，得解得：xyOC1C2AB將其代入方程③得，因此所以公共弦AB所在的直線方程為.追問：為什么公共弦在的直線方程與③一樣呢？

這是因?yàn)閮蓤A的交點(diǎn)A，B的坐標(biāo)同時(shí)滿足方程①和②因此也滿足③,也就是這兩個(gè)交點(diǎn)都在直線上，而兩點(diǎn)確定一條直線，所以公共弦AB所在的直線方程就是.xyOC1C2AB追問：是不是任何兩個(gè)圓相減得到的方程都是這兩個(gè)圓的公共弦所在的直線方程嗎？

事實(shí)上，

如果兩圓相離，兩圓相減也可以得到一個(gè)的二元一次方程，而這個(gè)二元一次方程所表示的直線就不是兩圓的公共弦所在的直線方程了.舉例如下xyOC1C2

把圓的方程化成標(biāo)準(zhǔn)方程，得.

圓的圓心是點(diǎn)，半徑為1

.

把圓的方程化成標(biāo)準(zhǔn)方程，得.

圓的圓心是點(diǎn)，半徑為1

.

所以圓與圓相離.例6證明圓與圓內(nèi)切，并求出它們的公切線l的方程.

解把圓的方程化成標(biāo)準(zhǔn)方程，得.

把圓的方程化成標(biāo)準(zhǔn)方程，得.

圓的圓心是點(diǎn)，半徑.

圓的圓心是點(diǎn)，半徑.

此時(shí)，兩圓心之間的距離,因此兩

圓內(nèi)切（如右圖所示）.xyOC1C2為了求公切線方程，需要求切點(diǎn)坐標(biāo)，不妨設(shè)為點(diǎn)P.切點(diǎn)是兩圓唯一的公共點(diǎn)，其坐標(biāo)即為方程組

的解.①②②-①，得

.③即

.④將④代入②式，整理得

解得唯一解.把它代入方程④得.因此切點(diǎn)坐標(biāo)為.xyOC1C2PxyOC1追問1：最后求出的切線方程不就是式嗎？從以后的運(yùn)算是否都可以省去呢？③③P

過切點(diǎn)、圓心的直線的一個(gè)方向向量為

而，因此向量

是切線l的一個(gè)法向量，故可設(shè)切線的一般式方程為

.將切點(diǎn)

代入上述方程，解得

.因此，所求切線方程為.l追問2：切線l的法向量可以是

嗎？

追問：你能從直線法向量的角度去思考為什么兩圓相交弦直線方程是兩圓方程相減嗎？剩下的證明過程與前面一致.l1.圓與圓的五種位置關(guān)系.2.圓與圓的位置關(guān)系的判定方法.3.兩圓相交弦所在直線方程的求解方法.

4.兩圓公切線的求解方法.小結(jié)課后作業(yè)

1.判斷圓