一次函數

知識梳理

1.正比例函數

一般地，形如y=kx(k是常數，厚0)的函數叫作正比例函數，其中k叫作比例系數

2.正比例函數的圖像和性質

一般地，正比例函數y=kx(k為常數，"0)的圖像是一條經過原點和(1,k)的直線，我們稱它為直線丫=1當

k>0時，直線y=kx經過第一、三象限，從左向右上升，即隨著x的增大，y也增大；當k<0時，直線y=kx經過第

二、四象限，從左向右下降，即隨著x的增大，y反而減小.

3.一次函數

一般地，形如y=kx+b(k,b是常數,k邦)，那么y叫作x的一次函數.當b=0時,y=kx+b即y=kx,所以說正比例函數

是一種特殊的一次函數.

4.一次函數的圖像

(1)一次函數y=kx+b(k，o)的圖像是經過(0,b)和(-?0)兩點的一條直線,因此一次函數y=kx+b的圖像也稱為

直線y=kx+b.

(2)一次函數y=kx+b的圖像的畫法.根據幾何知識：經過兩點能畫出一條直線，并且只能畫出一條直線，即兩

點確定一條直線，所以畫一次函數的圖像時，只要先描出兩點，再連成直線即可.一般情況下：是先選取它與兩坐

標軸的交點：(0,b),(-go),即選取橫坐標或縱坐標為0的點.

5.直線y=kx+b(k0)與坐標軸的交點

(1)當b=0時，直線y=依與x軸、y軸的交點都是(0,0);

(2)當bK。時，直線y=依+6與x軸交點坐標為(-g0),與y軸交點坐標為(0,b).

典型例題

例1

求下列函數自變量的取值范圍：

(l)y=2%—6;

⑵y=&

(3)y=76—x;

(4)丫=等

⑸y=匚嬴，

分析關系式為整式時，函數定義域為全體實數；關系式含有分式時，分式的分母不等于零；關系式含有二次

根式時，被開方數不小于零；關系式中含有指數為零的式子時，底數不等于零.

解⑴全體實數；

⑵久K-|;

(3)爛6;

(4)%>5;

(5)%>一3且xrl.

例2

已知一次函數.y=-X-5,當x取何值時，y>0?

變式一：一次函數的圖像如圖8-1所示，與x軸交于A(5,0),與y軸交于8(0,-4),當x取何值時,y>0?

變式二：一次函數的圖像如圖8-2所示，與x軸交于A(4,0)當x取何值時，y>0?

分析本題運用數形結合思想靈活解題.解決“當x取何值時，y>0?，”這類問題，若已知函數解析式,可以直

接求解不等式；也可以根據函數圖像來判斷(數形結合).

解x<-5;x>5;x>4.

例3

已知直線y=2x+3與直線y=x-6交于點A,且兩直線與x軸的交點分別為B,C,求△ABC的面積.

分析首先求出兩條直線與x軸的交點坐標，便可求出△4BC的底，再求出兩條直線的交點坐標，便可求出△

ABC的晶

解y=-2%+3

當y=0時,x=1.5

y=x—6

當y=0時，％=6

(y=-2x+3

[y=x—6

解得：

(x=3

ly=-3

所以交點坐標(3,-3)

所以SABC=(6-1.5)x3+2=6.75

例4

如圖8-3所示，M是邊長為4的正方形AD邊的中點，動點P自點A起，由ATB—C—D勻速運動，直線M

P掃過的正方形所形成的面積為y，點P運動的路程為x,請解答下列問題：

⑴當X=1時，求y的值；

⑵就下列各種情況，求y與x之間的函數關系式:①0WxW4;②4<xW8;③8<xW12.

(3)在給出的直角坐標系(如圖8-4所示)中,畫出(2)中函數的圖像.

16-

12-

8-

4-

04812x

圖8-4

分析(1)直接根據三角形的面積公式可得y=\AM-AP=1.

⑵①當OWx*時,AP=x，直線MP掃過正方形所形成的圖形為RtAMAP,其面積為yi=-XP=jx2X%

=x.

②當4<x<8時,BP=x4直線MP掃過正方形所形成的圖形為梯形MABP,其面積為y2=104M+PB)-=jx

[2+(%-4)]X4=2%-4.

③當8<x<12時,DP=12-x.直線MP掃過正方形所形成的圖形為五邊形MABCP,其面積為乃=八-

止力形AB3

SMPD=久+4.

(3)分別描出點(4,4),(8,12),(12,16),連線即可.

解(1)由題意,X=1時,AP=l,y=1AM-XP=|x2xl=l.

(2)@當OSx"時，點P由A-B在AB線段上運動,AP=x，直線MP掃過正方形所形成的圖形為RtAMAP,其面

積為為=-APxx-x.

②當4<X<8時，點P由B-C在BC線段上運動,BP=x-4,直線MP掃過正方形所形成的圖形為梯形MABP,其

面積為%=[{AM+PB)?AB=Tx[2+(X-4)]x4=2x4

③當8<x<12時，點P由C-D在CD線段上運動,DP=12-空直線MP掃過正方形所形成的圖形為五邊形M

ABCP,其面積為y=S.-S=x+4.

3Uz/J/J^ABCuMPD

⑶圖像如圖8-5所示.

雙基訓練

1.對于圓的周長公式C=2兀R,下列說法正確的是（）.

A.7i,R是變量,2是常量B.R是變量,C,兀是常量

C.C是變量，兀,R是常量D.C,R是變量,2,兀是常量

2.已知一次函數y=kx+b,當x增加3時,y減少2,則k的值是（）.

A.--B.--C.-D.-

3232

3.下列函數中，自變量x的取值范圍是xN2的是（）.

._______-1

A.y=V2^B,y=京

C.y=V4—x2D.y=Vx+2-Vx—2

4.一次函數y=-5x+3的圖像經過的象限是（）.

A.一、二、三B.二、三、四

C.一、二、四D.一、三、四

5.已知一次函數y=kx+b,y隨著x的增大而減小，且kb<0,則在直角坐標系內它的大致圖像是（）.

6.已知直線y=kx-4（k<0）與兩坐標軸所圍成的三角形面積等于4,則直線的表達式為（）.

A.y=-x-4B.y=-2x-4C.y=-3x+4D.y=-3x-4

7.小敏從A地出發向B地行走，同時小聰從B地出發向y/千米A地行走，如圖8-6所示，相交于點P的兩條

線段1一k分別表示小敏、小聰離B地的距離y（千米）與已用時間x（小時）之間的關系，則小敏、小聰行走的速度

w豐米

分別是（）.

A.3千米/時和4千米/時

B.3千米/時和3千米/時

C.4千米/時和4千米/時

D.4千米/時和3千米/時

1.62.8W小時

圖8-6

8.一次函數y=kx+b的圖像經過點（2,-1）和（0,3）,那么這個一次函數的解析式為（）.

A.y=-2x+3B.y=-3x+2

C.y=3x-2D.y=^x—3

9.已知正比例函數y=（2m-l）x的圖像上兩點4（%針％）,8（如發）,當<久2時，有%>我,那么m的取值范圍是

).

A.m<-B.m>-C.m<2D.m>0

22

10.若函數y=3x-6和y=-x+4有相等的函數值，則x的值為().

A.—B.-C.1D.—

222

11.已知A地在B地正南方3千米處，甲、乙兩人同時分別從A,B兩地向正北方向勻速直行，他們與A地的

距離s(千米)與所行的時間t(小時)之間的函數圖像如圖8-7所示，當行走3小時后，他們之間的距離為千米

12.若一次函數y=-x+a與一次函數y=x+b的圖像的交點坐標為(m,8)很!]a+b=.

C

13.如圖8-8所示，一次函數y=kx+b(k<0)的圖像經過點A.當y<3時,x的取值范圍是.

14.已知點(a,4)在連接點(0,8)和點(-4,0)的線段上，則(a=.

15.已知一次函數y=kx+b的圖像經過點A(l,3)和B(-1,-1),則此函數的解析式為—

16.已知一次函數y=2x+b與兩個坐標軸圍成的三角形面積為4,貝1](6=

17.已知一次函數y=ax+b的圖像經過點A(2,0)與B(0,4).

⑴求一次函數的表達式，并在直角坐標系內畫出這個函數的圖像.

(2)如果⑴中所求的函數y的取值范圍為-4WyW4,求相應的x的取值范圍.

18.已知一次函數y=履+6的圖像經過點((-2,-4),且與正比例函數y=，的圖像交于點(4,a)求

(Da的值.

(2)k,b的值

⑶求出這兩個函數的圖像與y軸相交得到的三角形的面積.

19.已知一次函數：y=(3-/c)x-2/c+18.

(Dk為何值時，它的圖像經過原點.

(2)k為何值時，它的圖像經過點(0,-2).

20.若一次函數y=kx+b的圖像與y軸交點的縱坐標為-2,且與兩坐標軸圍成的直角三角形面積為1,試確定此

一次函數的表達式.

能力提升

21若一次函數丫=（3*汰上的圖像經過第二、三、四象限，則k的取值范圍是（）.

4k>3B.0<k<3C.0<k<3D.0<k<3

22.已知一次函數的圖像與直線y=-x+l平行，且過點（8,2）,那么此一次函數的解析式為（）.

A.y=-x一2B.y=-x-6

C.y=-x+10D.y=-x-1

23.汽車開始行駛時，油箱內有油40升，如果每小時耗油5升，則油箱內余油量y（升）與行駛時間t（小時）的函

數關系用圖像表示應為下圖中的（）.

24.若甲、乙兩彈簧的長度y（厘米）與所掛物體質量x（千克）之間的函數表達式分別為y=kxx+/和y=k2x+

星,如圖8-9所示，所掛物體質量均為2千克時，甲彈簧長為外,乙彈簧長為y2,則yi與y?的大小關系為（）.發，

72

A.y1>y2B.yr=y2C.y1<y2D.不能確定

25.已知一次函數y=2x-a與.y=3%+6的圖像交于x軸上原點外的一點，則急=.

26.若解方程x+2=3x-2得.x=2,,則當x—時.直線.y=x+2上的點在直線y=3x-2上相應點的上方.

27如圖8-10所示，在平面直角坐標系中，△ABC的兩個頂點A,B的坐標分別為（-2,0）,（-1,0）,：6（2〃軸.將A

4BC以y軸為對稱軸作軸對稱變換，得到△4夕L（2和A1,B和B1,C和C分別是對應頂點）.直線y=x+b經過點

A,C,則點C，的坐標是.

圖8-10

28.已知直線｝/=尤-3與）7=2%+2的交點為（（一5,一8）,則方程組的解是—?

29.如果直線y=-2x+k與兩坐標軸所圍成的三角形面積是9,則k的值為.

30.一農民帶了若干千克自產的土豆進城出售，為了方便，他帶了一些零錢備用，按市場價售出一些后，又降

價出售.售出土豆千克數與他手中持有的錢數（含備用零錢）的關系如圖8-11所示，結合圖像回答下列問題：

⑴農民自帶的零錢是多少？

⑵降價前他每千克土豆出售的價格是多少？

（3）降價后他按每千克0.4元將剩余土豆售完，這時他手中的錢（含備用零錢）是26元，那么他一共帶了多少干

拓展資源

31.李老師騎自行車上班，最初以某一速度勻速行進，中途由于自行車發生故障，停下修車耽誤了幾分鐘，為

了按時到校，李老師加快了速度，仍保持勻速行進，結果準時到校.在課堂上，李老師請學生畫出他行進的路程y

（千米）與行進時間t（小時）的函數圖像的示意圖，同學們畫出的圖像如圖所示，你認為正確的是（）.

A.B.C.D.

32.已知y-3與4x-2成正比例,且當x=1時,y=5.

⑴求y與x的函數關系式.

⑵求當x=-2時的函數值.

⑶如果y的取值范圍是（0WyW5,,求x的取值范圍.

33.某車間有甲、乙兩條生產線.在甲生產線已生產了200噸成品后，乙生產線開始投入生產，甲、乙兩條生產

線每天分別生產20噸和30噸成品.

（1）分別求出甲、乙兩條生產線各自總產量y（噸）與從乙開始投產以來所用時間x（天）之間的函數關系式.

（2）作出上述兩個函數在如圖8-12所示的直角坐標系中的圖像，觀察圖像，分別指出第10天和第30天結束

時，哪條生產線的總產量高？

M噸，

600-

400■

200-

__111-

~0___102030X/天

圖8-12

34.已知雅美服裝廠現有A種布料70米，B種布料52米，現計劃用這兩種布料生產M,N兩種型號的時裝共

80套.已知做一套M型號的時裝需用A種布料1.1米，B種布料0.4米，可獲利50元；做一套N型號的時裝需用

A種布料0.6米，B種布料0.9米，可獲利45元.設生產M型號的時裝套數為x,用這批布料生產兩種型號的時裝

所獲得的總利潤為y元.

（1）求y（元）與x（套）的函數關系式，并求出自變量的取值范圍.

（2）當M型號的時裝為多少套時，能使該廠所獲利潤最大?最大利潤是多少？

35.如圖8-13所示，已知正方形OABC的邊長為2,頂點A,C分別在x,y軸的正半軸上,M是BC的中點.P

(0,m)是線段0C上一動點(C點除外)，直線PM交AB的延長線于點D.

(1)求點D的坐標(用含m的代數式表示).

(2)當△APD是等腰三角形時，求m的值.

第8講

1.D2.A3.D4.C5.A6.B7.D8.A9.A10.Bll.1.512.1613.x>214.-215.y=2x+l16+4

17.⑴y=-2x+4,其圖像如答圖8-1所示

(2)0<x<4

18.(l)a=2;(2)k=l,b=-2;(3)2x4^2=4.

19.(l)k=9;(2)k=10.

20.y=±2x-2

21.A22.C23.C24.A25.-226.<2

27.(1,3)8《二、29+6

30.(1)5元;(2