專題反比例函教

背景下的全等、相似問題

熊例題精講

考點1反比例函數與全等三角形綜合問題

【例1].如圖，把一個等腰直角三角形放在平面直角坐標系中，/ACB=90°,點C(-1,

0),點3在反比例函數y=K的圖象上，且y軸平分/54C,則上的值是

解：如圖，過點2作3。，尤軸于在。4上截取OE=OC,連接CE,

CO=1,

ACO=EO=\,

：.ZCEO=45°,CE=&,

:△BAC為等腰直角三角形，且NAC8=90°,

：.BC=AC,ZOCA+ZDCB=90°,ZC4B=45°,

'：ZOCA+ZOAC=90°,

：.ZOAC=ZBCD,

在△OAC和△￡>CB中

rZOAC=ZBDC

"ZAOC=ZCDB,

AC=BC

：.^OAC^/\DCBCAAS）,

：.AO=CD,OC=BD=\,

'：y軸平分NBAC,

：.ZCAO=22.5°,

VZCEO=ZCEA+ZOAC=45°,

：.ZECA=ZOAC=22.5°,

:.CE=AE=?

：.AO=1+42=CD,

:.D0=?

.?.點8坐標為（我，-1）,

?點3在反比例函數y=K的圖象上，

X

:.k=-1X&=-五,

A變式訓練

【變1T].如圖，在平面直角坐標系中，RtZXABC的斜邊在x軸上，點C在y軸上，

/BAC=30°,點A的坐標為（-3,0）,將△ABC沿直線AC翻折，點B的對應點D

恰好落在反比例函數y=&（k卉0）的圖象上，則左的值為（）

解：如圖，過點。作軸于點E.

由對稱可知CD=BC,

易證△￡）（?￡1絲△BC。（AAS）,

：.CE=CO,DE=OB,

"：ZBAC=3Q°,。4=3

。。=陣04=?,

ZOCB=30°,

.?.OB=2/1_OC=1,

3

：.DE=OB=\,CE=0C=M，0E=2?,

因=DE。0E=1X2如=26,

?..反比例函數圖象在第二象限，

：.k=-2愿，

【變1-2].如圖，點A是反比例函數y=匡圖象上的一動點，連接A。并延長交圖象的另一

x

支于點8.在點A的運動過程中，若存在點C(m,n),使得ACLBC,AC=BC,貝”九，

解：如圖，連接OC,過點A作AELx軸于點E,過點C作CTLy軸于點尸,

???由直線AB與反比例函數的對稱性可知A、B點關于0點對稱，

X

：.AO=BO.

XVAC1BC,AC=BC,

：.COLAB,CO=—AB=OA,

2

VZA0E+ZA0F=9Q°,ZAOF+ZCOF=90°,

ZAOE=ZCOF,

又?.?/4￡。=90°,ZCFO=90°,

：.AAOE^ACOF(AAS),

：.OE=OF,AE=CF,

?點C（加，〃），

CF=-m,cF=n,

：?0E=-m,AE=n,

.".A（-m,九），

???點A是反比例函數y=2圖象上,

考點2反比例函數與相似三角形綜合問題

【例2].如圖，在平面直角坐標系中，四邊形AOBQ的邊08與x軸的正半軸重合，AD//

OB,軸，對角線0。交于點M.已知AD：0B=2：3,△AMD的面積為4.若

反比例函數y=K的圖象恰好經過點則左的值為（）

9

：AD//OBf

/.AADM^/\BOM,

../△ADM（AD）2=生

^ABOMOB9

?SAADM=4,

?*?S叢BOM=9,

?；DB_LOB,MHLOB,

:,MH〃DB,

.OH=OM=OB=2

?屈DMAD

OH=^-OB,

5

Q97

SAMOH="XS^OBM=—,

55

.?.—k1,27，

25

.?.7,

5

故選：B.

A變式訓練

【變2-1].如圖，己知第一象限內的點A在反比例函數y=&上，第二象限的點3在反比

X

例函數y=K上，且。4_LOB,—,則上的值為（）

x0A4

444

解：作軸于點C,作BOLx軸于點D.

則N8r>O=/ACO=90°,

則/80。+/080=90°,

,：OA±OB,

：.ZBOD+ZAOC^90°,

:.NBOD=NAOC,

：./\OBD^/\AOC,

.SAOED(OB)2_(3、2_9

??瓦嬴—讖"IF

又,；&AOC=」X4=2,

2

.Q

??SAOBD=—，

2

故選：B.

【變2-2].如圖，Rtz\ABC的直角邊BC在x軸正半軸上，斜邊AC邊上的中線BD反向延

長線交y軸負半軸于E,雙曲線y=&（x〉0）的圖象經過點4若SABEC=8,則左等于

解：?.?8。為RtZXABC的斜邊AC上的中線，

：.BD=DC,NDBC=NACB,

又NDBC=ZEBO,：.ZEBO=ZACB,

又/8OE=/C3A=90°,

:.△BOEsXCBA,

...BO=UE；gpBCXOE=BOXAB.

BCAB

XVSABEC=8,即BCXOE=2XS=16=BOXAB=\k\.

又由于反比例函數圖象在第一象限，k>0.

所以人等于16.

故選：B.

【變2-3].如圖，在等腰△A08中，AO=AB,頂點A為反比例函數>=區(x>0)圖象上

X

一點，點B在x軸的正半軸上,過點B作BCVOB,交反比例函數y=X的圖象上于點C,

解：如圖，過點A作交無軸于R交0C于點E,

'JOA^AB,AFLOB,

OF=FB=LOB,

2

'：BC±OB,

：.AF//BC,

：.AADE^/\BDC,PL=EL=OL=A,

OCBCOB2

：.BC=2EF,

設OF=a,則OB=2a,

：.A(a,K),C(2a,工),

a2a

；.AF=^-,BC=-^~,

a2a

：.AF=2BC=4EF,AE=AF-EF=3EF,

'：AADEsABDC,

.DEAE3EF3

一記WEFT

...SnADE(AE)2=g,

^ABDCBC4

,..△BCD的面積為2,

._9

??S/^ADE———，

2

.DE_3

??------,

EC5

..OE=1

'OC2"

：.EC=OE,

.DE_3

??---9

OE5

.SAADE_3

??~―，

SAA0E5

SAAOE-l'~-，

2

..AF_4EF_4

'AE3EFy

.SAA0F_AF_4

??~—---，

SAA0E趣3

SAAOF=-SAAOE=—x=10,

332

因=10,

2

\'k>0,

：.k=20.

故選：B.

1.如圖，AB_L無軸，8為垂足，雙曲線y=K(x>0)與△AOB的兩條邊。4,A8分別相

x

交于C,。兩點，OC=』CA,且△ABC的面積為3,則上等于()

2

解：連接BC,過點于M,

：OC=』CA,即叟=工，

2CA2

.SAOBCoc1

ABACCA2

又：AABC的面積為3,

.3

??SAOBC=—，

2

5L,：CM//AB,

.OC=OM=1

,,CAMB5，

?SAOMCQM1

^ABMCMB2

.".SAOMC=—SAOBC=—=—|A:|,

322

,:k>0,

k=1,

2.如圖，在△ABC中，4B=AC,點A在反比例函數y=K（左>0,x>0）的圖象上，點8,

X

C在X軸上，0c=1。3,延長AC交y軸于點。，連接2。，若△BC。的面積等于1,

則k的值為（）

9

：AB=ACf

：.CE=BE,

OC=4B,

5

OC=—BC=—X2CE=-CE,

442

,JAE//OD,

；.△COOs△CEA,

.??包理=(CE)2=4,

2ACODOC

VABCZ)的面積等于1,OC=^OB,

5

S^COD=—S^BCD=—,

44

."?5AC￡/1=4XA=i,

4

;OC=^CE,

2

5AAOC~—5AC￡A=—,

22

."?SAAOE=—+1=—?

22

S/\AOE=—k(Z>0),

2

:.k=3,

故選：A.

3.如圖所示，RtZVIOB中，NAO8=90°,頂點A,B分別在反比例函數y=1(x>0)與

x

y=--(x<0)的圖象上，貝！Itan/BA。的值為()

X

D.V10

解：作ACLLx軸于C,5O_Lx軸于。，如圖,

;頂點A,8分別在反比例函數(x>0)與丁=一a(x<0)的圖象上,

xx

?,.SAAOC=—X|1|=A,5ABOD=—X|-5|=—,

2222

VZAOB^90°,

AZBOD+ZAOC=90°,

VZAOC+ZOAC^90°，

：.ZOAC=ZBOD,

而NACO=N8。。,

△AOCs/\OB。,

1_

S

AAOC_(pA)2=2_=_1

^AOBDOB55

2

OB=病，

OA

在RtAlOB中，tan/a4O=?=?,

OA

故選：B.

4.如圖，函數>=-1(x<0)的圖象經過Rtz\AB。斜邊02的中點。，與直角邊AB相

交于C,連接AO.若4。=3,則△AB。的周長為()

C.6+2^10D.6+2A/11

解：如圖，過點。作。ELA。于E,

.?點。是BO的中點，

\AD=BD=DO=3,

?.80=6,

：DELAO,ABLAO,

,.AB//DE,

.DO_DE_EQ_1

"BO"AB"AO"2'

,.AB=2DE,AO=2EO,

S^DEO=-DEXEO=—,

22

S^ABO=—ABXAO=2,

2

"：AB1+AO2=OB2=36,

：.(.AB+AO)2=36+8,

：.AB+AO=2y[Ti，

AABO的周長=AO+BO+A8=6+2Vn，

故選：D.

5.如圖，長方形ABC。的頂點A、5均在y軸的正半軸上，點。在反比例函數y=K(x>

x

0)的圖象上，對角線DB的延長線交x軸于點E,連接AE,已知SAABE=1,則k的值

???A5CO是矩形，

：.AD=BC,AD//BC//OE,

：.△ABDS/\0BE,

?AD=AB

，e0E0B，

即：AD?OB=AB/OE,

9

又S4ABE=1=—AB0Ef

2

工AD?OB=AB?OE=2=BC?OB,

即：3矩形08。尸=3。?。3=2=:|川，

:.k=2或2=-2（舍去），

故選：C.

6.如圖，直線>=尤+2與反比例函數y=區的圖象在第一象限交于點P,若0P=『6則

X

k的值為3.

：。尸=百5，

7m2+(m+2)2=，

解得見=1,m2=~3(不合題意舍去)，

???點尸(1,3),

?

??Q3-k，

1

解得k=3.

故答案為：3.

7.已知一次函數y=2x+4的圖象分別交無軸、y軸于A、8兩點，若這個一次函數的圖象與

一個反比例函數的圖象在第一象限交于點C,且AB=22C,則這個反比例函數的表達式

為丫=旦.

x

解：?.,一次函數y=2尤+4的圖象分別交x軸、y軸于A、B兩點,

：.A(-2,0),B(0,4),

過C作CDLx軸于D,

：.OB//CD,

△ABOsS,

.OB.A0_AB_2

'*CD'ADAC亭

:?CD=6,A￡>=3,

：.OD=lf

：.C(1,6),

設反比例函數的解析式為y=K,

x

:?k=6,

：.反比例函數的解析式為y=2.

故答案為：>=2.

8.在平面直角坐標系尤0y中，點A,B在反比例函數y=2(x>0)的圖象上，且點A與

X

點3關于直線丁=%對稱，。為AB的中點，若A3=4,則線段0c的長為，

t

點A與點6關于直線y=x對稱,

：.B(2,力,

t

???A3=4,

(L2)2+(--t)2=42,

tt

即t-2=2點或t--=-2V2，

tt

解方程廠2=-2/5,得尸-如-2(由于點A在第一象限，所以舍去)或/=-&

t

+2,

經檢驗，t=-&+2,符合題意，

.*.A(-V2+2，&+2),B(&+2,-V2+2).

?；C為的中點，

：.C(2,2),

22=2

：.OC=yj2+2^-

故答案為2如.

9.如圖，△OMN是邊長為10的等邊三角形，反比例函數y=K(x>0)的圖象與邊MN、

X

0M分別交于點4夙點B不與點M重合).若A3L0M于點3,則％的值為_jV3_.

解：過點8作軸于點C,過點A作軸于點D如圖,

「△0MN是邊長為10的等邊三角形，

：.OM=ON=MN=10,NM0N=NM=NMNO=60°

設0C=6,貝ijBC=Fb，0B=2b,

：.BM=OM-OB=10-2b,B(b,ab),

VZM=60°,ABLOM,

：.AM=2BM=20-4b,

：.AN^MN-AM^IO-(20-4b)=4b-10,

VZAND=60°,

.?.Z)N=/&=26-5,A￡)=等AN=2?b-5我，

：.OD=ON-DN=15-2b,

：.A(15-2b,2ab-5如),

VA,B兩點都在反比例函數y=K(x>0)的圖象上，

X

:.k=(15-26)(2我b-5?)=b'Mb，

解得b=3或5,

當。=5時，05=20=10,此時5與M重合，不符題意，舍去,

:?b=3,

:?k=b?,

故答案為：973.

10.如圖，在Rtz\ABC中，ZABC=90°,C(0,-3),C￡)=3A。，點A在反比例函數y

=區圖象上，且y軸平分/ACB,求左=_生巨

x7

解：過A作AELx軸，垂足為E,

VC(0,-3),

OC=3,

NAED=NCOD=90°,ZADE=ZCDO

△ADEs^CDO,

AE_DE_AD_1

CO=0D"CD"3'

AE=1；

又：y軸平分NAC2,CO±BD,

BO=OD,

ZABC=90°,

ZOCD=ZDAE=ZABE,

△ABEs^DCO,

AEBE

0D0C

設Z)E=〃，貝|20=0。=3小BE=ln,

17n

0E=4n=^^~

7

A(±ZL,i)

7

故答案為：生巨.

11.如圖，矩形O48C的兩邊落在坐標軸上，反比例函數y=K的圖象在第一象限的分支過

X

A3的中點。交。8于點E,連接EC,若△OEC的面積為12,則/=12后.

解：如圖，過點。、E分別作x軸的垂線，垂足分別為尸、G,

貝！JS/^OBC=S矩形OADF=2S/^OEG-kf

又?：EG//BC,

:.AOEGSAOBC,

.??安世=(嗎2=2,

^AOEG°E

QB=&，

OE

.BC=&,

"EG

s(OBCBC=正,

2AOECEG

k=&，

12

：.k=12y/2-

故答案為12M.

12.如圖，在平面直角坐標系中，ZOAB=60°,ZAOB=90°,反比例函數小=見的圖象

解：作BH_Lx軸，垂足為H,AM_Ly軸，垂足為

VZOAB=60°,ZAOB=90°,

:ABHOsAAMO,

，BH_0H=B04

"O^-AM"AOI-'

令OM=a,則BH=?a，

代入反比例函數”=-旦得：x=乂耳,

xa

.?.o”=返，得：AM=^-,

aa

?■?AM'OM=-'a=l>

a

又???AM?OM=m,

??TYl^~1.

故答案為1.

13.如圖，線段。4與函數y=K(x>0)的圖象交于點8,且A8=2O8,點C也在函數y

X

=K(X>O)圖象上，連結AC并延長AC交X軸正半軸于點。，且AC=3CD,連結5C,

解：如圖，分別過點A,B,。作入軸的垂線，垂足分別為E,F.

J.BE//CF//AM,

：.OB：OA=BE：AM=OE：OM=1：3,

CD：AD=DF：DM=CF：AM=1：4,

設點B的坐標為（a,b）,

：?OE=a,BE=b,

：.AM=3BE=3b,OM=3OE=3a,

44

：.C4,—b),

34

.'.OF=-a,

3

：.FM=OM-OF=^-a,

3

：.DF=^FM=^-a,

39

0D=OM-DF-FM=LI.

9

?.?△BC。的面積為3,

△ABC的面積=3XZ\BCD的面積=9,

AABD的面積=12.

△BOO的面積=」X△ABD的面積=6.

2

.?._L?OZ>2E=_Lx工aX6=6.

229

解得k=ab=^[~>o.

故答案為：128

14.如圖，在平面直角坐標系中，點42在函數>=區（％>0,尤>0）的圖象上，過點A

作x軸的垂線，與函數y=-K（尤>0）的圖象交于點C,連接BC交尤軸于點D若點

x

A的橫坐標為1,BC=3BD,則點B的橫坐標為2

解：作軸于E,

J.AC//BE,

:.叢CDFs工BDE,

.CF=DF=CD

"BEDE而，

,:BC=3BD,

?CF=DF=2

*"BEDET

:.CF=2BE,DF=2DE,

設8(—,b),

b

：.C(1,-26),

?.?函數y=-區(x>0)的圖象交于點C,

X

A-k=lX(-2b)=-2b,

:,k=2b,

,.B的橫坐標為上=生=2,

bb

15.如圖，在△ABC中，邊AB在無軸上，邊AC交y軸于點E.反比例函數y=K(x>0)

X

的圖象恰好經過點C,與邊3C交于點D若AE=CE,CD=2BD,SMBC=6,貝(Jk=

12

解：如圖，作于點DNLAB于點、N,

m

則OM=m,CM^—,

m

?：OE〃CM,AE=CE,

?AO_AE_i

,領一而

?\AO=mf

■:DN〃CM,CD=2BD,

.BN=DN=BD=1

??麗CMBC

：.DN=—,

3m

.,?￡＞的縱坐標為K,

3m

?.?—k_—k,

3mx

??x~~3m,

即0N=3m,

:,MN=2m,

：.BN=m,

*.AB=5m,

?S/\ABC=^9

A5me—?工=6,

m2

T

故答案為：

5

16.如圖，A為反比例函數y能（其中尤＞0）圖象上的一點，在無軸正半軸上有一點2,

08=4.連接04,AB,且。4=AB=2過點B作2CL0B,交反比例函數y*（其

X

中無＞0）的圖象于點C,連接OC交A8于點。，則包■的值為旦

BD.2一

解:過點A作軸，垂足為點“，A”交OC于點如圖所示.

"：OA=AB,AHLOB,

:.OH=BH=LOB=2,

2

=22=

?'-AHV0A-0HV（2>/10）2-22=6>

二點A的坐標為（2,6）.

為反比例函數yJ二（其中x>0）圖象上的一點，

X

.??％=2X6=12.

?.?3C_Lx軸，05=4,點C在反比例函數>=至上，

x

：.BC=3.

\UAH//BC,OH=BH,

：.MH=^-BC=—,

22

2

,JAM//BC,

AADMsABDC,

???A--D=AM—3,

DBBC2

故答案為s.

17.如圖，已知菱形ABC。的對角線相交于坐標原點。四個頂點分別在雙曲線>=國和y

X

=K1<0）上，旭■=[,平行于x軸的直線與兩雙曲線分別交于點E,F,連接

xBD3

OF,則△OEF的面積為-Al_.

解：作?了軸于M,DN_Lx軸于N,

?..四邊形ABC。是菱形，

：.AC±BD,

：.ZAOM+ZDON=ZODN+DON=90°,

ZAOM=ZODN,

VZAMO=ZOND=90°,

AAOMsAODN,

SAAOM（怨）2,

^AODNOD

點在雙曲線y=&,=

'xBD3

S^AOM=—X4=2,-QA=2,

2OD3

―—=（2）2,

SA0DN3

?9

??S/\ODN=—,

2

:。點在雙曲線y=K（k<0）上，

:.k=-9,

???平行于x軸的直線與兩雙曲線分別交于點￡,F,

111Q

S^OEF=—X4+—XQ——，

222

故答案為ai.

2

18.如圖，己知直線/：y=-x+4分另IJ與x軸、y軸交于點A,B,雙曲線y生（左>0,x>0）

與直線/不相交，E為雙曲線上一動點，過點石作EGLx軸于點G,所，y軸于點R

分別與直線/交于點C,D,且/COD=45°,貝Ik=8.

解：點A、8的坐標分別為(4,0)、(0,4),

即：OA=OB,.\ZOAB=45°=ZCOD,

ZODA=ZODA,：./\ODA^/\CDO,

:.OD2=CD*DA,

設點E(m,n),則點D(4-n,n),點C(m,4-m),

則OD2=(4-n)2+n2=2n2-Sn+16,

CD=M(.m+n-4),DA=?n,

BP2rr-8M+16=V2(m+?-4)X近n,

解得：mn=S=k,

故答案為8.

19.如圖，平行四邊形ABC。的頂點C在y軸正半軸上，C。平行于x軸，直線AC交x軸

于點￡,BC±AC,連接BE,反比例函數y=K(x>0)的圖象經過點。，已知S^BCE=

2,則左的值是4

解：(解法一)過點。作。尸，工軸于點R如圖所示.

?/四邊形ABCD是平行四邊形，

J.BC//AD,BC=AD.

XVBC±AC,

：.DA±AC.

???。0平行于x軸，

???ZACD=ZCEO.

VCO.LOE,DALAC,

：.ZECO=ZD.

設點。的坐標為(m,—)(m>0),

m

則CD=m,OC=DF=&.

m

在RtZ^CAO中，CD=m,NCAO=90°,AD=m?cos/D.

在RtZiCOE中，OC=K,ZCOE=90°,CE=————=------

mcosZ-ECOmpcosz_D

S^BCE=—CE?BC=—-------------?m?cosZD=—k=2,

22m*cosZD2

解得：左=4；

(解法二)設點。的坐標為(相，n)(m>0,〃>0),貝IJCD=M,OC=n,

???CO〃x軸，

JZACD=ZOEC.

???四邊形A8CO為平行四邊形，BC.LAC,

：.DALAC,AD=BC,

：.ZDAC=ZCOE=90°,

:?△COEsXDAC,

?0C—CEgpnCE

ADCDBCm

mn=BC*CE.

'：S^BCE=—BC-CE=2,

2

??mn=2SABCE=4.

..?點Z)在反比例函數y=K(x>0)的圖象上,

X

??k~~irm~~4.

故答案為：4.

20.如圖，A為反比例函數y=K（其中x>0）圖象上的一點，在無軸正半軸上有一點8,

08=4.連接。4,AB,且OA=AB.過點B作BCA.OB,交反比例函數y=K（其中尤

>0）的圖象于點C,連接OC交于點。，則膽的值為工

DB-2-

解：過點A作A〃_Lx軸，垂足為H,AH交OC于點如圖,

"：OA=AB,AH.LOB,

：.OH=BH=^-OB=^X4=2,

22

A(2,K),C(4,K),

24

"：AH//BC,

28

：.AM=AH-MH=---=—

288

'JAM//BC,

：.△ADMsABDC,

21.如圖，點A在反比例函數y二生第一象限內圖象上，點8在反比例函數yjL第三象限

XX

內圖象上，ACLy軸于點C,軸于點。，AC=BD=—，AB,CD交于點E，若BO

3

=CE,則k的值為代

解：過點A作APLx軸于點P,過點8作BQLx軸于點Q,

點A的橫坐標為K,點B的橫坐標為-K,

33

..?點A在反比例函數第一象限內圖象上，點B在反比例函數y上第三象限內圖象

XX

上，

.,.點A的縱坐標為6,點8的縱坐標為-3,

軸，8￡>_Ly軸，

：.CD=AP+BQ=9,0D=3,AC//BD,

：.ZCAE=ZDBE,NACE=ZBDE,

.,.△ACE名ABDE(AAS),

：.CE=DE=—CD=—,

22

"：BO=CE,

：.B0=^-,

2

在RtABOD中，

由勾股定理可得BD2+OD1=OB2,

即(1)2+32=(1)2-

解得左=生叵或k=-曳&

(舍去),

22

故答案為：生區.

2

22.如圖，菱形A8C。的四個頂點均在坐標軸上，對角線AC、8。交于原點。，AEL8C于

E點,交8。于M點，反比例函數(x>0)的圖象經過線段。C的中點M若BD

=4,則ME的長為2.

一3一

解：在菱形ABC。中，AB=BC,BDLAC,OB=OD=l-^=2,ZABC=2ZOBC,

...點D(0,2),

設點C(m,0),

?.?點N為CO的中點，

，點N啰，1）,

V反比例函數丫乎（x>0）的圖像經過點N,

3Xy

解得：m爭■，即點C挈，0)，

.?.0年

O

?*-AC=^->tan/OBC帝斗,

oUDO

：.ZOBC=30°,

AZABC=60°,

?△A5C為等邊三角形,

-BC=AC=^-'

o

*AE±BC,

，BEJBC=^",

4o

???EM=BE-tanZOBC-1.

故答案為：2.

3

23.如圖，平面坐標系中，48交矩形ONCM于E、F,若些=工（機＞1）,且雙曲線＞=區

BFmx

_Si

也過E、兩點，記SACEF=SI,SAOEF=S＞用含m的代數式表小.

s2

解：過點/作FGLy軸于點G,如圖所示:

：CM_Ly軸，FG_Ly軸，

J.CM//FG,MC=FG,

:.△BMES^BGF,

.ME=ME=BE=1

"MCGFBFm)

設點C的坐標為(a,b),則E(旦，b),F(a,電),

mm

2

.\5i=Ax(fl-A).(Z>-A)=(m-1?心

2mm2m

S2=a'b-處-工?也-

21021n2m2m

.d1m-1

52m+1

24.如圖，在平面直角坐標系中，點尸、Q在函數y=」2(尤＞0)的圖象上，PA.QB分別

X

垂直入軸于點A、B,PC、Q。分別垂直y軸于點C、D.設點P的橫坐標為相，點。的

縱坐標為九，△PC。的面積為Si,△Q45的面積為S2.

(1)當m=2,〃=3時，求Si、S2的值；

(2)當△尸CD與△Q48全等時，若加=3,直接寫出〃的值.

：.P(2,6).

???E4_Lx軸，尸C_Ly軸，

：.PC=OA=2,PA=OC=6.

?當m=3時，％=工^=4,

3

：.Q(4,3).

軸，QDLy軸，

：.DQ=OB=4,QB=OA=3,

：.CD=OC-OD=3,AB=OB-OA=2,

.\Si=Acr)*CP=ix3X2=3,S2=—AB>2B=AX2X3=3.

2222

(2)Vm=3,

：.P(3,4),

：.PC=0A=3,

當△PC。絲△QA4時，

■:QB=PC=3,

.??〃=3；

當△PC。名△ABQ時，

,.?PC=OA=3,

：.AB=PC=3,

OB=OA+AB=3+3=6.

???點。在反比例函數y=12的圖象上，

X

：.y=^l=2,

6

/.n=2.

綜上所述，〃=2或3.

25.如圖，一次函數y=依尤+6的圖象與反比例函數y="的圖象相交于4(1,2)、8(-2,

x

〃)兩點.

(1)求一次函數和反比例函數的解析式；

(2)根據圖象，直接寫出滿足hx+b>”的x的取值范圍；

X

(3)若點尸在線段A3上，且S.OP：SABOP=1：4,求點尸的坐標.

：.k2=lX2=2,

反比例函數解析式為y=2,

X

■:B(-2,n)在反比例函數y=2的圖象上,

：.B(-2,-1),

:直線y=hx+b經過A(1,2),8(-2,-1),

ki+b=2fV.=i

.??，，解得.1,

-2k]+b=-l[b=l

一次函數的解析式為y=x+l；

k

(2)觀察圖象，如什。>上9的x的取值范圍是-2VxV0或x>l；

x

(3)設尸(x,x+1),

,**S/^AOP：SABOP—1：4,

：.AP：PB=1：4,

即尸3=47%,

(尤+2)2+(尤+1+1)2=16[(x-1)2+(x+1-2)2],

解得尤1=2,%2=2(舍去)，

5

點坐標為(2,工).

55

26.如圖，在矩形0ABe中，OA=3,OC=5,分別以。4、0c所在直線為了軸、y軸，建

立平面直角坐標系，。是邊CB上的一個動點(不與C、8重合)，反比例函數>=區(k

x

>0)的圖象經過點。且與邊54交于點E,連接DE.

(1)連接OE,若△EOA的面積為2,則k=4；

(2)連接CA、OE與C4是否平行？請說明理由；

(3)是否存在點。，使得點8關于?！甑膶ΨQ點在OC上？若存在，求出點。的坐標；

若不存在，請說明理由.

解：(1)連接0E,如圖1,

：RtzXAOE的面積為2,

二,=2X2=4.

(2)連接AC,如圖1,設￡>(x,5),E(3,$乂)，則BD=3-x,BE=5-?

33

BD3-x_3_BC^3

BE"5后‘AB"5

5亍

.BDBC

BEAB

又

:.△BDEsgCA,

:.NBED=/BAC,

J.DE//AC.

(3)假設存在點。滿足條件.設。(x,5),E(3,0x)，則C￡>=x,

3

BD=3-x,BE=5-J,AE=J.

33

作EF_LOC,垂足為凡如圖2,

易證CD^/XEFB',

.B，EF3-ByF

B，DCD3-xx

：.B'尸=J，

3

AOB'=B'F+OF=B'F+A￡=-^-x+^-x=-^-x,

333

：.CB'=0C-OB'=5-辿x，

3

在RtZ\8'CQ中，CB'=5-^-x,CD=x,B'D=BD=3-x,

3

由勾股定理得，CB，2+CD2^B'D2,

222

(5--^-x)+x=(3-x),

3x

解這個方程得，XI=1.5(舍去)，X2=O.9