專題21特殊的平行四邊形（45題）

一、單選題

1.（2024?重慶?中考真題）如圖，在矩形ABC。中，分別以點(diǎn)A和C為圓心，AQ長(zhǎng)為半徑畫弧，兩弧有且

僅有一個(gè)公共點(diǎn).若A￡>=4,則圖中陰影部分的面積為（）

B.16A/3-4TI

C.32-4兀D.1673-871

【答案】D

【分析】本題考查扇形面積的計(jì)算，勾股定理等知識(shí).根據(jù)題意可得AC=2">=8,由勾股定理得出

AB=m用矩形的面積減去2個(gè)扇形的面積即可得到結(jié)論.

【詳解】解：連接AC,

根據(jù)題意可得AC=2AD=8,

;矩形ABC。，AAD=BC=4,ZABC=90°,

在RtAABC中，AB=^AC2-BC2=473-

圖中陰影部分的面積=4x46一2X%*=16百-8%.

360

故選：D.

2.（2024?甘肅臨夏?中考真題）如圖，。是坐標(biāo)原點(diǎn)，菱形A30C的頂點(diǎn)5在x軸的負(fù)半軸上，頂點(diǎn)C的坐

標(biāo)為（3,4）,則頂點(diǎn)A的坐標(biāo)為（）

A.(-4,2)B.卜\Z^,4)C.(-2,4)D,4,-\/3j

【答案】C

【分析】本題考查平面直角坐標(biāo)系內(nèi)兩點(diǎn)間的距離公式，菱形的性質(zhì)，坐標(biāo)與圖形.結(jié)合菱形的性質(zhì)求出

AC=OC=5是解題關(guān)鍵.由兩點(diǎn)間的距離公式結(jié)合菱形的性質(zhì)可求出AC=OC=5,從而可求出AD=2,

即得出頂點(diǎn)A的坐標(biāo)為(-2,4).

【詳解】解:如圖,

???點(diǎn)C的坐標(biāo)為(3,4),

**-OC=V32+42=5-

?..四邊形ABOC為菱形，

AC=OC=5,

AD=AC-CD=AC—%=5—3=2,

頂點(diǎn)A的坐標(biāo)為(-2,4).

故選C.

3.(2024?湖北武漢?中考真題)小美同學(xué)按如下步驟作四邊形ABCD：①畫ZM4N；②以點(diǎn)A為圓心，1個(gè)

單位長(zhǎng)為半徑畫弧，分別交A",AN于點(diǎn)8,。；③分別以點(diǎn)B,O為圓心，1個(gè)單位長(zhǎng)為半徑畫弧，兩

弧交于點(diǎn)C；④連接BC,CD,BD.若NA=44。，則NC即的大小是()

【答案】C

【分析】本題考查了基本作圖，菱形的判定和性質(zhì)，根據(jù)作圖可得四邊形ABCD是菱形，進(jìn)而根據(jù)菱形的

性質(zhì)，即可求解.

【詳解】解：作圖可得AB=AD=3C=DC

，四邊形ABCD是菱形，

ADBC,ZABD=ZCBD

VZA=44°,

ZMBC=ZA=44°,

：.ZCBZ9=1（180°-ZMBC）=|（180°-44°）=68°,

故選：C.

4.（2024?四川成都?中考真題）如圖，在矩形A3CD中，對(duì)角線AC與5。相交于點(diǎn)。，則下列結(jié)論一定正

確的是（）

A.AB=ADB.AC1BDC.AC=BDD.ZACB=ZACD

【答案】C

【分析】本題考查矩形的性質(zhì)，根據(jù)矩形的性質(zhì)逐項(xiàng)判斷即可.

【詳解】解：：四邊形ABCD是矩形，

AAB=CD,AC=BD,AD//BC,則ZACB-ZMC,

選項(xiàng)A中AB=AD不一定正確，故不符合題意；

選項(xiàng)B中AC_Z.不一定正確，故不符合題意；

選項(xiàng)C中AC=3D一定正確，故符合題意；

選項(xiàng)D中/4cB=/4CD不一定正確，故不符合題意，

故選：C.

5.（2024.黑龍江綏化.中考真題）如圖，四邊形ABQ）是菱形，CD=5,BD=8,AE_L5c于點(diǎn)E,則AE

的長(zhǎng)是（）

【答案】A

【分析】本題考查了勾股定理，菱形的性質(zhì)，根據(jù)勾股定理求得0C,進(jìn)而得出AC=6,進(jìn)而根據(jù)等面積

法，即可求解.

【詳解】解：：四邊形A3CD是菱形，CD=5,BD=8,

/.DO=-BD=4,AC1BD,BC=CD=5,

2

在RtACDO中，CO=NDC。-DO。=3,

：.AC=2.OC=6,

:菱形A5CD的面積為工ACx2。=BCxAE,

2

故選：A.

6.(2024.河北?中考真題)在平面直角坐標(biāo)系中，我們把一個(gè)點(diǎn)的縱坐標(biāo)與橫坐標(biāo)的比值稱為該點(diǎn)的“特征

值”.如圖，矩形ABC。位于第一象限，其四條邊分別與坐標(biāo)軸平行，則該矩形四個(gè)頂點(diǎn)中“特征值”最小的

是()

A口[----------'B

x

A.點(diǎn)AB.點(diǎn)8C.點(diǎn)CD.點(diǎn)。

【答案】B

【分析】本題考查的是矩形的性質(zhì)，坐標(biāo)與圖形，分式的值的大小比較，設(shè)4(。,。)，AB=m,AD^n,

可得。(a,b+〃)，B(a+m,b),C(a+m,b+n),再結(jié)合新定義與分式的值的大小比較即可得到答案.

【詳解】解：設(shè)A(a,6),AB=m,AD=n,

??,矢巨形ABC。，

AD=BC=n,AB=CD=m,

AD^b+ri),+,C(tz+m,Z?+n),

bbb+n.bb+n

?----<-<----,而-----<-----,

a+maaa+ma+m

?,?該矩形四個(gè)頂點(diǎn)中“特征值”最小的是點(diǎn)B；

故選：B.

7.（2024.吉林?中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（-4,0）,點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0,2）.以04OC

為邊作矩形。1BC,若將矩形Q4BC繞點(diǎn)。順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。，得到矩形OAB'C,則點(diǎn)？的坐標(biāo)為（）

抄

B「

A.（T-2）B.（-4,2）C.（2,4）D.（4,2）

【答案】C

【分析】本題主要考查了坐標(biāo)與圖形變化一旋轉(zhuǎn)，矩形的性質(zhì)等等，先根據(jù)題意得到OA=4,OC=2,再

由矩形的性質(zhì)可得AB=OC=2,ZABC=90°,由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得。V=Q4=4,AB'=AB=2,

ZOAB'=90°,據(jù)此可得答案.

【詳解】解：,??點(diǎn)A的坐標(biāo)為（T,0）,點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0,2）,

AOA=4,OC=2,

?..四邊形。1BC是矩形，

AB=OC=2,ZABC=90°,

:將矩形。"C繞點(diǎn)。順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。，得到矩形OAB'C',

OA'=OA=4,ArB'=AB=2,ZOA'B'=90°,

ABUy軸，

.??點(diǎn)4的坐標(biāo)為（2,4）,

故選：C.

8.（2024?甘肅.中考真題）如圖，在矩形ABCD中，對(duì)角線AC,80相交于點(diǎn)。，ZABD=60°,AB=2,

【答案】C

【分析】根據(jù)矩形ABC。的性質(zhì)，^OA=OB=OC=OD=^AC,結(jié)合NASD=60。，得到AO3是等邊三

角形，結(jié)合AB=2,得到。4=OB=A8=gAC,解得即可.

本題考查了矩形的性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，熟練掌握矩形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

【詳解】根據(jù)矩形A5CD的性質(zhì)，nOA=OB=OC=OD=^AC,

'：ZABD=60°,

11Ao3是等邊三角形，

,/AB=2,

OA=OB=AB=—AC=2,

2

解得AC=4.

故選C.

9.（2024.四川眉山?中考真題）如圖，在矩形ABCD中，AB=6,BC=8,點(diǎn)E在。C上，jCVADE^AE

折疊，點(diǎn)。恰好落在BC邊上的點(diǎn)尸處，貝UcosNCE產(chǎn)的值為（）

A.立B.立C.-D,-

4344

【答案】A

【分析】本題考查了矩形的性質(zhì)，折疊的性質(zhì)，勾股定理，求角的三角函數(shù)等知識(shí)點(diǎn)，正確利用折疊的性

質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

根據(jù)折疊的性質(zhì)，可求得AF=AD=8,EF=DE,從而求得所，CF,在RtAEFC中，由勾股定理，得

EF2=CE2+CF2,即可求得結(jié)果.

【詳解】解：「四邊形A3CZ）是矩形，

,-.AD=BC=8,DC=AB=6,

把VADE沿AE折疊，點(diǎn)。恰好落在BC邊上的點(diǎn)尸處，

；.AF=AD=8,EF=DE,

BF=y/AF2-AB2=V82-62=2不，

:.CF=BC-BF=8-2幣，

在RtZXEFC中,

CE=DC-DE=6-EF,

由勾股定理，^EF2=CE2+CF2,

.-.￡F2=（6-EF）2+（8-2-/7

532-877

..EF=-----------,

3

,32-877_8A/7-14

33

8A/7-14

.,cosZCEF=^=^Z=^；

EF32-8V74

3

故選：A.

10.（2024?甘肅?中考真題）如圖1,動(dòng)點(diǎn)尸從菱形ABCD的點(diǎn)A出發(fā)，沿邊ABf3C勻速運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)

C時(shí)停止.設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)路程為x,PO的長(zhǎng)為與x的函數(shù)圖象如圖2所示，當(dāng)點(diǎn)尸運(yùn)動(dòng)到BC中點(diǎn)時(shí)，

PO的長(zhǎng)為（）

【答案】C

【分析】結(jié)合圖象，得到當(dāng)x=0時(shí)，PO=AO=A,當(dāng)點(diǎn)尸運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)8時(shí)，PO=30=2,根據(jù)菱形的性

質(zhì)，得/AOB=NBOC=90。，繼而得到AB=BC=4ON+OB—2行,當(dāng)點(diǎn)尸運(yùn)動(dòng)到8c中點(diǎn)時(shí)，尸O的

長(zhǎng)為解得即可.

本題考查了菱形的性質(zhì)，圖象信息題，勾股定理，直角三角形的性質(zhì)，熟練掌握菱形的性質(zhì)，勾股定理,

直角三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

【詳解】結(jié)合圖象，得到當(dāng)x=0時(shí)，PO=AO=4,

當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)B時(shí)，PO=BO=2,

根據(jù)菱形的性質(zhì)，得ZAOB=NBOC=90。,

故ABUBCUJOA+OB?=26，

當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到8C中點(diǎn)時(shí)，尸。的長(zhǎng)為［BC=J^,

2

故選c.

n.（2024?甘肅臨夏?中考真題）如圖1,矩形ABCD中，網(wǎng)）為其對(duì)角線，一動(dòng)點(diǎn)尸從。出發(fā)，沿著DfBfC

的路徑行進(jìn)，過(guò)點(diǎn)P作尸Q，8,垂足為Q.設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)路程為x,PQ-DQ為y,y與x的函數(shù)圖象

如圖2,則AQ的長(zhǎng)為

圖1

A,坦

B.D

334-T

【答案】B

【分析】本題考查了動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題的函數(shù)圖象，根據(jù)圖象得出信息是解題的關(guān)鍵.

根據(jù)函數(shù)的圖象與坐標(biāo)的關(guān)系確定8的長(zhǎng)，再根據(jù)矩形性質(zhì)及勾股定理列方程求解.

【詳解】解：由圖象得：CD=2,當(dāng)BD+3尸=4時(shí)，PQ=CD=2,此時(shí)點(diǎn)P在邊上,

設(shè)此時(shí)=則3/)=4—a,AD-BC—2+a,

在RtBCD中，BD--BC2CD1,

即：(”小(4+2)2=2"

2

解得：

Q

AD=a+2=—

3

故選：B.

12.（2024?廣西?中考真題）如圖，邊長(zhǎng)為5的正方形ABC。，E,F,G,X分別為各邊中點(diǎn)，連接AG,BH,

CE,DF,交點(diǎn)分別為M,N,P,Q,那么四邊形MNPQ的面積為（

A.1B.2C.5D.10

【答案】c

【分析】先證明四邊形MNP。是平行四邊形，利用平行線分線段成比例可得出22=P。，AM=QM,證

明,ADG烏54”(SAS)得出ZZMG=ZABH,則可得出NQMN=ZAMB=90。，同理NAQ￡>=90。，得出平行

四邊形MNP。是矩形，證明ADQ^fiW(AAS),得出。2=4M,進(jìn)而得出DQ=AM=PQ=QM,得出

矩形MNPQ是正方形，在Rt^A。。中，利用勾股定理求出QU=S,然后利用正方形的面積公式求解即可.

【詳解】解：：四邊形ABCD是正方形，

AAB=BC=CD=DA,AB//CD,AD//BC,ZDAB=ZABC=ZBCD=ZCDA=90°,

,:E,F,G,H分別為各邊中點(diǎn)，

/.CG=DG=-CD=AH,AE=-AB,

22

DG=CG=AE,

...四邊形AECG是平行四邊形,

：.AG//CE,

同理。尸BH,

.?.四邊形跖VP。是平行四邊形，

AG//CE,

.DQ=DG

PQ~CG~，

DQ=PQ,

同理AW=QM,

VDG=AH,ZADG=ZBAH=90°,AD=BA,

：.ADG^BAH(SAS),

ZDAG=ZABH,

ZDAG+ZGAB=90°,

ZABH+ZGAB=90°,

：.ZQMN=ZAMB=90°,同理NAQ￡)=90°,

平行四邊形MNP。是矩形，

VZAQD=ZAMB=90°,ZDAG=ZABH,AD=BA,

：.ADQ^BAM(AAS),

：.DQ=AM,

又DQ=PQ,AM=QM,

：.DQ=AM^PQ=QM,

矩形MNP。是正方形,

在RtZ\AOQ中，AD2=DQ2+AQ2,

：.=QM-+（2QM^,

：.QM2=5,

正方形"NPQ的面積為5,

故選：C.

【點(diǎn)睛】本題考查了正方形的判定與性質(zhì)，全等三角形判定與性質(zhì)，平行線分線段成比例，勾股定理等知

識(shí)，明確題意，靈活運(yùn)用相關(guān)知識(shí)求解是解題的關(guān)鍵.

13.（2024?內(nèi)蒙古呼倫貝爾?中考真題）如圖，邊長(zhǎng)為2的正方形ABCD的對(duì)角線AC與相交于點(diǎn)0.E

是3C邊上一點(diǎn)，尸是3。上一點(diǎn)，連接￡>￡防.若與，DEC關(guān)于直線DE對(duì)稱，則△3EF的周長(zhǎng)

是（）

A.2>/2B.2+>/2C.4-20D.0

【答案】A

【分析】本題考查了正方形的性質(zhì)和折疊的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題型，熟練掌握正方形的性質(zhì)和折疊的性質(zhì)是

解題的關(guān)鍵.根據(jù)正方形的性質(zhì)可求出8。=20，根據(jù)軸對(duì)稱的性質(zhì)可得小=DC=2,

ZDFE=ZBCD=90°則BF=BD-DF=26-2，再求出政=3F=20-2，BE=y/2BF=4-2y/2，即

可求出答案.

【詳解】解：正方形A3CD的邊長(zhǎng)為2,

/.BC=DC=2,ZBCD=90°,DO=-BD,NCBD=45°,

2

BD=^BC~+DC-=2V2，

J）EF與DEC關(guān)于直線DE對(duì)稱，

DF=DC=2,ZDFE=ZBCD=90°,

:.BF=BD-DF=2&-2,/BFE=90°,

：.ZFBE=ZFEB=45°,

EF=BF=2垃-2,

3"=危尸=拒（20—2）=4-2夜，

ABEF的周長(zhǎng)是BE+政+2尸=4-20+20-2+20-2=20，

故選：A.

14.（2024?上海?中考真題）四邊形ABCD為矩形，過(guò)A、C作對(duì)角線8。的垂線，過(guò)5、。作對(duì)角線AC的垂

線，如果四個(gè)垂線拼成一個(gè)四邊形，那這個(gè)四邊形為（）

A.菱形B.矩形C.直角梯形D.等腰梯形

【答案】A

【分析】本題考查矩形性質(zhì)、等面積法、菱形的判定等知識(shí)，熟練掌握矩形性質(zhì)及菱形的判定是解決問(wèn)題

的關(guān)鍵.由矩形性質(zhì)得到S.BC=SOA。，OC=O3=Q4=OD,進(jìn)而由等面積法確定===

再由菱形的判定即可得到答案.

【詳解】解：如圖所示：

四邊形ABCD為矩形,

=

SOBCS0AD,OC=OB=OA=OD,

過(guò)A、C作對(duì)角線BD的垂線，過(guò)8、。作對(duì)角線AC的垂線，

：?S麗=SCAD=-OCBF=-OBCH=-ODAE=-OADG

C?DCUAL）2222

CH=BF=AE=DG,

如果四個(gè)垂線拼成一個(gè)四邊形，那這個(gè)四邊形為菱形，

故選：A.

15.（2024?四川德陽(yáng)?中考真題）寬與長(zhǎng)的比是更二1的矩形叫黃金矩形，黃金矩形給我們以協(xié)調(diào)的美感,

2

世界各國(guó)許多著名建筑為取得最佳的視覺效果，都采用了黃金矩形的設(shè)計(jì).已知四邊形ABCD是黃金矩

形.（AB<8C）,點(diǎn)尸是邊AD上一點(diǎn)，則滿足PBLPC的點(diǎn)尸的個(gè)數(shù)為（）

A.3B.2C.1D.0

【答案】D

【分析】本題考查了矩形的性質(zhì)，勾股定理，一元二次方程的解，熟練掌握勾股定理，利用判別式判斷一

元二次方程解的情況是解題的關(guān)鍵.設(shè)=BC=b,假設(shè)存在點(diǎn)P,且AP=x,則尸D=>-x,利用

勾股定理得到BP2=AB-+AP-=a2+x2,PC2=PD2+CD2=(b-x)2+a2,BC2=BP'+PC2,可得到方程

x2-bx+a2=0,結(jié)合四=0=心二1,然后根據(jù)判別式的符號(hào)即可確定有幾個(gè)解，由此得解.

BCb2

【詳解】解：如圖所示，四邊形A3CD是黃金矩形，AB<BC,四=由二1,

BC2

^AB=a,BC=b,假設(shè)存在點(diǎn)P,S.AP=x,則尸D=6—x,

在RtA3尸中，BP2^AB2+AP2^a2+x2,

在RtPDC中，PC2=PD2+CD2=(b-x)2+a2,

PBLPC,

BC2=BP2+PC2,HPb1=cr+X1+QJ-X)1+a2,

整理得*—Zw+a?=0，

A=Z>2-4ac=b2-4a2>=—=—~~-,a=—―-b,

BCb22

2(A/5-1)22r2

A=b2-4ac=b2-4a2=b2-4~。=(275-5)b2,

4

275-5<0,Z?2>0,

A=Z>2-4a2=(2A/5-5)Z>2<0,

方程無(wú)解，即點(diǎn)P不存在.

故選：D.

16.(2024.四川瀘州?中考真題)如圖，在邊長(zhǎng)為6的正方形ABCD中，點(diǎn)E,尸分別是邊AB,5c上的動(dòng)

點(diǎn)，且滿足AE=3/，"與DE交于點(diǎn)。，點(diǎn)M是。尸的中點(diǎn)，G是邊A3上的點(diǎn)，AG=2G3,則OM+：FG

2

的最小值是（）

A.4B.5C.8D.10

【答案】B

【分析】本題主要考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)與判定，直角三角形的性質(zhì)，勾股定理等等，

先證明ADE空.A4F（SAS）得到=進(jìn)而得到4X方=90。，則由直角三角形的性質(zhì)可得

0M=g。/，如圖所示，在A3延長(zhǎng)線上截取=BG,連接五”，易證明FBGm.FBH（SAS）,則FH=FG,

可得當(dāng)H、D、E三點(diǎn)共線時(shí)，。廠+班'有最小值，即此時(shí)OM+；PG有最小值，最小值即為￡歸的長(zhǎng)的

一半，求出A"=8,在RtAD”中，由勾股定理得DH=辦b+AH。=10，責(zé)任OM+g/G的最小值為

5.

【詳解】解：：四邊形A3CD是正方形，

AD=AB,/DAB=ZABC=90°,

又：AE=BF,

空BAF（SAS）,

/.ZADE=ZBAF,

NDOF=ZADO+ZDAO=ZBAF+ZDAO=ZDAB=90°,

?點(diǎn)M是DF的中點(diǎn)，

：.OM=-DF-

2

如圖所示，在AB延長(zhǎng)線上截取3=BG,連接FH,

ZFBG=ZFBH=90°,FB=FB,BG=BH,

，一FBGm二FBH(SAS),

：,FH=FG,

：.OM+-FG=-DF+-HF=-(DF+HF},

2222、)

...當(dāng)X、D、尸三點(diǎn)共線時(shí)，止+〃F有最小值，即此時(shí)有最小值，最小值即為的長(zhǎng)的一

半，

VAG^2GB,AB=6,

BH=BG=2,

：.AH=8,

在RtADH中，由勾股定理得DH=VAD2+AH2=10>

的最小值為5,

故選：B.

17.(2024.重慶?中考真題)如圖，在邊長(zhǎng)為4的正方形ABCD中，點(diǎn)E是3c上一點(diǎn)，點(diǎn)尸是8延長(zhǎng)線上

一點(diǎn)，連接AE,AF,4〃平分NE4尸.交。于點(diǎn)若BE=DF=1,則DM的長(zhǎng)度為()

【分析】本題主要考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)與判定，勾股定理，先由正方形的性質(zhì)得到

NABE=NADC=NADF=NC=90。,AB=AD=CD=BC=4,再證明"BE絲△ADP(SAS)得到

AE=AF,進(jìn)一步證明△AEMgAAMIl(SAS)得到=設(shè)=貝|

EM=FM=DF+DM=x+1,CM=CD-DM=4-x,

在RtaCEM中，由勾股定理得(X+1)2=32+(4-X『，解方程即可得到答案.

【詳解】解：：四邊形A3CD是正方形，

ZABE=ZADC=ZADF=ZC=90°,AB=AD=CD=BC=4,

又：BE=DF=1,

AABE^AADF(SAS),

/.AE=AF,

,：AM平分NE4/L

ZEAM=ZFAM,

X'-AM=AM,

：.AAEM/AAFM(SAS),

EM=FM,

設(shè)￡>M=x,則￡M=fM=￡>b+￡>A/=x+l,CM=CD-DM=4-x,

在RtACEM中，由勾股定理得EM2=CE2+CM2,

：.(X+1)2=32+(4-X)\

解得％=?12，

r)M=y,

故選：D.

二、填空題

18.（2024.福建?中考真題）如圖，正方形ABCO的面積為4,點(diǎn)E,F,G,H分別為邊AB,BC,CD,

AD的中點(diǎn)，則四邊形EFGH的面積為.

【答案】2

【分析】本題考查正方形性質(zhì)，線段中點(diǎn)的性質(zhì)，根據(jù)正方形性質(zhì)和線段中點(diǎn)的性質(zhì)得到m=OG=1,

進(jìn)而得到S°GR，同理可得SMEMSEFBUSCGFU），最后利用四邊形￡FGH的面積=正方形ABCD的面積

T個(gè)小三角形面積求解，即可解題.

【詳解】解：.?正方形ABCD的面積為4,

：.AB=BC=CD=AD=2,ID90?,

點(diǎn)、E,F,G,H分別為邊AB,BC,CD,AD的中點(diǎn)，

：.HD=DG=1,

sDGH=—^1x1=—,

同理可得S.E=S.EFB=SCGF=5，

四邊形EFGH的面積為4_g_（_!_!=2.

2222

故答案為：2.

19.（2024?山東威海?中考真題）將一張矩形紙片（四邊形ABC。）按如圖所示的方式對(duì)折，使點(diǎn)C落在

上的點(diǎn)C處，折痕為MN,點(diǎn)。落在點(diǎn)。處，C力交AD于點(diǎn)￡.若BM=3,BC'=4,AC'=3,則

DN=.

【答案】|3

【分析】本題考查矩形的折疊問(wèn)題，全等三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，先根據(jù)勾股定理求出

C'M=CM=5,然后證明3cM&AEC',得到8C'=AE=4,W=C'E=5,即可得到DE=4,UE=2,

然后在RtzM)aV中，利用NE2=+￡)32解題即可.

【詳解】解：在RtC⑸0中,CM=1cB2+BAf2="+3。=5，

由折疊可得CM=CM=5,NDCM=ZD,=ZD=ZC=90°,

又：ABCD是矩形，

ZA=ZB=90°,

ZBC'M+ZAC'E=ZAEC+ZAC'E=90°,

ZBC'M=ZAEC,

又；AC'=5Af=3,

.BC'M^AEC,

3C'=AE=4,MC'=C'E=5,

：.AB=CD=C'D'=1,BC=AD=BM+CM=3+5=8,

：.DE=AD-AE=8-4=4,O'E=C'。'—C'E=7—5=2,

設(shè)DN=DN=a,貝i]E/V=4—a,

在RtADW中，NE1=D'E2+D'N1,即(4-a)2=a2+22,

3

解得：?=

3

故答案為

20.（2024?河南?中考真題）如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,正方形ABCD的邊A3在無(wú)軸上，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（-2,0）,

點(diǎn)E在邊CO上.將一BCE沿8E折疊，點(diǎn)C落在點(diǎn)尸處.若點(diǎn)尸的坐標(biāo)為（0,6），則點(diǎn)E的坐標(biāo)為.

【答案】（3,10）

【分析】設(shè)正方形ABCD的邊長(zhǎng)為a,CO與y軸相交于G,先判斷四邊形AOGD是矩形，得出OG=AD=a,

DG^AO,NEG廠=90。，根據(jù)折疊的性質(zhì)得出族=BC=a,CE=FE,在Rt^BOb中，利用勾股定理

構(gòu)建關(guān)于。的方程，求出a的值，在Rt或才中，利用勾股定理構(gòu)建關(guān)于CE的方程，求出CE的值，即可

求解.

【詳解】解：設(shè)正方形A3CD的邊長(zhǎng)為a,CO與y軸相交于G,

則四邊形AOGD是矩形,

AOG=AD=a,DG=AO,ZEGF=90°,

;折疊,

:.BF=BC=a,CE=FE,

:點(diǎn)A的坐標(biāo)為(—2,0)，點(diǎn)F的坐標(biāo)為(0,6),

AO=2,FO=69

BO=AB—AO=a—2,

在RtZXBO尸中，BO2+FO2=BF2,

：.(a-2)2+62=a2,

解得a=10,

FG=OG-OF=4,GE=CD-DG-CE=8-CE,

在RtEG尸中，GE2+FG2=EF2,

：.（8-CE）2+42=CE2,

解得CE=5,

:.GE=3,

；.點(diǎn)￡的坐標(biāo)為（3,10）,

故答案為：（3,10）.

【點(diǎn)睛】本題考查了正方形的性質(zhì)，坐標(biāo)與圖形，矩形的判定與性質(zhì)，折疊的性質(zhì)，勾股定理等知識(shí)，利

用勾股定理求出正方形的邊長(zhǎng)是解題的關(guān)鍵.

21.（2024?廣西?中考真題）如圖，兩張寬度均為3cm的紙條交叉疊放在一起，交叉形成的銳角為60。，則

重合部分構(gòu)成的四邊形ABCD的周長(zhǎng)為cm.

【答案】873

【分析】本題考查了平行四邊形的判定，菱形的判定和性質(zhì)，菱形的周長(zhǎng)，過(guò)點(diǎn)A作A",5c于M,

AN1CD于N,由題意易得四邊形ABCD是平行四邊形，進(jìn)而由平行四邊形的面積可得AM=AN,即可

得到四邊形ABC。是菱形，再解可得=2限m,即可求解，得出四邊形ABCD是菱

sm60

形是解題的關(guān)鍵.

【詳解】解：過(guò)點(diǎn)A作AM_L8C于A/,ANLCD于N,則N/WD=90。，

???兩張紙條的對(duì)邊平行，

AB//CD,AD//BC,

四邊形ABCD是平行四邊形，

又???兩張紙條的寬度相等，

：.AM=AN,

*.*SABCD=BC-AM=CD-AN,

:.BC=CD,

四邊形ABC。是菱形,

在RtZXADN中，ZADN=60°,AN=3cm,

2

.??四邊形ABCD的周長(zhǎng)為2有x4=873cm,

故答案為：8g.

22.(2024?天津.中考真題)如圖，正方形A3CD的邊長(zhǎng)為3vL對(duì)角線AC,應(yīng)＞相交于點(diǎn)。，點(diǎn)E在C4的

延長(zhǎng)線上，OE=5,連接。E.

(1)線段AE的長(zhǎng)為;

(2)若尸為OE的中點(diǎn)，則線段AF的長(zhǎng)為

【答案】2叵己回

22

【分析】本題考查正方形的性質(zhì)，中位線定理，正確添加輔助線、熟練運(yùn)用中位線定理是解題的關(guān)鍵;

(1)運(yùn)用正方形性質(zhì)對(duì)角線互相平分、相等且垂直，即可求解，

(2)作輔助線，構(gòu)造中位線求解即可.

【詳解】（1）四邊形ABCD是正方形,

:.OA=OC=OD=OB,ZDOC=90°

.,.在RtOOC中，。獷+必“。?,

DC=3立,

OD=OC=OA=OB=3,

OE=5

AE=OE-OA=5-3=2；

（2）延長(zhǎng)DA到點(diǎn)G,使AG=AD,連接石G

由E點(diǎn)向AG作垂線，垂足為〃

:尸為DE的中點(diǎn)，A為GD的中點(diǎn)，

"為△DGE的中位線，

在Rt△及田中，ZEAH=NDAC=45°,

:.AH=EH

AH2+EH2=AE2,

:.AH=EH=垃

:.GH=AG-AH=36-垃=2垃

在RtZ\E"G中，.1或^=EH2+G〃2=2+8=10,

.-.EG=410

題為△QGE的中位線,

..AF——EG-------;

22

故答案為：2；叵.

2

23.（2024?內(nèi)蒙古包頭?中考真題）如圖，在菱形A3CD中，ZABC=60°,AB=6,AC是一條對(duì)角線，E

是AC上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)E作EF1,AB,垂足為P，連接OE.若CE=AF,則DE的長(zhǎng)為

DC

【答案】2幣

【分析】本題考查了菱形的性質(zhì)，等邊三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理等知識(shí)，過(guò)。作于X,

先判斷ABC,ACD都是等邊三角形，得出ZE4F=60。，AC=AB=6,AH=CH=^AC=3,利用含30。

的直角三角形的性質(zhì)可得出AE=2AF=2CE,進(jìn)而求出CE,HE,然后利用勾股定理求解即可.

【詳解】解：過(guò)。作于人

AAB=BC=CD=AD,ZADC=ZABC=60°,

「ABC,ACD都是等邊三角形，

/./EAF=60°,AC-AB-6,AH=CH=—AC=3,

2

?/EF±AB,

：.ZAEF=30°,

/.AE=2AF,

又CE=AF,

：.AE=2CE,

：.CE=2,

：.HE=CH-CE=1,

在RtACDH中，DH2=CD2-CH2=27,

DE=y/DH2+HE2=2A/7，

故答案為：2幣.

24.（2024?廣東?中考真題）如圖,菱形ABCD的面積為24,點(diǎn)E是AB的中點(diǎn)，點(diǎn)廠是BC上的動(dòng)點(diǎn).若ABEF

的面積為4,則圖中陰影部分的面積為.

c

【答案】10

【分析】本題考查了菱形的性質(zhì)，三角形中線的性質(zhì)，利用菱形的性質(zhì)、三角形中線的性質(zhì)求出=6,

BF2BF

SABF=8,根據(jù)和菱形的面積求出3=；,除=2,則可求出。歹的面積，然后利用

BC3CF

S陰影=S菱形ABC。—SADE—SBEF~SCDF求解即可.

【詳解】解：連接AF、BD,

:菱形ABCD的面積為24,點(diǎn)E是A3的中點(diǎn)，△班產(chǎn)的面積為4,

=

SADE=3S9=5X5S菱形ABCD=6，ABF2s.BEF=^,

設(shè)菱形ABC。中BC邊上的高為h,

c-BFhLBF

則SABF=2,即8,2,

S菱形ABCDBC-h24BC

.BF_2

??一，

BC3

.上2,

CF

c-BF-hRF

?'ABF=2=絲_=2

CF

S.CDF-CF-h

2

?,^/\CDF=4,

S陰影=S菱形488-SADE—SBEF-SCDF=10,

故答案為：10.

25.（2024.浙江?中考真題）如圖，在菱形ABCD中，對(duì)角線AC,3。相交于點(diǎn)。，—線段A8與A0

BD3

關(guān)于過(guò)點(diǎn)。的直線/對(duì)稱，點(diǎn)8的對(duì)應(yīng)點(diǎn)在線段OC上，A0交。于點(diǎn)E,貝IB'CE與四邊形OB'ED的

面積比為________

【分析】此題考查了菱形的性質(zhì)，軸對(duì)稱性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)和判定等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是掌握以上

知識(shí)點(diǎn).

設(shè)AC=10a,BD=6a,首先根據(jù)菱形的性質(zhì)得到Q4=OC=工AC=5。，02=OD=工2。=3。，連接AD,

22

OE,直線/交8c于點(diǎn)R交AD于點(diǎn)G,得到點(diǎn)A,D,。三點(diǎn)共線，AD=AO-OD=2a,

SB，2a2

B'C=OC-OB'=2a,產(chǎn)"=*=*=￡，然后證明出A'ED空CEB'（AAS）,得到AE=CE,然后證

SOEB.OB3a3、/

明出ODE空OB'E（SSS）,得到S“E=SOB，E，進(jìn)而求解即可.

【詳解】???四邊形ABCD是菱形，黑=：

DD3

設(shè)AC=10々，BD=6a

：.OA=OC=-AC=5a,OB=OD=-BD=3a

22

如圖所示，連接A￡）,OE,直線/交3C于點(diǎn)凡交AD于點(diǎn)G,

??,線段AB與AE關(guān)于過(guò)點(diǎn)。的直線/對(duì)稱，點(diǎn)8的對(duì)應(yīng)點(diǎn)9在線段OC上,

ZBOF=ZCOF=-ZBOBr=45°,AO=AO=5a,OBr=OB=3a

2

：.ZAOG=ZDOG=45°

???點(diǎn)A,D,。三點(diǎn)共線

：.AD=AO-OD=2a,B,C=OC-OB,=2a

.SCEB'_B'C_2a_2

一s。「而一高一§

ULD

A!D=B'C

?；CD//AB

NCDO=ZABO

由對(duì)稱可得，ZA'B'O=ZABO

：.ZAB'O^ZCDO

：.ZA'DE=NCB'E

又：ZAED=ZCEB'

組CE?（AAS）

NE=CE

'：AB'=AB=CD

/.DE=B'E

又,：OD=OB',OE=OB'

.ODE沿，OB'E（SSS）

???c°ODE=~q0OB'E

,SCEB，_SCEB'_2=2=1

S四邊形o&E￡）S0EB'+SODE3+363

故答案為：;.

26.（2024?黑龍江綏化?中考真題）在矩形ABC。中，AB=4cm,5C=8cm,點(diǎn)E在直線AD上，且。￡=2cm,

則點(diǎn)E到矩形對(duì)角線所在直線的距離是cm.

【答案】型或述或26

55

【分析】本題考查了矩形的性質(zhì)，解直角三角形，設(shè)AC8。交于點(diǎn)。，點(diǎn)用在線段相（上，旦在相）的

延長(zhǎng)線上，過(guò)點(diǎn)昂苞作AC,的垂線，垂足分別為耳耳，鳥，進(jìn)而分別求得垂線段的長(zhǎng)度，即可求解.

【詳解】解：：四邊形ABCD是矩形，AB=4,BC=8,

AD=BC=8,CD=AB=4,

**-AC=^AD2+CD2="2+8?=4A/5

o7/541

?*.sinZCA￡>=—=^==—,cos/CW=3=￡^,tan/CW=—二—

AC44554乖582

如圖所示，設(shè)AC8。交于點(diǎn)。，點(diǎn)用在線段A。上，魚在AD的延長(zhǎng)線上，過(guò)點(diǎn)昂馬作AC，8D的垂

線，垂足分別為耳9,瑪

,/AO=DO

：.ZOAD=ZODA

當(dāng)E在線段AD上時(shí),

AEt=AD-DE=S-2=6

在RtAEE中，耳居=AE「sin/CAO=^x6=W

ZOAD^ZODA

在Rt中，丹瑪=￡>￡；sin/E|Dg=2*（=羋；

當(dāng)E在射線A￡）上時(shí)，

21

在Rt。。當(dāng)中，twZDCE2=-=-

：.ZCAD=ZDCE

：.ZDCE^ZDCA=90°

：.E2C1AC

?,?廢==6+42=26,

在RtDE2F3中,E2F3=DE2xsinZE2DF3=DE2x^-=

綜上所述，點(diǎn)E到對(duì)角線所在直線的距離為：當(dāng)或述或2宕

55

故答案為：吟或處或2下.

55

三、解答題

27.（2024.陜西?中考真題）如圖，四邊形ABCD是矩形，點(diǎn)E和點(diǎn)廠在邊BC上，且BE=CF.求證：AF=DE.

【答案】見解析

【分析】本題考查了矩形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì).根據(jù)矩形的性質(zhì)得到AB=CD,4=4=90。,

再推出利用SAS證明/絲△DCE,即可得到=

【詳解】證明：：四邊形A5CD是矩形，

/.AB=DC,ZB=ZC=9O°,

,:BE=CF,

：.BE+EF=CF+EF,BPBF=CE,

：.ABF四&DCE（SAS）,

：.AF=DE.

28.（2024?吉林長(zhǎng)春?中考真題）如圖，在四邊形A3CD中，ZA=ZB=9O°,。是邊48的中點(diǎn),

ZAOD^ZBOC.求證：四邊形ABCD是矩形.

【分析】本題考查全等三角形的判定與性質(zhì)、平行四邊形的判定及矩形的判定，熟練掌握判定定理是解題

關(guān)鍵.利用SAS可證明△49。絲ABOC,得出AO=3C,根據(jù)/4=々=90。得出4）〃2。，即可證明四

邊形ABCD是平行四邊形，進(jìn)而根據(jù)有一個(gè)角是直角的平行四邊形是矩形即可證明四邊形ABCD是矩形.

【詳解】證明：：。是邊A3的中點(diǎn)，

OA=OB,

ZA=NB=90°

在△AOD和.3OC中，\OA=OB

ZAOD=ZBOC

：.△AOD^ABOC,

/.AD=BC,

ZA=ZB=90°,

AD//BC,

四邊形ABCD是平行四邊形，

,/ZA=ZB=90°,

四邊形ABC。是矩形.

29.(2024?青海?中考真題)綜合與實(shí)踐

順次連接任意一個(gè)四邊形的中點(diǎn)得到一個(gè)新四邊形，我們稱這個(gè)新四邊形為原四邊形的中點(diǎn)四邊形.數(shù)學(xué)

興趣小組通過(guò)作圖、測(cè)量，猜想：原四邊形的對(duì)角線對(duì)中點(diǎn)四邊形的形狀有著決定性作用.

以下從對(duì)角線的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系兩個(gè)方面展開探究.

【探究一】

原四邊形對(duì)角線關(guān)系中點(diǎn)四邊形形狀A(yù)

不相等、不垂直平行四邊形

('

圖1

如圖1,在四邊形ABCD中，E、F、G、H分別是各邊的中點(diǎn).

求證：中點(diǎn)四邊形EFG"是平行四邊形.

證明：：E、F、G、”分別是43、BC、CD、D4的中點(diǎn)，

:.EF、G”分別是ABC和ACD的中位線，

：.EF=-AC,GH=-AC(①)

22

EF=GH.

同理可得：EH=FG.

；?中點(diǎn)四邊形EFGH是平行四邊形.

結(jié)論：任意四邊形的中點(diǎn)四邊形是平行四邊形.

(1)請(qǐng)你補(bǔ)全上述過(guò)程中的證明依據(jù)①

【探究二】

原四邊形對(duì)角線關(guān)系中點(diǎn)四邊形形狀火

不相等、不垂直平行四邊形

AC=BD菱形

從作圖、測(cè)量結(jié)果得出猜想I:原四邊形的對(duì)角線相等時(shí)，中點(diǎn)四邊形是菱形.

(2)下面我們結(jié)合圖2來(lái)證明猜想I,請(qǐng)你在探究一證明結(jié)論的基礎(chǔ)上，寫出后續(xù)的證明過(guò)程.

【探究三】

原四邊形對(duì)角線關(guān)系中點(diǎn)四邊形形狀1

￡/

不相等、不垂直平行四邊形/

Q1

8)D

L一

FJ

AC1BD②________

圖3

(3)從作圖、測(cè)量結(jié)果得出猜想H：原四邊形對(duì)角線垂直時(shí)，中點(diǎn)四邊形是②.

(4)下面我們結(jié)合圖3來(lái)證明猜想II,請(qǐng)你在探究一證明結(jié)論的基礎(chǔ)上，寫出卮綾的證明過(guò)程.

【歸納總結(jié)】

(5)請(qǐng)你根據(jù)上述探究過(guò)程，補(bǔ)全下面的結(jié)論，并在圖4中畫出對(duì)應(yīng)的圖形.

中點(diǎn)四邊形形狀

原四邊形對(duì)角線關(guān)系

③________④__________

結(jié)論：原四邊形對(duì)角線③時(shí)，中點(diǎn)四邊形是④

【答案】(1)①中位線定理

(2)證明見解析

(3)②矩形

(4)證明見解析

(5)補(bǔ)圖見解析；③4。13。且47=3￡＞；④正方形

【分析】本題考查了三角形中位線定理，平行四邊形的判定和性質(zhì)，菱形的判定和性質(zhì)，矩形的判定和性

質(zhì)等知識(shí)

(1)利用三角形中位線定理即可解決問(wèn)題；

(2)根據(jù)三角形中位線定理，菱形判定定理即可解決問(wèn)題；

(3)根據(jù)三角形中位線定理，矩形判定定理即可解決問(wèn)題；

(4)根據(jù)三角形中位線定理，矩形判定定理即可解決問(wèn)題；

(5)根據(jù)三角形中位線定理，正方形判定定理即可解決問(wèn)題.

【詳解】(1)①證明依據(jù)是：中位線定理；

(2)證明：；E、F、G、H分別是AB、BC、CD、D4的中點(diǎn),

/.EF、GH分別是，ABC和ACD的中位線，

AEF=-AC,GH=-AC

22

：?EF=GH.

同理可得：EH=FG.

'：AC^BD

：.EF=GH=EH=FG

，中點(diǎn)四邊形EFGH是菱形.

(3)②矩形;

故答案為：矩形

(4)證明：E、F、G、”分別是AB、BC、CD、D4的中點(diǎn)，

:.EF、G”分別是,ASC和ACD的中位線，

：.EF〃AC,GH//AC,

：.EF//GH.

同理可得：EH//FG.