矩形存在性問題復習講義

方法指導

二次函數(shù)綜合題中的矩形存在性問題一般涉及兩動頂點、兩定頂點，且其中一動頂點在某條線上運動，設為第一

動頂點，另一動頂點隨第一動頂點的變化而變化，設為第二動頂點，即只要確定第一動頂點的位置，就可確定第

二動頂點的位置.

解決此類問題時，可利用轉化思想，將矩形存在性問題轉化為直角三角形存在性問題，利用垂直求“k”值、定點定

長法、“一線三直角”模型法、勾股定理法求出第一動頂點的坐標，繼而利用平移變換或線段中點坐標公式求出第

二動頂點的坐標.

典型例題

類型1無限制動點求解

例1(2022.黔東南州中考節(jié)選)如圖，拋物線y=ax2+2x+c的對稱軸是x=l,與x軸交于點A,B(3,0),與y軸交

于點C,連接AC,BC.

⑴求此拋物線的函數(shù)解析式.

(2)已知E是拋物線對稱軸上一點，在坐標平面內是否存在點F,使得以B,C,E,F為頂點的四邊形是矩形?若存

在，請直接寫出點F的坐標；若不存在，請說明理由.

解:⑴：拋物線y=ax2+2x+c的對稱軸是x=l,與x

軸交于點A,B(3,0),；.A(-l,0),

.(a-2+c=0,翩彳日(a=-1,

"19a+6+c=0,喇守tc=3,

??.拋物線的函數(shù)解析式為y=-/+2x+3.

(2)存在.

設E(l,t),F(m,n).

將x=0代入y=—x2+2x+3彳導y=3,

.\C(0,3).

VB(3,0),

222

BC=32+32=18,BE=(3—l)+產=/+4,CE2=12+?-3)2=產―6t+10.

若以B,C,E,F為頂點的四邊形是矩形，則只需△BCE是直角三角形即可.

分三種情況：

①當乙CEB=90。時,如圖所示.

此時CE2+BE2=B*即t2-6t+10+t2+4=18解得t=書且或3-V17

21

點E的坐標為(1，手)或(1，手)

四邊形BECF是矩形,；.BC,EF互相平分.

又???B(3,0),C(0,3),

.4,Q.3+V17.—p.3—V17.

???zn+1=N0+3,ri-I--------=0n+3o或nH--------=n0+Q3,

解得m=2,n=上/或n=2爐,

二點F的坐標為(2-1)或(2-弓斗

②當/ECB=90。時，如圖所示

此時CE2+BC2=BE?,即產—6t+10+18=產+4,解得t=4,

，點E的坐標為(1,4).

四邊形BCEF是矢巨形,；.BE,CF互相平分.

又???B(3,0),C(0,3),

...m+0=l+3,n+3=0+4,解得m=4,n=l,

.??點F的坐標為(4,1).

③當/CBE=90。時，如圖所示.

此時BE2+BC2=CE?,即產+4+18=產_6t+10解得t=-2,

；?點E的坐標為(1,-2).

1?,四邊形BEFC是矩形,，BF,CE互相平分.

又???B(3,0),C(0,3),

/.m+3=l+0,n+0=3-2,解得m=-2,n=1,

???點F的坐標為(-2,1).

I

E

綜上所述,點F的坐標為(2，2盧)或(2,產)或(4,1)或(-2,1).

類型2限制邊/對角線

例2如圖，在平面直角坐標系中，直線y=-3"+6與x軸交于點A,與y軸交于點B,C是線段0A上一點，把

△COB沿直線BC翻折，點0恰好落在AB上的點D處,BC為折痕.

(1)求線段人8的長.

(2)求直線BC的函數(shù)解析式.

⑶若M是射線BC上的一個動點，在坐標平面內是否存在點P,使得以A,B,M,P為頂點的四邊形是以AB為

邊的矩形?若存在，請求出點P的坐標；若不存在，請說明理由.

解：(1)對于直線y=-：刀+6,

當x=0當y=6;當y=0時,x=8,

A(8,0),B(0,6),OA=8,OB=6.

在RtAAOB中,AB=>JOA2+OB2=V82+62=10.

⑵由折疊的性質知AOBC0ZiDBC,

.?.OC=DC,BD=BO=6,

；.AD=AB-BD=4.

設OC=t，則DC=t,AC=8—t.

2

在RtAACD中，由勾股定理，得CD?+AD2=xc,

即產+42=(8—曠,解得t=3,

即OC=3,；.C(3,0).

設直線BC的函數(shù)解析式為y=kx+b(k/)).

將B(0,6),C(3,0)代入，得「解得=

直線BC的函數(shù)解析式為y=-2x+6.

(3)存在.

若以A,B,M,P為頂點的四邊形是以AB為邊的矩形，則只需AABM是以AB為直角邊的直角三角形即可.

分兩種情況討論：（①=90°;②N4BM=90°.

又,/M是射線BC上的一個動點，

；?不存在.NABM=90。,故只有Z.BAM=90。一種情況，如圖所示.

,/M是射線BC上的一個動點,

設M(m,-2m+6)(m>0),

???AM2—(m—8)2+(—2m+6)2=5m2-40m+100

BM2—m2+(—2m+6—6)2=5m2.

???^BAM=90°,AB2+AM2=BM2,

即100+5m2-40m+100=5m2,

解得m=5,

VA(8,0),B(0,6),

根據(jù)平移規(guī)律可得P(-3,2).

故點P的坐標為(-3,2).

強化訓練

1.如圖，已知二次函數(shù)y=ax2{aH0)與一次函數(shù)y=kx-2的圖象相交于A(-1,-1),B兩點

⑴求a,k的值及點B的坐標.

⑵點M在拋物線上，點N在坐標平面內，是否存在點M，使得以A,B,M,N為頂點的四邊形是矩形?若存在，

請直接寫出點M的坐標；若不存在，請說明理由2(2021.濟南中考節(jié)選)如圖，直線y=|久與雙曲線y=40)交

于A,B兩^■點，點A的坐標為(m,-3).

⑴求k的值并直接寫出點B的坐標.

(2)若P是坐標軸上的點，Q是平面內一點，是否存在點P,Q，使得四邊形ABPQ是矩形?若存在，請求出所有符

合條件的點P的坐標；若不存在，請說明理由.

3.(2022?黔西南州中考改編)如圖，在平面直角坐標系中，經(jīng)過點A(4,0)的直線AB與y軸交于點B(0,4),經(jīng)過原點O

的拋物線y=-x2+bx+c交直線AB于點A,C,拋物線的頂點為D.

⑴求拋物線的函