線性代數主講人：何童線性代數教材：《經濟數學——線性代數》第二版吳傳生等編高等教育出版社參考書：《線性代數》第五版同濟大學編高等教育出版社

《線性代數》

居余馬等編清華大學出版社

《線性代數復習指導》

馬杰編機械工業出版社和矩陣的初等變換線性方程組的消元法矩陣的初等變換第一章線性方程組的消元法第一節線性方程組的消元法一、線性方程組的基本概念1.線性方程組的定義由一次方程構成的方程組稱為線性方程組。例如而方程組為非線性方程組。線性方程組的一般表達形式：若常數項均為0，則稱方程組為齊次線性方程組，否則，稱為非齊次線性方程組

.若分別用代替時，線性方程組的解：

對線性方程組（*）（*）中的每一個方程都成為恒等式，則稱為方程組（*）的一個解。例如（0，0，0）為一個解解零解非零解解有解無解唯一解無窮多解（5，1，-3）為一個解（5c,c,-3c)為一個解（c為任意常數）方程組解的全體稱為它的解集合。解方程組實際上是找出它的全部解。如果兩個方程組有相同的解集合，它們就稱為是同解的.

2.線性方程組的線性組合線性方程的加法：將兩個線性方程(1)(2)的左右兩邊相加得到如下的新線性方程：稱為原來兩個線性方程的和。線性方程乘常數：將線性方程兩邊同乘以已知常數，線性方程與常數相乘，也稱為方程的數乘。得到一個新的線性方程：線性方程的線性組合：將線性方程(1)和(2)分別乘兩個已知常數再將所得的兩個方程相加，得到新方程：(3)稱為原來兩個方程(1)和(2)的一個稱為這個線性方程的組合系數。注：1.每一個方程都是所有這些方程的線性組合。

2.將(1)和(2)看作一個線性方程組，其任意組解一定是線性組合(3)的解。線性組合，若方程組(I)和(II)互為線性組合，則稱這兩個方程組等價，等價的線性方程組一定同解。將方程組(I)變成同解方程組(II)的過程稱為同解變換。對給定的兩個線性方程組(I)和(II)，如果(II)中每個方程都是(I)中方程的線性組合，就稱方程組(II)是方程組(I)的線性組合。二、線性方程組的消元法1、線性方程組的初等變換例1

解線性方程組解：第二個方程減去第一個方程的2倍，第三個方程減去第一個方程，就變成將上面的第二個方程與第三個方程互換，即得將第三個方程減去第二個方程的4倍，得將第三個方程兩邊乘1/3，得階梯形方程組用“回代”的方法求出解：即：小結：

1．用消元法解方程組的過程中，始終把方程組看作一個整體變形，用到如下三種變換（1）交換方程次序；（2）以不等于０的數乘某個方程；（3）一個方程加上另一個方程的k倍．（以替換）定義1上述三種變換均稱為線性方程組的初等變換．（以替換）（與相互替換）2．上述三種變換都是可逆的．由于三種變換都是可逆的，所以變換前的方程組與變換后的方程組是同解的．故這三種變換是同解變換．定理1線性方程組的初等變換總是把方程組變成同解方程組．2、利用初等變換解一般線性方程組(化為階梯型方程組)2、利用初等變換解一般線性方程組(化為階梯型方程組)2、利用初等變換解一般線性方程組(化為階梯型方程組)2、利用初等變換解一般線性方程組(化為階梯型方程組)2、利用初等變換解一般線性方程組(化為階梯型方程組)下面考察方程組解的情況：例：此時方程組有唯一解此時方程組有無窮多解注：自由未知量的取法不唯一。

例2求解線性方程組解階梯形方程組于是解得(2)定理2在齊次線性方程組證明：顯然，方程組在化成階梯型方程組之后，方程個數不會超過原方程組中方程個數，即第二節矩陣的初等變換1.線性方程組的解取決于系數常數項一、矩陣及其初等變換對線性方程組的研究可轉化為對這張表的研究.線性方程組的系數與常數項按原位置可排為由個數排成的m

行n

列的數表稱為m

行n

列矩陣.簡稱矩陣.記作定義1簡記為元素是實數的矩陣稱為實矩陣,元素是復數的矩陣稱為復矩陣.主對角線副對角線本書中的矩陣如不特別說明，都是指實矩陣。例如是一個實矩陣,是一個復矩陣,是一個矩陣,是一個矩陣,是一個矩陣.例如是一個3階方陣.幾種特殊矩陣(2)只有一行的矩陣稱為行矩陣(或行向量).行數與列數都等于的矩陣，稱為階方陣.也可記作只有一列的矩陣稱為列矩陣(或列向量).

稱為對角矩陣(或對角陣）.（3）形如的方陣,不全為0記作注意不同階數的零矩陣是不相等的.例如（4）元素全為零的矩陣稱為零矩陣，零矩陣記作或.（5）方陣稱為單位矩陣（或單位陣）.全為1同型矩陣與矩陣相等的概念

1.兩個矩陣的行數相等,列數相等時,稱為同型矩陣.例如為同型矩陣.

2.兩個矩陣為同型矩陣,并且對應元素相等,即則稱矩陣相等,記作例如若且A=B則有a=-1;b=2;c=0;d=3。矩陣的轉置A'=（1）定義

設是一個矩陣，把A的各行都變為列，不改變它們前后的順序而得到的矩陣，稱為A的轉置矩陣，記為A'

（或AT）即線性方程組稱為方程組的系數矩陣；稱為方程組的增廣矩陣。下面三種變換稱為矩陣的初等行變換:定義2一般，將具有下述三條性質的關系稱為等價關系．同理可定義矩陣的初等列變換(所用記號是把“r”換成“c”)．初等行變換和初等列變換統稱為矩陣的初等變換.定義3線性方程組的初等變換，對應著其增廣矩陣的初等行變換。對于例１,其一一對照過程如下例1

解線性方程組由所對應的由所對應的即：例2求解線性方程組解：用矩陣的初等行變換解方程組二、利用矩陣的初等變換解線性方程組對應的方程組為特點：（1）可劃出一條階梯線，線的下方全為零；（2）每個臺階只有一行，臺階數即是非零行的行數；（3）階梯線的豎線后面的第一個元素為非零元，即非零行的第一個非零元．注意：行最簡形矩陣是由方程組唯一確定的，行階梯形矩陣的行數也是由方程組唯一確定的．特點：二、將增廣矩陣經過初等行變換化為行最簡形矩陣；利用矩陣初等變換解線性方程組三