PAGE平面直角坐標系知識講解【要點梳理】要點一、有序數對定義：把有順序的兩個數a與b組成的數對，叫做有序數對，記作(a，b)．要點詮釋：有序，即兩個數的位置不能隨意交換，(a，b)與(b，a)順序不同，含義就不同，如電影院的座位是6排7號，可以寫成(6，7)的形式，而(7，6)則表示7排6號．要點二、平面直角坐標系及點的坐標的概念1.平面直角坐標系在平面內畫兩條互相垂直、原點重合的數軸就組成平面直角坐標系.水平的數軸稱為x軸或橫軸，習慣上取向右為正方向；豎直的數軸稱為y軸或縱軸，取向上方向為正方向，兩坐標軸的交點為平面直角坐標系的原點(如圖1).要點詮釋：平面直角坐標系是由兩條互相垂直且有公共原點的數軸組成的.2.點的坐標平面內任意一點P，過點P分別向x軸、y軸作垂線，垂足在x軸、y軸上對應的數a，b分別叫做點P的橫坐標、縱坐標，有序數對（a,b）叫做點P的坐標，記作:P(a,b)，如圖2.要點詮釋：（1）表示點的坐標時，約定橫坐標寫在前，縱坐標寫在后，中間用“，”隔開．（2）點P(a，b)中，|a|表示點到y軸的距離；|b|表示點到x軸的距離.(3)對于坐標平面內任意一點都有唯一的一對有序數對(x，y)和它對應,反過來對于任意一對有序數對，在坐標平面內都有唯一的一點與它對應，也就是說，坐標平面內的點與有序數對是一一對應的．要點三、坐標平面1.象限建立了平面直角坐標系以后，坐標平面就被兩條坐標軸分成如圖所示的Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ四個部分，分別叫做第一象限、第二象限、第三象限和第四象限，如下圖．要點詮釋：（1）坐標軸x軸與y軸上的點(包括原點)不屬于任何象限．（2）按方位來說：第一象限在坐標平面的右上方，第二象限在左上方，第三象限在左下方，第四象限在右下方.2.坐標平面的結構坐標平面內的點可以劃分為六個區域：x軸，y軸、第一象限、第二象限、第三象限、第四象限.這六個區域中，除了x軸與y軸有一個公共點（原點）外，其他區域之間均沒有公共點.要點四、點坐標的特征1.各個象限內和坐標軸上點的坐標符號規律要點詮釋：（1）對于坐標平面內任意一個點，不在這四個象限內，就在坐標軸上.（2）坐標軸上點的坐標特征：x軸上的點的縱坐標為0；y軸上的點的橫坐標為0．（3）根據點的坐標的符號情況可以判斷點在坐標平面上的大概位置；反之，根據點在坐標平面上的位置也可以判斷點的坐標的符號情況．2.象限的角平分線上點坐標的特征第一、三象限角平分線上點的橫、縱坐標相等，可表示為(a，a)；第二、四象限角平分線上點的橫、縱坐標互為相反數，可表示為(a，-a)．3.關于坐標軸對稱的點的坐標特征P(a，b)關于x軸對稱的點的坐標為(a,-b)；P(a，b)關于y軸對稱的點的坐標為(-a,b)；P(a，b)關于原點對稱的點的坐標為(-a,-b)．4.平行于坐標軸的直線上的點平行于x軸的直線上的點的縱坐標相同；平行于y軸的直線上的點的橫坐標相同.【典型例題】類型一、有序數對表示位置 1．如圖是小剛的一張笑臉，他對妹妹說：如果我用（0,2）表示左眼，用（2,2）表示右眼，那么嘴的位置可以表示成（）．A．（1，0）B．（-1，0）C．（-1，1）D．（1，-1）【思路點撥】由（0，2）表示左眼，用（2，2）表示右眼，可以確定平面直角坐標系中x軸與y軸的位置，從而可以確定嘴的位置．【答案】A．【解析】解：根據（0，2）表示左眼，用（2，2）表示右眼，

可得嘴的坐標是（1，0），

故答案為A．【總結升華】此題考查了坐標確定位置，由已知條件正確確定坐標軸的位置是解決本題的關鍵．舉一反三：【變式】下列數據不能表示物體位置的是（）．A．5樓6號B．北偏東30°C．希望路20號D．東經118°，北緯36°【答案】B（提示A.5樓6號，是有序數對，能確定物體的位置；B.北偏東30°，不是有序數對，不能確定物體的位置；C.希望路20號，“希望路”相當于一個數據，是有序數對，能確定物體的位置；D.東經118°北緯36°，是有序數對，能確定物體的位置．）類型二、平面直角坐標系與點的坐標的概念2.有一個長方形ABCD，長為5，寬為3，先建立一個平面直角坐標系，在此坐標系下求出A，B，C，D各點的坐標.【答案與解析】解：本題答案不唯一，現列舉三種解法.解法一：以點A為坐標原點，邊AB所在的直線為x軸，邊AD所在直線為y軸，建立平面直角坐標系，如圖（1）：A（0，0），B（5，0），C（5，3），D（0，3）.解法二：以邊AB的中點為坐標原點，邊AB所在的直線為x軸，AB的中點和CD的中點所在的直線為y軸，建立平面直角坐標系，如圖（2）：A（﹣2.5，0），B（2.5，0），C（2.5，3），D（-2.5，3）.解法三：以兩組對邊中點所在直線為x軸、y軸，建立平面直角坐標系，如圖（3）：A（﹣2.5，-1.5），B（2.5，-1.5），C（2.5，1.5），D（-2.5，1.5）.【總結升華】在不同平面直角坐標系中，長方形頂點坐標不同，說明位置的相對性與絕對性，即只要原點、x軸和y軸確定，每一個點的位置也確定，而一旦原點或x軸、y軸改變，每一個點的位置也相對應地改變.舉一反三：【變式】點A(m，n)到x軸的距離為3，到y軸的距離為2，則點A的坐標為________．【答案】(2，3)或(-2，3)或(-2，-3)或(2，-3).3.平面直角坐標系中，已知△ABC三個頂點的坐標分別是A(-3，-1)，B(1，3)，C(2，-3)．求△ABC的面積．【思路點撥】三角形的三邊都不與坐標軸平行，根據平面直角坐標系的特點，可以將三角形的面積轉化為梯形或長方形的面積減去多余的直角三角形的面積，即可求得此三角形的面積．【答案與解析】解：如圖所示，過點A、C分別作平行于y軸的直線與過B點平行于x軸的直線交于點D、E，則四邊形ACED為梯形，根據點A(-3，-1)、B(1，3)、C(2，-3)可求得AD＝4，CE＝6，DB＝4，BE＝1，DE＝5，所以△ABC的面積為：．【總結升華】點的坐標能體現點到坐標軸的距離，解決平面直角坐標系中的三角形面積問題，就是要充分利用這一點，將不規則圖形轉化為規則圖形，再利用相關圖形的面積計算公式求解．舉一反三：【變式】如圖所示，已知A1(1，0)，A2(1，1)，A3(-1，1)，A4(-1，-1)，A5(2，-1)，……，則點A2008的坐標為________．【答案】(-502，-502)．類型三、坐標平面及點的特征4.在平面直角坐標系中，點（﹣1，m+1）一定在第________象限．【思路點撥】根據點在第二象限的坐標特點解答即可．【答案】二.【解析】解：∵點（﹣1，m+1）的橫坐標﹣1＜0，縱坐標m+1＞0，∴符合點在第二象限的條件，故點（﹣1，m2+1）一定在第二象限．【總結升華】本題主要考查平面直角坐標系中各象限內點的坐標的符號．舉一反三：【變式1】點P(－m,n)在第三象限，則m，n的取值范圍是________.【答案】．【變式2】在平面直角坐標系中，橫、縱坐標滿足下面條件的點，分別在第幾象限或哪條坐標軸上．(1)點P(x，y)的坐標滿足xy＞0．(2)點P(x，y)的坐標滿足xy＜0．（3）點P(x，y)的坐標滿足xy=0．【答案】(1)點P在第一、三象限；(2)點P在第二、四象限；（3）x軸或y軸.【變式3】若點C(x,y)滿足x+y＜0，xy＞0，則點C在第_____象限.【答案】三．5.一個正方形的一邊上的兩個頂點O、A的坐標為O(0，0)，A(4，0)，則另外兩個頂點的坐標是什么．【思路點撥】有點的坐標說明已有確定的平面直角坐標系，但正方形的另兩個頂點位置不確定，所以應按不同位置分類去求．【答案與解析】解：不妨設另外兩個頂點為B、C，因為OABC是正方形，所以OC＝BA＝BC＝OA＝4．且OC∥AB，OA∥BC，則：(1)當頂點B在第一象限時，如圖所示，顯然B點坐標為(4，4)，C點坐標為(0，4)．(2)當頂點B在第四象限時，如圖所示，顯然B點坐標為(4，-4)，C點坐標為(0，-4)．【總結升華】在解答這類問題時，我們千萬不要忽略了分類討論而導致錯誤．舉一反三：【變式】在平