高中數學精編資源2/2《分類加法計數原理與分類乘法計數原理》題型突破重難點突破1.解決計數問題的常用方法(1)枚舉法將各種情況通過樹狀圖、表格等方法一一列舉出來分類計數時將問題分類,實際上就是將分類種數一一列舉出來.枚舉法是解決問題的一種基本方法,當計數的種數不是很多時,都可以用此方法解決.(2)特殊優先原則法解含有特殊元素、特殊位置的計數問題,一般應先安排特殊元素,優先確定特殊位置,再考慮其他元素與其他位置,體現解題過程中的主次思想(3)間接法若計數時分類較多,或無法直接計算時,可用間接法,先求出沒有限制條件的種數,再減去不滿足條件的種數,2.解決較為復雜的計數問題時,注意合理分類,準確分步(1)處理計數問題,應緊扣兩個計數原理,根據具體問題弄清楚是要“分類”還是要“分步”,并搞清楚“分類”或者“分步”的具體標準.(2)分類時要滿足兩個條件:①類與類之間要互斥(保證不重復);②總數要完備(保證不遺漏).也就是要確定一個合理的分類標準.(3)分步時應按事件發生的連貫過程進行分析,必須做到“步”與“步”之間互相獨立,互不干擾,并確保連續性.典型例題剖析題型1用枚舉法解決問題例1.4個人各寫1張賀年卡,放在一起,然后每個人取1張不是自己寫的賀年卡,共有多少種不同取法？解析:可以把4個人編號,用一、二、三、四表示,各自的卡片用1,2,3,4表示,用表格的形式一一列舉出來.也可以將問題轉化為組數問題來解決.答案:方法一:把4個人編號,分別為一、二、三、四,他們寫的4張賀年卡依次為1,2,3,4號,則取1張不是自己寫的賀年卡的各種方法全部列舉出來如表所示:共有9種不同取法.方法二:將該問題轉化為“用這4個數字組成無重復數字的四位數,要求1不在個位、2不在十位、3不在百位、4不在千位,則這樣的四位數有多少個”.因此,可分三步,第1步,確定個位數,有3種不同的方法;第2步,確定把1放到十位、百位、千位中的任一位上,也有3種不同的方法;第3步,余下的兩個數字只有一種方法.由分步乘法計數原理可得不同的分配方法數為.總結歸納:解此類“看似簡單,實則煩瑣”題的關鍵是選用枚舉法求解.用枚舉法需要注意做到不重不漏.變式訓練1算籌是一種有效的計算工具,為我國古代數學的發展作出了很大貢獻.在算籌計數法中,以“縱式”和“橫式”兩種方式來表示數字,如圖:表示多位數時,個位用縱式,十位用橫式,百位用縱式,千位用橫式,依此類推,遇零則置空,如圖:如果把5根算籌以適當的方式全部放入下面的表格中,那么可以表示的三位數的個數為()A.46 B.44 C.42 D.40 答案:B解析:按每一數位上算籌的根數分類,一共有15種情況,如下:,,1),.2根及2根以上的算籌可以表示兩個數字,根據分步乘法計數原理,上面情況能表示的三位數的個數分別為:.根據分類加法計數原理,5根算籌能表示的三位數的個數為.題型2用特殊優先原則解決問題例2有共5個數字.(1)可以排成多少個三位數?(2)可以排成多少個能被2整除的無重復數字的三位數?解析:(1)因為三位數的百位數字不能為0,所以百位是特殊位置,0是特殊元素,故可以優先排百位或優先排特殊元素0;(2)特殊位置是百位和個位,特殊元素是.答案:(1)三位數的百位數字不能為0,但可以有重復數字,首先考慮百位的排法,除0外共有4種方法,十位數字、個位數字可以為.因此,共有種排法.即可以排成100個三位數.(2)被2整除的數即偶數,個位數字可為,因此,可以分兩類,一類是個位數字是0,則有種排法;另一類是個位數字不是0,則個位可能是2或4,因0不能在百位,所以百位有3種排法,十位有3種排法,因此有種排法.因而有種排法.即可以排成30個能被2整除的無重復數字的三位數.易錯提示:如果不分析特殊元素與特殊位置,在計算中容易出現“重”或“漏”的情況.因此,對于這一類問題,一般要先分析特殊元素與特殊位置.變式訓練2已知集合,且.(1)可以表示多少個不同的二次函數?(2)可以表示多少個圖象開口向上的二次函數?答案:(1)因為不能取0,所以有5種取法.有6種取法,有6種取法.所以可以表示個不同的二次函數.(2)二次函數的圖象開口向上時,不能取小于等于0的數,所以有2種取法.有6種取法,有6種取法.所以可以表示個圖象開口向上的二次函數.題型3用間接法解決問題例3從黃瓜、白菜、油菜、扁豆4種蔬菜品種中選出3種,分別種在不同土質的3塊土地上,其中黃瓜必須種植,不同的種植方法有()A.24種 B.18種 C.12種 D.6種 解析:方法一:(直接法)若黃瓜種在第1塊土地上,則不同的種植方法種數為.同理,黃瓜種在第2塊、第3塊土地上不同的種植方法種數均為.故不同的種植方法種數為.方法二:(間接法)從4種蔬菜中選出3種種在3塊土地上,不同的種植方法種數為,其中不種黃瓜的方法種數為,故不同的種植方法種數為.答案:B總結歸納:若計數時分類較多,或無法直接計算,可用間接法,先求出沒有限制條件的種數,再減去不滿足條件的種數.變式訓練3從集合中任取2個不同的數,作為直線的系數,則最多形成不同的直線的條數為()A.18B.20C.25D.10答案:解析:第1步,給賦值有5種選擇;第2步,給賦值有4種選擇.由分步乘法計數原理可得不同選擇的方法數為.又因為,與表示同一直線,與也表示同一直線,所以最多形成不同的直線的條數為.題型4兩個計數原理的綜合應用例4某藝術小組有9人,每人至少會鋼琴和小號中的一種樂器,其中7人會鋼琴,3人會小號,從中選出會鋼琴與小號的各1人,有多少種不同的選法?解析:9人中有1人會兩種樂器,所以以這個人是否入選為標準進行分類.答案:由題意可知,在藝術小組9人中,有且僅有1人既會鋼琴又會小號(把該人稱為“多面手”),只會鋼琴的有6人,只會小號的有2人,把選出會鋼琴、小號各1人的方法分為兩類:第1類,多面手人選,另1人只需從其他8人中任選1人,故這類選法共有8種.第2類,多面手不人選,則會鋼琴者只能從只會鋼琴的6人中選出,會小號者也只能從只會小號的2人中選出,故這類選法共有種.因此,根據分類加法計數原理,共有種不同的選法.方法指導:利用兩個計數原理的解題策略:應用兩個計數原理解決實際問題時,可能會“先分類后分步”或“先分步后分類”,要根據題目要求進行選擇.在“分類”時要道循“不重不漏”的原則,在“分步”時要正確設計“分步”的程序.變式訓練4有不同的語文書9本,不同的數學書7本,不同的英語書5本,從中選出不屬于同一學科的書2本,則不同的選法有()A.21種B.315種C.153種D.143種答案:D解析:由題意,選1本語文書1本數學書有種選法,選1本數學書1本英語書有種選法,選1本語文書1本英語書有種選法,所以共有種選法.規律方法總結1.分類加法計數原理與分步乘法計數原理是兩個最基本,也是最重要的原理,是解答計數問題的基礎.2.應用分類加法計數原理要求分類的每一種方法都能把事情獨