2.1兩條直線的位置關系第2課時

垂線與垂線段1.了解垂線的有關概念、性質及畫法，了解點到直線的距離的概念；（重點）2.能夠運用垂線的有關性質進行運算，并解決實際問題.（難點）

觀察下面圖片,你能找出其中相交的直線嗎?它們有什么特殊的位置關系?日常生活中，如圖中的兩條直線的關系很常見，你能再舉出其他例子嗎？ba1243想一想：兩條相交直線在什么情況下是垂直的？120°60°120°90°90°90°垂直這是兩條直線相交的特殊情況.探究一：垂直的定義與表示如圖,已知∠1=60°,那么∠2=

，∠3=

，∠4=

.改變圖中∠1的大小，若∠1=90°,則∠2=

，∠3=

，∠4=

，這時兩條直線的關系是

.

兩條直線相交成四個角,如果有一個角是直角,那么稱這兩條直線互相垂直,其中一條直線叫作另一條直線的垂線，它們的交點叫做垂足.垂直是兩直線相交的一種特例.1.垂直的定義?注意：(1)線段與線段、線段與射線、射線與射線、線段與直線、射線與直線垂直,指它們所在的直線互相垂直;(2)兩條直線互相垂直,則形成的四個角為直角.反之,要說明兩條直線垂直,只要說明這兩條直線相交成的角中有一個角為直角即可.通常用符號“⊥”表示兩條直線互相垂直.2.垂直的表示方法DCBAOOlm如圖：如果直線AB與直線CD垂直，記作：AB⊥CD（或CD⊥AB）；直線l與m垂直，記作l⊥m.其中，點O是垂足.ACBDE解：CE⊥CD，理由如下：∵∠ACE=31°，∠DCB=59°,∴∠ECD=180°-∠ACE-∠DCB=180°-31°-59°

=90°.∴CE⊥CD.例1

如圖，C為直線AB上一點，過點C引兩條射線CE，CD，且∠ACE=31°，∠DCB=59°.那么CE，CD的位置關系是什么?為什么?(1)如圖,O為直線AB上一點，∠AOC＝∠BOC，那么OC與AB垂直嗎？為什么？ABCO由∠AOC＝∠BOC，且∠AOC+∠BOC＝180°，可得∠AOC＝∠BOC=90°，所以OC⊥AB.(2)以下是小穎的思考過程，她的想法正確嗎？你知道她每一步的依據嗎?與同伴進行交流.(3)如果OC⊥AB，那么∠AOC＝∠BOC嗎？因為OC⊥AB，所以∠AOC＝∠BOC=90°.探究二：垂線的畫法(1)你能用折疊的方法折出互相垂直的直線嗎？試試看！(2)如果只有直尺，你能在方格紙上畫出已知直線的垂線嗎？你還能再畫出兩條互相垂直的直線嗎？畫已知直線的垂線有三種方法：(1)用三角尺畫垂線;(2)用量角器畫垂線;(3)借助網格紙畫垂線.C例2

下列各圖中,過直線l外的點P畫直線l的垂線,三角尺操作正確的是(

)探究三：垂線的性質和點到直線的距離做一做：(1)畫已知直線l的垂線能畫幾條?

l可以畫無數條1.放2.靠3.畫(2)如圖，點A在直線l上,過點A畫直線l的垂線，你能畫出多少條?可以畫一條.

lA

1.放2.靠3.移4.畫.(3)如圖，點A在直線l外,過點A畫直線l的垂線，你能畫出多少條呢?根據以上操作，你能得出什么結論

lA

1.放2.靠3.移4.畫可以畫一條..同一平面內，過一點有且只有一條直線與已知直線垂直.?注意：1.“過一點”中的點，可以在已知直線上，也可以在已知直線外；2.“有且只有”中，“有”指存在，“只有”指唯一性.垂線的性質1：線段PO最短.（4）如圖所示，P是直線l外一點,PO⊥l,點O是垂足.點A,B,C在直線l上,比較線段PO,PA,PB,PC的長短,你發現了什么?直線外一點與直線上各點連接的所有線段中，垂線段最短.簡單說成：垂線段最短.垂線的性質2：點到直線的距離：如圖所示，過點A作直線l的垂線,垂足為B,線段AB的長度叫做點A到直線l的距離.432.4例3如圖所示，在三角形ABC中,∠ACB=90°,CD⊥AB,垂足為D.若AC=4cm,BC=3cm,AB=5cm,則點A到直線BC的距離為

cm,點B到直線AC的距離為

cm,點C到直線AB的距離為

cm.

D解析：點到直線的距離是該點到這條直線的垂線段的長度,而垂線段是該點與直線上各點的連線中最短的,從條件看,PC是三條線段中最短的,但不一定是所有線段中最短的,所以點P到直線m的距離應該是不大于2cm.例4P為直線m外一點，A,B,C為直線m上的三點，PA=4cm，PB=5cm，PC=2cm,則點P到直線m的距離 (

)A.等于4cm B.等于2cmC.小于2cm D.不大于2cmC2.P為直線l外一點,A,B,C為直線l上的三點,PA=3cm,PB=4cm,PC=5cm,則點P到直l的距離(

)A.等于2cm B.等于3cmC.小于3cm D.不大于3cmD1.如圖所示，直線AB，CD相交于點O，下列條件中，不能說明AB⊥CD的是(

)A.∠AOD=90°B.∠AOC=∠BOCC.∠BOC+∠BOD=180°D.∠AOC+∠BOD=180°垂線段最短65°3.如圖所示,已知點O在直線AB上,CO⊥DO.若∠1=155°,則∠3的度數為

.

4.如圖所示，單位要在河岸l上建一個水泵房引水到C處.他們的做法是:過點C作CD⊥l于點D,將水泵房建在了D處.這樣做最節省水管,其數學道理是

.

解:如圖,過點A畫CB的垂線,交CB的延長線于點E.E根據點到直線的距離的定義:從直線外一點到這條直線的垂線段的長度,叫這點到這條直線的距離.可得AE的長度即為點A到直線CB的距離.5.如圖所示，過點A畫CB的垂線,并指出哪條線段的長度表示點A到直線CB的距離.解:∵AB⊥CD,∴∠COB=90°.∴∠EOB=90°-∠COE=90°-35°=55°.∴∠BOF=180°-∠EOB=180°-55°=125°.故∠EOB的度數是55°,∠BOF的度數是125°.6.如圖所示，直線AB，CD，EF都經過點O，且AB⊥CD，∠COE=35°，求∠EOB，∠BOF的度數.垂直的定義垂線的畫法垂線的性質點到直線的距離兩條直線的位置關系當兩條直