2025高考數學考點剖析精創專題卷九-計數原理與概率統計一、選擇題1．某校文藝部有4名學生，其中高一、高二年級各2名.從這4名學生中隨機選2名組織校文藝匯演，則這2名學生來自不同年級的概率為()A. B. C. D.2．將甲、乙等5名同學分別保送到北京大學、上海交通大學、浙江大學三所大學就讀，則每所大學至少保送一人的不同保送方法有()A.120種 B.150種 C.180種 D.240種3．在的展開式中，只有第五項的二項式系數最大，則展開式中的系數是()A. B. C. D.74．拋擲一枚質地均勻的骰子兩次，記{兩次的點數均為奇數}，{兩次的點數之和為8}，則()A. B. C. D.5．已知服從正態分布的隨機變量在區間，和內取值的概率分別為68.26%，95.44%和99.74%.若某校高二年級1000名學生的某次考試成績X服從正態分布，則此次考試成績在區間內的學生大約有()A.477人 B.136人 C.341人 D.131人6．某工廠為了對研發的一種產品進行合理定價，將該產品按事先擬定的價格進行試銷，得到如下數據：單價x（元）99.29.49.69.810銷量y（件）1009493908578預計在今后的銷售中，銷量與單價仍然服從這種線性相關關系，且該產品的成本是5元/件，為使工廠獲得最大利潤，該產品的單價應定為()參考公式：對于一組數據，，…，，其回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計分別為，.參考數據：，.A.9.4元 B.9.5元 C.9.6元 D.9.7元7．某高中為了積極響應國家“陽光體育運動”的號召,調查該校3000名學生每周平均體育運動時長的情況,從高一、高二、高三三個年級學生中按照的比例進行分層隨機抽樣,收集了300名學生每周平均體育運動時長（單位:小時）的數據,整理后得到如圖所示的頻率分布直方圖.下列說法不正確的是()A.估計該校學生每周平均體育運動時長為5.8小時B.估計該校高一年級學生每周平均體育運動時長不足4小時的人數為300C.估計該校學生每周平均體育運動時長不少于8小時的百分比為10%D.估計該校學生每周平均體育運動時長不少于8小時的人數為6008．甲、乙、丙三人參加“社會主義核心價值觀”演講比賽，若甲、乙、丙三人能榮獲一等獎的概率分別為，，，且三人是否獲得一等獎相互獨立，則這三人中至少有兩人獲得一等獎的概率為()A.14 B. C. D.二、多項選擇題9．我國新冠肺炎疫情防控進入常態化，各地有序推動復工復產.下面是某地連續11天的復工、復產指數折線圖.根據該折線圖，()A.這11天復工指數和復產指數均逐日增加B.在這11天期間，復產指數的增量大于復工指數的增量C.第3天至第11天，復工指數和復產指數都超過D.第9天至第11天，復產指數的增量大于復工指數的增量10．已知的展開式中共有7項，則該二項展開式中()A.所有項的二項式系數和為64 B.所有項的系數和為1C.二項式系數最大的項為第4項 D.有理項共有4項11．紅、黃、藍被稱為三原色，選取任意幾種顏色調配，可以調配出其他顏色.已知同一種顏色混合顏色不變，等量的紅色加黃色調配出橙色，等量的紅色加藍色調配出紫色，等量的黃色加藍色調配出綠色.現有紅、黃、藍顏料各2瓶，甲同學從6瓶中任取2瓶顏料，乙同學再從余下的4瓶中任取2瓶顏料，兩人分別進行等量調配，A表示事件“甲同學調配出紅色”，B表示事件“甲同學調配出綠色”，C表示事件“乙同學調配出紫色”，則下列說法正確的是()A. B.C. D.事件B與事件C相互獨立三、填空題12．一個三位自然數百位、十位、個位上的數字依次為a，b，c，當且僅當有兩個數字的和等于第三個數字時稱為“有緣數”（如213，134等）.若，且a，b，c互不相同，則這個三位數為“有緣數”的概率是_________.13．已知隨機變量X有三個不同的取值，分別是0，1，x，其中，又，，則隨機變量X方差的最小值為__________.14．將8張連號的門票分給5個家庭，甲家庭需要3張連號的門票，乙家庭需要2張連號的門票，剩余的3張門票隨機分給其余的3個家庭，并且甲、乙兩個家庭不能連排在一起（甲、乙兩個家庭內部成員的順序不予考慮），則這8張門票不同的分配方法有_________種.四、解答題15．為了解學生的周末學習時間（單位：小時）,高一年級某班班主任對本班40名學生某周末的學習時間進行了調查,將所得數據整理繪制出如圖所示的頻率分布直方圖.根據直方圖所提供的信息：(1)用分層抽樣的方法在和中共抽取6人成立學習小組,再從該小組派3人接受檢測,求檢測的3人來自同一區間的概率;(2)估計這40名同學周末學習時間的分位數.16．2020年，是人類首次成功從北坡登頂珠峰60周年，也是中國首次精確測定并公布珠峰高程的45周年.華為幫助中國移動開通珠峰峰頂5G，有助于測量信號的實時開通，為珠峰高程測量提供通信保障，也驗證了超高海拔地區5G信號覆蓋的可能性，在持續高風速下5G信號的穩定性，在條件惡劣地區通過簡易設備傳輸視頻信號的可能性.正如任總在一次采訪中所說：“華為公司價值體系的理想是為人類服務.”有人曾問，在珠峰開通5G的意義在哪里？“我認為它是科學技術的一次珠峰登頂，告訴全世界，華為5G、中國5G的底氣來自哪里.現在，5G的到來給人們的生活帶來更加顛覆性的變革，某IT公司基于領先技術的支持，5G經濟收入在短期內逐月攀升，該IT公司在1月份至6月份的5G經濟收入y（單位：百萬元）關于月份x的數據如下表所示，并根據數據繪制了如圖所示的散點圖.月份x123456收入y（百萬元）6.68.616.121.633.041.0（1）根據散點圖判斷，與(a，b，c，d均為常數)哪一個更適宜作為5G經濟收入y關于月份x的回歸方程類型?（給出判斷即可，不必說明理由)（2）根據（1）的結果及表中的數據，求出y關于x的回歸方程，并預測該公司7月份的5G經濟收入.(結果保留小數點后兩位)（3）從前6個月的收入中抽取2個，記收入超過20百萬元的個數為X，求X的分布列和數學期望.參考數據：3.5021.152.8517.70125.356.734.5714.30其中，設，().參考公式：對于一組具有線性相關關系的數據，其回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計公式分別為，17．衛生紙主要供人們生活日常衛生之用，是人民群眾生活中不可缺少的紙種之一.某品牌衛生紙生產廠家為保證產品的質量，現從甲、乙兩條生產線生產的產品中各隨機抽取件進行品質鑒定，并將統計結果整理如下：合格品優等品甲生產線250250乙生產線300200（1）判斷能否有的把握認為產品的品質與生產線有關；（2）用頻率近似為概率，從甲、乙兩條生產線生產的產品中各隨機抽取2件進行詳細檢測，記抽取的產品中優等品的件數為X，求隨機變量X的分布列與數學期望.附：，其中0.100.050.0250.0100.0012.7069.8415.0246.63510.82818．毒品是人類的公敵，禁毒是社會的責任，當前寧德市正在創建全國禁毒示范城市，我市組織學生參加禁毒知識競賽，為了解學生對禁毒有關知識的掌握情況，采用隨機抽樣的方法抽取了500名學生進行調查，成績全部分布在分之間，根據調查結果繪制的學生成績的頻率分布直方圖如圖所示.（1）求頻率分布直方圖中a的值；（2）由頻率分布直方圖可認為這次全市學生的競賽成績X近似服從正態分布，其中為樣本平均數同一組數據用該組數據的區間中點值作代表，現從全市所有參賽的學生中隨機抽取10人進行座談，設其中競賽成績超過135.2分的人數為Y，求隨機變量Y的期望.結果精確到；（3）全市組織各校知識競賽成績優秀的同學參加總決賽，總決賽采用闖關的形式進行，共有20個關卡，每個關卡的難度由計算機根據選手上一關卡的完成情況進行自動調整，第二關開始，若前一關未通過，則其通過本關的概率為；若前一關通過，則本關通過的概率為，已知甲同學第一關通過的概率為，記甲同學通過第n關的概率為，請寫出的表達式，并求出的最大值.附：若隨機變量X服從正態分布，則，，.19．籃球運動是在1891年由美國馬薩諸塞州斯普林爾德市基督教青年會訓練學校體育教師詹姆士·奈史密斯博士，借鑒其他球類運動項目設計發明的.起初，他將兩只桃籃釘在健身房內看臺的欄桿上，桃籃上沿離地面約3.05米，用足球作為比賽工具，任何一方在獲球后，利用傳遞、運拍，將球向籃內投擲，投球入籃得一分，按得分多少決定比賽勝負.在1891年的12月21日，舉行了首次世界籃球比賽，后來籃球界就將此日定為國際籃球日.甲、乙兩人進行投籃，比賽規則是：甲、乙每人投3球，進球多的一方獲得勝利，勝利1次，則獲得一個積分，平局或者輸方不得分.已知甲和乙每次進球的概率分別是和p，且每人、每次進球與否都互不影響.（1）若，求在進行一輪比賽后甲比乙多投進2球的概率；（2）若，且每輪比賽互不影響，乙要想至少獲得3個積分且每輪比賽至少要超甲2個球，求：①設事件C表示乙每輪比賽至少要超甲2個球，求；（結果用含p的式子表示）②從數學期望的角度分析，理論上至少要進行多少輪比賽？參考答案與詳細解析一、選擇題1．答案：D解析：依題意，用，表示高一的2名學生，，表示高二的2名學生，則從4名學生中隨機選2名學生的選法有，，，，，，共6種，其中2名學生來自不同年級的選法有，，，，共4種，所以所求概率，故選D.2．答案：B解析：根據題意，分2步進行分析：①先將甲、乙等5名同學分成3組：若分成1，2，2的3組，則有（種）方法；若分成1，1，3的3組，則有（種）方法，故將5人分成3組，每組至少有1人，有（種）分組方法.②將分好的3組對應三所大學，則每所大學至少保送一人的不同保送方法有（種）.3．答案：C解析：依題意知第五項的二項式系數最大，所以一共是9項，所以，二項式展開項的通項公式為，令，得，所以的系數為.故選C.4．答案：B解析：易知，其中AB表示“兩次的點數均為奇數，且兩次的點數之和為8”，共有兩種情況，即，，故.而，所以.故選B.5．答案：B解析：根據題意，，則，故此次考試成績在區間內的學生大約有人.故選：B.6．答案：B解析：由題意，得，，，，則.設工廠獲得利潤L元，則，當時，L取得最大值.所以當單價定為9.5元時，工廠獲得最大利潤，故選B.7．答案：C解析：對于A,估計該校學生每周平均體育運動時長為（小時）,故選項A正確;對于B,該校高一年級的總人數為,由題中頻率分布直方圖可知,該校學生每周平均體育運動時長不足4小時的頻率為,所以估計該校高一年級學生每周平均體育運動時長不足4小時的人數為,故選項B正確;對于C,估計該校學生每周平均體育運動時長不少于8小時的百分比為,故選項C錯誤;對于D,估計該校學生每周平均體育運動時長不少于8小時的人數為,故選項D正確.故選：C.8．答案：D解析：設甲、乙、丙獲得一等獎的概率分別是，，，則不獲一等獎的概率分別是，，，則這三人中恰有兩人獲得一等獎的概率為：，這三人都獲得一等獎的概率為，所以這三人中至少有兩人獲得一等獎的概率.故選：D.二、多項選擇題9．答案：CD解析：由題圖可知第8，9天復工指數和復產指數均減小，故A錯誤；第1天時復工指數小于復產指數，第11天時兩指數相等，故復產指數的增量小于復工指數的增量，故B錯誤；由題圖可知第3天至第11天，復工復產指數都超過，故C正確；第9天至第11天，復產指數的增量大于復工指數的增量，故D正確.10．答案：ACD解析：由題意知，則的展開式的通項為.對于A，所有項的二項式系數和為，故A正確；對于B，令，得，因此所有項的系數和為，不為1，故B錯誤；對于C，由二項式系數的性質，可知的展開式中第4項的二項式系數最大，為，故C正確；對于D，當，即時，對應的項為有理項，共有4項，故D正確.故選ACD.11．答案：AC解析：從6瓶中任取2瓶顏料的方法數為.對于A，A表示事件“甲同學調配出紅色”，若調出紅色，需要2瓶顏料均為紅色，有種方法，則，故A正確；對于B，事件A發生需要2瓶顏料均為紅色，事件C發生需要1瓶紅色顏料和1瓶藍色顏料，在事件A發生的條件下，事件C不可能發生，所以，故B錯誤；對于C，若事件B發生，則甲同學取出1瓶黃色顏料和1瓶藍色顏料，則，此時還剩1瓶黃色顏料和1瓶藍色顏料，2瓶紅色顏料，則，故，故C正確；對于D，若事件C發生，則乙取了1瓶紅色顏料和1瓶藍色顏料，甲同學取了至少1瓶黃色顏料或甲同學取了一瓶紅色顏料和一瓶藍色顏料，則，，事件B與事件C不相互獨立，故D錯誤.故選AC.三、填空題12．答案：解析：由1，2，3組成的三位自然數為123，132，213，231，312，321，共6個；同理，由1，2，4組成的三位自然數有6個，由1，3，4組成的三位自然數有6個，由2，3，4組成的三位自然數有6個，共有24個三位自然數.由1，2，3或1，3，4組成的三位自然數為“有緣數”，共12個.所以這個三位數為“有緣數”的概率.13．答案：解析：由，，得，所以隨機變量X的數學期望，則方差.當時，取到最小值，故答案為.14．答案：72解析：設8張門票的編號分別為1，2，3，4，5，6，7，8.若甲選123，則乙可以是56，67，78共3種，此時共有種；若甲選234，則乙可以是67，78共2種，此時共有種；若甲選345，則乙可以是78共1種，此時共有種；若甲選456，則乙可以是12共1種，此時共有種；若甲選567，則乙可以是12，23共2種，此時共有種；若甲選678，則乙可以是12，23，34共3種，此時共有種.綜上所述，不同的分配方法有種.四、解答題15．答案：(1);(2)8.75小時.解析：(1)由圖可知,40名學生中周末的學習時間在的人數為人,周末的學習時間在的人數為人,從中用分層抽樣抽取6人,則周末的學習時間在的有4人,記為A,B,C,D;周末的學習時間在的有2人,記為a,b;則再從中選派3人接受檢測的基本事件有,,,,,,,,,,,,,,,,,,,共有20個,其中檢測的3人來自同一區間的基本事件有,,,共有4個,所以檢測的3人來自同一區間的概率;(2)學習時間在5小時以下的頻率為,學習時間在10小時以下的頻率為,所以分位數在區間內,則,所以這40名同學周末學習時間的分位數為8.75小時.16．答案：（1）更適宜（2），65.35百萬元（3）分布列見解析，1解析：（1）根據散點圖判斷，更適宜作為5G經濟收入y關于月份x的回歸方程類型；（2）因為，所以兩邊同時取常用對數，得，設，所以，因為，，所以所以.所以，即，所以.令，得，故預測該公司7月份的5G經濟收入大約為65.35百萬元.（3