第八章

無(wú)窮級(jí)數(shù)1先看一下下列函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開(kāi)函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開(kāi)為研究函數(shù)的性質(zhì)和數(shù)值計(jì)算開(kāi)辟了一條重要的途徑。但是上面的等式成立要取決于右邊的冪級(jí)數(shù)是否收斂。為此我們先要研究數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的收斂性。2

無(wú)窮級(jí)數(shù)是高等數(shù)學(xué)的一個(gè)重要組成部分,它是表示函數(shù)、研究函數(shù)的性質(zhì)以及進(jìn)行數(shù)值計(jì)算的一種工具.

一、級(jí)數(shù)的基本概念

第一節(jié)級(jí)數(shù)的概念和性質(zhì)回顧：數(shù)列的例子(1)(2)3定義8.3(級(jí)數(shù)的收斂與發(fā)散)5解收斂發(fā)散例1討論等比級(jí)數(shù)(幾何級(jí)數(shù))

的收斂性.

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發(fā)散發(fā)散綜上所述,7例判斷下列級(jí)數(shù)的斂散性.解8問(wèn)題：當(dāng)一個(gè)級(jí)數(shù)的和無(wú)法求出的時(shí)候，我們?nèi)绾蝸?lái)判斷它的收斂性呢？9二、級(jí)數(shù)的重要性質(zhì)性質(zhì)1(級(jí)數(shù)收斂的必要條件)證明10說(shuō)明：1、如果級(jí)數(shù)的一般項(xiàng)不趨于零,則級(jí)數(shù)發(fā)散；

級(jí)數(shù)發(fā)散；112、此條件非充分條件.但級(jí)數(shù)發(fā)散.

滿足12例3判斷下列級(jí)數(shù)的斂散性.13由級(jí)數(shù)收斂的定義，以及極限的性質(zhì)，不難證明。也收斂,且有性質(zhì)2線性運(yùn)算性質(zhì)14注:證矛盾.15例判斷下列級(jí)數(shù)的斂散性.解16去掉、添加或改變級(jí)數(shù)中的有限項(xiàng),不會(huì)影響性質(zhì)4它的斂散性(但收斂級(jí)數(shù)的和可能要改變).

例4判斷下列級(jí)數(shù)的斂散性：

收斂

17性質(zhì)3收斂級(jí)數(shù)任意加括號(hào)后仍收斂,且其和不變.證略。例如，則級(jí)數(shù)

且和不變.18級(jí)數(shù)順向加括弧得到新的級(jí)數(shù),比如(1)順向加不同的括弧會(huì)得到不同的級(jí)數(shù)兩個(gè)新的級(jí)數(shù)都是收斂的.思考題:19例5判斷下列級(jí)數(shù)的斂散性.

推論如果加括弧后所成的級(jí)數(shù)發(fā)散,則原級(jí)數(shù)也發(fā)散.

調(diào)和級(jí)數(shù)20解將級(jí)數(shù)按如下方法加括弧21于是所以加括弧之后的級(jí)數(shù)發(fā)散，從而原級(jí)數(shù)發(fā)散。22解例6由性質(zhì)3，23由性質(zhì)