福建省南平市下沙中學高三數學理模擬試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.如圖，地在地的正東方向處，地在地的北偏東30°方向處，河流的沒岸（曲線）上任意一點到的距離比到的距離遠現要在曲線上選一處建一座碼頭，向、C兩地轉運貨物.經測算，從到、到修建公路的費用分別是萬元/km、萬元/km，那么修建這兩條公路的總費用最低是（

） A．(2－2)a萬

B．5a萬元 C．(2+1)a萬元 D.(2+3)a萬元參考答案：【知識點】雙曲線的幾何性質

H6Ｂ依題意知曲線是以、為焦點、實軸長為2的雙曲線的一支（以為焦點），此雙曲線的離心率為2，以直線為軸、的中點為原點建立平面直角坐標系，則該雙曲線的方程為，點的坐標為，則修建這條公路的總費用設點、在右準線上射影分別為點，根據雙曲線的定義有，所以，當且僅當點在線段上時取等號，故的最小值是.故選擇Ｂ.【思路點撥】依題意知曲線是雙曲線的方程為的一支，點的坐標為，則修建這條公路的總費用根據雙曲線的定義有，所以.2.設f（x）﹣x2=g（x），x∈R，若函數f（x）為偶函數，則g（x）的解析式可以為（）A．x3 B．cosx C．1+x D．xex參考答案：B【考點】函數解析式的求解及常用方法；函數奇偶性的性質．【分析】根據偶函數與偶函數的和為偶函數，只要g（x）為偶函數即可．【解答】解：由題意，只要g（x）為偶函數即可，由選項可知，只有選項B的函數為偶函數；故選：B．3.已知f（x）在R上是奇函數，且滿足f（x+4）=f（x），當x∈（0，2）時，f（x）=2x2，則f（7）=（）A．2 B．﹣2 C．﹣98 D．98參考答案：B【考點】函數的值．【分析】利用函數的周期性、奇偶性求解．【解答】解：∵f（x）在R上是奇函數，且滿足f（x+4）=f（x），當x∈（0，2）時，f（x）=2x2，∴f（7）=f（﹣1）=﹣f（1）=﹣2．故選：B．4.已知α、β均為銳角，且的值為（）A．﹣1 B．1 C． D．不存在參考答案：B【考點】兩角和與差的正切函數；同角三角函數間的基本關系．【分析】由條件化簡可得tanβ=tan（﹣α），再由α、β均為銳角，可得β=﹣α，即α+β=，故可求tan（α+β）的值．【解答】解：∵tanβ===tan（﹣α），又∵α、β均為銳角，∴β=﹣α，即α+β=，∴tan（α+β）=tan=1，故選B．5.已知復數為純虛數，則m=A.

0

B.

3

C.

0或3

D.

4參考答案：B

.故選B.6.定義在R上的函數既是偶函數又是周期函數.若的最小正周期是，且當時，，則的值為A.

B.

C.

D.參考答案：答案:C7.△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若，.且，則△ABC的面積為（

）A.2 B.3 C.4 D.參考答案：A【分析】根據余弦定理構造方程可求得，從而得到，根據同角三角函數求得，代入三角形面積公式可求得結果.【詳解】由余弦定理得：，即解得：

本題正確選項：【點睛】本題考查余弦定理解三角形、同角三角函數值求解、三角形面積公式的應用，關鍵是能夠利用余弦定理解得邊長和角度.

8.設集合，則集合（

）

參考答案：B略9.已知函數y=f（x）是R上的可導函數，當x≠0時，有，則函數的零點個數是（）A．0 B．1 C．2 D．3參考答案：B【考點】利用導數研究函數的單調性；根的存在性及根的個數判斷．【專題】數形結合；轉化思想；綜合法；函數的性質及應用；導數的綜合應用．【分析】構造函數，利用函數的導數判斷函數的單調性，通過函數的圖象求解函數的零點個數．【解答】解：由，可得F（x）=xf（x）﹣=0，得xf（x）=，設g（x）=xf（x），則g′（x）=f（x）+xf′（x），∵x≠0時，有，即當x＞0時，g'（x）=f（x）+xf'（x）＞0，此時函數g（x）單調遞增，此時g（x）＞g（0）=0，當x＜0時，g'（x）=f（x）+xf'（x）＜0，此時函數g（x）單調遞減，此時g（x）＞g（0）=0，作出函數g（x）和函數y=的圖象，（直線只代表單調性和取值范圍），由圖象可知函數F（x）=xf（x）﹣的零點個數為1個．故選：B．【點評】本題考查函數的導數的應用，函數的單調性以及函數的圖象的應用，考查轉化思想以及數形結合思想的應用．10.一個機器零件的三視圖如圖所示，其中俯視圖是一個半圓內切于邊長為2的正方形，則該機器零件的體積為A．8+

B．8+C．8+

D．8+參考答案：A二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.如圖，在等腰梯形ABCD中，AD=BC=AB-DC=2,點E，F分別為線段AB，BC的三等分點，0為DC的中點，則=

.

參考答案：如圖，以O為坐標原點建立如圖所示的平面直角坐標系，連BO，可得為等邊三角形，所以，則。所以，，故。

12.一個幾何體的三視圖如右圖所示（單位：），則該幾何體的體積為__________。參考答案：略13.展開式中，形如的項稱為同序項，形如

的項稱為次序項，如q是一個同序項，是一個次序項。從展開式中任取兩項，恰有一個同序項和一個次序項的概率為

。參考答案：14.在平面直角坐標系中，O為坐標原點，過雙曲線（）的右頂點P作射線與雙曲線C的兩條漸近線分別交于第一象限的點M和第二象限的點N，且，的面積為，則a=________．參考答案：由等軸雙曲線可設，，，，由，得，整理得，解得，，，解得，即．15.已知實數、滿足不等式組，則的最大值是________。參考答案：略16..“克拉茨猜想”又稱“猜想”，是德國數學家洛薩?克拉茨在1950年世界數學家大會上公布的一個猜想：任給一個正整數n，如果n是偶數，就將它減半；如果n為奇數就將它乘3加1,不斷重復這樣的運算，經過有限步后，最終都能夠得到1.己知正整數m經過6次運算后得到1，則m的值為__________．參考答案：10或64.【分析】從第六項為1出發，按照規則逐步進行逆向分析，可求出m的所有可能的取值．【詳解】如果正整數m按照上述規則經過6次運算得到1，則經過5次運算后得到的一定是2；經過4次運算后得到的一定是4；經過3次運算后得到的為8或1（不合題意）；經過2次運算后得到的是16；經過1次運算后得到的是5或32；所以開始時的數為10或64．所以正整數m的值為10或64．故答案為：10或64．【點睛】本題考查推理的應用，解題的關鍵是按照逆向思維的方式進行求解，考查分析問題和解決問題的能力，屬于中檔題．

三、解答題：共70分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.第17～21題為必考題，每個試題考生都必須作答.第22、23題為選考題，考生根據要求作答.17.若函數(其中為常數且)，滿足，則的解集是

.

參考答案：略三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.（本小題滿分12分）

在數列中，已知.

（Ⅰ）求數列的通項公式；

（Ⅱ）求證：數列是等差數列；

（Ⅲ)設數列滿足，求的前n項和.參考答案：解：（Ⅰ）∵∴數列｛｝是首項為，公比為的等比數列，∴.………………3分（Ⅱ）∵…………………4分∴.……

5分∴，公差d=3∴數列是首項，公差的等差數列.……7分（Ⅲ）由（Ⅰ）知，，（n）∴.………8分∴，

①于是

②……9分兩式①-②相減得=.………11分

∴.………12分.略19.設函數f（x）=x+ax2+blnx，曲線y=f（x）過P（1，0），且在P點處的切線斜率為2．（1）求a，b的值；（2）當x∈[1，e]時，求f（x）的最值；（3）證明：f（x）≤2x﹣2．參考答案：解：（1）函數f（x）=x+ax2+blnx的導數為．由已知條件得，解得a=﹣1，b=3．（2）f（x）的定義域為（0，+∞），由（1）知f（x）=x﹣x2+3lnx．令f′（x）=0解得．xf′（x）+0﹣f（x）增

減當x=時，取得最大值；當x=e時，取得最小值f（e）=e﹣e2+3．（3）設g（x）=f（x）﹣（2x﹣2）=2﹣x﹣x2+3lnx，，當0＜x＜1時，g′（x）＞0，當x＞1時，g′（x）＜0，則g（x）在（0，1）遞增，在（1，+∞）遞減．即有x=1處取得極大值，且為最大值0故當x＞0時，g（x）≤0，即f（x）≤2x﹣2．考點：利用導數研究曲線上某點切線方程；利用導數求閉區間上函數的最值．專題：方程思想；構造法；導數的綜合應用；不等式的解法及應用．分析：（1）求得函數的導數，由題意可得f（1）=0，f′（1）=2，解方程可得a，b的值；（2）求得導數，求得極值點，求出端點處的函數值，可得最值；（3）構造函數g（x）=f（x）﹣（2x﹣2）=2﹣x﹣x2+3lnx，求出導數和單調區間，可得極值和最值，即可證得不等式．解答：解：（1）函數f（x）=x+ax2+blnx的導數為．由已知條件得，解得a=﹣1，b=3．（2）f（x）的定義域為（0，+∞），由（1）知f（x）=x﹣x2+3lnx．令f′（x）=0解得．xf′（x）+0﹣f（x）增

減當x=時，取得最大值；當x=e時，取得最小值f（e）=e﹣e2+3．（3）設g（x）=f（x）﹣（2x﹣2）=2﹣x﹣x2+3lnx，，當0＜x＜1時，g′（x）＞0，當x＞1時，g′（x）＜0，則g（x）在（0，1）遞增，在（1，+∞）遞減．即有x=1處取得極大值，且為最大值0故當x＞0時，g（x）≤0，即f（x）≤2x﹣2．點評：本題考查導數的運用：求切線的斜率和單調區間、極值和最值，考查構造函數的思想方法證明不等式，屬于中檔題20.(12分)已知定義在區間(0，＋∞)上的函數f(x)滿足f＝f(x1)－f(x2)，且當x>1時，f(x)<0.(1)求f(1)的值；(2)判斷f(x)的單調性；(3)若f(3)＝－1，求f(x)在[2,9]上的最小值．參考答案：解(1)令x1＝x2>0，代入得f(1)＝f(x1)－f(x1)＝0，故f(1)＝0.(2)任取x1，x2∈(0，＋∞)，且x1>x2，則>1，由于當x>1時，f(x)<0，所以f<0，即f(x1)－f(x2)<0，因此f(x1)<f(x2)，所以函數f(x)在區間(0，＋∞)上是單調遞減函數．(3)∵f(x)在[0，＋∞)上是單調遞減函數，∴f(x)在[2,9]上的最小值為f(9)．由f＝f(x1)－f(x2)得f＝f(9)－f(3)，而f(3)＝－1，所以f(9)＝－2.∴f(x)在[2,9]上的最小值為－2.

略21.（本小題滿分12分）記函數的定義域為集合，函數的定義域為集合.(1)求和；(2)若,求