專題二

本章重難點一、二次函數的圖象和性質【例1】（2022·新疆）已知拋物線y＝（x－2）2＋1，下列結論錯誤的是()A.拋物線開口向上B.拋物線的對稱軸為直線x＝2C.拋物線的頂點坐標為（2，1）D.當x＜2時，y隨x的增大而增大D【例2】（2022·綿陽）如圖Z22－2－1，二次函數y＝ax2＋bx＋c的圖象關于直線x＝1對稱，與x軸交于A（x1，0），B（x2，0）兩點.若－2＜x1＜－1，則下列四個結論：①3＜x2＜4；②3a＋2b＞0；③b2＞a＋c＋4ac；④a＞c＞b，正確結論的個數為()A.1個

B.2個C.3個

D.4個B【對點訓練】1.（2022·阜新）下列關于二次函數y＝3（x＋1）（2－x）的圖象和性質的敘述中，正確的是()A.點（0，2）在函數圖象上B.開口方向向上C.對稱軸是直線x＝1D.與直線y＝3x有兩個交點D2.（2022·內蒙古）如圖Z22－2－2，拋物線y＝ax2＋bx＋c（a≠0）與x軸的一個交點坐標為（－1，0），拋物線的對稱軸為直線x＝1，下列結論：①abc＜0；②3a＋c＝0；③當y＞0時，x的取值范圍是－1≤x＜3；④點（－2，y1），（2，y2）都在拋物線上，則有y1＜0＜y2.其中結論正確的個數是()A.1個

B.2個C.3個

D.4個C二、二次函數與一元二次方程【例3】（2021·成都）在平面直角坐標系xOy中，若拋物線y＝x2＋2x＋k與x軸只有一個交點，則k＝______.1【對點訓練】3.（2022·大慶）已知函數y＝mx2＋3mx＋m－1的圖象與坐標軸恰有兩個公共點，則實數m的值為____________.

三、求二次函數的解析式【例4】（2022·牡丹江改編）如圖Z22－2－3，已知拋物線y＝－x2＋bx＋c與x軸交于A（－1，0），B（3，0）兩點，與y軸交于點C，頂點為D.（1）求該拋物線的解析式；（2）連接BC，CD，BD，P為BD的中點，連接CP，求線段CP的長.

【對點訓練】4.（2022·東營改編）如圖Z22－2－4，拋物線y＝ax2＋bx－3（a≠0）與x軸交于點A（－1，0），點B（3，0），與y軸交于點C.（1）求拋物線的解析式；（2）在對稱軸上找一點Q，使△ACQ的周長最小，求點Q的坐標.

（2）如答圖Z22－2－1，連接CB交對稱軸于點Q.∵y＝x2－2x－3＝（x－1）2－4，∴拋物線的對稱軸為直線x＝1.令x＝0,y＝－3.∴C(0,－3).∵A,B關于對稱軸x＝1對稱，∴AQ＝BQ.∴AC＋CQ＋AQ＝AC＋CQ＋BQ≥AC＋BC.當C，B，Q三點共線時，△ACQ的周長最小.∵C（0，－3），B（3，0），

【對點訓練】5.（2021·泰州）已知二次函數y＝－x2＋（a－1）x＋a（a為常數）圖象的頂點在y軸右側．（1）寫出該二次函數圖象的頂點橫坐標（用含a的代數式表示）；（2）該二次函數表達式可變形為y＝－（x－p）（x－a）的形式，求p的值；（3）若點A（m，n）在該二次函數圖象上，且n＞0，過點（m＋3，0）作y軸的平行線，與二次函數圖象的交點在x軸下方，求a的取值范圍．

（2）∵y＝－x2＋（a－1）x＋a＝－[x2－（a－1）x－a]＝－（x＋1）（x－a），∴p＝－1.

五、實際問題與二次函數【例6】（2022·威海）如圖Z22－2－6，某農場要建一個矩形養雞場，雞場的一邊靠墻，另外三邊用木柵欄圍成.已知墻長25m，木柵欄長47m，在與墻垂直的一邊留出1m寬的出入口（另選材料建出入門）.求雞場面積的最大值.解：設矩形雞場與墻垂直的一邊長為xm，則與墻平行的一邊長為（47－2x＋1）m.由題意,得y＝x（47－2x＋1）＝－2（x－12）2＋288.∵－2＜0，∴當x＝12時，y有最大值為288.當x＝12時，47－2x＋1＝24＜25,符合題意.答：雞場的最大面積為288m2.【對點訓練】6.（2022·無錫）如圖Z22－2－7,某農場計劃建造一個矩形養殖場，為充分利用現有資源，該矩形養殖場一面靠墻（墻的長度為10m），另外三面用柵欄圍成，中間再用柵欄把它分成兩個面積為1∶2的矩形，已知柵欄的總長度為24m，設較小矩形的寬為xm.（1）若矩形養殖場的總面積為36m2，求此時x的值；（2）當x為多少時，矩形養殖場的總面積最大？最大值為多少？

【例7】（2022·賀州）2022年在中國舉辦的冬奧會和殘奧會令世界矚目，冬奧會和殘奧會的吉祥物“冰墩墩”和“雪容融”家喻戶曉，成為熱銷產品.某商家以每套34元的價格購進一批“冰墩墩”和“雪容融”套件.若該產品每套的售價是48元時，每天可售出200套；若每套售價提高2元，則每天少賣4套.（1）設“冰墩墩”和“雪容融”套件每套售價定為x元時，求該商品銷售量y與x之間的函數關系式；（2）當每套售價定為多少元時，每天銷售套件所獲利潤W最大，最大利潤是多少元？

（2）根據題意，得

W＝（x－34）（－2x＋296）

＝－2（x－91）2＋6498.∵a＝－2＜0，∴當x＝91時，W有最大值，W最大值＝6498.答：每套售價定為91元時，每天銷售套件所獲利潤最大，最大利潤是6498元.7.（2022·寧波）為了落實勞動教育，某學校邀請農科院專家指導學生進行小番茄的種植，經過試驗，其平均單株產量ykg與每平方米種植的株數x（2≤x≤8，且x為整數）構成一種函數關系.每平方米種植2株時，平均單株產量為4kg；以同樣的栽培條件，每平方米種植的株數每增加1株，單株產量減少0.5kg.（1）求y關于x的函數表達式.（2）每平方米種植多少株時，能獲得最大的產量？最大產量為多少千克？解：（1）∵每平方米種植的株數每增加1株，單株產量減少0.5kg，∴y＝4－0.5（x－2）＝－0.5x＋5.∴y關于x的函數表達式為y＝－0.5x＋5（2≤x≤8，且x為整數）