第三章、經典單方程計量經濟學模型：多元線性回歸模型

一、內容提要

本章將一元回歸模型拓展到了多元回歸模型，其基本的建模思想與建模方法與一元的

情形相同。主要內容仍然包括模型的基本假定、模型的估計、模型的檢驗以及模型在預測方

面的應用等方面。只不過為了多元建模的需要，在基本假設方面以及檢驗方面有所擴充。

本章仍重點介紹了多元線性回歸模型的基本假設、估計方法以及檢驗程序。與一元回

歸分析相比，多元回歸分析的基本假設中引入了多個解釋變量間不存在（完全）多重共線性

這一假設；在檢驗部分，一方面引入了修正的可決系數，另?方面引入了對多個解釋變量是

否對被解釋變量有顯著線性影響關系的聯合性F檢驗，并討論了F檢驗與擬合優度檢驗的

內在聯系。

本章的另一個重點是將線性回歸模型拓展到非線性回歸模型，主要學習非線性模型如

何轉化為線性回歸模型的常見類型與方法。這里需要注意各回歸參數的具體經濟含義。

本章第三個學習重點是關于模型的約束性檢驗問題，包括參數的線性約束與非線性約

束檢驗。參數的線性約束檢驗包括對參數線性約束的檢驗、對模型增加或減少解釋變量的檢

驗以及參數的穩定性檢驗三方面的內容，其中參數穩定性檢驗又包括鄒氏參數穩定性檢驗與

鄒氏預測檢驗兩種類型的檢驗。檢驗都是以F檢驗為主要檢驗工具，以受約束模型與無約

束模型是否有顯著差異為檢驗基點。參數的非線性約束檢驗主要包括最大似然比檢驗、沃爾

德檢驗與拉格朗日乘數檢撿。它們仍以估計無約束模型與受約束模型為基礎，但以最大似然

原理進行估計，且都適用于大樣本情形，都以約束條件個數為自由度的??分布為檢驗統計

量的分布特征。非線性約束檢驗中的拉格朗日乘數檢驗在后面的章節中多次使用。

二、典型例題分析

例1.某地區通過?個樣本容量為722的調查數據得到勞動力受教育的一個回歸方程為

edu=10.36-0.094s〃2s+0.13\medu+0.21Ofedu

R2=0.214

式中，edu為勞動力受教育年數，sibs為該勞動力家庭中兄弟姐妹的個數，medu與fedu分

別為母親與父親受到教育的年數。問

(l)sibs是否具有預期的影響？為什么？若medu與fedu保持不變，為了使預測的受教

育水平減少一年，需要sibs增加多少？

(2)請對medu的系數給予適當的解釋。

(3)如果兩個勞動力都沒有兄弟姐妹，但其中一個的父母受教育的年數為12年，另一

個的父母受教育的年數為16年，則兩人受教育的年數預期相差多少？

解答：

(1)預期sibs對勞動者受教育的年數有影響。因此在收入及支出預算約束一定的條件

下，子女越多的家庭，每個孩子接受教育的時間會越短。

根據多元回歸模型偏回歸系數的含義，sibs前的參數估計值-0.094表明，在其他條件不

變的情況下，每增加1個兄弟姐妹，受教育年數會減少0.094年，因此，要減少1年受教育

的時間，兄弟姐妹需增加1/0.094=10.6個。

(2)medu的系數表示當兄弟妞妹數與父親受教育的年數保持不變時，母親每增加I

年受教育的機會，其子女作為勞動者就會預期增加0.131年的教育機會。

(3)首先計算兩人受教育的年數分別為

10.36+0.131x12+0.210x12=14.452

10.36+0.131x16+0.210x16=15.816

因此，兩人的受教育年限的差別為15.816-14.452=1.364

例2.以企業研發支出(R&D)占銷售額的比重為被解釋變量(Y),以企業銷售額(XI)

與利潤占銷售額的比重(X2)為解釋變量，一個有32容量的樣本企業的估計結果如下：

Y=0.472+0.321og(X,)+0.05X2

(1.37)(0.22)(0.046)

R2=0.099

其中括號中為系數估計值的標準差。

(1)解釋log(Xl)的系數。如果XI增加10%,估計Y會變化多少個百分點？這在經濟

上是一個很大的影響嗎？

(2)針對R&D強度城銷售額的增加而提高這一備擇假設，檢驗它不雖XI而變化的假

設。分別在5%和10%的顯著性水平上進行這個檢驗。

(3)利潤占銷售額的比重X2對R&D強度Y是否在統計上有顯著的影響？

解答：

(1)log(xl)的系數表明在其他條件不變時，log(xl)變化1個單位，Y變化的單位數，

即AY=0.32Ak)g(Xl卜0.32(AX1/XI)=0.32x100%,換言之，當企業銷售XI增長100%時,企

業研發支出占銷售額的比重Y會增加0.32個百分點。由此，如果XI增加1。％,Y會增加

0.032個百分點。這在經濟上不是一個較大的影響。

(2)針對備擇假設H1：1>0,檢驗原假設H0：1=0。易知計算的t統計量的值

為1=0.32/0.22=1.468。在5%的顯著性水平下，自由度為32-3=29的I分布的臨界值為1.699

(單側)，計算的t值小于該臨界值，所以不拒絕原假設。意味著R&D強度不隨銷售額的增

加而變化。在10%的顯著性水平下，t分布的臨界值為1.311,計算的t值小于該值，拒絕

原假設，意味著R&D強度隨銷售額的增加而增加。

(3)對X2,參數估計值的t統計值為0.05/0.46=1.087,它比在10%的顯著性水平卜的

臨界值還小，因此可以認為它對Y在統計上沒有顯著的影響。

例3.下表為有關經批準的私人住房單位及其決定因素的4個模型的估計量和相關統計

值（括號內為“值）（如果某項為空，則意味著模型中沒有此變量）,數據為美國40個城市

的數據。模型如下：

hoI，sing=0（）+^density+P2value+/3yincome+popchang

4-P5unemp-\-/3Jocaltax+用statetax+〃

式中housing實際頒發的建筑許可證數量，density每平方英里的人口密度，value—

一自由房屋的均值（單位：百美元），income平均家庭的收入（單位：千美元），popchang

-1980~1992年的人口增長百分比，unemp——失業率，locallax——人均交納的地方稅，

statetax---人均繳納的州稅

變量模型A模型B模型C模型D

C813(0.74)-392(0.81)-1279(0.34)-973(0.44)

Density0.075(0.43)0.062(0.32)0.042(0.47)

Value-0.855(0.13)-0.873(0.11)-0.994(0.06)-0.778(0.07)

Income110.41(0.14)133.03(0.04)125.71(0.05)116.60(0.06)

Popchang26.77(0.11)29.19(0.06)29.41(U.001)24.86(U.U8)

Unemp-76.55(0.48)

Localtax-0.061(0.95)

Statetax-1.006(0.40)-1.004(0.37)

RSS4.763e+74.843e+74.962e+75.038e+7

R20.3490.3380.3220.312

1.488c+61.424e+6L418c+61.399e+6

AIC1.776e+61.634e+6l.593e+61.538e+6

（1）檢驗模型A中的每一個回歸系數在10%水平下是否為零（括號中的值為雙邊備擇p-

值）。根據檢驗結果，你認為應該把變量保留在模型中還是去掉？

（2）在模型A中，在10%水平下檢驗聯合假設Ho：Pi=0（i=l,5,6,7）o說明被擇假設，計

算檢驗統計值，說明其在零假設條件下的分布，拒絕或接受零假設的標準。說明你的

結論。

（3）哪個模型是“最優的”？解釋你的選擇標準。

（4）說明最優模型中有哪些系數的符號是“錯誤的”。說明你的預期符號并解釋原因。確認

其是否為正確符號.

解答：

（1）直接給出了P-值，所以沒有必要計算年統計值以及查t分布表。根據題意，如果

P-值＜0.10,則我們拒絕參數為零的原假設。

由于表中所有參數的P-值都超過了10%,所以沒有系數是顯著不為零的。但由此去掉所

有解釋變量，則會得到非常奇怪的結果。其實正如我們所知道的，多元回去歸中在省略變量

時一定要謹慎，要有所選擇。本例中，valuesincome、popchang的p-值僅比0.1稍大一點，

在略掉unemp、localtax、slatetax的模型C中，這些變量的系數都是顯著的。

（2）針對聯合假設Ho：pi=0（i=l,5,6,7）的備擇假設為Hl：d=0（i=l,5,6,7）

中至少有一個不為零。檢驗假設H0,熨際上就是參數的約束性檢驗，非約束模型為模里人，

約束模型為模型D,檢驗統計值為

F=(RSSR-RSSGAku-kQ=(5.038e+7-4.763e+7)/(7-3)=0也

RSSu/("即—I)一(4.763f+7)7(40-8)

顯然，在H0假設下，上述統計量滿足F分布，在10%的顯著性水平下，自由度為(4,32)

的F分布的臨界值位于2.09和2.14之間。顯然，計算的F值小于臨界值，我們不能拒絕

H0,所以Bi(i=l,5,6,7)是聯合不顯著的。

(3)模型D中的3個解釋變量全部通過顯著性檢驗。盡管R2與殘差平方和較大，但相

對來說其AIC值最低，所以我們選擇該模型為最優的模型。

(4)隨著收入的增加，我們預期住房需要會隨之增加。所以可以預期B3>(),事實上其

估計值確是大于零的。同樣地，隨著人口的增加，住房需求也會隨之增加，所以我們預期B

4〉0,事實其估計值也是如此。隨著房屋價格的上升，我們預期對住房的需求人數減少，即

我們預期B3估計值的符號為負，回歸結果與直覺相符。出乎預料的是，地方稅與州稅為不

顯著的。由于稅收的增加將使可支配收入降低，所以我們預期住房的需求將下降。雖然模型

A是這種情況，但它們的影響卻非常微弱。

4、在經典線性模型基本假定下，對含有三個自變量的多元回歸模型：

Y=氏+必、+dX?+氏X3+N

你想檢驗的虛擬假設是H0：4-2分=1。

(1)用A,A的方差及其協方差求出

(2)寫出檢驗H0：4-2方=1的t統計量。

(3)如果定義4-2為=0,寫出一個涉及仇、8、仇和飽的回歸方程，以便能直接得

到0估計值6及其標準誤。

解答：

(1)由數理統計學知識易知

京—出-2月)=)-4C^v(3(,A)+4W/r(A)

(2)由數理統計學知識易知

A2反-1八八八?

t="二/，，其中陽4-2分)為(4-24,)的標準差。

陽6-2/2)

(3)由四一2四知4=。+2人，代入原模型得

丫=0。+(。+2色必+fi2X2+.〃

=/3(HQX\+X?)+AX3+〃

這就是所需的模型，其中B估il值@及其標準誤都能通過對該模型進行估訂得到。

三、習題

(-)基本知識類題型

3-1.解釋下列概念：

1)多元線性回歸6)參數估計后的置信區間

2)虛變量7)被解釋變量預測值的置信區間

3)正規方程組8)受約束問歸

4)無偏性9)無約束回歸

5)一致性10)參數穩定性檢驗

3-2.觀察下列方程并判斷其變量是否呈線性？系數是否呈線性？或都是？或都不是?

1)匕=0。+0聞+%

2)匕=為+夕/。gXj+6

3)log匕=&+用logX,+與

4)匕=為+四(凡XJ+J

5)匕=-^-+￡；

6)匕=1+/?°(l—X3+￡j

7)匕=凡+四X/+氏X2,/10+e,

3-3.多元線性回歸模型與一元線性回歸模型有哪些區別？

3-4.為什么說最小二乘估計量是最優的線性無偏估計量？多元線性回歸最小二乘估計的正

規方程組，能解出唯一的參數估計的條件是什么？

3-5.多元線性回歸模型的基本假設是什么？試說明在證明最小二乘估U量的無偏性和有效

性的過程中，哪些基本假設起了作用？

3-6.請說明區間估計的含義。

(二)基本證明與問答類題型

3-7.什么是正規方程組？分別用非矩陣形式和矩陣形式寫出模型：

%=鳳+夕內：+河馬+…+夕卜%+%，i=1,2,…,〃的正規方程組,及其推導過程。

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3-8.對于多元線性回歸模型，證明：

⑴

⑵Z油=￡(樂+BR+…+黑場洶=o

3-9.為什么從計量經濟學模型得到的預測值不是一個確定的值？預測值的置信區間和置信

度的含義是什么？在相同的置信度下如何才能縮小置信區間？為什么？

3-10.在多元線性回歸分析中，，檢驗與尸檢驗有何不同？在一元線性回歸分析中二者是否

有等價的作用？

3/1.設有模型:＞，=&+/?內+夕42+〃，試在下設條件下:

(1)。廿%=\

(2)/?,=/?2

分別求出A和九的最小二乘估計量。

3-12.多元線性計量經濟學模型

X=A+四人+用?%+…十4"+從i=L2「?,n(2.11.1)

的矩陣形式是什么？其中每個矩陣的含義是什么？熟練地寫出用矩陣表示的該模型的普通

最小二乘參數估計量，并證明在滿足基本假設的情況下該普通最小二乘參數估計量是無偏和

有效的估計量。

3-13.有如下生產函數:InX=1.37+0.632InXT+0.452InL

(0.257)(0.219)

R2=0.98CbvSx也)=0.055

其中括號內數值為參數標格差。請檢驗以下零假設：

(1)產出量的資本彈性和勞動彈性是等同的；

(2)存在不變規模收益，即4=1o

3-14.對模型川=凡+4鳳…+/內,+%應用OLS法，得到回歸方程如下：

y,=A-+P\X\i+PlX2iPkXki

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要求：證明殘差弓-%與%不相關，即：22與=0。

3-15.

3-16.考慮下列兩個模型：

I、H=四+夕22+夕3%+%

II、（x-x2j）=+a2x2i+a3x3i+u\

要求：（1）證明：&2=AT，&\=3\,痣=氐

（2）證明：殘差的最小二乘估計量相同，即：4=4

（3）在何種情況下，模型H的擬合優度咫會小于模型I擬合優度解。

3-17.假設要求你建立一個計量經濟模型來說明在學校跑道上慢跑一英里或一英里以上的人

數，以便決定是否修建第二條跑道以滿足所有的鍛煉者。你通過整個學年收集數據，得到兩

個可能的解釋性方程：

2

方程A：Y=125.0-15.0X,-1.0X2+1.5X3灰=0.75

方程B：f=123.0-14.0X,+5.5X2-3.7X4=0.73

其中：V一一某天慢跑者的人數

X1——該天降雨的英寸數

x2——該天日照的小時數

x3一一該天的最高溫度（按華氏溫度）

x4一一第二天需交學期論文的班級數

請回答下列問題：（1）這兩個方程你認為哪個更合理些，為什么？

（2）為什么用相同的數據去估計相同變顯的系數得到不同的符號？

3-18.對下列模型：y=a+Aq+2z,+%（1;

y,=a+網-Pzi+u.（2）

求出B的最小二乘估計值；并將結果與下面的三變量回歸方程的最小二乘估計值作比較：

（3）），：=。+/匕-汽+%,你認為哪一個估計值更好？

3-19.假定以校園內食堂每天賣出的盒飯數量作為被解釋變量，盒飯價格、氣溫、附近餐廳

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的盒飯價格、學校當日的學生數量（單位：千人）作為解釋變量，進行回歸分析；假設不管

是否有假期，食堂都營業。不幸的是，食堂內的計算機被一次病毒侵犯，所有的存儲丟失,

無法恢復，你不能說出獨立變量分別代表著哪一項！下面是回歸結果（括號內為標準差）：

R=10.6+28.4Xh+12.7X2/4-0.61X3.-5.9X4/

（2.6）（6.3）（0.61）（5.9）產=0.63〃=35

要求：

（1）試判定每項結果對應著哪一個變量？

（2）對你的判定結論做出說明。

（三）基本計算類題型

3-20.試對一元線性【可歸模型：匕=凡+4丫“+萬2丫〃+%，（，=12?一,〃）作回歸分

析，要求：⑴求出未知參數戊）,四,人的最小二乘估計量A，R，A：

（2）求出隨機誤差項〃的方差小的無偏估計量；

（3）對樣本回歸方程作擬合優度檢驗；

（4）對總體回歸方程的顯著性進行尸檢驗；

（5）對修,為的顯著性進行，檢驗；

（6）當X。=（1,XQ,X2O）'時，寫出E（y°IX。）和Yo的置信度為95%的預測區間。

3-21.下表給出三變量模型的回歸結果：

方差來源平方和（SS）自由度（d.f.）平方和的均值（MSS）

來自回歸65965——

來自殘差——————

總離差（TSS）6604214

要求：（1）樣本容量是多少？

（2）求RSS?

（3）ESS和RSS的自由度各是多少？

（4）求穴2和江？

（5）檢驗假設：X?和X3對丫無影響。你用什么慢設檢驗？為什么？

（6）根據以上信息，你能否確定X2和X3各自對y的貢獻嗎？

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3-22.下面給出依據15個觀察值計算得到的數據：

P=367.693,X2=402.760,又3=8.0,=66（）42269

2名=84855.096,=280.0,y,.x2/=74778.346

Z.V/3,=4250.9,Z%,%=4796.0

其中小寫字母代表了各值與其樣本均值的離差。

要求：（1）估計三個多元回歸系數；

（2）估計它們的標準差；并求出心與訶f

（3）估計4、B395%的置信區間；

（4）在0=5%下，檢驗估計的每個回歸系數的統計顯著性（雙邊檢驗）；

（5）檢驗在a=5%下所有的部分系數都為零，并給出方差分析表。

3-23.考慮以下方程（括號內為估計標準差）：

W=8.562+0.364P+0.004e?-2.56（乜

（0.080）（0.072）（0.658）〃=19R2=0.873

其中：W——r年的每位雇員的工資和薪水

P——1年的物價水平

U-----1年的失業率

要求：（1）對個人收入估計的斜率系數進行假設檢驗；（盡量在做本題之前不參考結果）

（2）討論與_1在理論上的正確性，對本模型的正確性進行討論：是否應從方程中

刪除？為什么？

3-24.下表是某種商品的需求量、價格和消費者收入十年的時間序列資料：

年份12345678910

需求591965456236064700674006444068000724007571070680

價格23.5624.4432.0732.4631.1534.1435.3038.7039.6346.68

收入762091201067011160119001292014340159601800019300

要求：（I）己知商品需求量丫是其價格占和消費者收入X2的函數，試求y對看和X2的最

小二乘回歸方程：+Ax2

（2）求y的總變差中未被X1和X2解釋的部分，并對回歸方程進行顯著性檢驗；

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（3）對回歸參數自，區進行顯著性，檢驗。

3-25.參考習題2-28給出的數據，要求：

（1）建立一個多元回歸模型，解釋MBA畢業生的平均初職工資，并且求出回歸結果；

（2）如果模型中包括了GPA和GMAT分數這兩個解釋變量，先驗地，你可能會遇到什么

問題，為什么？

（3）如果學費這一變量的系數為正、并且在統計上是顯著的，是否表示進入最昂貴的商業

學校是值得的。學費這個變量可用什么來代替？

3-26.經研究發現，學生用于購買書籍及課外讀物的支出與本人受教育年限和其家庭收入水

平有關，對18名學生進行調查的統計資料如下表所示：

學生購買書籍及課外受教育年限家庭月可支配收

序號讀物支出y（元/（年）入X2（元/月）

1450.54171.2

2507.74174.2

3613.95204.3

4563.44218.7

5501.54219.4

6781.57240.4

7541.84273.5

8611.15294.8

91222.110330.2

10793.27333.1

11660.85366.0

12792.76350.9

13580.84357.9

14612.75359.0

15890.87371.9

161121.09435.3

171094.28523.9

181253.010604.1

要求：

（1）試求出學生購買書籍及課外讀物的支出丫與受教育年限X1和家庭收入水平X2的估計

的回歸方程：9=6）+6/+Ax2

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（2）對用，四的顯著性進行t檢驗；計算心和4；

（3）假設有一學生的受教育年限占=10年，家庭收入水平X2=480元/月，試預測該學生全

年購買書籍及課外讀物的支出，并求出相應的預測區間（a=0.05）。

3-27.根據100對（王，丁）的觀察值計算出：

=12Z封=-9ZV=3（）

要求：

（1）求出一元模型y=&+分內+〃中的用的最小二乘估計量及其相應的標準差估計量;

（2）后來發現y還受它的影響，于是將一元模型改為二元模型y=a°+a2x24-v,

收集/的相應觀察值并計算出：

Z君=62七卞=8=2

求二元模型中的%,%的最小二乘估計量及其相應的標準差估計量：

（3）一元模型中的以與二元模型中的用是否相等？為什么？

3-28.考慮以下預測的回歸方程：

Y1=-120+0.10G+5.33RS示’=0.50

其中：Y,---第t年的玉米產量（蒲式耳/畝）

F,——第t年的施肥強度（磅/畝）

RS,——第t年的降雨量（英寸）

要求歸I答下列問題：

（1）從尸和RS對丫的影響方面，說出本方程中系數0.10和5.33的含義；

（2）常數項-120是否意味著玉米的負產量可能存在？

（3）假定〃廠的真實值為0.40,則估計值是否有偏？為葉么？

（4）假定該方程并不滿足所有的占典模型假設，即并不是最佳線性無偏估計值，則是否意

味著歷es的真實值絕對不等于5.33?為什么？

3-29.已知線性回歸模型Y=X5+U式中U?（0,cr2I）,〃-13且〃一3（〃為樣木

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容量，攵為參數的個數），由二次型（Y-XB）'（Y-X8）的最小化得到如下線性方程組:

■+2氐+A=3

2或+5A+/3=9

方+A+6A=-8

要求：（1）把問題寫成矩陣向量的形式；用求逆矩陣的方法求解之;

（2）如果Y'Y=53,求才\

（3）求出力的方差一協方差矩陣。

3-30.已知數據如下表:

YXiX?

1110

329

835

1541

285-6

要求：（1）先根據表中數據估計以下回歸模型的方程（只估計參數不用估計標準差）：

X=?（1+?k.

y（=4）+^2X2i“2i

■兒孫+%

（2）回答下列問題：％嗎？為什么？友二為嗎？為什么？

（四）自我綜合練習類題型

3-31.自己選擇研究對象（最好是一個實際經濟問題），收集樣本數據，應用計量經濟學軟件

（建議使用Eviews3.1）,完成建立多元線性計量經濟模型的全過程，并寫出詳細研究報告。

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四、習題參考答案

（-）基本知識類題型

3-1.解釋下列概念

（1）在現實經濟活動中往往存在一個被解釋變量受到多個解釋變量的影響的現象,

表現為在線性回歸模型中有多個解釋變量，這樣的模型被稱為多元線性回歸模型，多元

指多個解釋變量。

（2）形如XY=XrXB的關于參數估計值的線性代數方程組稱為正規方程組。

3-2.答：變量非線性、系數線性；變量、系數均線性；變量、系數均線性；變量線

性、系數非線性；變量、系數均為非線性；變量、系數均為非線性；變量、系數均為線

性。

3-3.答：多元線性回歸模型與一元線性回歸模型的區別表現在如下幾方面.：一是解

釋變量的個數不同：二是模型的經典假設不同，多元線性回歸模型比一元線性回歸模型

多了“解釋變量之間不存在線性相關關系”的假定；三是多元線性回歸模型的參數估計

式的表達更復雜；

3-4.在多元線性回歸模型中，參數的最小二乘估計量具備線性、無偏性、最小方差

性，同時多元線性回歸模型滿足經典假定，所以此時的最小二乘估計量是最優的線性無

偏估計量，又稱BLUE估計量。對于多元線性回歸最小二乘估計的正規方程組，

3-5.答：多元線性回歸模型的基本假定有：零均值假定、隨機項獨立同方差假定、

解釋變量的非隨機性假定、解釋變量之間不存在線性相關關系假定、隨機誤差項叫服從

均值為0方差為b?的正態分布假定。在證明最小二乘估計量的無偏性中，利用了解釋

變量與隨機誤差項不相關的假定：在有效性的證明中，利用了隨機項獨立同方差假定。

3-6.答：區間估計是指研究用未知參數的點估計值（從一組樣本觀測值算得的）作

為近似值的精確程度和誤差范圍。

（二）基本證明與問答類題型

3-7.答：含有待估關系估計量的方程組稱為正規方程組。

正規方程組的非矩陣形式如下：

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Z、一Z(6。+瓦"?+A%+…+A見)=。

Xy/廠Z(6。+AA+Az+…+BkX”=0

Ey/2,-E(A+6屈+"+?,?+pkxki)x2.=0

2%幾-2(6。+B\&i+B6”+…+A與M產o

正規方程組的矩陣形式如下:

X'Y=XrXB

推導過程略。

3-16.解：

（1）證明：由參數估計公式可得下列參數估計值

Z，2i（%一上2i）Z*2/3i

苫/5-以）Z4

Z君Z±2#3i

Z、2/3iZ3li

Z4Z*2*3i

Z*2r*3i￡文3

Z,

Z居Z*2/3i

Z比2i比3iZ痣Z比2/31z君

A人-i

._2*2/3,￡心（?「心）

%一

Z居Z*2/3i

2*2/3,

z麓z月仆,Z-4

Z&*3,Zi

2以均Z*3』

Z居ZMZ土2&

Z*2j*3i

ZX2iX3iZ將

人

=A

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=y-X-a2x2-匹3元3

=y-(1+d)x-

22ayx3

=AA&一而3

人

=A

證畢。

⑵證明：

4二必一々『一?一42々:一左3當,

=y,-a[-(\+a2)x2i-a3x3i

=y,~P\~PlX2i~^3X3i

A

=%

證畢。

⑶設:Zj=%f

I式的擬合優度為:

R2-黑￡(x-J5)2

n式的擬合優度為:

R2]ESS、?中

2TSSZG-彳/

在⑵中已經證得e=可成立，即二式分子相同，若要模型II的擬合優度R；小于模型

i的擬合優度耳，必須滿足：>2（馬一刃2<?'，一?。

3-17.答：

⑴方程B更合理些。原因是：方程B中的參數估計值的符號與現實更接近些，如與

日照的小時數同向變化，天長則慢跑的人會多些；與第二天需交學期論文的班級數成反

向變化，這一點在學校的跑道模型中是一個合理的解釋變量。

⑵解釋變量的系數表明該變量的單位變化在方程中其他解釋變量不變的條件下對被

解釋變量的影響，在方程A和方程B中由于選擇了不同的解釋變量，如方程A選擇的

是“該天的最高溫度”而方程B選擇的是“第二天需交學期論文的班級數”，由此造成X2

與這兩個變量之間的關系不同，所以用相同的數據估計相同的變量得到不同的符號。

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3-18.答：

將模型⑴改寫成（％-2zJ=a+您+%,則p的估計值為：

方一君（,一2zp

p~

將模型⑵改寫成￡=a+〃（七一zp+w-,則p的估計值為：

\?七一4一5+乞）2

這兩個模型都是三變量回歸模型⑶在某種限制條件卜.的變形。如果限制條件正確，則前

兩個回歸參數會更有效；如果限制條件不正確則前兩個回歸參數會有偏。

3-19.答：

⑴答案并不唯一，猜測為：X1為學生數量，X2為附近餐廳的盒飯價格，X3為氣溫,

X,為校園內食堂的盒飯價格;

⑵理由是被解釋變量應與學生數量成正比，并且應該影響顯著；與本食堂盒飯價格

成反比，這與需求理論相吻合；與附近餐廳的盒飯價格成正比，因為彼此是替代品；與

氣溫的變化關系不是十分顯著，因為大多數學生不會因為氣溫升高不吃飯。

（三）基本計算類題型

3-22.解：⑴

A二Zy/2,Z舄一Z)'/3iZ//3>

Z4Z4-Z2/Z0/

74778.346x280-4250.9x4796.0

84855.096x280-4796.02

550620

=757810

=0.7266

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A

A=

ZZ4-Z心/Z2/

4250.9x84855.096-74778.346x4796.0

84855.096x28()-4796.()2

2073580

-757810

=2.7363

=367.693-0.7266x402.760-2.7363x8.0

=53.1572

⑵

2)'；—Ay0-AME,

o_Z〃_13_ZZ15-3Z

66042.269-0.7266x74778.346-2.7363x4250.9

~12

=6.3821

se（夕?）=加叭四）=—xAxer2=12.768

15

干xZKi+千xE&-2歡XWX/3i

其中：A=

Z名XX3i~ZX2iX3iZX2iX3i

同理，可得：5^(/?,)=0.0486,%(屈)=0.8454

擬合優度為:心』冢落".頰g

=1-(1-/?2)-^^=0.9986

n-k

⑶d.f.=12,a=5%,查表得P(|/|<2.179)=0.95

-2.179<-7266一分<2.179,得到0.6207<^<0.8325

0.0486~

-2.179<27363-/<2.179,得到0.8%2</3.<4.5784

0.8454

.?.用95%的置信區間為：0.6207</32<0.8325,

用95%的置信區間為:0.8942<又<4.5784

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(4)”0:Bt=0,(/=1,2,3),乩：B尸0

a=5%(雙邊)，c/.f=15-3=12查表得臨界值