模型10“等時圓”模型及其應用01模型概述01模型概述1．等時圓模型(1)質點從豎直圓環上沿不同的光滑弦上端由靜止開始滑到圓環的最低點所用時間相等，如圖甲所示；(2)質點從豎直圓環上最高點沿不同的光滑弦由靜止開始滑到下端所用時間相等，如圖乙所示；(3)兩個豎直圓環相切且兩環的豎直直徑均過切點，質點沿不同的光滑弦從上端由靜止開始滑到下端所用時間相等，如圖丙所示。2.等時性的證明設某一條弦與水平方向的夾角為，圓的直徑為（如右圖）。根據物體沿光滑弦作初速度為零的勻加速直線運動，加速度為，位移為，所以運動時間為即沿各條弦運動具有等時性，運動時間與弦的傾角、長短無關。02典題攻破02典題攻破1.等時圓基本應用【典型題1】如圖所示，甲圖中質點從豎直面內的圓環上，沿三個不同的光滑弦1、2、3上端由靜止開始滑到環的最低點，所用的時間分別為、、；乙圖中質點從豎直面內的圓環上最高點，沿三個不同的光滑弦4、5、6由靜止開始滑到下端所用的時間分別為、、，則（）A．， B．，C．， D．，【典型題2】（2024·湖北黃石·三模）如圖所示，是一個傾角為的傳送帶，上方離傳送帶表面距離為的處為原料輸入口，為避免粉塵飛揚，在與傳送帶間建立一直線光滑管道，使原料無初速度地從處以最短的時間到達傳送帶上，則最理想管道做好后，原料從處到達傳送帶的時間為（）A． B．C． D．2.等時圓拓展應用【典型題3】如圖所示有一半圓，其直徑水平且與另一圓的底部相切于O點，O點恰好是下半圓的頂點，它們處在同一豎直平面內。現有兩條光滑直軌道AOB、COD，軌道與豎直直徑的夾角關系為，現讓一小物塊先后從這兩條軌道頂端由靜止下滑至底端，則下列關系中正確的是（

）A． B． C． D．【典型題4】如圖在設計三角形的屋頂時，使雨水盡快地從屋頂流下，并認為雨水是從靜止開始由屋頂無摩擦地流動，試分析：在屋頂寬度（2L）一定的條件下，屋頂的傾角應該多大？雨水流下的最短時間是多少？03針對訓練03針對訓練1．（2024高一·全國·專題練習）如圖所示，ad、bd、cd是豎直平面內三根固定的光滑細桿，a、b、c、d位于同一圓周上，a點為圓周的最高點，d點為圓周的最低點。每根桿上都套著一個小滑環，三個滑環分別從a、b、c處釋放（初速度都為0），用t1、t2、t3依次表示各滑環滑到d的時間，則（）A． B．C． D．2．（23-24高二下·安徽合肥·期中）如圖所示，在斜面上有四條光滑細桿，其中OA桿豎直放置，OB桿與OD桿等長，OC桿與斜面垂直放置，每根桿上都套著一個相同的小滑環（圖中未畫出），四個環分別從O點由靜止釋放，沿OA、OB、OC、OD滑到斜面上，下列說法正確的是（）A．沿OD下滑過程中彈力的沖量最大B．沿OA下滑過程中重力的沖量最大C．沿OC下滑過程中重力的沖量最小D．沿OB下滑過程中彈力的沖量最小3.（23-24高一上·山東濟寧·階段練習）如圖所示，一斜面固定在水平面上，斜面上固定了兩個光滑軌道a、b，其中軌道a與斜面垂直，兩軌道頂點相同，且頂點在C點的正上方。現分別從兩軌道的頂點釋放一物塊，它們到達斜面的時間分別為t1、t2.下列說法正確的是（）A．t1<t2 B．t1=t2 C．t1>t2 D．無法確定4．（2024·江蘇泰州·一模）如圖所示，半球形容器內有三塊不同長度的滑板、、，其下端都固定于容器底部點，上端擱在容器側壁上，已知三塊滑板的長度。若三個滑塊同時從A、B、C處開始由靜止下滑（忽略阻力），則（）A．A處滑塊最先到達點 B．B處滑塊最先到達點C．C處滑塊最先到達點 D．三個滑塊同時到達點5．（23-24高三上·江蘇淮安·開學考試）如圖所示，球殼內有三條弦OA、OB、OC，O為球內的最低點，它們與水平面間的夾角分別為60°、45°、30°。三個光滑的小環分別從A、B、C處由靜止沿所在弦下滑，運動到最低點所用的時間分別為、、，則三者之間大小關系為（）A． B．C． D．6．如圖所示，在豎直平面內建立直角坐標系xOy，該平面內有AM、BM、CM三條光滑固定軌道，其中B、C兩點處于同一個圓上，C是圓上任意一點，B、M分別為此圓與y軸、x軸的切點，A點在y軸上且∠AMO=60°，O'為圓心，現將a、b、c三個小球分別從A、B、C點同時由靜止釋放，它們將沿軌道運動到M點，所用時間分別為、、，則（）A．<<B．=<C．>=D．由于C點的位置不確定，故無法比較時間大小關系7．（2024·全國·模擬預測）如圖所示，有直角三角形光滑軌道框架，其中AB豎直。，光滑圓弧軌道CB為的外接圓上的一部分。小球1、2分別沿軌道AB、AC從A點由靜止開始運動，到B、C點對應的時間分別為、，小球3沿軌道CB從C點由靜止開始運動，到B點的時間為；小球4在圓弧軌道CB上某一點（對應的圓心角很小）由靜止開始運動，到B點的時間為。則下列時間的關系正確的是（）

A． B． C． D．8．（23-24高三上·黑龍江哈爾濱·階段練習）如圖所示，在豎直平面內有ac、abc、adc三個細管道，ac沿豎直方向，ab與bc垂直，adc構成等邊三角形。將三個小球同時從a點沿三個不同軌道由靜止釋放，忽略一切摩擦，不計拐彎時的機械能損失，當豎直下落的小球運動到c點時，關于三個小球的位置，下列示意圖中可能正確的是（

）

A．

B．

C．

D．

9．（23-24高一下·安徽蚌埠·期中）如圖所示，豎直平面內存在半徑為R的大圓和半徑為r的小圓，兩個圓的公切線水平，有兩條傾斜的光滑軌道，一條與大圓相交于A、B兩點，A點為大圓的最高點，另一條軌道一端交于大圓的C點.另一端交于小圓的D點，且過大圓和小圓的公切點。現讓一物體分別從兩條軌道的頂端A、C由靜止釋放，分別滑到B點和D點（假設物體能夠無障礙地穿過CD與圓的交叉點），物體在兩條軌道上的運動時間分別為、，重力加速度為g，下列判斷正確的是（

）A． B．C． D．10．（2024·湖南長沙·模擬預測）（多選）如圖所示，O點為豎直圓周的圓心，MN和PQ是兩根光滑細桿，兩細桿的兩端均在圓周上，M為圓周上的最高點，Q為圓周上的最低點，N、P兩點等高。兩個可視為質點的圓環1、2（圖中均未畫出）分別套在細桿MN、PQ上，并從M、P兩點由靜止釋放，兩圓環滑到N、Q兩點時的速度大小分別為、，所用時間分別為、，則（）A． B． C． D．11．（23-24高三上·河南省直轄縣級單位·階段練習）（多選）如圖所示，oa、ob和ad是豎直平面內三根固定的光滑細桿，o、a、b、c、d位于同一圓周上，c為圓周的最高點，a為最低點，為圓心。每根桿上都套著一個小滑環，兩個滑環從o點無初速釋放，一個滑環從d點無初速釋放，用，，分別表示滑環沿oa、ob、da到達a、b所用的時間，則下列關系正確的是（）A． B． C． D．12．（23-24高三上·湖北孝感·階段練習）（多選）三根光滑絕緣細桿a、b、c固定于豎直放