必考解答題一一模板成形練(-)

三角函數、平面向量及解三角形

(建議用時：60分鐘)

1.在比中，cos力二幸，db,c分別是角/I,B、。所對的邊.

⑴求sin24；

(2)若sin段+0=-平，c=2y/2,求△力8c的面積.

解(1)因為cos4=幸，AE(0,n),；.sin4=嘩.

JJ

/.sin2/1=2sin4cosA=

(2)由sin缺+@二一平，得cos8二平，

、乙/JO

由于〃￡(0,31),.'.sinB=J.

J

則sinC-sin(J+=sinJcosB+cos4sinB二

J

由正弦定理，得"黑=2,

△力比'的面積為S=)acsin

/J

2.設a",c分別為△胸的內角,4.B,。的對邊”=(cos*sinjcos垓-sing,

勿與〃的夾角為1

⑴求角。的大?。?/p>

(2)已知。=]△力a'的面積求a+b的值.

CC

解(1)由條件得AncosZj-sin5ucos1

乙乙

n1

又卬?〃二|ml51COS-=-

1n

?*-cosC=~,0<C<n,因北匕。二刀.

4J

(2)S^sc=-absinC-ab-6.

乙

由余弦定理得

c12=才+爐-2a/?cosC-+IJ-ab=(a+Z?)2-3ab,

得出(a+/O'野，.，.a+b=?.

乙

3.在△/式中，角4、B、。的對邊分別為a、b、c且cos2C=\--

ya

(D求心+春的值；

8

(2)若tanB=—求tan力及tanC的值.

10

A,\西24爐

解(1),「cos2C=1sinL=-r.

aa

2b

,?，C為三角形內角,-"-sinC>0,/.sinC=—.

a

abbsinB

'sinA~sinB'-asinA

2sinB-sin力sinC.

?；A+B+C-n,

/.sinB-sin(/1+6)=sinAcosC+cos/sinC.

2sinJcosC+2cos力sinC-sin/IsinC.

1I1

,/sinA?sin今0,「?----;+-----="

tanAtanC2

小111

⑵,??高才高77

2tanC

」.tanA=----7—7.

tanC-2

..?/+8+C-n,

tanB=-tan(4+0

tanA+tanC

1-tan/tanC

_______tan2c_____

-2tanZ-tanC+2*

2=0

1lbR_9zftannrC-ftannC-+92整理得1*18口11C+16

解得，tanC-4,tan4=4.

4.已知向量0=(/sinx-cosx,1),〃=(cosx、9若/,（*）="?〃.

(D求函數FOO的最小正周期；

,。且c=3,e+—二乎（。為銳角）,

(2)已知的三內角4B,C的對邊分別為a,b

2sinA-sinB,求Ca,力的值.

解(1)fCx)二m?n二小sinxcosx-cos2x+^

-J31+cos2x1

-2S,n2^-2+2

=^sin2x-^cos2x=sin^2x--^,

??.f(x)的最小正周期為限

⑵度+^=sin乎,v0<6,<y,"二木

???2sin/二sin反由正弦定理得b=2a.①

,?,c=3,由余弦定理，得9=才+爐-2劭cos?，②

a二木,

解①②組成的方程組，得《廠

[b=2y[i.

?,-^=y,a=442小.

必考解答題一一模板成形練(二)（對應學生用書P411）

立體幾何

（建議用時：60分鐘）

平面6的〃平面APD.又M比平面GMN、「.以〃平面API).

(2)?.?8C_L平面為氏/1/七平面陽氏:.BC1PA,

???Z.加力=90°,/.BPLPA.

?:BCCBP=B,.,.處_L平面如C:.BNIPA.

,PB=BC、點N為用的中點，.??制11和

?：PCCPA=P,.?.物CL平面D

又“比平面BDN、「.平面BDNL平面ACP.

3.

如圖，已知/_L矩形/時所在平面，6尸分別是/16尸。的中點.

(D求證：“〃平面PAD]

⑵求證：EFLCD',

證明⑴取外的中點&連接的用.因為用為△陽9的中位線,

所以A勿。且尸G='S

又AE"CD、且熊=：CD,

所以力勿用且熊二股

故四邊形力必1G為平行四邊形，所以印〃AG.

又力仁平面PAD、E耳平面PAD,

所以/環〃平面PAD.

⑵因為用_L平面48。C"平面ABCD,

所以為_L微在矩形4版中，ADLCD,

又川n力0=4所以切上平面處〃

因為月仁平面四〃，所以

又EF"AG、所以/汜LCD

4.

如圖，在平行四邊形4809中，A8=2BC=4,乙力比=120°,￡必分別為題施的中點,

將△/龍沿直線應翻折成△"DE、連接"C,A1B、F為A'。的中點，/r=4.

（D求證：平面4施1平面版；

（2）求證：物平面4DE.

證明⑴由題意得，必是△月龍沿〃/；,翻折而成，DECADE.

?「乙力優=120°,四邊形力頗是平行四邊形，

14=60°.又???{〃=>￡=2,

???△/龍和△力應都是等邊三角形.連接4M.，必

是原的中點，-A1MLDE,AF二木.

在△〃必中，,度二〃+。獷-2%?〃獷?cos600=42+l2-2X4Xl?cos600,

在△"比中，A'.l7+.l^=（A/3）2+（V13）2=42=J,C.

.??△/比是直角三角形，.?./ML就：

又?「"『紅應：址n龐二斷ML平面閱9.

又?「"忙平面HDE、

平面力,施'_L平面8微

⑵取比'的中點網連接成陽

?「?c=DC=4,FtN分別是力,C,a*的中點，

:.FN//A'D.

又川￡分別是平行四邊形力微的邊的四的中點，

:.BN//DE.

又????DCDE=D、FNCNB=N,

平面H比〃平面A忸

?;FI七平面FNB,...月夕〃平面力，DL

必考解答題一一模板成形練（三）（對應學生用書PH3）

直線與圓及圓錐曲線

（建議用時：60分鐘）

1?已知圓C的方程為V+（"4）2=4,點。是坐標原點.直線/：片履與圓。交于KN

兩點.

（1）求才的取值范圍：

211

（2）設0（勿，〃）是線段柳V上的點，且百07=7獷+法尸?請將〃表示為0的函數.

解⑴將片布代入（”4）2=4,得（1+扃/-8履+12=0（*）,由4=（-8爐-4（1

+〃）><12>0得〃2>3.所以左的取值范圍是（-8,-^3）U（V3,+8）.

⑵因為M、川在直線/上，可設點KN的坐標分別為（八kx。、（X2,te）,則|〃必2=（1

+〃）疝|剛2=（]+05又|附2=序+戶=（1+〃）貳

____1_1g2________I]

由兩=時+可得,1+六n廣1+W>+1+P/

211小+照2-2xix>

所以薪=丁房=------編-------

,..,8k12si236

由（*）知M+加二丁口，汨加=育%，所以加二51—3,

因為點。在直線/上，所以女吟代入勿2二三￡可得5/?2-3///=36,

mOK-S

由，=5j36_3及1>3得0</<3,即（-小，0）U（0,?。?

依題意，點。在圓。內，則〃>0,

,36+36A/15/77+180

所以〃二軍—?

■X/15/77+180,

綜上，〃與勿的函數關系為〃="———（加E（-木r，0）U（0,水r）.

D

2.已知圓C：（X+/）2+/=16,點力（小，0）,0是圓上一動點，力0的垂直平分線交。

于點M設點時的軌跡為￡

（D求軌跡￡的方程；

,、4

（2）過點尸（1,0）的直線/交軌跡￡于兩個不同的點4氏△力如（0是坐標原點）的面積5=與

求直線4,的方程.

解（1）由題意|陽+|皿=|.桅1+|隨|=|卬=4>2鎘，所以軌跡￡是以4C為焦點，

長軸長為4的橢圓，

即軌跡月的方程為%

⑵記力(汨，71),6(尼，㈤，

由題意，直線小的斜率不可能為0,而直線*=1也不滿足條件,

故可設用的方程為“孫+1,

■?+4y=4,

時…1,

消)得(4+*/+2my-3=0,

一4+2d3+4~-m—2yl3+

所以與;

4+序72=4+序.

2m+3

S=^\OP\\yi-y2\

一nf+4

由s=3，解得/=1,即/?=±1.

故直線4,的方程為*=±，+1,

即x+y-1=0或x-p-1=0為所求.

3.已知過點火(-4,0)的動直線，與拋物線G：戈=2.(。>0)相交于民。兩點.當直線/

的斜率是J時，AC=W.

(D求拋物線G的方程；

(2)設線段旗的中垂線在y軸上的戳距為b,求。的取值范圍.

解⑴設庾小，7i),C(x2,㈤，當直線/的斜率是:時，/的方程為片;(*+4),即x=2y

-4,

'x-2py,

聯立彳o,得2j/—(8+0y+8=O,

x=2y-4

8+p+ylff+16p8+p-ylff+6p

二必二------4-----------1度二------4---------

由已知應'=4通.?.次:4乂，

???可得22+16p-36=0

?.?夕>0可得%=1,%=4,p=2,

???拋物線G的方程為夕=4乂

(2)由題意知直線)的斜率存在，且不為0,

設/：y=A(>+4),8C中點坐標為(照，yo),

x=4y,

得六一由得女＜一或衣＞必+

由44x-16〃=0,4＞04D,x=2k±2yll4k.

1y=kx+4

:,XB+XC-2k

Xn+Xc

…Xo~^~=2k'M=A(;vb+4)=2發+4k

，切中垂線方程為y-2li-Ak=-1a-2A),

K

:?b=21k+1)\b>2.

22傷

4.已知橢圓C：點+方=l(a>6>0)的左、右焦點分別為凡&離心率為拳.以原點為圓

心、，橢圓的短軸長為直徑的圓與直線￥-產+鏡=0相切.

(D求橢圓C的方程；

(2)如圖，若斜率為處〃之0)的直線/與不軸、橢圓。順次相交于4MA點在橢圓右頂

點的右側)，且乙肥A二乙物4求證直線，過定點(2,0),并求出斜率4的取值范圍.

解(D由題意知e=(=乎，...「=*=?J=寺,即，=2左又?.?力=-^=^=1,.?.3=2,

3Zcla￡、/1+1

2

4=1,???橢圓方程為5+V=L

乙

(2)由題意，設直線，的方程為產二取+/(4工0),M{x\,7)),MA2,現).

y-kx+m,

由〈？得(2〃+1)+4*m*+2B-2=0.

Y+2y?=2

由A=16^-4(2^+l)(2/^-2)>0,得步<2〃+l,

-2km+ylA/f-2m+\-2km-ylAJ(-2m+2

，/Xl=2六+11X22尸+1

-4km2ni-2

則有由十及二赤Y，汨加二赤7

?/人NAR=乙肥4

且ZJ假4#900,對肥+力肥=0.

又以則宣+,=°，

kx\+mkx?+m

即----r+----r=0,

xi-1X2-1

化簡得2kx\x2+(/?-A)(xi+x2)-2z?=0.

-4km2Z?7—2

將小+及=2/(+1,汨*2=2「+1代入上式得m~~2匕

???直線）的方程為V二府-2匕即直線過定點（2,0）.

將/*=-2k代入nf<2〃+1,

得4/<2〃+1,即〃七又?「杼0,直線/的斜率4的取值范圍是（-察O）U（O,

必考解答題一一模板成形練（四）（對應學生用書P415）

實際應用題

（建議用時：60分鐘）

1.在邊長為a的正三角形鐵皮的三個角切去三個全等的四邊形，再把它的邊沿虛線折起（如

圖），做成一個無蓋的正三角形底鐵皮箱，當箱底邊長為多少時，箱子容積最大？最大容積

是多少？

箱子的容積為Mx）ugfXsin60°XA=~ax-（0<<a）.

乙oo

132

由/（x）=7ax-6y=（）解得乂=0（舍），照=不落

且當xE（0,|a）時，V1（x）>0；

當xE修，，時，F（A）<0,

2

所以函數KO在*=評處取得極大值.

o

這個極大值就是函數〃（才）的最大值：O5X修?-卜（豺二景.

所以當箱子底邊長為多時，箱子容積最大，最大值為景.

2.如圖，某小區有一邊長為2（單位：百米）的正方形地塊OABC,其中力￡是一個游泳地，

計劃在地塊處8。內修一條與池邊46相切的直路,（寬度不計），切點為M并把該地塊分為

兩部分，現以點。為坐標原點，以線段小所在直線為x軸，建立平面直角坐標系，若池邊

/￡滿足函數夕=-f+2（oWxW/）的圖象，且點J/到邊面距離為《*內5

2

（D當Q時，求直路/所在的直線方程；

O

（2）當t為何值時，地塊如蛇在直路/不含泳池那側的面積取到最大，最大值是多少？

解⑴卷3.1：12A-+9/-22=0

⑵必9-2+2）,過切點材的切線）：y-（-4+2）=-2MX-力

即片-23+，2+2,令“2得汨，故切線/與仍交于點修，2）;

令y=0,得*=￡+巳又*=^+5在］/g遞減，所以工二^+“總用故切線,與3交

于點（川,0）

.??地塊以比在切線1右上部分區域為直角梯形，

面積5=氐2_￡_：+2_9?2-4一￡一［=4一（￡+5<2,￡=1時取到等號，S”“=2.

3.濟南市“兩會”召開前，某政協委員針對自己提出的“環保提案”對某處的環境狀況進

行了實地調研.據測定，該處的污染指數與附近污染源的強度成正比，與到污染源的距離成

反比，比例常數為以4>0）.現已知相距36km的A,8兩家化工廠（污染源）的污染強度分

別為正數況b,它們連線上任意一點C處的污染指數y等于兩化工廠對該處的污染指數之

和.設x（km）.

（D試將J，表示為x的函數；

（2）若a=l時，y在*=6處取得最小值，試求。的值.

kakb

解（1）設點C受力污染源污染指數為；，點C受8污染源污染指數為正二7其中在為比例

XOUX

系數，且QO.

從而點。處污染指數廣：+詔（。J<36）.

kkb

(2)因為a=l,所以，y=-+77—.

XOvX

y'=v「?l+b36-^14令V=°，得/=7376^，

當^f0-丁用時，函數單調遞減；

+8時，函數單調遞增；

當x=1+的時,函數取得最小值.

又此時％-6,解得6-25,經臉證符合題意.

所以,污染源〃的污染強度6的值為25.

4.某個公園有個池塘，其形狀為直角zr=90°,力8=200米，比?二100米.

（1）現在準備養一批供游客觀賞的魚，分別在力民BC、。上取點僅E,￡如圖（1）,使得

EF//AB,EFIED,在△麻喂食，求△顏面積品團的最大值；

（2）現在準備新建造一個荷塘，分別在AB,BC、CA上取點D,E,F、如圖（2）,建造△叱

連廊（不考慮寬度）供游客休憩，且使△游為正三角形，求△麻邊長的最小值.

解⑴Rt△力政?中，乙。=90°,48=200米，8c=100米.

「cosB=%三可得8=60。

-：EF//AB,:.(CEF=(B=60°

設五二八（0</<1）,貝IJ四=4CB=100A米,

CD

Rt△處中，科2咨2001米，

0至U比的距離d=*CE=50731米，

???。至ij的距離為理寬=米，

??.點〃到哥'的距離為

A=50V3-5()V3^=50^3(1-仙米

可得S餌呼=；所?力=5000y/3(1-4)米2

???^(1-^)^1[A+(1-4)]2=1,當且僅當4二1時等號成立,

q3乙

.??當4二)時，即E為川？中點時，S△好的最大值為

1254米2

(2)設正△應產的邊長為況jCEF=a,

貝Ij677=a?sina,AF=y[3-a*sina.

該乙EDB二乙1、可得

乙1=180°-Z.B-ZZO=120°-乙DEB、a=180°-60°-4頗=120°-乙DEB

「.LADF=180°-60°一乙1二1200-a

#-asina

在△回也高會

sinZ/ZZ/7

、4一asina

K|1-sin1200-a

2

化簡得a[2sin(120°-a)+sina]=73

=-.....理后------二仿.木---；-2半(其中。是滿足tan0二亭的銳

2sina一43cosa,^7sina-q)yjl1乙

角).

「?△戚邊長最小值為隼米.

必考解答題一一模板成形練(五)(對應學生用書P417)

數歹IJ

(建議用時：60分鐘)

1,已知數列｛4｝的前〃項和為S,且2S=1-&.

(D求數列｛融｝的通項公式；

101

⑵記4=10對區,數列｛九｝的前〃項和為北,求證z5<2.

解⑴當〃=1時，25=1-51,2.3)=1-ai,/.ai=-；

<3

2Sn=1-a?,

當〃22時,

2?Sn-1—1—3n-I,

兩式相減得24=an-\-&(〃22),

即3d二品.】(〃22),又4-1W0,「.-^=:(〃22),

3n-1J

???數列｛&,｝是以《為首項，;為公比的等比數列.

JO

(2)由(1)知bn=lo

.?.北=1+2+3+…+〃=

二1222

￡Tk1X22X3nn+I

2.數列｛&｝的前〃項和為S,若句:2,且&=S-+2〃(〃22,〃￡N).

⑴求S；

(2)是否存在等比數列｛兒｝滿足以二句，灰二五左二信？若存在，求出數列｛4｝的通項公式；

若不存在，說明理由.

解(1)因為￡=S-i+2〃，

所以有S-ST=2〃對〃22,成立，

即a=2〃對〃22成立，X<ai=2?1.

所以a=2〃對械N?成立.

所以對〃EN*成立，所以｛,｝是等差數列，

a\+an

所以有S二n=n+n,//GN*.

2

⑵存在.

由(1),得a=2〃，成立，

所以有左=6,加=18,又8=2,

所以由仇=a,=a.,,bs=M則￡

所以存在以5=2為首項，公比為3的等比數列｛4｝,

其通項公式為4=2-3"<

3.已知數列｛&,｝是首項&=1的等差數列，其前〃項和為&數列｛優｝是首項4=2的等比

數列,且列￡二16,噂匹二氏

(1)求晶和bn；

⑵令a=l,Q*=儂?i,oz^i=azr+kba(k=1,2,3,…)，求數列｛c“｝的前2〃+1項和“i.

解(I)設數列W的公差為d數列｛4｝的公比為4

則a=1+(〃-1)d,bn=2gl.

由公公="，得Q=2=Z?I=2,

由①W=2q(2+中=16,解得d=2.

an-2n-1,bn-2”.

⑵..?舅i=c1+國+(a+b)+a+(&+2?Z>2)+…++(&〃+nb)=1+￡”+(Z?i+2bi

+…+nb》.

令力二bi+2灰+??,+nb?,

貝lj4=2+2?22+-+/??2；

/.2J=22+2?2、+…+(〃-l)2"+〃?2"“，

-4=2+2?+…+2"-〃?2"：

二.力二〃?2""-2"”+2.

2〃1+甌*

又S產-----------=4/J,

%M=1+4〃2+〃?2""-2""+2

fl+,

=3+4/+(y?-l)2.

4.已知數列｛&,｝滿足：ai=1,3(1-=2(1-a,),bn=l-at,tc?-a?.\-a?(n

￡N,).

(D證明數列｛4｝是等比數列，并求數列伍｝、｛是的通項公式.

(2)是否存在數列｛&｝的不同項a；j以(/</<?)使之成為等差數列？若存在，請求出這

樣的不同項S%◎(/</<〃)；若不存在，請說明理由.

(3)是否存在最小的自然數必對一切〃EN*都有(〃-2)a,<M恒成立？若存在，求出M的值,

若不存在，說明理由.

⑴證明因為&#±1,團=),3(1-^+1)=2(1-￡),bn=\-

]2

所以筌^=1-31=1，所以｛4｝是以，為首項，￡為公比的等比數列，

bn1-o446

3

所以兒二(所以或-X

,X|)=14

所以①=備+1-a：=；X仔)j(〃E10

⑵解假設存在以J,c(/<j<〃)滿足題意，則有2c產c+辦代人得

2x|xgy-'=|x(|y)+3修)一化簡得2'7"=3，T+2f;

即2-，|_*一二3」二左邊為偶數，右邊為奇數不可能相等.

所以假設不成立，這樣的三項不存在.

]/2、/?—4

=X，X-

(3),/(〃-2)cn-(n-l)cfl?i4(3)3~1

(1—2)C\<(2—2)&<(3—2)e<(4—2)t;i,

(4—2)a=(5-2)C5,(5-2)^>(6-2)a>(7-2)a>……

即在數列｛5-2)G｝中,第4項和第5項是最大項，當〃=4時(〃-2)G=2X)X僑=/

所以存在最小自然數必=1符合題意.

必考解答題一一模板成形練(六)(對應學生用書P419)

函數與導數

(建議用時：60分鐘)

1.已知函數f(x)=-y+ax+b[a,Z?ER).

(D求函數f(x)的單調遞增區間；

(2)若對任意aE[3,4],函數/tr)在R上都有三個零點，求實數〃的取值范圍.

解(1)因為F(x)=-x+ax+b,

3G制

所以「a)=

當a=0時，f(x)W0,函數fCO沒有單調遞增區間；

當a>0時，令f(x)>0,得0<X<刀

J

故F(x)的單調遞增區間為(0,

9;

當a<0時，令f(x)>0,得手<x<0.

O

故人力的單調遞增區間為仔a,0)

綜上所述，當&二0時，函數FCO沒有單調遞增區間；

當心0時，函數儲的單調遞增區間為(o.1a)；

當a<0時，函數4)的單調遞增區間為隼0J.

(2)由(1)知，a￡[3,4]時，f(x)的單調遞增區間為(0,，，，單調遞咸區間為(-8,0)和

氤+8)

所以函數f(x)在o處取得極小值/(0)=b,

函數r(x)在*=學處取得極大值(引二篝+”

由于對任意[3,4],函數Ax)在R上都有三個零點，

f0<0,[Z?<0,

所以｛/2合即4a

>0解得一百<人<”

lvJ'反+*。，

4aL

因為對任意aE[3,4],一方怛成立,

乙I

所以實數。的取值范圍是(-4,0).

2.已知函數f(x);2+lnx-l,aER.

X

(1)若曲線y=F(x)在點Hl,珀處的切線平行于直線y=-x+l,求函數y=f(x)的單調區

間；

⑵若a>0,且對*W(0,2e]時，r(*)>0恒成立，求實數a的取值范圍.

解(D直線y=-x+1的斜率k=-1,

函數y=F(x)的導數為/U)=+

f(1)=-a+l=-1,即a=2.

221x—2

/.f(x)=-IIn1,f1(A)=-7i-=-s—.

xxxx

??,F(x)的定義域為(0,+°°).

由/U)>0,得x>2；由fU)<0,得0<x<2.

」?函數Ax)的單調增區間是(2,+8),單調減區間是(0,2).

⑵F(x)>0對x￡(0,2e］恒成立，

即彳+In*-1>0對xE(0,2e］恒成立.

即a>^r(l-Inx)對xE(0,2e］恒成立，

設g(x)=x(l-lnx)=x-xlnx,xE(0,2e］.

g'(A)=1-Inx-1=-Inx,

當0<x<l時,"(x)>0,4x)為增函數.

當l<xW2e時，/U)<0,g(x)為減函數，

所以當x=l時，函數以力在*E(0,2e］上取到最大值.

，g(x)Wg(l)=1-In1=1,二?a的取值范圍是(1,+8).

3.已知函數/V)=9+而+cx-3,y二尸3為f(x)的導函數，滿足/(2-x)=f(*)；

f(x)=0有解，但解卻不是函數f(x)的極值點.

(D求汽力；

(2)設以入)=小?0>0,求函數g(x)在［0,4上的最大值；

(3)設方(力=Inf(力,若對于一切［0,1］,不等式力(力(2x+2)恒成立,求

實數1的取值范圍.

解⑴F(x)=V+2bx+c,

,:f(2-x)=f(x),.,.函數/V)的圖象關于直線x=l對稱，b=-1.

由題意，F(x)=V-2x+c=0中J=4-4<?=0,故。=1.

所以f(x)=\x-x+x-3.

J

⑵???/(x)=^-2bx+1

=(一)2,

?**g(x)=x\x-1|

y-x、x》i,

X-X,x<1.

當0<婷g時，g(x)2=g(m)-m-m

當g〈后1+，時,雙力叫二局=；,

當m>1時，4才)==g16=m-/n.

綜上=5

(3)A(x)=21n|x-11,h{x+1-t)=21n|x-t\,h(2x+2)=21n|2;r+11

當屆[0,1]時，|2x+l|=2x+l,所以不等式等價于0<次-Y<2彳+1恒成立，

解得-入-1<￡<3x+1,且杼R

由力￡[0,口得-才-1￡[-2,-1],3A-+1G[1,4],所以

又、羊￡,.F6[0,1],??.所求的實數1的取值范圍是(-1,0).

4.已知函數f(x)=A[(log^)2+(logra)2]-(log^)3-(log^a)3,

g(x)=(3-發)(logM+logs),

(其中a>l),設￡=log“x+loga

(D當xE(l.a)U(a,+8)時，試將F(x)表示成力的函數力(力，并探究函數為1)是否有

極值；

⑵當￡(1,+8)時，若存在照E(l,+8),使汽刖)>晨照)成立，試求々的范圍.

解⑴:(log“x)2+(log*a)''=(log/+logm)2-2

*-2.

323

(log#、(logxa)=(logM+log點)[(log,x+logva)-3]=t-31,

3

A(t)=-t+kf+3t-2kt(t>2).

力'(t)=-3t2+2Af+3

設九t2是h'")=0的兩根，貝J[/<0,???力'(。=0在定義域內至多有一解，

欲使力⑺在定義域內有極值，只需"（，）=-31+2X+3=0在（2,+8）內有解，且"（￡）

9

的值在根的左右兩側異號，???〃（2）>0得〃>7

99

綜上：當女aa時力（力在定義域內有且僅有一個極植，當女忘彳時力&）在定義域內無極值.

⑵???存在照￡（1,+8）,使〃⑷>g（幻成立等價于f（x）一g（x）的最大值大于0.

t=log“x+log*a,m（t）=-^++/ct-2k,（￡22）,

k

（，）=-3/+2&+片=0得￡】=A,t2=-T.

J

當女>2時，加（。鵬二勿（公>0得”>2；

J17-1

當0<反2時，/〃（Dm=/?（2）>0得—<〃W2；

當〃=0時，加（￡）??二勿（2）<0不成立.

當一6WR<0時，

-\FL7-1

勿（，）nax=力（2）>0得一6W4<—-----；

當在<-6時，加&）皿:《一§>0得—6.

綜上得：〃的取值范圍是1-8,一可一）u性匚,+8）.

必考附加題一一模板成形練（一）

1.如圖，在直三棱柱力a'-45。中，乙劭。=90°,AB=AC=2,44=6,點瓦廠分別在棱

防，如上，且比'=駟，CxF=\cCx.

OO

（1）求異面直線力￡與力/所成角的大??；

⑵求平面力掇、與平面力比'所成角的余弦值.

解(1)建立如圖所示的直角坐標系，

則加0,0,0),￡(2,0,2),4(0,0,6),尸(0,2,4),

從而赤二(2,0,2),(0,2,-2).

->龍?誦-41

記川西4蹶夾角為伊，則有cos0=-----~=~r>-----9-

\AE\-|J>|、8?782

又由異面直線四與4尸所成角的范圍為(0.兀)，

可得異面直線力￡與力石所成的角為60°.

⑵記平面4跖和平面力仇?的法向量分別為〃和⑷

則由題設可令〃=(1,y,z),且有平面力寬的法向量為0:萬1二@0,6),蘇'=(0,2,4),AE

=(2,0,2).

由〃?萬LO,得2y+4z=0；由〃?能=0,得2+2z=0.

所以z=-l,y=2,即A=(1,2,-1).

記平面力伊與平面4町所成的角為B、

士an?in_6A/6

有cosP=n----i-=~r=-于.

51?\m\也?66

由圖形可知戶為銳角，所以cosf二嚕.

2.已知數列｛4｝滿足打；+4-產2(〃22,〃EM).

/Un

(1)求壇壇猜想數列｛4｝的通項公式，并用數學歸納法證明；

(2)設x=￡,y=￡二比較V與■的大小.

112

解(1)當〃=2時，工+萬=2,解得金二§；

193

當〃=3時，工+鼻=2,解得左=7

猜想“島.

證明：①當〃=1時，M=-

②假設當〃=A(〃EN*)時，即加=Wy,

A'1

I14

貝IJ當/7=〃+1時，—+^=2,gp-y—+v~j-=2,

bk、\bk^\n+1

1kk+2k-1

???五7=2-77T=77T-二口也成立.

由①②得兒二島?

3.三棱柱力勿-46G在如圖所示的空間直角坐標系中，已知力8=2,AC=4,44=3.〃是

比、的中點.

(1)求直線DB\與平面4G〃所成角的正弦值；

(2)求二面角4-M-G的大小的正弦值.

解⑴由題意,力(0,0,0),6(2,0,0),C(0,4,0),"(1,2,0),4(0,0,3),8(2,0,3),

G(0,4,3).危=(1,2,-3),(0,4,0).

設平面46〃的法向量為〃=(%y,z).

:n*M-^+2y-3z=0,z??松=4y=0.

x=3z,y=0.令z=l,得x=3,〃=(3,0,1).

設直線與平面月4〃所成角為8、

???欣=(1,-2,3),

I3X1+0X-2+1義3|3相

0=|cos(DBi、n)

VTOX^/H-35,

(2)設平面力心〃的法向量為(a,b,c).

漉=(2,0,0),

?.7?a+2。-3c=0,m?48=2a=0.

a=0,2。=3c.令。=2,得Z?=3,卬=(0,3,2).

設二面角片G的大小為a

,?,、?降?〃|

/.cos°=cosQn、n)=--------r

Wl■I加

10X3+3X0+2X11/

713X^10-^65,

.3J7:

則nilw"相二65'

二?二面角片-4〃-G的大小的正弦值為

4.已知整數〃24,集合心｛1,2,3,…，〃｝的所有3個元素的子集記為4,念…，Ae(C

GN*).

(D當〃=5時，求集合4.4,…，4?中所有元素之和；

(2)設期為4中的最小元素，設4=仍+如+…+如試求區(用〃表示).

解(1)當〃=5時，含元素1的子集中，必有除1以外的兩個數字，兩個數字的選法有請二

6個，所以含有數字1的集合有6個.同時含2,3,4,5的子集也名有6個.

于是所求元素之和為(1+2+3+4+5)Xd=15X6=90.

⑵證明不難得到1W血W〃-2,m,EZ,并且以1為最小元素的子集有CL個，以2為最

小元素的子集有比.2個，以3為最小元素的子集有Ct」個，…，以〃-2為最小元素的子集

有戲個，則只二期+以+…+灰^

=1XC^-[+2Cn-2+3C?-3+…+(n-2)C2

=(77—2)C2+(/?-3)Ca+(〃—4)C：+…+C^-i

=C2+(〃-3)(C：+C3)+(〃-4)C：+…+Cfl-i

=C2+(z?-3)(C3+CO+(77-4)C<+,,,+C^-i

=C2+(〃-3)C：+(〃-4)C4++Cff-i

=Cl+Ci+(/?-4)(Ci+Ci)+…+C-i

=C；+C；+(/7—4)C5++Cn-I

=cl+c：+瑤+…+-=c3.

必考附加題一一模板成形練(二)(對應學生用書P423)

1.如圖，圓錐的高心=4,底面半徑加=2,。為"的中點，￡為母線陽的中點，尸為底

面圓周上一點，滿足.EFIDE.

(D求異面直線跖與劭所成角的余弦值；

(2)求二面角。-公-6的余弦值.

解(1)以。為原點，底面上過。點且垂直于如的直線為x軸，如所在的直線為，軸，0P

所在的直線為，軸，建立空間直角坐標系，則4(0,2,0),P(0,0,4),X0,0,2),F(0,1,2).

設網孫為.0)(胸〉0,外＞0),且總+4=4,

則赤=(的yo-1,-2),應'=(0,1,0),

'：EFLDEy即建上龐貝IJ旗?應'=%-1=0,

故外=1.

(木,1,0),~EF=(^