2024-2025學(xué)年福建省廈門(mén)市高二上學(xué)期期末模擬考試數(shù)學(xué)檢測(cè)試題一、單選題（本大題共8小題）1．若直線和直線平行，則（

）A．或 B．或C． D．2．在空間直角坐標(biāo)系O-xyz中，點(diǎn)，，則（

）A．直線AB∥坐標(biāo)平面xOy B．直線AB⊥坐標(biāo)平面xOyC．直線AB∥坐標(biāo)平面 D．直線AB⊥坐標(biāo)平面3．已知圓:,過(guò)作圓的切線,則切線長(zhǎng)為（

）A． B． C．3 D．44．已知是首項(xiàng)為1的等比數(shù)列，是的前項(xiàng)和，且，則（

）A．31 B． C．31或5 D．或55．已知正四面體ABCD的棱長(zhǎng)為a，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是BC，AD的中點(diǎn)，則的值為（

）A． B． C． D．6．古希臘數(shù)學(xué)家阿波羅尼斯在著作《圓錐曲線論》中記載了用平面切割圓錐得到圓錐曲線的方法．如圖，將兩個(gè)完全相同的圓錐對(duì)頂放置（兩圓錐的軸重合），已知兩個(gè)圓錐的底面直徑均為6，母線長(zhǎng)均為5，過(guò)圓錐軸的平面與兩個(gè)圓錐側(cè)面的交線為，用平行于的平面截圓錐，該平面與兩個(gè)圓錐側(cè)面的交線為雙曲線的一部分，且雙曲線的兩條漸近線分別平行于，則雙曲線的離心率為（

）A． B． C． D．7．已知圓與x軸交于A,B兩點(diǎn)，點(diǎn)M是直線上任意一點(diǎn)．設(shè)，則t的可能取值是（

）A． B． C． D．38．如圖，設(shè)、分別是橢圓的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)是以為直徑的圓與橢圓在第一象限內(nèi)的一個(gè)交點(diǎn)，延長(zhǎng)與橢圓交于點(diǎn)，若，則直線的斜率為（

）A． B． C． D．二、多選題（本大題共4小題）9．已知下列四種條件，空間中四點(diǎn)A，B，C，D不一定共面的是（

）A． B．C． D．10．已知，滿足條件的動(dòng)點(diǎn)的軌跡是雙曲線的一支．則下列數(shù)據(jù)中，可以是（

）A． B．2 C． D．11．已知拋物線的焦點(diǎn)為F，點(diǎn)P在拋物線上，點(diǎn)，點(diǎn)P到點(diǎn)Q和到y(tǒng)軸的距離分別為，則（

）A．拋物線C的準(zhǔn)線方程為B．若，則周長(zhǎng)的最小值等于3C．若，則的最小值等于2D．若，則的最小值等于12．已知數(shù)列中各項(xiàng)都小于2，，記數(shù)列的前n項(xiàng)和為，則以下結(jié)論正確的是（

）A．任意與正整數(shù)m，使得 B．存在與正整數(shù)m，使得C．任意非零實(shí)數(shù)與正整數(shù)m，都有 D．若，則三、填空題（本大題共4小題）13．兩條直線與之間的距離是．14．已知直線經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)，則點(diǎn)到直線的距離為．15．某地發(fā)生地震，呈曲線形狀的公路上任意一點(diǎn)到村的距離比到村的距離遠(yuǎn)，村在村的正東方向處，村在村的北偏東方向處，為了救援災(zāi)民，救援隊(duì)在曲線上的處收到了一批救災(zāi)藥品，現(xiàn)要向兩村轉(zhuǎn)運(yùn)藥品，那么從處到、兩村的路程之和的最小值為.16．如圖，曲線上的點(diǎn)與軸的正半軸上的點(diǎn)及原點(diǎn)構(gòu)成一系列等腰直角三角形，，，，且，記點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，則；通項(xiàng)公式．四、解答題（本大題共6小題）17．已知數(shù)列滿足.(1)求的通項(xiàng)公式；(2)求數(shù)列的前項(xiàng)和.18．如圖，已知圓，點(diǎn).(1)求圓心在直線上，經(jīng)過(guò)點(diǎn)且與圓相外切的圓的方程；(2)若過(guò)點(diǎn)的直線與圓交于兩點(diǎn)，且圓弧恰為圓周長(zhǎng)的，求直線的方程.19．如圖，在直三棱柱中，M，N分別為AC，的中點(diǎn).(1)證明：平面；(2)若平面，，，求點(diǎn)A到平面的距離.20．雙曲線的左頂點(diǎn)為，右焦點(diǎn)為，動(dòng)點(diǎn)在上.當(dāng)時(shí)，.(1)若點(diǎn)的坐標(biāo)為，求雙曲線的方程；(2)若在第一象限，證明.21．某企業(yè)2023年的純利潤(rùn)為500萬(wàn)元，因?yàn)槠髽I(yè)的設(shè)備老化等原因，企業(yè)的生產(chǎn)能力將逐年下降．若不進(jìn)行技術(shù)改造，預(yù)測(cè)從2015年開(kāi)始，此后每年比上一年純利潤(rùn)減少20萬(wàn)元．如果進(jìn)行技術(shù)改造，2024年初該企業(yè)需一次性投入資金600萬(wàn)元，在未扣除技術(shù)改造資金的情況下，預(yù)計(jì)2024年的利潤(rùn)為750萬(wàn)元，此后每年的利潤(rùn)比前一年利潤(rùn)的一半還多250萬(wàn)元．(1)設(shè)從2024年起的第n年（以2024年為第一年），該企業(yè)不進(jìn)行技術(shù)改造的年純利潤(rùn)為萬(wàn)元；進(jìn)行技術(shù)改造后，在未扣除技術(shù)改造資金的情況下的年利潤(rùn)為萬(wàn)元，求和；(2)設(shè)從2024年起的第n年（以2024年為第一年），該企業(yè)不進(jìn)行技術(shù)改造的累計(jì)純利潤(rùn)為萬(wàn)元，進(jìn)行技術(shù)改造后的累計(jì)純利潤(rùn)為萬(wàn)元，依上述預(yù)測(cè)，從2024年起該企業(yè)至少經(jīng)過(guò)多少年，進(jìn)行技術(shù)改造的累計(jì)純利潤(rùn)將超過(guò)不進(jìn)行技術(shù)改造的累計(jì)純利潤(rùn)？22．已知點(diǎn)為橢圓的左焦點(diǎn)，在C上．(1)求C的方程；(2)記（1）中軌跡為曲線C，在曲線C的上半部分取兩點(diǎn)M，N，若，，且．①當(dāng)時(shí)，求四邊形的面積；②求四邊形的面積最大時(shí)點(diǎn)M的坐標(biāo)．

答案1．【正確答案】C【詳解】直線和直線平行，，解得或，當(dāng)時(shí)，兩條直線重合；當(dāng)時(shí)，兩條直線平行.綜上，.故選：C.2．【正確答案】C【詳解】由已知得，坐標(biāo)平面的一個(gè)法向量是，坐標(biāo)平面的一個(gè)法向量是，易判斷與，不平行，所以直線AB不垂直坐標(biāo)平面，也不垂直坐標(biāo)平面，故BD錯(cuò).因?yàn)?，所以直線不平行坐標(biāo)平面，故A錯(cuò)因?yàn)椋c(diǎn)A、B均不在坐標(biāo)平面上，所以直線AB與坐標(biāo)平面平行，故C對(duì).故選：C3．【正確答案】B【詳解】圓:,即圓心半徑切線長(zhǎng)為故選:B.4．【正確答案】B【詳解】因?yàn)槭鞘醉?xiàng)為1的等比數(shù)列，是的前項(xiàng)和，且當(dāng)時(shí)，，計(jì)算得所以當(dāng)時(shí)，，，所以綜上：故選：B5．【正確答案】C【詳解】四面體ABCD是正四面體，，且、、三向量?jī)蓛蓨A角為，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是BC，AD的中點(diǎn)，，，則，故選：C.6．【正確答案】A【詳解】以矩形的中心為原點(diǎn)，圓錐的軸為x軸建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為，由題，得，則，即，..由，得離心率.故選：A.7．【正確答案】B【詳解】由知，則直線恒過(guò)定點(diǎn)，如圖，當(dāng)直線與圓相離時(shí)，連接，設(shè)（或）與圓O交于點(diǎn)C，連接CB（CA），則，由外角的性質(zhì)，知，由圖可知，當(dāng)直線與圓相切或相交時(shí)，在直線上均存在點(diǎn)M，使得，所以等價(jià)于直線與圓O相離，則，解得.故選：B8．【正確答案】C【詳解】連接、，由在以為直徑的圓上，故，、在橢圓上，故有，，設(shè)，則，則有，，即可得，解得，故，則，故.故選：C.9．【正確答案】AD【詳解】空間中A，B，C，D四點(diǎn)共面的充要條件是滿足，且，對(duì)于A，由，得，則空間中四點(diǎn)A，B，C，D不共面；對(duì)于B，由，得，則空間中四點(diǎn)A，B，C，D共面；對(duì)于C，由，得，則向量共面，即四點(diǎn)A，B，C，D共面，對(duì)于D，由，即，得，則空間中四點(diǎn)A，B，C，D不共面.故選：AD10．【正確答案】BC【詳解】由雙曲線的焦點(diǎn)坐標(biāo)，可得，要使得滿足條件的動(dòng)點(diǎn)的軌跡是雙曲線的一支，則滿足，解得且，結(jié)合選項(xiàng)，選項(xiàng)B、C符合題意.故選：BC.11．【正確答案】BD【詳解】A：由拋物線方程可知拋物線準(zhǔn)線是，A錯(cuò)誤．B：當(dāng)時(shí)，的周長(zhǎng)，B正確．C：因?yàn)?，所以在圓上，圓心為，所以，設(shè)，則，所以，所以的最小值等于，C錯(cuò)誤．D：若，則在直線上，，D正確．故選：BD12．【正確答案】ABD【詳解】對(duì)于A：因?yàn)?，所以，所以，則，故A正確；對(duì)于B：記，由，可得，因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞減，所以對(duì)于任意正整數(shù)n，，故B正確；對(duì)于C：由A可知所有同號(hào)，①當(dāng)時(shí)，易得對(duì)于任意正整數(shù)n，，②當(dāng)時(shí)，，即，因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞減，所以對(duì)于任意正整數(shù)n，，③當(dāng)時(shí)，，即，因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞減，所以對(duì)于任意正整數(shù)n，，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D：由B可知對(duì)于任意正整數(shù)n，，當(dāng)時(shí)，所以，，由C中②知當(dāng)時(shí)，，又，解得，所以，所以，故D正確；故選：ABD13．【正確答案】2【詳解】將化為，可知兩直線平行；由兩平行線間的距離公式可得，直線與之間的距離.故214．【正確答案】【詳解】由題可知，則，，故點(diǎn)到直線的距離為．故15．【正確答案】【詳解】如圖，以所在的直線為軸，的垂直平分線為軸建立直角坐標(biāo)系，由題意得，根據(jù)雙曲線定義知，軌跡為雙曲線的右支，故，所以曲線的軌跡方程為，因?yàn)椋?，?dāng)且僅當(dāng)共線時(shí)，等號(hào)成立，所以從處到、兩村的路程之和的最小值為.故答案為.16．【正確答案】2；.【詳解】設(shè)各個(gè)直角三角形斜邊長(zhǎng)分別為，則前項(xiàng)和為.設(shè)，，則.則，解得，.當(dāng)時(shí)，，，由可得，，所以，又，兩式作差可得，，又，所以，整理可得.所以是以2為首項(xiàng)，2為公差的等差數(shù)列，所以，所以.故2；.17．【正確答案】(1)；(2).【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，故；當(dāng)時(shí)，，故，故，則，又滿足，∴，.（2）由（1）可得：，故.18．【正確答案】(1)(2)或.【詳解】（1）解：由，化為標(biāo)準(zhǔn)方程得所以圓的圓心坐標(biāo)為，又因?yàn)閳A的圓心在直線上，所以當(dāng)兩圓外切時(shí)，切點(diǎn)為，設(shè)圓的圓心坐標(biāo)為，因?yàn)樵趫A上，可得，則有解得，所以圓的圓心坐標(biāo)為，半徑，故圓的方程為.

（2）解：因?yàn)閳A弧恰為圓周長(zhǎng)的，根據(jù)圓的性質(zhì)，可得，所以點(diǎn)到直線的距離為，①當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，點(diǎn)到軸的距離為，直線即為軸，此時(shí)直線的方程為.②當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)直線的方程為，即.可得，即，解得，所以直線的方程，即，故所求直線的方程為或.

19．【正確答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)【詳解】（1）證明：取的中點(diǎn)H，連接MH，HN.因?yàn)镸為AC的中點(diǎn)，所以.因?yàn)槠矫妫矫?，所以平?因?yàn)镠，N分別為，的中點(diǎn)，所以，因?yàn)槠矫妫矫?，所以平?因?yàn)槊鍹HN，所以平面平面.因?yàn)槠矫鍹HN，所以平面.（2）因?yàn)槠矫?，平面，所?因?yàn)槿庵侵比庵?，所以?以BA，，BC所在直線分別為x軸，y軸，z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，，，.設(shè)平面的法向量為.由，得，取.所以點(diǎn)A到平面的距離.20．【正確答案】(1)(2)證明見(jiàn)解析【詳解】（1）

由題意知，，，所以，當(dāng)時(shí)，在雙曲線方程中令,即，解得，即，又，即，得，所以，因?yàn)辄c(diǎn)坐標(biāo)為，所以，所以雙曲線方程為.（2）由（1）知，所以，雙曲線的方程可化為，當(dāng)時(shí)，，如圖所示:

所以為等腰直角三角形，即，易知；當(dāng)與不垂直時(shí)，如圖:

設(shè)，又點(diǎn)在上，所以，即，即，又因?yàn)?，所以，即無(wú)論與是否垂直，根據(jù)正切函數(shù)在區(qū)間和上嚴(yán)格單調(diào)遞增，均有，綜上，．21．【正確答案】(1)(2)4【詳解】（1）由題意得是等差數(shù)列，，所以，由題意得，所以，所以是首項(xiàng)為250，公比為的等比數(shù)列，所以，所以.（2）是數(shù)列的前項(xiàng)和，所以，是數(shù)列的前項(xiàng)和減去600，所以，，又當(dāng)時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞增，所以函數(shù)單調(diào)遞增，且時(shí)，時(shí)，所以至少經(jīng)過(guò)4年，進(jìn)行技術(shù)改造的累計(jì)純利潤(rùn)將超過(guò)不進(jìn)行技術(shù)改造的累計(jì)純利潤(rùn).22．【正確答案】(1)(2)①面積為，②；【詳解】（1）根據(jù)題意將代入可得，又，解得；所以C的方程為；（2）在曲線C的上半部分取兩點(diǎn)M，N，且，延長(zhǎng)交橢圓與