2023-2024學年高一數學下學期期末考試模擬04

一、單項選擇題（本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的選項中，只有一項

是符合題目要求的）

1.總體由編號為01,02,39,40的40個個體組成，從中選取5個個體.利用科學計算器依次生成一組

隨機數如下，則選出來的第5個個體的編號為（）

660658615435024235489621143252415248

A.54B.14C.21D.32

【答案】B

【解析】

【分析】根據隨機數表法可得結果.

【詳解】生成的隨機數中落在編號01,02,…，39,40內的依次有06,35,02,35（重復），

21,14,32,故第5個編號為14,

故選：B.

2.樣本數據12,11,7,15,9,10,12,8的中位數是（）

A.12B.11C.10D.10.5

【答案】D

【解析】

【分析】將數據從小到大排列，按照法則求出中位數即可.

【詳解】將數據從小到大排列：7,8,9,10,11,12,12,15.故這組數據的中位數是電工口=10.5.

2

故選：D

3.為了提升學生的文學素養，某校將2024年5月定為讀書月，要求每個學生都只選擇《平凡的世界》與

《麥田里的守望者》中的一本.己知該校高一年級學生選擇《平凡的世界》的人數為450,選擇《麥田里的

守望者》的人數為550.現采用按比例分層隨機抽樣的方法，從高一學生中抽取20名學生進行閱讀分享，

則被抽到的這20名學生中選擇了《平凡的世界》的人數為（）

A.9B.10C.11D.12

【答案】A

【解析】

【分析】利用分層抽樣比與總體抽樣比相等即可求出答案.

450

【詳解】依題意，被抽到的這20名學生中選擇了《平凡的世界》的人數為20x--------------=9.

450+550

故選：A.

4.下列命題是真命題的是（）

A.上底面與下底面相似的多面體是棱臺

B.若一個幾何體所有的面均為三角形，則這個幾何體是三棱錐

C.若直線/在平面a外，則〃/a

D.一個圓柱的側面展開圖是一個邊長為2的正方形，則這個圓柱的表面積與側面積的比值是匕目

2兀

【答案】D

【解析】

【分析】根據題意，利用多面體與旋轉體的幾何結構特征，圓柱的側面積公式，逐項判定，即可求解.

【詳解】對于A中，如圖（1）所示，在多面體ABC-4與G中，滿足但該幾何體不是棱

臺，所以A錯誤；

圖⑴

對于B中，如圖（2）所示幾何體，所有的面均為三角形，但該幾何體不是三棱錐，所以B錯誤;

對于C中，若直線/在平面a外，則〃/a或直線/與平面a相交，所以C錯誤；

11

對于D中，設圓柱的底面圓半徑為小貝|2兀r=2,解得r=—,所以S側=4,S底=兀/=一，

7171

所以S表=4+27t=]+2兀，所以D正確；

42兀

故選：D.

5.從某中學抽取10名同學，他們的數學成績如下：82,85,88,90,92,92,92,96,96,98（單位：

分），則這10名同學數學成績的眾數、第25百分位數分別為（）

A.92,85B.92,88C.95,88D.96,85

【答案】B

【解析】

【分析】找中位數要把數據按從小到大的順序排列，位于最中間的一個數或兩個數的平均數為中位數，計

算10x25%=2.5,取第三個數即可得解.

【詳解】本題中數據92出現了3次，出現的次數最多，所以本題的眾數是92；

將一組數據按照由小到大（或由大到小）順序排列，得：

82,85,88,90,92,92,92,96,96,98,

計算10x25%=2.5,取第三個數，第25百分位數是88.

故選：B.

6.四棱錐P—A3CD,底面A3CD為平行四邊形，點Q滿足PC=3PQ,設四棱錐P—A3CD的體積

為丫，則三棱錐Q—的體積為（）

VVVV

A.—B.—C.—D.—

4836

【答案】D

【解析】

【分析】根據底面為平行四邊形，可知對角線平分底面A3CD,三棱錐P-5CD體積為四棱錐體積的一

2

半，再根據PC=3PQ得噎進而得到答案.

【詳解】

四棱錐尸―A3CD,底面A3CD為平行四邊形，則匕?=2匕^8，

2

且PC=3PQ,則%_BCD=§K.BCD'

那么VQ_PBD二Vp—BCD~^Q-BCD=TVp—BCD~T^P-ABCD

3。

V

即三棱錐Q-PBD的體積為一.

6

故選：D

7.已知球。為正三棱柱ABC-AgC］的外接球，正三棱柱ABC-A5cl的底面邊長為1,高為3,則球

。的表面積是（)

3U16萬311

A.4乃B.——C.------D.——

3312

【答案】B

【解析】

【分析】外接球球心為正三棱柱上下底面的外接圓圓心連線的中點，先求出底面外接圓半徑，再由勾股定

理即可求出外接球半徑.

【詳解】解：設三棱柱A3C-4與￡的高為心底邊邊長為億設球。的半徑為R,

2aV3

則三棱柱底面三角形的外接圓半徑〃滿足：.71,解得:r=----a

sm—3

3

由題知，a=1,h=3

R?=-----CL+3

I3J343412

3"I

故球0的表面積為S=4兀R2=—

3

故選：B.

8.如圖，在長方體ABCD-A4G2中，AD=AAl^2,AB=4.E,M,N分別是棱CR,AB,的中

點，若點尸是平面4ADR內的動點，且滿足PE//平面4MN,則線段PE長度的最小值為（）

2屈

D.2也

5

【答案】C

【解析】

【分析】如圖，建立空間坐標系，求出各點和各線段的坐標，求出平面g的法向量，利用向量法表示

線面平行得出PE=(-x,2,2-2x),結合二次函數的性質即可得出結果.

【詳解】如圖設立。-qz空間坐標系，由題意可知：

D(0,0,0),8(2,4,0),M(2,2,0),N(l,4,0),

四(2,4,2),E(0,2,2),設。(x,0,z),,

則BXM=(0,-2,-2),gN=(-1,0,-2)

設平面的一?個法向量為〃=(a,b,c),

n?BM=0-2b-2c=0

由＜X即＜，令〃=1,得幾二(2,1,—1),

n,B[N=0-a-2c=0

又尸石=(—x,2,2—z),PE//平面B】MN,

所以解得z=2x,所以PE=(—x,2,2—2x),

故同卜々+4+(2—2x)2=^5(x-1)2+y,

故選：C.

二、多項選擇題(本大題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項是

符合題目要求的.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分)

9.已知某省2023年各地市地區生產總值的占比如圖所示，則根據圖中關于該省2023年各地市地區生產總

值占比的統計情況，下列結論正確的是()

A.A市2023年地區生產總值比B市2023年地區生產總值多

B.圖中11個地市2023年地區生產總值占比的40%分位數為5.92%

C.圖中11個地市2023年地區生產總值占比的70%分位數為4.58%

D,若該省2024年各地市地區生產總值增長率相等，則該省2024年各地市地區生產總值的占比不變

【答案】ABD

【解析】

【分析】根據統計圖及百分位數的定義一一判斷即可.

【詳解】由圖中統計數據，可得A市2023年地區生產總值比B市2023年地區生產總值多，故A正確；

因為Hx40%=4.4,所以圖中11個地市2023年地區生產總值占比的40%分位數為5.92%,故B正確;

因為Ux70%=7.7,所以圖中11個地市2023年地區生產總值占比的70%分位數為10.1%,故C錯誤;

若該省2024年各地市地區生產總值的增長率相等，則該省2024年各地市地區生產總值的占比不變，D正

確.

故選：ABD

10.在空間中，機，〃是兩條不同的直線，a,￡是兩個不重合的平面，則下列說法一定正確的是()

A.若加//a,"http:///7,a///7,則

B.若a內的兩條相交直線分別垂直于￡內的兩條相交直線，則a，/?

C.若加_La,則存在"<=/?使得"〃”

D.若W是異面直線，m(^a,J3,mlI(3,nlla,則0//￡

【答案】CD

【解析】

【分析】根據線面位置關系的判定定理和性質定理，以及長方體的結構特征，逐項判定，即可求解.

【詳解】對于A中，若mlla,川1/3,al1/3,則小與〃平行、相交或異面，所以A不正確;

對于B中，例如在長方體ABC。—44G2中，如圖所示，可得4用LBCBiG

此時平面A4C12中有兩條相交直線分別垂直于平面ABCD內的兩相交直線,

但平面A51G，//平面A3CD,所以B不正確；

對于C中，由根據面面垂直的性質，可得在夕存在直線〃J_tz,

又由加J_a,所以"〃”,所以C正確；

對于D中，若是異面直線，mua,〃u/5,加//2,〃//0,根據平面與平面平行的判定定理，可得證

得。//￡,所以D正確.

故選：CD.

11.己知棱長為2的正方體ABC。—44G2，點P是3C的中點，點。在CD上，滿足

C2=2CD（O<2<1）,則下列表述正確的是（）

AX=g時，PQ//平面ABIA

B.X=%時，平面PQCX//平面AB］。

C.任意2e[0,1],三棱錐P-A4Q的體積為定值

D.過點A，P,Q的平面分別交3綜。2于瓦/，則m+DF的范圍是[1,2]

【答案】ACD

【解析】

【分析】對于A,利用PQ〃用2并使用線面平行的判定定理即可；對于B,使用反證法，并利用面面平

行的性質即可；對于C,證明。到直線A片的距離和P到平面4與。的距離均為定值即可；對于D,直接

2

計算得到BE+DF=——即可.

1+2

【詳解】

如圖，設的中點為R,8片的中點為S,直線PQ與直線A3和分別交于點

對于A,當4=工時，。是CD的中點，而尸是3c的中點，

2

所以PQBDBR,而與2在平面A5Q1內，尸。不在平面4片。內，

所以尸。平行于平面4用2,A正確；

對于B,假設平面PQQ平行于平面ABXDX,

由于GP在平面PQQ內，故GP平行于平面A用2.

由于尸是的中點，R是A。的中點，所以PRCDCXD{,PR=CD=GD-

這就得到四邊形PRAG是平行四邊形，

所以GPDR且該平行四邊形確定一個平面PRRG.

由于GP在平面PRDG內，GP平行于平面ABB,平面PRD?和平面ABtDt有公共點D1,

所以平面PR。￡和平面A42有一條過2的交線，且該直線平行于GP.

又因為GPD]R,所以該交線就是，R,這意味著2R在平面A5Q1內,

再由。在直線AR上，知A3片四點共面，這與正方體的性質矛盾.

故平面PQCX與平面AB{D{不平行，B錯誤；

對于c,由于A4〃GR〃CD,Q在直線CD上，所以。到直線44的距離恒為定值4.

同樣因為A旦〃GR〃C￡>,可知一對平行線44和CD確定一個平面4用8，

設尸到平面A與C。的距離為則由Q在直線CD上，可知P到平面4月。的距離為

從而吟-4B,2=；S=）|4可a4，恒為定值，C正確；

對于D,由于",N均在平面4PQ上，故E是AM和8瓦的交點，P是AN和。2的交點.

同時，我們有BP=CP=，8C=1,CQ=ACD=2A.

2

BMCO…DNDQ1-2

當0<4<l時，由相似三角形知識可得—=*=24,DN=--=-^=—-.

BPCPCPQC2

1-2

BEBMBM=27=DF_DN_DN1-2

所以有=丁

AMAB+BM2+221+2'A^~AN~AD+DN2+建i+I

2

2221-22-22

從而BE=A4[=,DF=A4,

1+21+21+21+2

注意到8片的中點為S,則當2=0時，分別與82重合;

2夕2—2夕

當2=1時，及戶分別與邑。重合，容易驗證知BE=——,DF=——亦成立.

1+21+2

2夕2—2：2

所以——+——=——，而0W4W1,所以5E+DF的取值范圍是[L2],D正確.

1+41+41+2

故選：ACD.

【點睛】關鍵點點睛：本題關鍵點在于對線面平行與面面平行的性質，以及平面的性質的靈活運用。

第II卷（非選擇題，共92分）

三、填空題（本大題共3小題，每小題5分，共15分）

12.某人任意統計5次上班步行到單位所花的時間（單位：分鐘）分別為8,12,10,11,9.貝卜這組數據的標準

差為.

【答案】V2

【解析】

【分析】先求得平均數，代入標準差公式，即可得答案.

【詳解】由題意得，這組數據的平均數1=^--------'----------=10,

所以標準差S=￡(8-10)2+(12-10)2+(10-10)2+(11-10)2+(9-10)2=JL

故答案為：V2

13.為了了解我國13歲男孩的平均身高，從北方抽取了300個男孩，平均身高1.60m；從南方抽取了200

個男孩，平均身高1.50m,由此可推斷我國13歲男孩的平均身高為.

【答案】L56m

【解析】

【分析】根據平均數的計算公式，準確計算，即可求解.

【詳解】根據平均數的計算公式，我國13歲男孩的平均身高為：30°*1.60+200><1.5°=156米

300+200

故答案為：1.56加.

14.在直三棱柱A5C-4與。1中，若NB4c=90,AB=AC==2,則直線AC到平面46cl的

距離為..

【答案】友##2百

33

【解析】

【分析】先證得AC//平面轉化為A到平面46cl的距離，再證得G4，平面AA]用5,得到平

面，平面明用5,過點A作證得AG,平面A^G，得到AG的長即為點A到平面

的距離，在直角MB中，即可求解.

【詳解】在直三棱柱ABC-4與G中，可得AC//AQ,

因為AC.平面A^G，且AGu平面A^G，所以AC//平面ABC1，

所以AC到平面的距離，即為A到平面ABC1的距離，

因為A5C-4與￡為直三棱柱，且NR4c=90，可得GA，4片,CA，A4,

又因為451c44]=4，且A4，A4,u平面招用臺，所以GA，平面叫四臺，

因為C|A[U平面C]43,平面A^G，平面A&耳5,

過點A作AG,43,由平面ABC]c平面4443=43,且AGu平面

所以AG，平面，則AG的長即為點A到平面的距離,

,,..,,__AS-AA.2x-\/22.y/3

在直角，MBn中，可z得AG=——二±=—=，-,

&Ba3

所以點A到平面ABG的距離為空.

3

故答案為：巫.

四、解答題（本大題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟）

15.如圖：在正方體48。一44。|2中A5=2，M為。。的中點.

（1）求三棱錐M-A3C的體積;

（2）求證：5。//平面9紇；

（3）若N為CG的中點，求證：平面4WC//平面BN'.

2

【答案】（1）|

（2）證明見解析（3）證明見解析

【解析】

【分析】（1）根據錐體的體積公式計算即可；

（2）根據線面平行的判定進行證明；

(3)根據面面平行的的判定進行證明.

【小問1詳解】

1112

顯然MD_L平面ABC,于是%鉆。=—xMDxSxlx—x2x2=—.

LV1一3323

【小問2詳解】

設AC3￡>=O,連接OM,

在正方體ABC。—A4C。中，四邊形A3CD是正方形，是8。中點，

M是的中點，二0加〃3￡>],

BD[<z平面AMC,OMu平面AMC,

BDl，平面AMC；

【小問3詳解】

QN為CG的中點，M為。2的中點，

:.CN〃D[M,:.CN=D[M,

???四邊形CNRM為平行四邊形，D\N//CM,

又?A/Cu平面AMC,-.-D]N<Z平面AMC,:.DXN!i平面AMC,

由(2)知8〃，平面AMC,u平面BNZVANu平面BN，，

平面AMC平面BND、.

16.某校高中年級舉辦科技節活動，開設A,8兩個會場，其中每個同學只能去一個會場且25%的同學去A

會場，剩下的同學去2會場.已知4B會場學生年級及比例情況如下表所示：

高一高二IWJ三

A會場50%40%10%

B會場40%50%10%

記該校高一、高二、高三年級學生所占總人數的比例分別為X,?Z,利用分層隨機抽樣的方法從參加活

動的全體學生中抽取一個容量為n的樣本.

(1)求x：y：z的值;

(2)若抽到的B會場的高二學生有150人，求〃的值以及抽到的A會場高一、高二、高三年級的學生人

【答案】⑴17:19:4

(2)九=400,50,40,10.

【解析】

【分析】(1)設該校高一、高二、高三年級的人數分別為a,b,c,列表表示出去A,8會場的各年級人

數，由此可得比例x：y：z.

(2)由8會場的高二學生人數求得樣本容量〃，按比例求得抽到的A會場高一、高二、高三年級的學生人

數.

【小問1詳解】

設該校高一、高二、高三年級的人數分別為。，b,c,

則去A會場的學生總數為0.25(a+b+c),去8會場的學生總數為0.75(a+Z?+c),

則對應人數如下表所示：

高一高二高三

A會場0.125(a+Z?+c)0.1(6/+Z?+c)0.025(Q+Z?+C)

B會場0.3(a+Z?+c)0.375(a+Z?+c)0.075(4z+Z?+c)

則x:y:z=0.425(a+Z?+c):0.475(a+b+c):0.1(a+5+c)=17:19:4.

【小問2詳解】

依題意，72x0.75x0.5=150,解得〃=400,則抽到的A會場的學生總數為100人，

所以高一年級人數為100x50%=50,高二年級人數為100x40%=40,高三年級人數為

100xl0%=10.

17.在如圖所示的四棱錐P-ABCD中，己知E4_L平面ABC。，AD//BC,ZBAD=90°,PA=AB=BC=1,

AD=2,E為尸。的中點.

P

(1)求證：CE〃平面加8；

(2)求證：平面E4C_L平面PDC；

(3)求直線EC與平面B4C所成角的正切值.

【答案】(1)證明見解析；(2)證明見解析；(3)逅.

3

【解析】

【分析】(1)根據中位線定理求證出四邊形MEBC為平行四邊形，再根據線面平行的判定定理即可證明;

(2)先證明以。C_L平面小C,再利用面面垂直的判定定理求解即可；

(3)取PC的中點用證明/ECP為直線EC與平面B4C所成的角，再解三角形即可.

【詳解】(1)取的中點跖連接ME,則ME//4D且

又因為BC//ADABC=AD,

所以ME7/8C且ME=BC,

所以四邊形MECB為平行四邊形，所以BM//CE,

又CEC平面BMu平面研8,所以CE//平面B4A

(2)證明：因為m_L平面ABC。，C￡)u平面ABC。，

所以PAA.DC,又因為AC2+CD2=2+2=AD\

所以。C_LAC,因為ACCIB4=A,AC,B4u平面B4C,所以。C_L平面以C.

又因為OCu平面PDC,所以平面B4C_L平面PDC.

(3)解：取PC的中點F,連接ER則EP//OC,

由（2）知。C_L平面B4C,則EF_L平面B4C,

所以/EC尸為直線EC與平面B4c所成的角.

因為CR=』PC=3,EF=gcD=顯,

2222

所以tan/ECF=￡^=逅即直線EC與平面B4C所成角的正切值為好.

FC33

18.已知某工廠一區生產車間與二區生產車間均生產某種型號的零件，這兩個生產車間生產的該種型號的

零件尺寸的頻率分布直方圖如圖所示（每組區間均為左開右閉）.

一區生產車間二區生產車間

尺寸大于M的零件用于大型機器中，尺寸小于或等于M的零件用于小型機器中.

（1）若M=60,試分別估計該工廠一區生產車間生產的500個該種型號的零件和二區生產車間生產的

500個該種型號的零件用于大型機器中的零件個數.

（2）若Me（60,70],現有足夠多的來自一區生產車間與二區生產車間的零件，分別用于大型機器、小型

機器各5000臺的生產，每臺機器僅使用一個該種型號的零件.

方案一：直接將一區生產車間生產的零件用于大型機器中，其中用了尺寸小于或等于加的零件的大型機器

每臺會使得工廠損失200元；直接將二區生產車間生產的零件用于小型機器中，其中用了尺寸大于M的零

件的小型機器每臺會使得工廠損失100元.

方案二：重新測量一區生產車間與二區生產車間生產的零件尺寸，并正確匹配型號，重新測量的總費用為

35萬元.

請寫出采用方案一，工廠損失費用的估計值8（"）（單位：萬元）的表達式，并從工廠損失的角度考

慮，選擇合理的方案.

【答案】⑴420；200

（2）H（M）=0.8M-12,選擇方案二

【解析】

【分析】（1）計算出兩個生產車間生產的零件尺寸大于60的頻率，進而求出兩個生產車間生產的500個該

種型號的零件用于大型機器中的零件數；

(2)計算出一區生產車間生產的零件尺寸小于或等于M的頻率和二區生產車間生產的零件尺寸大于M的

頻率，從而得到—12,結合河w(60,70],求出(36,44],與35比較后得到結

論.

【小問1詳解】

一區生產車間生產的零件尺寸大于60的頻率為(0.020+0.024+0.020+0.020)x10=0.84,

則該工廠一區生產車間生產的500個該種型號的零件用于大型機器中的零件個數為500x0.84=420；

二區生產車間生產的零件尺寸大于60的頻率為(0.024+0.016)x10=0.4,

則該工廠二區生產車間生產的500個該種型號的零件用于大型機器中的零件個數為500x0.40=200.

【小問2詳解】

一區生產車間生產的零件尺寸小于或等于/的頻率為

0.004xl0+0.012xl0+0.02x(M-60)=0.02M-1.04.

二區生產車間生產的零件尺寸大于〃的頻率為

0.024x(70-M)+0.016x10=1.84-0.024M.

故7/(M)=(0.02M—1.04)x0.02x5000+(1.84-0.024M)x0.01x5000=0.8M-12.

因為以e(60,70],所以H(M)e(36,44].

又因為采用方案二重新測量的總費用為35萬元，

所以從工廠損失的角度考慮，應選擇方案二.

19.如圖①，在直角梯形ABCD中，ZADC=90°,AB//CD,AD=CD=-AB,E為AC的中

2

點，將沿AC折起構成幾何體O—ABC,如圖②.在圖②所示的幾何體￡>—A5C中：

(1)在棱CD上找一點F，滿足AD〃平面班反，求幾何體E-3CF與幾何體O-ABC的體積比;

(2)當幾何體。—ABC的體積最大時，

①求